Някой третира думата "прогресия" с повишено внимание, като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простият аритметична прогресия- работата на таксиметровото гише (където все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по-важно от „да се разбере същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, като се анализират няколко елементарни понятия.
Математическа числова последователност
Прието е числовата последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.
и 1 е първият член на последователността;
и 2 е вторият член на последователността;
и 7 е седмият член на редицата;
и n е n-тият член на последователността;
Въпреки това, не всеки произволен набор от цифри и числа ни интересува. Ще насочим вниманието си към числова редица, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числената стойност на n-то число е някаква функция на n.
a - стойност на член на числовата редица;
n е неговият сериен номер;
f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.
Определение
Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:
a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;
a n+1 - формулата на следващото число;
d - разлика (определено число).
Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.
В графиката по-долу е лесно да се види защо числова последователностнаречено "нарастващо".
В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Стойността на посочения член
Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, минус едно .
Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.
Пример за изчисляване на стойността на даден член
Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.
Условие: има аритметична прогресия с параметри:
Първият член на редицата е 3;
Разликата в числовата серия е 1,2.
Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена
Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:
a(n) = a1 + d(n-1)
Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:
a(214) = a1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.
Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.
Сума от даден брой членове
Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да изчислява стойностите на всеки термин и след това да ги сумира. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.
Сумата от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по числото на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:
Пример за изчисление
Например, нека решим задача със следните условия:
Първият член на редицата е нула;
Разликата е 0,5.
В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на серията от 56 до 101.
Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Първо, определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Така че сборът от аритметичната прогресия за този пример е:
s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5
Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия
В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме такъв пример.
Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.
1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.
30 - 3 = 27 км.
2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.
Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).
Стойността на члена е сумата.
Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.
Разлика в прогресията d = 22 p.
числото, което ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 км.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до звездата. В допълнение, различни числени серии се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.
Друг вид числова последователност е геометричната
Геометричната прогресия се характеризира с по-висока скорост на промяна от аритметичната. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.
N-тият член на редицата с геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;
b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;
q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).
Ако графиката на аритметична прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:
Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:
Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Сборът на даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:
Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:
Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е равен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Каква е същността на формулата?
Тази формула ви позволява да намерите всякакви ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .
Разбира се, трябва да знаете първия член а 1и разлика в прогресията д, добре, без тези параметри не можете да запишете конкретна прогресия.
Не е достатъчно да запомните (или да измамите) тази формула. Необходимо е да се усвои нейната същност и да се приложи формулата в различни проблеми. Да, и не забравяйте в точното време, да ...) Как не забравяйте- Не знам. Но как да запомнитеАко трябва, ще ви подскажа. За тези, които усвояват урока до края.)
И така, нека се заемем с формулата на n-тия член на аритметичната прогресия.
Какво е формула като цяло - ние си представяме.) Какво е аритметична прогресия, членно число, прогресивна разлика - е ясно казано в предишния урок. Погледнете, ако не сте го чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво n-ти член.
Прогресията като цяло може да бъде записана като поредица от числа:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
а 1- обозначава първия член на аритметичната прогресия, а 3- трети член а 4- четвърти и т.н. Ако се интересуваме от петия мандат, да кажем, че работим с а 5, ако сто и двадесети - от 120.
Как да се определи най-общо всякаквичлен на аритметична прогресия, s всякаквиномер? Много просто! Като този:
a n
Това е, което е n-ти член на аритметична прогресия.Под буквата n всички номера на членовете са скрити наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.
И какво ни дава такъв рекорд? Само си помислете, че вместо число те записаха буква ...
Тази нотация ни дава мощен инструмент за работа с аритметични прогресии. Използване на нотацията a n, можем бързо да намерим всякаквичлен всякаквиаритметична прогресия. И куп задачи за решаване в прогресия. Ще видите по-нататък.
Във формулата на n-тия член на аритметична прогресия:
| a n = a 1 + (n-1)d |
а 1- първият член на аритметичната прогресия;
н- членски номер.
Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: a n ; a 1; ди н. Около тези параметри всички пъзели се въртят в прогресия.
Формулата на n-тия член може също да се използва за записване на конкретна прогресия. Например в задачата може да се каже, че прогресията е дадена от условието:
a n = 5 + (n-1) 2.
Такъв проблем може дори да обърка ... Няма серия, няма разлика ... Но, сравнявайки условието с формулата, е лесно да разберем, че в тази прогресия a 1 \u003d 5 и d \u003d 2.
И може да бъде още по-ядосан!) Ако вземем същото условие: a n = 5 + (n-1) 2,да, отвори скобите и дай подобни? Получаваме нова формула:
a n = 3 + 2n.
