2))। फिर हम एक रैखिक फ़ंक्शन y \u003d -3x + 6 y x y \u003d -3x + 6 का ग्राफ बनाते हैं

फलन जिनके रेखांकन x-अक्ष के समानांतर हैं दूसरा मामला: K=0 इस मामले में, फलन y=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x का रूप लेता है

यदि k शून्य से बड़ा है, तो रेखाएँ पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित होती हैं। गुणांक जितना बड़ा होता है, सीधी रेखा को ओए अक्ष के करीब दबाया जाता है, और गुणांक जितना छोटा होता है, सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के करीब होती है। अर्थात्, ढलान जितना बड़ा होगा, सीधी रेखा और x-अक्ष के बीच का कोण उतना ही अधिक होगा।

5 Y \u003d 2x +6 Y \u003d 2x - 5 x y दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि उनके झुकाव का कोण समान है, और यह ढलान पर निर्भर करता है k 0 यदि समान ढलान है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं।
निष्कर्ष 1. y = kx + b के रूप का एक फलन, जहाँ k और b कुछ संख्याएँ हैं, रैखिक फलन कहलाता है। रेखा ग्राफ एक सीधी रेखा है। 2. y=kx के रूप का एक फलन प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहलाता है और इसका ग्राफ मूल बिन्दु से होकर गुजरता है। 3. फ़ंक्शन y \u003d b का ग्राफ x-अक्ष के समानांतर है और निर्देशांक (0; b) के साथ बिंदु से गुजरता है। 4. गुणांक k को ढाल कहा जाता है। यह x-अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को निर्धारित करता है। 5. यदि दो अलग-अलग रेखाओं में समान ढलान गुणांक हैं, तो इन कार्यों के ग्राफ समानांतर होंगे, यदि उनके ढलान गुणांक समान नहीं हैं, तो ग्राफ प्रतिच्छेद करेंगे।

एक रैखिक फलन y=kx+b रूप का एक फलन है, जहां x एक स्वतंत्र चर है, k और b कोई भी संख्या है।
एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है।

1. बनाने के लिए फंक्शन ग्राफ, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित दो बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता है। उन्हें खोजने के लिए, आपको दो x मान लेने होंगे, उन्हें फ़ंक्शन के समीकरण में स्थानापन्न करना होगा, और उनसे संबंधित y मानों की गणना करनी होगी।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y= x+2 को प्लॉट करने के लिए x=0 और x=3 लेना सुविधाजनक है, फिर इन बिंदुओं के निर्देशांक y=2 और y=3 के बराबर होंगे। हमें अंक A(0;2) और B(3;3) मिलते हैं। आइए उन्हें कनेक्ट करें और फंक्शन y= x+2 का ग्राफ प्राप्त करें:

2. सूत्र y=kx+b में, संख्या k को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है:
यदि k>0, तो फलन y=kx+b बढ़ता है
अगर को
गुणांक बी ओए अक्ष के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ के बदलाव को दर्शाता है:
अगर b>0, तो फ़ंक्शन का ग्राफ y=kx+b फ़ंक्शन के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है y=kx ओए अक्ष के साथ बी इकाइयों को स्थानांतरित करके
अगर बी
नीचे दिया गया चित्र y=2x+3 फलन के रेखांकन दिखाता है; वाई = ½x+3; वाई = एक्स+3

ध्यान दें कि इन सभी कार्यों में गुणांक k शून्य से ऊपर,और कार्य हैं की बढ़ती।इसके अलावा, k का मान जितना अधिक होगा, OX अक्ष की धनात्मक दिशा में सीधी रेखा के झुकाव का कोण उतना ही अधिक होगा।

सभी कार्यों में b=3 - और हम देखते हैं कि सभी ग्राफ OY अक्ष को बिंदु (0;3) पर काटते हैं।

अब फलन y=-2x+3 के आलेखों पर विचार करें; y=- ½ x+3; वाई=-एक्स+3

इस बार, सभी कार्यों में, गुणांक k शून्य से कमऔर विशेषताएं कमी।गुणांक b=3, और ग्राफ़, जैसा कि पिछले मामले में था, OY अक्ष को बिंदु (0;3) पर पार करते हैं

