Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально і що рухається під впливом лише сили тяжкості (опір повітря нехтуємо). Наприклад, уявімо, що кулі, що лежить на столі, повідомляють поштовх, і він докочується до краю столу і починає вільно падати, маючи початкову швидкість, спрямовану горизонтально (рис. 174).
Спроектуємо рух кулі на вертикальну вісь та на горизонтальну вісь. Рух проекції кулі на вісь - це рух без прискорення зі швидкістю; рух проекції кулі на вісь - це вільне падіння з прискоренням більш початкової швидкості під дією сили тяжіння. Закони обох рухів нам відомі. Компонента швидкості залишається постійною та рівною. Компонента зростає пропорційно часу: . Результуючу швидкість легко знайти за правилом паралелограма, як показано на рис. 175. Вона буде нахилена вниз, і її нахил зростатиме з часом.
Рис. 174. Рух кулі, що скотилася зі столу
Рис. 175. Куля, кинута горизонтально зі швидкістю має в момент швидкість
Знайдемо траєкторію тіла, кинутого горизонтально. Координати тіла на момент часу мають значення
Щоб знайти рівняння траєкторії, виразимо з (112.1) час через і підставимо цей вираз (112.2). У результаті отримаємо
Графік цієї функції показано на рис. 176. Ординати точок траєкторії виявляються пропорційними квадратам абсцис. Ми знаємо, що такі криві називаються параболами. Параболою зображувався графік шляху рівноприскореного руху (§ 22). Таким чином, тіло, що вільно падає, початкова швидкість якого горизонтальна, рухається по параболі.
Шлях, який проходить у вертикальному напрямку, не залежить від початкової швидкості. Але шлях, що проходить у горизонтальному напрямку пропорційний початковій швидкості. Тому при великій горизонтальній початковій швидкості парабола, якою падає тіло, більш витягнута в горизонтальному напрямку. Якщо з розташованої горизонтально трубки випускати струмінь води (рис. 177), то окремі частинки води, так само як і кулька, рухатимуться по параболі. Чим більше відкритий кран, через який надходить вода в трубку, тим більша початкова швидкість води і тим далі від крана потрапляє струмінь на дно кювети. Поставивши позаду струменя екран із заздалегідь накресленими на ньому параболами, можна переконатися, що струмінь води дійсно має форму параболи.
3.2.1. Як правильно розуміти умови завдання?
Швидкість тіла збільшилася в nразів:
Швидкість зменшилася в nразів:
Швидкість збільшилася на 2 м/с:
У скільки разів збільшилась швидкість?
У скільки разів зменшилась швидкість?
Як змінилася швидкість?
Наскільки збільшилась швидкість?
Наскільки зменшилась швидкість?
Тіло досягло найбільшої висоти:
Тіло пройшло половину відстані:
Тіло кидають із землі: (остання умова часто вислизає з виду - якщо у тіла швидкість дорівнює нулю, наприклад у ручки, що лежить на столі, воно може полетіти саме вгору?), Початкова швидкість спрямована вгору.
Тіло кидають униз: початкова швидкість спрямована вниз.
Тіло кидають нагору: початкова швидкість спрямована нагору.
У момент падіння на землю:
Тіло випадає з аеростату (повітряної кулі): початкова швидкість дорівнює швидкості аеростата (повітряної кулі) і спрямована в той самий бік.
3.2.2. Як за графіком швидкості визначити прискорення?
Закон зміни швидкості має вигляд:
Графік цього рівняння є пряма лінія. Оскільки - коефіцієнт перед t, тобто кутовим коефіцієнтом прямої.
Для графіка 1:
Те, що графік 1 «піднімається вгору», означає проекція прискорення позитивна, тобто вектор спрямований у позитивному напрямку осі Ox
Для графіка 2:
Те, що графік 2 «опускається вниз», означає проекція прискорення негативна, тобто вектор направлений в негативному напрямку осі Ox. Перетин графіка з віссю - зміна напрямку руху на протилежне.
Для визначення та вибираємо такі точки на графіку, в яких можна точно визначити значення, як правило, це точки, що знаходяться у вершинах клітин.