то Само не общо, а за конкретна прогресия. Тук се крие капанът. Някои хора смятат, че първият член е тройка. Въпреки че в действителност първият член е пет ... Малко по-ниско ще работим с такава модифицирана формула.
В задачите за прогресия има друго обозначение - a n+1. Това е, познахте, членът "n плюс първия" на прогресията. Значението му е просто и безвредно.) Това е член на прогресията, чийто брой е по-голям от числото n с единица. Например, ако в някакъв проблем приемаме за a nпети мандат, тогава a n+1ще бъде шестият член. и т.н.
Най-често обозначението a n+1среща се в рекурсивни формули. Не се страхувайте от тази ужасна дума!) Това е просто начин за изразяване на термин от аритметична прогресия през предишния.Да предположим, че ни е дадена аритметична прогресия в тази форма, използвайки рекурентната формула:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвъртият - през трети, петият - през четвърти и т.н. И как да преброим веднага, да кажем двадесетия член, а 20? Но няма начин!) Докато не разберем 19-ия термин, 20-ти не може да се брои. Това е фундаменталната разлика между рекурсивната формула и формулата на n-тия член. Рекурсивно работи само чрез предишентермин, а формулата на n-тия член - чрез първияти позволява незабавнонамерете всеки член по неговия номер. Без да броим цялата поредица от числа по ред.
В аритметична прогресия една рекурсивна формула може лесно да се превърне в правилна. Пребройте чифт последователни членове, изчислете разликата д,намерете, ако е необходимо, първия член а 1, напишете формулата в обичайната форма и работете с нея. В GIA често се срещат такива задачи.
Приложение на формулата на n-тия член на аритметична прогресия.
Първо, нека да разгледаме директното приложение на формулата. В края на предишния урок имаше проблем:
Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.
Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добавете, да добавете ... Час или два.)
И според формулата решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го засечете.) Ние решаваме.
Условията предоставят всички данни за използване на формулата: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Остава да видим какво н.Няма проблем! Трябва да намерим 121. Тук пишем:
Моля, обърни внимание! Вместо индекс нсе появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересува ни членът на аритметичната прогресия номер сто и двадесет и едно.Това ще бъде нашето н.Това е смисълът н= 121 ще заместим по-нататък във формулата, в скоби. Заменете всички числа във формулата и изчислете:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Това е всичко. Също толкова бързо можеше да се намери петстотин и десетият член, а хиляда и третият, всеки. Ние поставяме вместо нжелания номер в индекса на буквата " а"и в скоби, и считаме.
Нека ви напомня същността: тази формула ви позволява да намерите всякаквичлен на аритметична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .
Нека решим проблема по-умно. Да кажем, че имаме следния проблем:
Намерете първия член на аритметичната прогресия (a n), ако a 17 =-2; d=-0,5.
Ако имате затруднения, ще ви предложа първата стъпка. Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия!Да да. Напишете на ръка, направо в бележника си:
| a n = a 1 + (n-1)d |
И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и какво липсва? На разположение d=-0,5,има седемнадесети член ... Всичко? Ако мислите, че това е всичко, тогава не можете да разрешите проблема, да ...
Имаме и номер н! В състоянието а 17 =-2скрит два варианта.Това е едновременно стойността на седемнадесетия член (-2) и неговия номер (17). Тези. n=17.Това "малко нещо" често се изплъзва покрай главата и без него (без "малкото нещо", а не главата!) Проблемът не може да бъде решен. Въпреки че ... и без глава.)
Сега можем просто да заменим нашите данни във формулата:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
О да, а 17знаем, че е -2. Добре, нека го поставим в:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Това по същество е всичко. Остава да изразим първия член на аритметичната прогресия от формулата и да изчислим. Получавате отговора: а 1 = 6.
Такава техника - писане на формула и просто заместване на известни данни - помага много при прости задачи. Е, трябва, разбира се, да можете да изразите променлива от формула, но какво да правите!? Без това умение математиката изобщо не може да се изучава ...
Друг популярен проблем:
Намерете разликата на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 =2; а 15 =12.
Какво правим? Ще се изненадате, ние пишем формулата!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Помислете какво знаем: a 1 =2; а 15 =12; и (специален акцент!) n=15. Чувствайте се свободни да замените във формулата:
12=2 + (15-1)d
Нека направим аритметиката.)
12=2 + 14d
д=10/14 = 5/7
Това е правилният отговор.
И така, задачи a n , a 1и дреши. Остава да научите как да намерите номера:
Числото 99 е член на аритметична прогресия (a n), където a 1 =12; d=3. Намерете номера на този член.