फलनों y=2x+3 के आलेखों पर विचार करें; वाई = 2x; वाई=2x-3

अब, फलन के सभी समीकरणों में, गुणांक k 2 के बराबर है। और हमें तीन समानांतर रेखाएँ मिली हैं।

लेकिन गुणांक बी अलग हैं, और ये भूखंड ओए अक्ष को प्रतिच्छेद करते हैं विभिन्न बिंदु:
फ़ंक्शन का ग्राफ y=2x+3 (b=3) ओए अक्ष को बिंदु (0;3) पर पार करता है
फलन y=2x (b=0) का ग्राफ OY अक्ष को बिंदु (0;0) - मूल बिंदु पर काटता है।
फलन का ग्राफ y=2x-3 (b=-3) ओए अक्ष को बिंदु (0;-3) पर काटता है

इसलिए, यदि हम गुणांक k और b के संकेतों को जानते हैं, तो हम तुरंत कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन y=kx+b का ग्राफ कैसा दिखता है।
यदि एक कश्मीर 0

यदि एक के>0 और बी>0, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=kx+b ऐसा दिखता है:

यदि एक कश्मीर>0 और बी, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=kx+b ऐसा दिखता है:

यदि एक k, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=kx+b इस तरह दिखता है:

यदि एक कश्मीर = 0, तो फ़ंक्शन y=kx+b एक फ़ंक्शन y=b में बदल जाता है और इसका ग्राफ इस तरह दिखता है:

फ़ंक्शन y=b के ग्राफ के सभी बिंदुओं के निर्देशांक b के बराबर हैं यदि बी = 0, तो फ़ंक्शन y=kx (प्रत्यक्ष आनुपातिकता) का ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है:

3. अलग से, हम समीकरण x=a का आलेख देखते हैं।इस समीकरण का ग्राफ ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, जिसके सभी बिंदुओं में एक भुज x=a है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x=3 का ग्राफ इस तरह दिखता है:
ध्यान!समीकरण x=a एक फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि तर्क का एक मान फ़ंक्शन के विभिन्न मानों से मेल खाता है, जो फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुरूप नहीं है।

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्त:

फलन का ग्राफ y=k 1 x+b 1 फलन के ग्राफ के समानांतर है y=k 2 x+b 2 यदि k 1 =k 2

5. दो सीधी रेखाओं के लंबवत होने की शर्त:

फलन का ग्राफ y=k 1 x+b 1 फलन के ग्राफ के लंबवत है y=k 2 x+b 2 यदि k 1 *k 2 =-1 या k 1 =-1/k 2

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन y=kx+b के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु।

ओए अक्ष के साथ। ओए अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु का भुज शून्य के बराबर होता है। इसलिए, ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में x के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें y=b प्राप्त होता है। यही है, ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु में निर्देशांक (0; बी) हैं।

x-अक्ष के साथ: x-अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य होती है। इसलिए, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में y के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 0=kx+b मिलता है। इसलिए x=-b/k। अर्थात्, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु में निर्देशांक होते हैं (-b / k; 0):

रैखिक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है वाई = केएक्स + बी, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित। यहां क- कोणीय गुणांक (वास्तविक संख्या), बी – मुक्त सदस्य (वास्तविक संख्या), एक्सएक स्वतंत्र चर है।

किसी विशेष मामले में, यदि कश्मीर = 0, हम एक निरंतर कार्य प्राप्त करते हैं वाई = बी, जिसका ग्राफ निर्देशांक के साथ बिंदु से गुजरने वाली ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है (0;बी).