3.2.3. Як за графіком швидкості визначити пройдений шлях та переміщення?
Як сказано в пункті 3.1.6, шлях можна як площу під графіком залежності швидкості від прискорення. Простий випадок показано у пункті 3.1.6. Розглянемо складніший варіант, коли графік швидкості перетинає вісь часу.
Нагадаємо, що шлях може тільки збільшуватися, тому шлях, який проїхало тіло в прикладі на малюнку 9 дорівнює:
де і - площі фігур, зафарбованих малюнку.
Для визначення переміщення слід зазначити, що у точках і тіло змінює напрямок руху. Проїжджаючи шлях тіло рухається у позитивному напрямку осі Ox, Оскільки графік лежить над віссю часу. Проїжджаючи шлях тіло рухається у зворотний бік, у негативному напрямку осі Oxоскільки графік лежить під віссю часу. Проїжджаючи шлях, тіло рухається у позитивному напрямку осі Ox, Оскільки графік лежить над віссю часу. Таким чином, переміщення одно:
Ще раз звернемо увагу:
1) перетин з віссю часу означає поворот у зворотний бік;
2) площа графіка, що лежить під віссю часу позитивна і входить зі знаком "+" у визначення пройденого шляху, але зі знаком "-" у визначенні переміщення.
3.2.4. Як із графіка залежності прискорення від часу визначити залежність швидкості від часу та координати від часу?
Для того, щоб визначити необхідні залежності необхідні початкові умови - значення швидкості та координати в момент часу.
У цьому прикладі постараємося навести всі міркування в літерах, щоб приватному прикладі (при підстановці цифр) не втратити суть дій.
Нехай у момент часу швидкість тіла дорівнює нулю та початкова координата
Початкові значення швидкості та координати визначаємо з початкових умов, а прискорення із графіка:
отже, рух рівноприскорений і закон зміни швидкості має вигляд:
До кінця цього проміжку часу () швидкість () і координата () дорівнюватимуть (замість часу у формули і потрібно підставити):
Початкове значення швидкості на цьому проміжку має дорівнювати кінцевому значенню на попередньому проміжку, початкове значення координати дорівнює кінцевому значенню координати на попередньому проміжку, а прискорення визначаємо з графіка:
отже, рух рівноприскорений і закон зміни швидкості має вигляд:
До кінця цього проміжку часу () швидкість () і координата () дорівнюватимуть (замість часу у формули і потрібно підставити):
Для кращого розуміння збудуємо отримані результати на графіку (див. рис.)
На графіку швидкості:
1) Від 0 до пряма лінія, що «піднімається вгору» (т. К.);
2) Від до горизонтальна пряма лінія (т. К.);
3) Від до: пряма лінія, що «опускається вниз» (т. К.).
На графіку координати:
1) Від 0 до: парабола, гілки якої спрямовані вгору (т.к.);
2) Від до: пряма лінія, що піднімається вгору (т. К.);
3) Від до: парабола, гілки якої спрямовані вниз (т. К.).
3.2.5. Як із графіка закону руху записати аналітичну формулу закону руху?
Нехай дано графік рівнозмінного руху.
У цій формулі три невідомі величини: і
Для визначення достатньо подивитися на значення функції для визначення двох інших невідомих вибираємо дві точки на графіку, значення яких ми можемо точно визначити - вершини клітин. Отримаємо систему:
При цьому вважаємо, що нам уже відомо. Помножимо 1-е рівняння системи на 2-е рівняння на :
Віднімемо з 1-го рівняння 2-ге, після чого отримуємо:
Отримане з даного виразу значення підставимо в будь-яке рівняння системи (3.67) і вирішимо отримане рівняння щодо :
3.2.6. Як за відомим законом руху визначити закон зміни швидкості?
Закон рівнозмінного руху має вигляд:
Це його стандартний вид для даного типу руху і ніяк інакше він не може виглядати, тому його варто запам'ятати.
У цьому законі коефіцієнт перед t- це значення початкової швидкості, коефіцієнт перед - це прискорення, поділене навпіл.