Заместваме известните количества във формулата на n-тия член:
a n = 12 + (n-1) 3
На пръв поглед тук има две неизвестни величини: a n и n.Но a nе някакъв член на прогресията с числото н... И този член на прогресията познаваме! 99 е. Не знаем номера му. н,така че това число също трябва да бъде намерено. Заместете прогресивния член 99 във формулата:
99 = 12 + (n-1) 3
Изразяваме от формулата н, мислим. Получаваме отговора: n=30.
А сега проблем на същата тема, но по-креативен):
Определете дали числото 117 ще бъде член на аритметична прогресия (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Нека напишем формулата отново. Какво, няма параметри? Хм... Защо ни трябват очи?) Виждаме ли първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3,6. Можете спокойно да напишете: a 1 \u003d -3,6.Разлика дможе да се определи от серията? Лесно е, ако знаете каква е разликата между аритметичната прогресия:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Да, направихме най-простото нещо. Остава да се справим с неизвестен номер ни неразбираемо число 117. В предишната задача поне се знаеше, че е даден членът на прогресията. Но тук дори не знаем, че ... Как да бъдем!? Е, как да бъде, как да бъде ... Включете творческите си способности!)
Ние предполагамче 117 в крайна сметка е член на нашата прогресия. С непознат номер н. И точно както в предишната задача, нека се опитаме да намерим това число. Тези. пишем формулата (да-да!)) и заместваме нашите числа:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Отново изразяваме от формулатан, броим и получаваме:
Опа! Номерът се получи дробна!Сто и една и половина. И дробни числа в прогресии не може да бъде.Какъв извод правим? да Номер 117 не ечлен на нашата прогресия. Това е някъде между 101-ия и 102-ия член. Ако числото се оказа естествено, т.е. положително цяло число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: не.
Задача, базирана на реална версия на GIA:
Аритметичната прогресия се дава от условието:
a n \u003d -4 + 6,8n
Намерете първия и десетия член на прогресията.
Тук прогресията е зададена по необичаен начин. Някаква формула ... Случва се.) Въпреки това, тази формула (както написах по-горе) - също и формулата на n-тия член на аритметична прогресия!Тя също позволява намерете всеки член на прогресията по неговия номер.
Търсим първия член. Този, който мисли. че първият член е минус четири, е фатална грешка!) Тъй като формулата в задачата е модифицирана. Първият член на аритметична прогресия в него скрит.Нищо, сега ще го намерим.)
Точно както в предишните задачи, ние заместваме n=1в тази формула:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Тук! Първият член е 2,8, а не -4!
По подобен начин търсим десетия член:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Това е всичко.
А сега, за тези, които са прочели до тези редове, обещаният бонус.)
Да предположим, че в трудна бойна ситуация на GIA или Единния държавен изпит сте забравили полезната формула на n-тия член на аритметичната прогресия. Нещо ми хрумва, но някак несигурно... Дали нтам, или n+1, или n-1...Как да бъде!?
Спокоен! Тази формула е лесна за извеждане. Не много строго, но определено достатъчно за увереност и правилно решение!) За заключение е достатъчно да запомните елементарното значение на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За яснота.
Начертаваме цифрова ос и отбелязваме първата върху нея. втори, трети и т.н. членове. И забележете разликата дмежду членовете. Като този:
Гледаме картината и си мислим: на какво е равен вторият член? Второ един д:
а 2 =a 1 + 1 д
Какъв е третият член? треточлен е равен на първия член плюс две д.
а 3 =a 1 + 2 д
Схващаш ли? Не слагам някои думи с удебелен шрифт за нищо. Добре, още една стъпка.)
Какъв е четвъртият член? Четвърточлен е равен на първия член плюс три д.
а 4 =a 1 + 3 д
Време е да осъзнаем, че броят на пропуските, т.е. д, винаги с един по-малко от номера на члена, който търсите н. Тоест до бройката n, брой празнинище бъде n-1.И така, формулата ще бъде (без опции!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Като цяло, визуалните изображения са много полезни при решаването на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да нарисувате картина, тогава ... само формула!) В допълнение, формулата на n-тия член ви позволява да свържете целия мощен арсенал от математика към решението - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можете да поставите картина в уравнение...
Задачи за самостоятелно решаване.
За загряване:
1. В аритметична прогресия (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Намерете 3.
Подсказка: според снимката проблемът се решава за 20 секунди ... Според формулата се оказва по-трудно. Но за овладяване на формулата е по-полезно.) В раздел 555 този проблем е решен както чрез картината, така и чрез формулата. Почувствай разликата!)
И това вече не е загрявка.)
2. В аритметична прогресия (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Намерете a 3 .
Какво, нежелание да нарисуваш картина?) Все пак! По-добре е във формулата, да...
3. Аритметичната прогресия се дава от условието:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.