यदि एक बी = 0, तो हमें फ़ंक्शन मिलता है वाई = केएक्स, जो है सीधे अनुपात में।

बी – खंड की लंबाई, जो मूल से गिनती करते हुए, ओए अक्ष के साथ रेखा को काट देता है।

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ क – टिल्ट एंगलऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा को सीधे वामावर्त माना जाता है।

रैखिक कार्य गुण:

1) एक रैखिक फलन का प्रांत संपूर्ण वास्तविक अक्ष होता है;

2) यदि एक कश्मीर 0, तब रैखिक फलन का परिसर संपूर्ण वास्तविक अक्ष होता है। यदि एक कश्मीर = 0, तो रैखिक फ़ंक्शन की सीमा में संख्या होती है बी;

3) एक रैखिक कार्य की समता और विषमता गुणांक के मूल्यों पर निर्भर करती है कतथा बी.

एक) बी 0, के = 0,फलस्वरूप, y = b सम है;

बी) बी = 0, के 0,फलस्वरूप y = kx विषम है;

सी) बी 0, के 0,फलस्वरूप y = kx + b एक सामान्य फलन है;

डी) बी = 0, के = 0,फलस्वरूप y = 0 एक सम और विषम फलन दोनों है।

4) एक रैखिक कार्य में आवधिकता की संपत्ति नहीं होती है;

5) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

बैल: वाई = केएक्स + बी = 0, एक्स = -बी/के, फलस्वरूप (-बी/के; 0)- भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।

ओए: y=0k+b=b, फलस्वरूप (0;बी) y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।

नोट.अगर बी = 0तथा कश्मीर = 0, फिर समारोह वाई = 0चर के किसी भी मूल्य के लिए गायब हो जाता है एक्स. यदि एक बी 0तथा कश्मीर = 0, फिर समारोह वाई = बीचर के किसी भी मूल्य के लिए गायब नहीं होता है एक्स.

6) संकेत की स्थिरता के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।

एक) कश्मीर > 0; केएक्स + बी> 0, केएक्स> -बी, एक्स> -बी/के।

वाई = केएक्स + बी- सकारात्मक पर एक्ससे (-बी/के; +∞),

वाई = केएक्स + बी- नकारात्मक पर एक्ससे (-∞; -बी/के).

बी) क< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

वाई = केएक्स + बी- सकारात्मक पर एक्ससे (-∞; -बी/के),

वाई = केएक्स + बी- नकारात्मक पर एक्ससे (-बी/के; +∞).

सी) के = 0, बी> 0; वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के पूरे क्षेत्र में सकारात्मक,

के = 0, बी< 0; y = kx + b परिभाषा के पूरे क्षेत्र में नकारात्मक है।

7) एक रैखिक फलन की एकरसता के अंतराल गुणांक पर निर्भर करते हैं क.

कश्मीर > 0, फलस्वरूप वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है,

क< 0 , फलस्वरूप वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के पूरे क्षेत्र में घट जाती है।

8) एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा होता है। एक सीधी रेखा खींचने के लिए दो बिंदुओं को जानना काफी है। निर्देशांक तल पर सीधी रेखा की स्थिति गुणांकों के मान पर निर्भर करती है कतथा बी. नीचे एक तालिका है जो इसे स्पष्ट रूप से दर्शाती है।

पाठ 1 .

समारोह वाई = ख और उसका कार्यक्रम।

स्कूल नंबर 92 . के गणित शिक्षक

पावलोव्स्काया नीना मिखाइलोव्नस

• छात्रों के ज्ञान को व्यवस्थित और विकसित करना

विषय समारोह पर, कार्य क्षेत्र,

फ़ंक्शन ग्राफ;

• प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा का परिचय;
• ग्राफ बनाने और पढ़ने की क्षमता विकसित करना

सूत्र y \u003d kx द्वारा दिया गया कार्य;

• पहचानना सीखें:

- निर्देशांक तल पर ग्राफ की स्थिति,

- इस बिंदु से ग्राफ से संबंधित;

• ग्राफ के अनुसार सीधी रेखा सेट करना सीखें

आनुपातिकता;

• संज्ञानात्मक रुचि के विकास को बढ़ावा देना

छात्रों

• छात्रों को आत्म-नियंत्रण के लिए प्रोत्साहित करें,

कारण उन्हें अपने को सही ठहराने की आवश्यकता है

बयान।

पाठ मकसद:

जोश में आना।

1. दिन के दौरान हवा के तापमान में परिवर्तन के ग्राफ के अनुसार, 6:00, 12:00, 18:00 . पर तापमान का मान ज्ञात कीजिए .

