कोई व्यक्ति "प्रगति" शब्द को सावधानी से मानता है, उच्च गणित के वर्गों से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी काउंटर (जहां वे अभी भी बनी हुई है) का काम है। और अंकगणितीय अनुक्रम के सार (और गणित में "सार को समझने के लिए" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) को समझना इतना मुश्किल नहीं है, कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण किया है।

गणितीय संख्या अनुक्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को संख्याओं की एक श्रृंखला कहने की प्रथा है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

और 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा सदस्य है;

और 7 अनुक्रम का सातवां सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालांकि, आंकड़ों और संख्याओं का कोई भी मनमाना सेट हमें रूचि नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें nवें सदस्य का मान एक निर्भरता द्वारा इसकी क्रमिक संख्या से संबंधित होता है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवें नंबर का संख्यात्मक मान n का कुछ कार्य है।

ए - संख्यात्मक अनुक्रम के सदस्य का मूल्य;

n इसका क्रमांक है;

f(n) एक फ़ंक्शन है जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमसूचक तर्क है।

परिभाषा

एक अंकगणितीय प्रगति को आमतौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक की तुलना में उसी संख्या से अधिक (कम) होता है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें सदस्य का सूत्र इस प्रकार है:

ए एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

a n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (एक निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर धनात्मक (d>0) है, तो विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक अनुवर्ती सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा, और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती जाएगी।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, यह देखना आसान है कि क्यों संख्यात्मक क्रम"बढ़ती" कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर ऋणात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य का मूल्य

कभी-कभी किसी अंकगणितीय श्रेणी के किसी मनमाना पद a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। आप अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके पहले से वांछित तक ऐसा कर सकते हैं। हालाँकि, यह तरीका हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पाँच हज़ारवें या आठ मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में लंबा समय लगेगा। हालांकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति की जांच की जा सकती है। nवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य के मूल्य को प्रगति के अंतर के साथ प्रगति के पहले सदस्य के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, वांछित सदस्य की संख्या से गुणा किया जा सकता है, घटा एक .

प्रगति को बढ़ाने और घटाने के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए सदस्य के मूल्य की गणना करने का एक उदाहरण

आइए एक समान्तर श्रेणी के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

शर्त: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला सदस्य 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: 214 पदों का मान ज्ञात करना आवश्यक है

हल: किसी दिए गए सदस्य का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए (एन) = ए 1 + डी (एन -1)

समस्या कथन से डेटा को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

ए (214) = ए 1 + डी (एन -1)

ए(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वां सदस्य 258.6 के बराबर है।

गणना की इस पद्धति के फायदे स्पष्ट हैं - पूरे समाधान में 2 से अधिक लाइनें नहीं लगती हैं।

सदस्यों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में, इसके कुछ खंडों के मूल्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। इसे प्रत्येक पद के मूल्यों की गणना करने और फिर उन्हें योग करने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है जब उन पदों की संख्या जिनका योग ज्ञात किया जाना चाहिए, कम है। अन्य मामलों में, निम्न सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक समांतर श्रेणी के सदस्यों का योग पहले और nवें सदस्यों के योग के बराबर होता है, जिसे सदस्य संख्या n से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में n-वें सदस्य के मान को लेख के पिछले पैराग्राफ से व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ किसी समस्या को हल करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है।

समस्या में, श्रृंखला के पदों का योग 56 से 101 तक निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान। आइए प्रगति के योग को निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 सदस्यों के मूल्यों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙ (101-1))∙101/2 = 2 525

जाहिर है, 56 वें से 101 वें तक की प्रगति की शर्तों का योग जानने के लिए, एस 55 को एस 101 से घटाना आवश्यक है।

एस 55 = (2∙0 + 0.5∙ (55-1))∙55/2 = 742.5

तो इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, आइए पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटते हैं - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए एक ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

एक टैक्सी (जिसमें 3 किमी शामिल है) में जाने पर 50 रूबल का खर्च आता है। प्रत्येक बाद के किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल / किमी की दर से किया जाता है। यात्रा दूरी 30 किमी. यात्रा की लागत की गणना करें।