В тази задача прогресията се дава по повтарящ се начин. Но като броим до сто двадесет и петия член... Не всеки може да направи такъв подвиг.) Но формулата на n-тия член е по силите на всеки!
4. Дадена е аритметична прогресия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Намерете номера на най-малкия положителен член на прогресията.
5. Съгласно условието на задача 4 да се намери сумата от най-малкия положителен и най-големия отрицателен член на прогресията.
6. Произведението от петия и дванадесетия член на нарастваща аритметична прогресия е -2,5, а сумата от третия и единадесетия член е нула. Намерете 14.
Не е най-лесната задача, да ...) Тук методът "на пръстите" няма да работи. Трябва да пишете формули и да решавате уравнения.
Отговори (в безпорядък):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Се случи? Това е хубаво!)
Не всичко се получава? Случва се. Между другото, в последната задача има една тънка точка. Ще се изисква внимание при четене на проблема. И логика.
Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. И фантастичният елемент за четвъртия, и финият момент за шестия, и общите подходи за решаване на всякакви проблеми за формулата на n-тия член - всичко е боядисано. Препоръчвам.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
И така, нека седнем и започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и може да са колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое от тях е първото, кое второто и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:
Числова последователност
Например за нашата последователност:
Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича -тият член на редицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
В нашия случай: 
Да кажем, че имаме числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например: 
и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.
Това е числова редица, всеки член на която е равен на предходния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.
Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:
а)
б)
° С)
д)
Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.
Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.
1. Метод
Можем да добавяме към предишната стойност на числото на прогресията, докато стигнем до члена на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:
И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.
2. Метод
Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от час и не е факт, че нямаше да допуснем грешки при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:
Например, нека да видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия: 
С други думи:
Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член на тази аритметична прогресия.
Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:
Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "деперсонализираме" тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:
|
Уравнение на аритметична прогресия. |
Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.
Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:
Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:
Изведената формула се използва при изчисляването на членове както при нарастващи, така и при намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека да го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:
От тогава:
Така се убедихме, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.
Нека сравним резултатите:
Свойство на аритметична прогресия
Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие и започвате да броите по формулата, която вече знаете:
Нека, а, тогава:
Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има вероятност да направите грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да се реши този проблем в една стъпка, като се използва някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.
Нека означим желания член от аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведехме в началото:
, тогава:
- предишният член на прогресията е:
- следващият член на прогресията е:
Нека сумираме предишните и следващите членове на прогресията:
Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да се съберат и разделят на.
Точно така, имаме едно и също число. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.
Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си...
Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача в урока: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчага след дълги изчисления получиха грешен резултат ...
Младият Карл Гаус забеляза модел, който можете лесно да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сумата от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора на неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?
Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях. 
Опитах? Какво забелязахте? Правилно! Сумите им са равни
А сега отговорете колко такива двойки ще има в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:
В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата за сумата формулата на th член.
Какво получи?
Много добре! Сега да се върнем към задачата, която беше дадена на Карл Гаус: изчислете сами колко е сумата от числата, започващи от -тото, и сумата от числата, започващи от -тото.
Колко получихте?
Гаус се оказа, че сумата от членовете е равна и сумата от членовете. Така ли реши?
Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметична прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметичната прогресия с всички сили.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида ... Фигурата показва едната й страна. 
Къде е прогресията тук, ще кажете? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата. 
Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?
В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (ние броим броя на блоковете по 2 начина).
Метод 1.
Метод 2.
И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласихте ли се? Браво, усвоихте сумата от th-ия член на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:
Тренировка
Задачи:
- Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти ще кляка Маша за седмици, ако направи клякания на първата тренировка.
- Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
- Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.
Отговори:
- Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици = дни).Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.
- Първо нечетно число, последно число.
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на нечетните числа в - половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -тия член на аритметична прогресия:Числата съдържат нечетни числа.
Заменяме наличните данни във формулата:Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в е равен на.
- Припомнете си задачата за пирамидите. За нашия случай, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
Заместете данните във формулата:Отговор:В зидарията има трупи.
Обобщаване
- - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Увеличава се и намалява.
- Намиране на формулачлен на аритметичната прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
- Свойство на членове на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
- Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
, където е броят на стойностите.
АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО
Числова последователност
Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и могат да бъдат колкото искате. Но винаги можете да кажете кой от тях е първият, кой вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.
Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.
С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.
Числото с числото се нарича -тият член на редицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
Много е удобно, ако -тият член на редицата може да бъде даден с някаква формула. Например формулата
задава последователността:
А формулата е следната последователност:
Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).
формула за n-ти член
Наричаме повтаряща се формула, в която, за да разберете -тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:
За да намерим, например, тия член на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:
Е, сега е ясно каква е формулата?
Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:
Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:
Решете сами:
В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.