2. चर बीजीय भिन्न के अनुमेय मानों के परिसर को क्या कहते हैं?

3. भिन्न के लिए चर के मान्य मान ज्ञात कीजिए:

0 k y = kx के रूप का एक फलन प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहलाता है, जहाँ x एक चर है, k एक ढाल है। कार्यों के रेखांकन का निर्माण करें: y गुण: 8 7 a) y = 2x; बी) वाई \u003d - 3x। 1. परिभाषा का क्षेत्र 6 5 2. ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। 4 II I 3 2 3. यदि k 0 है, तो ग्राफ क्वार्टर I और III से गुजरता है और बनता है तेज़ कोनेएक्स-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ। 1 -3 -2 -1 3 2 1 x -4 O -1 -2 III IV -3 4। अगर के -4 -5 -6 -7 -8 "चौड़ाई = "640"

वाई = 2x

वाई = -3x

k0

क

समारोह देखें वाई = केएक्स प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहलाती है, जहाँ एक्स - चर, क - कोणीय गुणांक।

रेखांकन बनाएँ

कार्यों :

पर

गुण :

8

7

ए) वाई \u003d 2x; बी) वाई \u003d - 3x।

1. परिभाषा का क्षेत्र

6

5

2. आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

4

द्वितीय

मैं

3

2

3. यदि k 0 है, तो ग्राफ I और III तिमाही से होकर गुजरता है और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाता है।

1

-3

-2

-1

3

2

1

एक्स

-4

हे

-1

-2

तृतीय

चतुर्थ

-3

4 . अगर के

-4

-5

-6

-7

-8

1 ग्राफ y-अक्ष के अनुदिश फैला हुआ है। 2. अगर |के| एक्स-अक्ष के साथ।" चौड़ाई = "640"

एक ही समन्वय प्रणाली में कार्यों के रेखांकन बनाएँ। रेखांकन के स्थान की ख़ासियत का पता लगाएं और निष्कर्ष निकालें।

ए) वाई = 5x;

बी) वाई \u003d - 4x;

डी) वाई \u003d - 0.5x।

सी) वाई = 0.2x;

निष्कर्ष:

• अगर |k|1 ग्राफ बढ़ाया जाता है

वाई अक्ष के साथ।

2. अगर |के|

एक्स अक्ष के साथ।

ग्राफ के अनुसार, फ़ंक्शन का प्रकार निर्धारित करें और इसे एक सूत्र के साथ सेट करें, और इसे एक विशेषता भी दें।

में

जी

ए) वाई \u003d 0.5x

बी

डी

बी) वाई = एक्स

एक

इ

सी) वाई \u003d 2x

डी) वाई \u003d - 2x

ई) वाई \u003d - एक्स

ई) वाई \u003d - 0.5x

पाठ्यपुस्तक से हल करें

• मौखिक रूप से: नंबर 490, 491।

• लिखित में: नंबर 493, 494 (ए, सी), 495 (ए, सी)

पाठ को सारांशित करना:

• फंक्शन का ग्राफ क्या होता है वाई = केएक्स ?
• एक सीधी रेखा का ढाल क्या कहलाता है वाई = केएक्स ?
• फ़ंक्शन का ग्राफ किस निर्देशांक क्वार्टर में है वाई = केएक्स के 0 पर, के 0 पर?

अपना होमवर्क लिखें:

पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 6.1, 6.2,

№ 494 (बी, डी), 495 (बी, डी), 496।

№ 644 - वैकल्पिक।

रैखिक प्रकार्यप्रपत्र का एक कार्य है

एक्स-तर्क (स्वतंत्र चर),

y- फ़ंक्शन (आश्रित चर),

k और b कुछ अचर संख्याएं हैं

रैखिक फलन का आलेख है सीधा.