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 किमी।

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या यात्रा की गई किलोमीटर की संख्या है (पहले तीन घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है।

इस समस्या में पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर डी = 22 पी।

हमारे लिए ब्याज की संख्या - अंकगणितीय प्रगति के (27 + 1)वें सदस्य का मान - 27वें किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग - 27.999 ... = 28 किमी।

ए 28 \u003d 50 + 22 (28 - 1) \u003d 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा की गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से खगोलीय पिंड से तारे की दूरी पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित की अन्य अनुप्रयुक्त शाखाओं में विभिन्न संख्यात्मक श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या क्रम ज्यामितीय है

एक ज्यामितीय प्रगति को अंकगणित की तुलना में परिवर्तन की उच्च दर की विशेषता है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र, चिकित्सा में, अक्सर, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया तेजी से विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का एन-वें सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है जिसमें इसे कुछ स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है - हर, उदाहरण के लिए, पहला सदस्य 1 है, क्रमशः 2 है, फिर:

n=1: 1 2 = 2

एन = 2: 2 2 = 4

एन = 3: 4 2 = 8

एन = 4: 8 2 = 16

एन = 5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

बी एन+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का सूत्र;

q एक ज्यामितीय प्रगति (स्थिर संख्या) का हर है।

यदि एक अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय एक थोड़ा अलग चित्र बनाता है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति में एक मनमाना सदस्य के मूल्य के लिए एक सूत्र होता है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी n-वाँ पद पहले पद के गुणनफल के बराबर होता है और n की घात की प्रगति का हर एक से घटाया जाता है:

उदाहरण। हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद 3 के बराबर है और प्रगति का हर 1.5 के बराबर है। प्रगति का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए

बी 5 \u003d बी 1 क्यू (5-1) \u003d 3 1.5 4 \u003d 15.1875

सदस्यों की दी गई संख्या के योग की गणना भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके की जाती है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों का योग प्रगति के nवें सदस्य के गुणनफल और उसके हर और प्रगति के पहले सदस्य के बीच के अंतर के बराबर है, जिसे हर से विभाजित करके एक से घटाया जाता है:

यदि ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके b n को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मानी गई संख्या श्रृंखला के पहले n सदस्यों के योग का मान रूप लेगा:

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति 1 के बराबर पहले पद से शुरू होती है। हर को 3 के बराबर सेट किया जाता है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

s8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

पाठ मकसद:

• अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके हल किए गए कार्यों के बारे में छात्रों के विचारों का विस्तार और गहनता; अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते समय छात्रों की खोज गतिविधि का संगठन;
• नए ज्ञान को स्वतंत्र रूप से प्राप्त करने के लिए कौशल का विकास, कार्य को प्राप्त करने के लिए पहले से अर्जित ज्ञान का उपयोग करना;
• प्राप्त तथ्यों को सामान्य बनाने की इच्छा और आवश्यकता का विकास, स्वतंत्रता का विकास।

कार्य:

• "अंकगणित प्रगति" विषय पर मौजूदा ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करना;
• अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें;
• विभिन्न समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों को लागू करना सिखाएं;
• संख्यात्मक व्यंजक का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया की ओर विद्यार्थियों का ध्यान आकर्षित करें।

उपकरण:

• समूहों और जोड़ियों में काम के लिए कार्यों के साथ कार्ड;
• मूल्यांकन पत्र;
• प्रस्तुतीकरण “अंकगणितीय प्रगति”.

I. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति।

1. जोड़े में स्वतंत्र कार्य।

पहला विकल्प:

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करें। एक पुनरावर्ती सूत्र लिखिए जो अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करता है। समांतर श्रेणी का एक उदाहरण दीजिए और इसका अंतर बताइए।

दूसरा विकल्प:

समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए। समांतर श्रेणी का 100वाँ पद ज्ञात कीजिए ( एक}: 2, 5, 8 …
इस समय बोर्ड के पीछे दो छात्र एक ही प्रश्न के उत्तर तैयार कर रहे हैं।
छात्र बोर्ड के साथ तुलना करके पार्टनर के काम का मूल्यांकन करते हैं। (उत्तरों के साथ पत्रक सौंपे जाते हैं)।

2. खेल पल।

अभ्यास 1।

शिक्षक।मैंने कुछ अंकगणितीय प्रगति की कल्पना की। मुझसे केवल दो प्रश्न पूछें ताकि उत्तर के बाद आप जल्दी से इस प्रगति के 7वें सदस्य का नाम बता सकें। (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

छात्रों से प्रश्न।

1. प्रगति का छठा पद क्या है और क्या अंतर है?
2. प्रगति का आठवां पद क्या है और क्या अंतर है?

यदि कोई और प्रश्न नहीं हैं, तो शिक्षक उन्हें उत्तेजित कर सकता है - d (अंतर) पर "प्रतिबंध", अर्थात यह पूछने की अनुमति नहीं है कि अंतर क्या है। आप प्रश्न पूछ सकते हैं: प्रगति का 6वाँ पद क्या है और प्रगति का 8वाँ पद क्या है?

कार्य 2.

बोर्ड पर 20 नंबर लिखे हैं: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

शिक्षक अपनी पीठ के साथ ब्लैकबोर्ड पर खड़ा है। छात्र नंबर की संख्या कहते हैं, और शिक्षक तुरंत नंबर पर ही कॉल करता है। समझाएं कि मैं इसे कैसे कर सकता हूं?

शिक्षक को nवें पद का सूत्र याद है ए एन \u003d 3n - 2और, n के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, संबंधित मान पाता है एक ।

द्वितीय. शैक्षिक कार्य का विवरण।

मैं मिस्र के पपीरी में पाई जाने वाली दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की एक पुरानी समस्या को हल करने का प्रस्ताव करता हूं।

एक कार्य:"आप से कहा जाए: जौ के 10 उपायों को 10 लोगों के बीच विभाजित करें, प्रत्येक व्यक्ति और उसके पड़ोसी के बीच का अंतर माप का 1/8 है।"

• यह समस्या अंकगणितीय प्रगति के विषय से कैसे संबंधित है? (प्रत्येक अगले व्यक्ति को माप का 1/8 अधिक मिलता है, इसलिए अंतर d=1/8, 10 लोग, इसलिए n=10 है।)
• आपको क्या लगता है कि संख्या 10 का क्या अर्थ है? (प्रगति के सभी सदस्यों का योग।)
• समस्या की स्थिति के अनुसार जौ को विभाजित करना आसान और सरल बनाने के लिए आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? (प्रगति का पहला कार्यकाल।)

पाठ उद्देश्य- उनकी संख्या, पहले पद और अंतर पर प्रगति की शर्तों के योग की निर्भरता प्राप्त करना और यह जांचना कि क्या प्राचीन काल में समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।

सूत्र प्राप्त करने से पहले, आइए देखें कि प्राचीन मिस्रवासियों ने इस समस्या का समाधान कैसे किया।

और उन्होंने इसे इस तरह हल किया:

1) 10 उपाय: 10 = 1 उपाय - औसत हिस्सा;
2) 1 माप = 2 माप - दुगना औसतशेयर करना।
दोगुनी औसतशेयर पांचवें और छठे व्यक्ति के शेयरों का योग है।
3) 2 उपाय - 1/8 उपाय = 1 7/8 उपाय - पांचवें व्यक्ति के हिस्से का दोगुना।
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - पाँचवे हिस्से का हिस्सा; और इसी तरह, आप प्रत्येक पिछले और बाद के व्यक्ति का हिस्सा पा सकते हैं।

हमें अनुक्रम मिलता है:

III. कार्य का समाधान।

1. समूहों में काम करें

पहला समूह: 20 क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए : एस 20 \u003d (20 + 1) 10 \u003d 210।

पर सामान्य दृष्टि से

द्वितीय समूह: 1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए (लीजेंड ऑफ लिटिल गॉस)।

एस 100 \u003d (1 + 100) 50 \u003d 5050

निष्कर्ष:

तृतीय समूह: 1 से 21 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: 1+21=2+20=3+19=4+18…

निष्कर्ष:

चतुर्थ समूह: 1 से 101 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

निष्कर्ष:

मानी गई समस्याओं को हल करने की इस पद्धति को "गॉस विधि" कहा जाता है।

2. प्रत्येक समूह बोर्ड पर समस्या का समाधान प्रस्तुत करता है।

3. एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रस्तावित समाधानों का सामान्यीकरण:

ए 1, ए 2, ए 3,…, ए एन-2, ए एन-1, ए एन।
एस एन \u003d ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 + ... + ए एन -3 + ए एन -2 + ए एन -1 + ए एन।

हम इस राशि को इसी तरह तर्क देकर पाते हैं:

4. क्या हमने इस कार्य को हल कर लिया है?(हाँ।)

चतुर्थ। समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग।

1. सूत्र द्वारा किसी पुरानी समस्या के समाधान की जाँच करना।

2. विभिन्न समस्याओं को हल करने में सूत्र का अनुप्रयोग।

3. समस्याओं को हल करने में सूत्र को लागू करने की क्षमता के निर्माण के लिए व्यायाम।

ए) नंबर 613

दिया गया :( और n) -अंकगणितीय प्रगति;

(ए एन): 1, 2, 3, ..., 1500

पाना: एस 1500

समाधान: , और 1 = 1, और 1500 = 1500,

बी) दिया गया: ( और n) -अंकगणितीय प्रगति;
(और एन): 1, 2, 3, ...
एस एन = 210

पाना: एन
समाधान:

V. आपसी सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य।

डेनिस एक कूरियर के रूप में काम करने गया था। पहले महीने में, उनका वेतन 200 रूबल था, बाद के प्रत्येक महीने में 30 रूबल की वृद्धि हुई। उसने एक साल में कितना कमाया?

दिया गया :( और n) -अंकगणितीय प्रगति;
ए 1 = 200, डी = 30, एन = 12
पाना: एस 12
समाधान:

उत्तर: डेनिस को वर्ष के लिए 4380 रूबल मिले।

VI. होमवर्क निर्देश।

1. पृष्ठ 4.3 - सूत्र की व्युत्पत्ति सीखें।
2. №№ 585, 623 .
3. एक ऐसी समस्या की रचना करें जिसे अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके हल किया जाएगा।

सातवीं। पाठ को सारांशित करना।

1. स्कोर शीट

2. वाक्य जारी रखें

• आज कक्षा में मैंने सीखा...
• सीखे हुए फॉर्मूले...
• मुझे लगता है कि …

3. क्या आप 1 से 500 तक की संख्याओं का योग ज्ञात कर सकते हैं? इस समस्या को हल करने के लिए आप किस विधि का प्रयोग करेंगे?

ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित, 9वीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.वी. डोरोफीव।मॉस्को: प्रबुद्धता, 2009।

पेंटिंग और कविता की तरह गणित का भी अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में बहुत ही सामान्य कार्य अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित कार्य हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति के गुणों को अच्छी तरह से जानना और उनके आवेदन में कुछ कौशल होना आवश्यक है।

आइए पहले हम एक अंकगणितीय प्रगति के मुख्य गुणों को याद करें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करें, इस अवधारणा से जुड़े।

परिभाषा। संख्यात्मक अनुक्रम, जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, एक अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। साथ ही, संख्याप्रगति अंतर कहा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, सूत्र मान्य हैं

, (1)

कहाँ पे । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति का मुख्य गुण है: प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है और .

ध्यान दें कि इस संपत्ति के कारण ही विचाराधीन प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) संक्षेप में इस प्रकार हैं:

(3)

राशि की गणना करने के लिएपहला एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यसूत्र आमतौर पर प्रयोग किया जाता है

(5) कहाँ और .