Решение:
Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:
(в крайна сметка се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).
Така че формулата е:
Тогава стотният член е:
Какъв е сборът на всички естествени числа от до?
Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,
Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:
Пример:
Намерете сумата на всички двуцифрени кратни.
Решение:
Първото такова число е това. Всеки следващ се получава чрез добавяне на число към предишния. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.
Формулата за тия член за тази прогресия е:
Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?
Много лесно: .
Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:
Отговор: .
Сега решете сами:
- Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще пробяга след седмици, ако пробяга km m през първия ден?
- Велосипедист изминава повече мили всеки ден от предишния. Първият ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
- Всяка година цената на хладилника в магазина се намалява с една и съща сума. Определете колко намалява цената на хладилника всяка година, ако, пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.
Отговори:
- Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
.
Отговор: - Тук е дадено:, необходимо е да се намери.
Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
.
Заменете стойностите:Коренът очевидно не се вписва, така че отговорът.
Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, като използваме формулата на -тия член:
(км).
Отговор: - Дадено: . Намирам: .
Не става по-лесно:
(търкайте).
Отговор:
АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Това е числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Аритметичната прогресия е нарастваща () и намаляваща ().
Например:
Формулата за намиране на n-тия член на аритметична прогресия
се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.
Свойство на членове на аритметична прогресия
Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.
Сумата от членовете на аритметична прогресия
Има два начина да намерите сумата:
Къде е броят на стойностите.
Къде е броят на стойностите.
ОСТАНАЛИТЕ 2/3 АРТИКУЛА СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА СТУДЕНТИ НА YOUCLEVER!
Станете студент на YouClever,
Подгответе се за OGE или USE по математика на цената на "чаша кафе на месец",
И също така получете неограничен достъп до учебника „YouClever“, програмата за обучение „100gia“ (книга с решения), неограничен пробен USE и OGE, 6000 задачи с анализ на решения и други услуги на YouClever и 100gia.
внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")
Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която всяко число е по-голямо (или по-малко) от предишното с еднаква стойност.
Тази тема често е трудна и неразбираема. Буквени индекси, n-тият член на прогресията, разликата на прогресията - всичко това е някак объркващо, да ... Нека разберем значението на аритметичната прогресия и всичко ще се получи веднага.)
Концепцията за аритметична прогресия.
Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Съмнение? Напразно.) Вижте сами.
Ще напиша незавършена поредица от числа:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Можете ли да удължите тази линия? Кои числа ще са следващите след петицата? Всеки ... ъъъ ..., накратко, всеки ще разбере, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще отидат по-далеч.
Нека да усложним задачата. Давам незавършена поредица от числа:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Можете да хванете модела, да разширите серията и да дадете име седмономер на ред?
Ако сте разбрали, че това число е 20 - поздравявам ви! Ти не само усети ключови точки на аритметичната прогресия,но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не разбирате, прочетете.
Сега нека преведем ключовите точки от усещанията в математика.)
Първата ключова точка.
Аритметичната прогресия се занимава с серии от числа.Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да изграждаме графики и всичко това ... И след това разширете серията, намерете номера на серията ...
ОК е. Просто прогресиите са първото запознанство с нов клон на математиката. Секцията се нарича "Поредици" и работи с поредици от числа и изрази. Свиквай.)
Втора ключова точка.
В аритметична прогресия всяко число се различава от предишното със същата сума.
В първия пример тази разлика е една. Което и число да вземете, то е с едно повече от предишното. Второто е три. Всяко число е три пъти по-голямо от предишното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да хванем модела и да изчислим следващите числа.
Трети ключов момент.
Този момент не е поразителен, да ... Но много, много важен. Ето го: всяко число на прогресията е на мястото си.Има първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако ги объркате случайно, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Това е просто поредица от числа.
Това е целият смисъл.
Разбира се, в новата тема се появяват нови термини и означения. Те трябва да знаят. В противен случай няма да разберете задачата. Например, трябва да решите нещо като:
Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.
Вдъхновява ли?) Писма, някои индекси... И задачата, между другото, не може да бъде по-лесна. Просто трябва да разберете значението на термините и нотацията. Сега ще овладеем този въпрос и ще се върнем към задачата.
Термини и обозначения.
Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.
Тази стойност се нарича . Нека разгледаме тази концепция по-подробно.
Разлика в аритметична прогресия.
Разлика в аритметична прогресияе сумата, с която всяко число на прогресия Повече ▼предишния.
Един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼".Математически това означава, че се получава всяко число на прогресията добавянеразликата на аритметична прогресия спрямо предходното число.
Да изчислим, да речем второномера на реда, е необходимо да се първиномер добавететочно тази разлика на аритметична прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветеда се четвъртодобре и т.н.