रेखांकन करने के लिए पर्याप्त है। दोअंक, क्योंकि दो बिंदुओं के माध्यम से आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक।

अगर k˃0, तो ग्राफ 1 और 3 समन्वय क्वार्टर में स्थित है। अगर k˂0, तो ग्राफ दूसरे और चौथे निर्देशांक क्वार्टर में स्थित है।

संख्या k को फलन y(x)=kx+b के प्रत्यक्ष ग्राफ का ढलान कहा जाता है। यदि k˃0, तो सीधी रेखा y(x)= kx+b के सकारात्मक दिशा ऑक्स के झुकाव का कोण न्यून है; यदि k˂0, तो यह कोण अधिक है।

गुणांक b, y-अक्ष (0; b) के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु को दर्शाता है।

y(x)=k∙x-- किसी विशिष्ट फलन के विशेष मामले को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, इसलिए इस ग्राफ को बनाने के लिए एक बिंदु पर्याप्त है।

रैखिक कार्य ग्राफ

जहां गुणांक k = 3, इसलिए

फ़ंक्शन का ग्राफ बढ़ेगा और ऑक्स अक्ष के साथ एक न्यून कोण होगा। गुणांक k का एक धन चिह्न होता है।

एक रेखीय फलन का OOF

एक रेखीय फलन का FRF

उस मामले को छोड़कर जहां

इसके अलावा फॉर्म का एक रैखिक कार्य

यह एक सामान्य कार्य है।

बी) यदि के = 0; बी≠0,

इस मामले में, ग्राफ ऑक्स अक्ष के समानांतर और बिंदु (0; बी) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

सी) यदि k≠0; b≠0, तब रैखिक फलन का रूप y(x)=k∙x+b होता है।

उदाहरण 1 . फलन को आलेखित कीजिए y(x)= -2x+5

उदाहरण 2 . समारोह के शून्य खोजें y=3x+1, y=0;

फ़ंक्शन के शून्य हैं।

उत्तर: या (;0)

उदाहरण 3 . x=1 और x=-1 . के लिए फ़ंक्शन मान y=-x+3 निर्धारित करें

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

उत्तर: y_1=2; y_2=4.

उदाहरण 4 . उनके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें या सिद्ध करें कि ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। मान लें कि फलन y 1 =10∙x-8 और y 2 =-3∙x+5 दिए गए हैं।

यदि फलनों के रेखांकन प्रतिच्छेद करते हैं, तो इस बिंदु पर फलनों का मान बराबर होता है

स्थानापन्न x=1, फिर y 1 (1)=10∙1-8=2।

टिप्पणी। आप तर्क के प्राप्त मान को फ़ंक्शन y 2 =-3∙x+5 में भी प्रतिस्थापित कर सकते हैं, फिर हमें वही उत्तर y 2 (1)=-3∙1+5=2 प्राप्त होगा।

y=2 - प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि।

(1;2) - कार्यों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु y \u003d 10x-8 और y \u003d -3x + 5।

उत्तर: (1;2)

उदाहरण 5 .

फलन y 1 (x)= x+3 और y 2 (x)= x-1 के आलेखों की रचना कीजिए।

यह देखा जा सकता है कि गुणांक k=1 दोनों कार्यों के लिए।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि यदि एक रैखिक कार्य के गुणांक बराबर हैं, तो समन्वय प्रणाली में उनके ग्राफ समानांतर हैं।

उदाहरण 6 .

आइए फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ बनाएं।

पहले ग्राफ का सूत्र है

दूसरे ग्राफ में सूत्र है

पर ये मामलाहमारे सामने बिंदु (0; 4) पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं का एक आलेख है। इसका मतलब है कि गुणांक बी, जो एक्स-अक्ष के ऊपर ग्राफ की वृद्धि की ऊंचाई के लिए जिम्मेदार है, अगर x = 0। अतः हम मान सकते हैं कि दोनों आलेखों का गुणांक b 4 है।

संपादकों: आयुवा हुसोव अलेक्जेंड्रोवना, गैवरिलिना अन्ना विक्टोरोव्ना