यदि हम सूत्र को ध्यान में रखते हैं (1), तब सूत्र (5) का तात्पर्य है

अगर हम नामित करते हैं

कहाँ पे । चूंकि , तो सूत्र (7) और (8) संगत सूत्रों (5) और (6) का एक सामान्यीकरण हैं।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह इस प्रकार है, क्या

अधिकांश छात्रों के लिए अल्पज्ञात एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति है, जिसे निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार किया गया है।

प्रमेय।तो अगर

सबूत।तो अगर

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, यह दिखाया जा सकता है कि

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1चलो और। पाना ।

समाधान।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। तब से और , तब या ।

उदाहरण 2तीन गुना अधिक होने दें, और भागफल में विभाजित करने पर, यह 2 प्राप्त होता है और शेष 8 होता है। निर्धारित करें और।

समाधान।समीकरणों की प्रणाली उदाहरण की स्थिति से अनुसरण करती है

चूँकि , , और , तब समीकरणों के निकाय (10) से हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का हल हैं और ।

उदाहरण 3खोजें अगर और।

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार, हमारे पास या है। हालांकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

तब से और , तब समानता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4खोजें अगर।

समाधान।सूत्र (5) से हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, कोई लिख सकता है

यहाँ से और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया: । पाना ।

समाधान।तब से । मगर इसलिए ।

उदाहरण 6चलो, और। पाना ।

समाधान।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि , तो या ।

चूंकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें मिलता है और ।

समीकरण का प्राकृतिक मूलहै ।

उदाहरण 7खोजें अगर और।

समाधान।चूंकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समीकरणों की प्रणाली समस्या की स्थिति से अनुसरण करती है

यदि हम व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैंप्रणाली के दूसरे समीकरण में, तो हम प्राप्त करते हैं या .

द्विघात समीकरण की जड़ें हैंतथा ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. चलो, फिर। तब से और तब से।

इस मामले में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. यदि , तो , और

उत्तर: और।

उदाहरण 8यह ज्ञात है कि और पाना ।

समाधान।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं और ।

इसका तात्पर्य समीकरणों की प्रणाली से है

यदि हम निकाय के पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

सूत्र (9) के अनुसार, हमारे पास है. इस संबंध में, (12) से यह निम्नानुसार हैया ।

तब से और तब से।

उत्तर: ।

उदाहरण 9खोजें अगर और।

समाधान।चूंकि , और शर्त के अनुसार , तब या .

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । तब से ।

फलस्वरूप , यहाँ हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं और . सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें।

समाधान।दिए गए समीकरण से यह इस प्रकार है कि . आइए मान लें कि , , और । इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार हम लिख सकते हैं या ।

चूँकि समीकरण (13) का एक अद्वितीय उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11.अधिकतम मान ज्ञात कीजिए बशर्ते कि और ।

समाधान।तब से, माना जाता है कि अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, अभिव्यक्ति अधिकतम मान लेती है जब यह प्रगति के न्यूनतम सकारात्मक सदस्य की संख्या होती है।

हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करते हैं, जो और। तब हमें वह मिलता है या ।

क्योंकि, तब या . हालाँकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि मान , और सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं ।

उत्तर: ।

उदाहरण 12उन सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जिन्हें 6 से विभाजित करने पर 5 शेषफल प्राप्त होता है।

समाधान।सभी दो-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से निरूपित करें, अर्थात्। . इसके बाद, हम समुच्चय के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय की रचना करते हैं, जिसे संख्या 6 से विभाजित करने पर, शेषफल 5 प्राप्त होता है।

इन्सटाल करना आसान, क्या । स्पष्टतः , कि सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएँ, जिसमें और।

सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) निर्धारित करने के लिए, हम मानते हैं कि . चूँकि और , तो सूत्र (1) का तात्पर्य या है। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्याओं को हल करने के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते। यह लेख किसी दिए गए विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आधुनिक तरीकों के विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है। अंकगणितीय प्रगति से संबंधित समस्याओं को हल करने के तरीकों के गहन अध्ययन के लिए अनुशंसित साहित्य की सूची का उल्लेख करना उचित है।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम .: लेनांद / URSS, 2014. - 216 पी।