Наприклад, нехай дано закон:
І рівняння швидкості має вигляд:
Таким чином, для вирішення подібних завдань, необхідно точно пам'ятати вид закону рівнозмінного руху та зміст коефіцієнтів, що входять до цього рівняння.
Однак можна піти іншим шляхом. Згадаймо формулу:
У нашому прикладі:
3.2.7. Як визначити місце та час зустрічі?
Нехай дані закони руху двох тіл:
У момент зустрічі тіла опиняються в одній координаті, тобто необхідно вирішити рівняння:
Перепишемо його у вигляді:
Це квадратне рівняння, загальне рішення якого наводити не будемо, через його громіздкість. Квадратне рівняння або немає рішень, що означає - тіла не зустрілися; або має одне рішення - одна єдина зустріч; або має два рішення – дві зустрічі тел.
Отримані рішення необхідно перевіряти на фізичну реалізація. Найголовніша умова: і час зустрічі має бути позитивним.
3.2.8. Як визначити шлях за секунду?
Нехай тіло починає рух зі стану спокою і за секунду проходить шлях Потрібно знайти, який шлях проходить тіло за nсекунду.
Для вирішення цього завдання необхідно скористатися формулою (3.25):
Позначимо Тоді
Поділимо рівняння на та отримаємо:
3.2.9. Як рухається тіло, кинуте вгору з висоти h?
Тіло, кинуте вгору з висоти hзі швидкістю
Рівняння координати y
Час підйому до найвищої точки польоту визначається за умови:
Hнеобхідно в необхідно підставити:
Швидкість у момент падіння:
3.2.10. Як рухається тіло, кинуте вниз з висоти h?
Тіло, кинуте вгору з висоти hзі швидкістю
Рівняння координати yу довільний момент часу:
Рівняння:
Час польоту визначається з рівняння:
Це квадратне рівняння, яке має два рішення, але в даній задачі тіло може опинитися в координаті лише один раз. Тому серед одержаних рішень потрібно одне «прибрати». Головний критерій відсіву - час польоту може бути негативним:
Швидкість у момент падіння:
3.2.11. Як рухається тіло, кинуте вгору з поверхні землі?
Тіло кинуте вгору із поверхні землі зі швидкістю
Рівняння координати yу довільний момент часу:
Рівняння проекції швидкості у довільний момент часу:
Час підйому до найвищої точки польоту визначається за умови
Для знаходження максимальної висоти Hнеобхідно в (3.89) необхідно підставити
Час всього польоту визначається з умови Отримуємо рівняння:
Швидкість у момент падіння:
Зауважте, що означає - час підйому дорівнює часу падіння тієї ж висоту.
Також отримали: тобто – з якою швидкістю покинули, з такою ж швидкістю тіло впало. Знак «−» у формулі вказує, що швидкість у момент падіння спрямована вниз, тобто проти осі Ой.
3.2.12. Тіло побувало на одній висоті двічі.
При киданні тіла воно може двічі опинитися на одній висоті - перший раз при русі вгору, другий - при падінні вниз.
1) Коли тіло опиняється на висоті h?
Для тіла, кинутого вгору з землі справедливий закон руху:
Коли тіло опиниться на висоті hйого координата дорівнюватиме Отримуємо рівняння:
рішення якого має вигляд:
2) Відомі часи і коли тіло виявилося на висоті h. Коли тіло опиниться на максимальній висоті?
Час польоту з висоти hназад до висоти hЯк уже було показано, час підйому дорівнює часу падіння до тієї ж висоти, тому час польоту від висоти hдо максимальної висоти дорівнює:
Тоді час польоту від початку руху до максимальної висоти:
3) Відомі часи і коли тіло виявилося на висоті h. Чому дорівнює час польоту тіла?
Весь час польоту дорівнює:
4) Відомі часи і коли тіло виявилося на висоті h. Чому дорівнює максимальна висота підйому?
3.2.13. Як рухається тіло, кинуте горизонтально з висоти h?