Разлика в аритметична прогресияможе би положителентогава всяко число от серията ще се окаже истинско повече от предишния.Тази прогресия се нарича повишаване на.Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тук е всяко число добавянеположително число, +5 към предишното.
Разликата може да бъде отрицателентогава всяко число в серията ще бъде по-малко от предишния.Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващи.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тук също се получава всяко число добавянекъм предишното, но вече отрицателно число, -5.
Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите нейния характер - дали се увеличава или намалява. Страхотно е да ви помогнем да се ориентирате в решението, да забележите грешките си и да ги коригирате, преди да е станало твърде късно.
Разлика в аритметична прогресияобикновено се обозначава с буквата д.
Как да намеря д? Много просто. Необходимо е да се извади от произволно число от серията предишенномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)
Да дефинираме например дза нарастваща аритметична прогресия:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Взимаме произволен номер от реда, който искаме, например 11. Изваждаме от него предишния номертези. осем:
Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.
Можете просто да вземете произволен брой прогресии,защото за конкретна прогресия д-винаги същото.Поне някъде в началото на редицата, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предишни.)
Между другото, знаейки това d=3, намирането на седмото число от тази прогресия е много лесно. Добавяме 3 към петото число - получаваме шестото, ще бъде 17. Добавяме три към шестото число, получаваме седмото число - двадесет.
Да дефинираме дза намаляваща аритметична прогресия:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите днеобходими от произволен номер отнеме предишния.Избираме произволен номер на прогресия, например -7. Предишното му число е -2. Тогава:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробна, ирационална, всякаква.
Други термини и обозначения.
Всяко число от серията се нарича член на аритметична прогресия.
Всеки член на прогресията има неговия номер.Цифрите са строго подредени, без уловки. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... две е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате ...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всякакво, цяло, дробно, отрицателно, каквото и да е, но номерация- строго по ред!
Как да напиша прогресия в общ вид? Няма проблем! Всяко число от серията е изписано като буква. За означаване на аритметична прогресия по правило се използва буквата а. Членският номер се обозначава с индекса долу вдясно. Членовете се пишат разделени със запетаи (или точка и запетая), както следва:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
а 1е първото число а 3- трети и т.н. Нищо сложно. Можете да напишете тази серия накратко така: (a n).
Има прогресии краен и безкраен.
крайнапрогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, каквото и да е. Но това е краен брой.
Безкраенпрогресия - има безкраен брой членове, както можете да предположите.)
Можете да напишете окончателна прогресия през серия като тази, всички членове и точка в края:
а 1, а 2, а 3, а 4, а 5.
Или така, ако има много членове:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
В кратък запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:
(a n), n = 20
Една безкрайна прогресия може да бъде разпозната по многоточието в края на реда, както в примерите в този урок.
Сега можете да решавате задачи. Задачите са прости, чисто за разбиране смисъла на аритметичната прогресия.
Примерни задачи за аритметична прогресия.
Нека разгледаме по-отблизо задачата по-горе:
1. Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.
Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Второто число на тази прогресия е известно: а 2 = 5.Известна разлика в прогресията: d = -2,5.Трябва да намерим първия, третия, четвъртия, петия и шестия член на тази прогресия.
За по-голяма яснота ще запиша серия според условието на задачата. Първите шест члена, където вторият член е пет:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
а 3 = а 2 + д
Заменяме в израза а 2 = 5и d=-2,5. Не забравяйте минуса!
а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третият член е по-малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предишното отрицателенстойност, така че самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем под внимание.) Ние разглеждаме четвъртия член от нашата серия:
а 4 = а 3 + д
а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
а 5 = а 4 + д
а 5=0+(-2,5)= - 2,5
а 6 = а 5 + д
а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
И така, членовете от трети до шести са изчислени. Това доведе до серия:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Остава да намерим първия член а 1според известното второ. Това е стъпка в другата посока, наляво.) Следователно разликата в аритметичната прогресия дне трябва да се добавя към а 2, а за вкъщи:
а 1 = а 2 - д
а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Това е всичко. Отговор на задачата:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Мимоходом отбелязвам, че решихме тази задача рецидивиращначин. Тази ужасна дума означава само търсене на член на прогресията по предходния (съседен) номер.Други начини за работа с прогресия ще бъдат обсъдени по-късно.
От тази проста задача може да се направи един важен извод.
Помня:
Ако знаем поне един член и разликата на аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.
Помня? Това просто заключение ни позволява да решим повечето от проблемите на училищния курс по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: член на аритметична прогресия, разлика на прогресия, номер на член на прогресия.Всичко.
Разбира се, цялата предишна алгебра не се отменя.) Неравенствата, уравненията и други неща са прикрепени към прогресията. Но според прогресията- всичко се върти около три параметъра.