3. मेडिन्स्की एम.एम. कार्यों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का एक पूरा पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम.: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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माध्यमिक विद्यालय (ग्रेड 9) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम एक अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए विचाराधीन प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही मूल सूत्र देना भी आवश्यक है जो आगे चलकर समस्याओं को हल करने में काम आएगा।

एक अंकगणित या बीजगणितीय प्रगति क्रमित परिमेय संख्याओं का एक ऐसा समूह है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर मान से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है। अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। संख्याओं का अगला क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) है। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के सेट को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 17-12)।

महत्वपूर्ण सूत्र

अब हम मूल सूत्र देते हैं जो अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक होंगे। n . चिन्ह से निरूपित करें नौवां सदस्यअनुक्रम जहां n एक पूर्णांक है। अंतर को लैटिन अक्षर d द्वारा दर्शाया गया है। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ सत्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, सूत्र उपयुक्त है: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n + a 1)*n/2.

कक्षा 9 में एक समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि प्रश्न के प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर निर्मित होती है। इसके अलावा, यह न भूलें कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1 ।

उदाहरण # 1: एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

हम एक अंकगणितीय प्रगति और उन सूत्रों का एक सरल उदाहरण देते हैं जिनका उपयोग हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, इसमें पाँच पद ज्ञात करना आवश्यक है।

यह पहले से ही समस्या की शर्तों का अनुसरण करता है कि पहले 4 शब्द ज्ञात हैं। पांचवें को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: डी = 8 - 10 = -2। इसी तरह, कोई भी दो अन्य पदों को एक दूसरे के बगल में खड़ा कर सकता है। उदाहरण के लिए, डी = 4 - 6 = -2। चूँकि यह ज्ञात है कि d \u003d a n - a n-1, फिर d \u003d a 5 - a 4, जहाँ से हमें मिलता है: a 5 \u003d a 4 + d। हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: a 5 = 4 + (-2) = 2।
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: ए एन \u003d (एन - 1) * डी + ए 1 \u003d (एन - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * एन। n = 5 को अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधान एक ही परिणाम की ओर ले जाते हैं। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति का अंतर d ऋणात्मक है। ऐसे अनुक्रमों को घटते हुए कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक क्रमिक पद पिछले एक से कम होता है।

उदाहरण # 2: प्रगति अंतर

आइए अब कार्य को थोड़ा जटिल करें, उदाहरण दें कि कैसे

यह ज्ञात है कि कुछ में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1 । हम स्थिति से ज्ञात डेटा को इसमें स्थानापन्न करते हैं, अर्थात संख्या 1 और 7, हमारे पास है: 18 \u003d 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया गया था।

7वें सदस्य के लिए अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको एक बीजीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: एक 1 = 6, एक 2 = 6 + 2 = 8, एक 3 = 8 + 2 = 10, एक 4 = 10 + 2 = 12, एक 5 = 12 + 2 = 14 , एक 6 = 14 + 2 = 16 और 7 = 18।

उदाहरण #3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और पद फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और शब्द होंगे, तो एक 1 \u003d -4 और एक 5 \u003d 5. इसे स्थापित करने के बाद, हम उस कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं जो पिछले एक के समान है। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। प्रेषक: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। यहाँ अंतर एक पूर्णांक मान नहीं है, बल्कि यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब हम पाए गए अंतर को 1 में जोड़ते हैं और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करते हैं। हमें मिलता है: ए 1 = - 4, ए 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, ए 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, ए 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, ए 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, जो समस्या की स्थिति से मेल खाता है।

उदाहरण #4: प्रगति का पहला सदस्य

हम हल के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखते हैं। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक जो सूत्र प्रयोग किए गए हैं वे 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या की स्थिति में इन नंबरों के बारे में कुछ पता नहीं है। फिर भी, आइए प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखें जिसके बारे में हमें जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण मिले जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

निर्दिष्ट प्रणाली को हल करना सबसे आसान है यदि आप प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करते हैं। पहला समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दूसरा समीकरण: ए 1 \u003d ए 43 - 42 * डी \u003d 37 - 42 * डी। इन भावों की बराबरी करते हुए, हमें मिलता है: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, जहां से अंतर d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d जानने के बाद, आप 1 के लिए ऊपर दिए गए 2 भावों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: ए 1 \u003d 50 - 14 * डी \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के 43 वें सदस्य को निर्धारित करें, जो कि स्थिति में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: एक 43 \u003d ए 1 + 42 * डी \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना में गोलाई से हजारवें हिस्से का उपयोग किया गया था।