Например, помислете за някои популярни задачи по тази тема.
2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n=5, d=0,4 и a 1=3,6.
Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как се изчисляват, преброяват и записват членовете на една аритметична прогресия. Препоръчително е да не пропускате думите в условието на задачата: "окончателен" и " n=5". За да не броите, докато не сте напълно посинели.) В тази прогресия има само 5 (пет) члена:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Остава да напиша отговора:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Друга задача:
3. Определете дали числото 7 ще бъде член на аритметична прогресия (a n), ако a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Хм... Кой знае? Как да дефинираме нещо?
Как-как ... Да, запишете прогресията под формата на серия и вижте дали ще има седем или не! Ние вярваме:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седемте не попаднаха в нашата серия от числа и следователно седемте няма да бъдат член на дадената прогресия.
Отговор: не.
И ето задача, базирана на реална версия на GIA:
4. Изписват се няколко последователни члена на аритметичната прогресия:
...; петнадесет; Х; 9; 6; ...
Ето една поредица без край и начало. Няма номера на членове, няма разлика д. ОК е. За да разрешите проблема, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Да видим и да видим какво можем да знамот тази линия? Какви са параметрите на трите основни?
Членски номера? Тук няма нито едно число.
Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред? съседниизвестни числа? Да, има! Това са 9 и 6. Така че можем да изчислим разликата на аритметична прогресия! Извадете от шестицата предишенномер, т.е. девет:
Остават празни места. Кое число ще бъде предишното за x? Петнадесет. Така че x може лесно да се намери чрез просто събиране. Към 15 добавете разликата на аритметична прогресия:
Това е всичко. Отговор: х=12
Ние решаваме следните проблеми сами. Забележка: тези пъзели не са за формули. Чисто за разбиране на значението на аритметичната прогресия.) Просто записваме поредица от цифри-букви, гледаме и мислим.
5. Намерете първия положителен член от аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.
6. Известно е, че числото 5,5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1,6; d = 1,3. Определете числото n на този член.
7. Известно е, че в аритметична прогресия a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Намерете 3.
8. Изписани са няколко последователни члена на аритметичната прогресия:
...; 15,6; Х; 3.4; ...
Намерете члена на прогресията, означен с буквата x.
9. Влакът тръгна от гарата, като постепенно увеличи скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км/ч.
10. Известно е, че в аритметична прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.
Отговори (в безпорядък): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; четири.
Всичко се получи? Чудесен! Можете да научите аритметичната прогресия на по-високо ниво в следващите уроци.
Не се ли получи всичко? Няма проблем. В специален раздел 555 всички тези пъзели са разбити парче по парче.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решението на такива задачи ясно, ясно, като в дланта на ръката ви!
Между другото, в пъзела за влака има два проблема, на които хората често се спъват. Единият - чисто по прогресия, а вторият - общ за всякакви задачи по математика, а и по физика. Това е превод на измеренията от едно в друго. Показва как трябва да се решават тези проблеми.
В този урок разгледахме елементарното значение на аритметичната прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавете дкъм числата, напишете серия, всичко ще се реши.
Решението с пръсти работи добре за много кратки части от поредицата, както в примерите в този урок. Ако серията е по-дълга, изчисленията стават по-сложни. Например, ако в задача 9 във въпроса заменете "пет минути"на "тридесет и пет минути"проблемът ще стане много по-лош.)
Има и задачи, които са прости по същество, но напълно абсурдни от гледна точка на изчисления, например:
Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.
И какво, ще добавяме 1/6 много, много пъти?! Възможно ли е да се самоубиеш!?
Можете.) Ако не знаете проста формула, по която можете да решите такива задачи за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем е решен там. След минутка.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Математиката има своята красота, както рисуването и поезията.
Руски учен, механик N.E. Жуковски
Много често срещани задачи в приемните тестове по математика са задачите, свързани с понятието аритметична прогресия. За успешното решаване на такива задачи е необходимо да се познават добре свойствата на аритметичната прогресия и да има определени умения за тяхното прилагане.
Нека първо си припомним основните свойства на аритметичната прогресия и да представим най-важните формули, свързани с това понятие.
Определение. Числова последователност, в който всеки следващ член се различава от предходния с едно и също число, наречена аритметична прогресия. В същото време броятсе нарича прогресивна разлика.
За аритметична прогресия формулите са валидни
, (1)
където . Формула (1) се нарича формула на общия член на аритметична прогресия, а формула (2) е основното свойство на аритметична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното аритметично на съседните й членове и .
Имайте предвид, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича "аритметична".