उदाहरण #5: योग

आइए अब एक अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। इन संख्याओं में से 100 के योग की गणना कैसे करें?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल किया जा सकता है, अर्थात्, क्रमिक रूप से सभी नंबरों को जोड़ दें, जो कंप्यूटर तुरंत करेगा, जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, अभी भी केवल 10 वर्ष की आयु में, कुछ ही सेकंड में इसे अपने दिमाग में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर स्थित संख्याओं के जोड़े जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूंकि ये योग ठीक 50 (100 / 2) होंगे, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण #6: n से m . तक के पदों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि इसके सदस्यों का योग 8 से 14 तक क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n के बीच बीजीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। आइए हम दोनों स्थितियों के योग के लिए दो व्यंजक लिखें:

1. एस एम \u003d एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन \u003d एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n > m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहली राशि शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द m जोड़ते हैं (अंतर लेने की स्थिति में, इसे योग S n से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन \u003d एस एन - एस एम + ए एम \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2 - एम * (ए 1 + ए एम) / 2 + ए एम \u003d ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए एन * एन / 2 + ए एम * (1- एम / 2)। इस व्यंजक में n और m के लिए सूत्रों को स्थानापन्न करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2)/2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है, हालांकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इससे पहले कि आप इनमें से किसी भी समस्या को हल करना शुरू करें, यह अनुशंसा की जाती है कि आप शर्त को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आप क्या खोजना चाहते हैं, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, पर रुक सकता है। और सामान्य कार्य को अलग-अलग उप-कार्यों में विभाजित करें (इस मामले में, पहले n और m शब्द खोजें)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। एक अंकगणितीय प्रगति कैसे खोजें, पता चला। एक बार जब आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं होता है।

क्या मुख्य मुद्दासूत्र?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उनके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला टर्म जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या धोखा देना) पर्याप्त नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मुझे नहीं पता। परंतु कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हो तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो अंत तक पाठ में महारत हासिल करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र से निपटें।

सामान्य रूप से एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से कहा गया है। अगर आपने नहीं पढ़ा है तो देख लीजिए। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है क्या वां सदस्य।

सामान्य रूप से प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवां - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईअंकगणितीय प्रगति का सदस्य, s कोईसंख्या? बहुत आसान! ऐशे ही:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य।अक्षर n के तहत सदस्यों की सभी संख्याएँ एक साथ छिपी हुई हैं: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक लेटर लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। नोटेशन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और कार्यों का एक गुच्छा प्रगति में हल करने के लिए। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1 ; डीतथा एन. इन मापदंडों के इर्द-गिर्द, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

एक विशिष्ट प्रगति को लिखने के लिए nवें पद के सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = 5 + (एन -1) 2.

ऐसी समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करना, यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2.

और यह और भी गुस्सा हो सकता है!) अगर हम एक ही शर्त लेते हैं: ए एन = 5 + (एन -1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलिए और समान संख्याएँ दीजिए? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए एन = 3 + 2एन।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर घाटा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य पांच है ... थोड़ा कम हम ऐसे संशोधित फॉर्मूले के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और संकेतन है - एक एन+1. यह है, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस पहला" शब्द। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि किसी समस्या में हम लेते हैं एकपाँचवाँ कार्यकाल, फिर एक एन+1छठे सदस्य होंगे। आदि।

अक्सर पदनाम एक एन+1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह एक अंकगणितीय प्रगति के शब्द को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि हमें आवर्तक सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन+1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवें - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जब तक हम 19वें पद का पता नहीं लगा लेते, 20वां पद नहीं गिना जा सकता। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। रिकर्सिव केवल के माध्यम से काम करता है पिछलापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से सबसे पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम में नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार पदों की एक जोड़ी की गणना करें, अंतर की गणना करें डी,खोजें, यदि आवश्यक हो, तो पहला पद एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ कार्य करें। GIA में, ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) को देखते हुए। यदि a 1 =3 और d=1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार घोल में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं नंबर एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठकों में प्रतिस्थापित करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को रखें और गणना करें:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