Формули (1) и (2) по-горе са обобщени, както следва:
(3)
За изчисляване на суматапърви членове на аритметична прогресияобикновено се използва формулата
(5) където и .
Ако вземем предвид формулата (1), тогава формула (5) предполага
Ако обозначим
където . Тъй като , то формули (7) и (8) са обобщение на съответните формули (5) и (6).
По-специално , от формула (5) следва, Какво
Сред малко познатите на повечето ученици е свойството на аритметичната прогресия, формулирано с помощта на следната теорема.
Теорема.Ако, тогава
Доказателство.Ако, тогава
Теоремата е доказана.
Например , използвайки теоремата, може да се покаже, че
Нека да преминем към разглеждането на типични примери за решаване на задачи по темата "Аритметична прогресия".
Пример 1Нека и . Намирам .
Решение.Прилагайки формула (6), получаваме . Тъй като и , тогава или .
Пример 2Нека три пъти повече и при разделяне на в частното се оказва 2 и остатъкът е 8. Определете и.
Решение.Системата от уравнения следва от условието на примера
Тъй като , , и , то от системата от уравнения (10) получаваме
Решението на тази система от уравнения са и .
Пример 3Намерете дали и .
Решение.Съгласно формула (5) имаме или . Въпреки това, използвайки свойство (9), получаваме .
Тъй като и , Тогава от равенството уравнението следваили .
Пример 4Намерете дали.
Решение.По формула (5) имаме
Въпреки това, използвайки теоремата, човек може да пише
От тук и от формула (11) получаваме .
Пример 5. Дадено: . Намирам .
Решение.От тогава . Въпреки това, следователно.
Пример 6Нека и . Намирам .
Решение.Използвайки формула (9), получаваме . Следователно, ако , тогава или .
Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения
Решавайки кое, получаваме и .
Естествен корен на уравнениетое .
Пример 7Намерете дали и .
Решение.Тъй като съгласно формула (3) имаме, че , то системата от уравнения следва от условието на задачата
Ако заместим изразавъв второто уравнение на системата, тогава получаваме или .
Корените на квадратното уравнение саи .
Нека разгледаме два случая.
1. Нека , тогава . Тъй като и , тогава .
В този случай, съгласно формула (6), имаме
2. Ако , тогава , и
Отговор: и.
Пример 8Известно е, че и Намирам .
Решение.Като вземем предвид формула (5) и условието на примера, записваме и .
Това предполага системата от уравнения
Ако умножим първото уравнение на системата по 2 и след това го добавим към второто уравнение, получаваме
Според формула (9) имаме. В тази връзка от (12) следваили .
Тъй като и , тогава .
Отговор: .
Пример 9Намерете дали и .
Решение.Тъй като , и по условие , тогава или .
От формула (5) е известно, Какво . От тогава .
Следователно, тук имаме система от линейни уравнения
От тук получаваме и . Като вземем предвид формула (8), пишем .
Пример 10Решете уравнението.
Решение.От даденото уравнение следва, че . Да приемем, че , , и . В такъв случай .
Съгласно формула (1) можем да запишем или .
Тъй като , уравнение (13) има единствен подходящ корен .
Пример 11.Намерете максималната стойност при условие, че и .
Решение.Тъй като , тогава разглежданата аритметична прогресия е намаляваща. В тази връзка изразът приема максимална стойност, когато е числото на минималния положителен член на прогресията.
Използваме формула (1) и факта, което и . Тогава получаваме това или .
Защото тогава или . Въпреки това, в това неравенствонай-голямото естествено число, Ето защо .
Ако стойностите и се заменят във формула (6), тогава получаваме.
Отговор: .
Пример 12Намерете сбора на всички двуцифрени естествени числа, които при деление на 6 имат остатък 5.
Решение.Означаваме с множеството на всички двузначни естествени числа, т.е. . След това конструираме подмножество, състоящо се от тези елементи (числа) на множеството, които, когато се разделят на числото 6, дават остатък от 5.
Лесен за монтаж, Какво . очевидно, че елементите на множествотообразуват аритметична прогресия, в който и .
За да определим кардиналността (броя елементи) на множеството, приемаме, че . Тъй като и , то формула (1) предполага или . Като вземем предвид формула (5), получаваме .
Горните примери за решаване на задачи в никакъв случай не могат да претендират за изчерпателност. Тази статия е написана на базата на анализ на съвременни методи за решаване на типични задачи по дадена тема. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с аритметичната прогресия, препоръчително е да се обърнете към списъка с препоръчителна литература.
1. Сборник от задачи по математика за кандидати в технически университети / Изд. М.И. Сканави. - М .: Светът и образованието, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. - 216 с.
3. Медински М.М. Пълен курс по начална математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. - 208 с.
Имате ли някакви въпроси?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