यही सब है इसके लिए। जितनी जल्दी कोई पांच सौ दसवां सदस्य, और एक हजार और तीसरा, कोई भी ढूंढ सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " एक"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उनके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को बेहतर तरीके से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेणी (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए!हाँ हाँ। हाथ से लिखें, ठीक अपनी नोटबुक में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध घ = -0.5,सत्रहवाँ सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, हाँ...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छुपे हुए दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी बात" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी बात" के बिना, सिर नहीं!) समस्या हल नहीं हो सकती है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण तरीके से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

ए 17 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलो इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब कुछ है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको उत्तर मिलता है: ए 1 = 6.

ऐसी तकनीक - सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करता है। ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करना है!? इस कौशल के बिना गणित की पढ़ाई बिल्कुल भी नहीं हो सकती...

एक और लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेणी (a n) का अंतर ज्ञात कीजिए यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिखते हैं!)

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1तथा डीनिर्णय लिया। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे प्राप्त करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ = 3. इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन -1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: एक एन और एन।परंतु एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हमें उसका नंबर नहीं पता। एन,इसलिए इस नंबर को भी खोजने की जरूरत है। प्रगति पद 99 को सूत्र में बदलें:

99 = 12 + (एन -1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब एक ही विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगा:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए फिर से सूत्र लिखें। क्या, कोई विकल्प नहीं है? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से निर्धारित किया जा सकता है? यह आसान है यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हां, हमने सबसे आसान काम किया। यह अज्ञात नंबर से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर की संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का शब्द था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो!? अच्छा, कैसे होना है, कैसे होना है... चालू करें रचनात्मक कौशल!)

हम मान लीजिएआखिरकार, 117 हमारी प्रगति का सदस्य है। एक अनजान नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला भिन्नात्मक!डेढ़ सौ। और प्रगति में भिन्नात्मक संख्याएं नहीं हो सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 नहीं हैहमारी प्रगति के सदस्य। यह 101वें और 102वें सदस्यों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक है, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगा। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: ना।

कार्य आधारित वास्तविक संस्करणजीआईए:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

एक = -4 + 6.8n

प्रगति की पहली और दसवीं शर्तें खोजें।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र ... होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र भी!वह भी अनुमति देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से ज्ञात कीजिए।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद शून्य से चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छुपे हुए।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह, हम प्रतिस्थापित करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहां! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

ए 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

यही सब है इसके लिए।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, जीआईए या एकीकृत राज्य परीक्षा की कठिन लड़ाई की स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए। कुछ दिमाग में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से ... चाहे एनवहाँ, या एन+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए निश्चित रूप से पर्याप्त है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय है। आपको बस एक तस्वीर खींचने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष खींचते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। ऐशे ही:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

एक 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

एक 3 =ए 1 + 2 डी

क्या आपको यह समझ आया? मैं कुछ शब्दों को बिना कुछ लिए बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा पद क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

एक 4 =ए 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, अर्थात। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक n, अंतराल की संख्याहोगा एन-1.तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित में कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानता, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. समांतर श्रेणी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1. एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए, यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। अंतर महसूस करें!)

और यह अब गर्मजोशी नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. एक 3 खोजें।

क्या, चित्र बनाने में अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन+1 = एक एन +0.5। इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें कार्यकाल तक की गिनती... ऐसा कारनामा हर कोई नहीं कर सकता।) लेकिन नौवें पद का सूत्र हर किसी के वश में है!

4. एक समान्तर श्रेणी (a n) को देखते हुए:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्त के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखना है और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

हो गई? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। वैसे, अंतिम कार्य में एक सूक्ष्म बिंदु है। समस्या को पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए काल्पनिक तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और nवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

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