Тіло, кинуте горизонтально з висоти hзі швидкістю
Проекції прискорення:
Проекції швидкості у довільний момент часу t:
t:
t:
Час польоту визначається за умови
Для визначення дальності польоту необхідно рівняти координати xзамість tпідставити
Для визначення швидкості тіла в момент падіння необхідно в рівняння замість tпідставити
Кут, під яким падає тіло на землю:
3.2.14. Як рухається тіло, кинуте під кутом α до горизонту з висоти h?
Тіло, кинуте під кутом α до горизонту з висоти hзі швидкістю
Проекції початкової швидкості на осі:
Проекції прискорення:
Проекції швидкості у довільний момент часу t:
Модуль швидкості у довільний момент часу t:
Координати тіла у довільний момент часу t:
Максимальна висота H
Це квадратне рівняння, яке має два рішення, але в даній задачі тіло може опинитися в координаті лише один раз. Тому серед одержаних рішень потрібно одне «прибрати». Головний критерій відсіву - час польоту може бути негативним:
x L:
Швидкість у момент падіння
Кут падіння:
3.2.15. Як рухається тіло, кинуте під кутом α до горизонту землі?
Тіло, кинуте під кутом α до горизонту із поверхні землі зі швидкістю
Проекції початкової швидкості на осі:
Проекції прискорення:
Проекції швидкості у довільний момент часу t:
Модуль швидкості у довільний момент часу t:
Координати тіла у довільний момент часу t:
Час польоту до найвищої точки визначається за умови
Швидкість у найвищій точці польоту
Максимальна висота Hвизначається при підстановці до закону зміни координати y часу
Весь час польоту знаходиться з умови, що отримуємо рівняння:
Отримуємо
Знову отримали, що тобто ще раз показали, що час підйому дорівнює часу падіння.
Якщо підставимо закон зміни координати xчас отримаємо дальність польоту L:
Швидкість у момент падіння
Кут, який утворює вектор швидкості з горизонталлю у довільний момент часу:
Кут падіння:
3.2.16. Що таке настильна та навісна траєкторії?
Розв'яжемо наступне завдання: під яким кутом потрібно кинути тіло з поверхні землі, щоб тіло впало на відстані Lвід точки кидка?
Дальність польоту визначається формулою:
З фізичних міркувань ясно, що кут α не може бути більше 90°, тому із серії рішень рівняння підходять два корені:
Траєкторія руху, на яку називається настильной траєкторією. Траєкторія руху, на яку називається навісної траєкторією.
3.2.17. Як користуватись трикутником швидкостей?
Як було сказано в 3.6.1 трикутник швидкостей у кожному завданні матиме свій вигляд. Розглянемо на конкретному прикладі.
Тіло кинули з вершини вежі зі швидкістю так, що дальність польоту максимальна. До моменту падіння на землю швидкість тіла дорівнює Скільки тривав політ?
Побудуємо трикутник швидкостей (див. мал.). Проведемо в ній висоту, яка, очевидно, дорівнює Тоді площа трикутника швидкостей дорівнює:
Тут ми користувалися формулою (3.121).
Знайдемо площу цього ж трикутника за іншою формулою:
Так як це площі одного і того ж трикутника, то прирівняємо формули і:
Звідки отримуємо
Як видно з формул для кінцевої швидкості, отриманих у попередніх пунктах, кінцева швидкість не залежить від кута, під яким кинули тіло, а залежить лише значення початкової швидкості та початкової висоти. Тому дальність польоту за формулою залежить лише від кута між початковою та кінцевою швидкістю β. Тоді дальність польоту Lбуде максимальною, якщо набуде максимально можливого значення, тобто
Таким чином, якщо дальність польоту максимальна, то трикутник швидкостей буде прямокутним, отже виконується теорема Піфагора:
Звідки отримуємо
Властивістю трикутника швидкостей, який щойно був доведений, можна використовувати при вирішенні інших завдань: трикутник швидкостей є прямокутним у задачі на максимальну дальність польоту.
3.2.18. Як користуватись трикутником переміщень?
Як було сказано в 3.6.2, трикутник переміщень у кожному завданні матиме свій вигляд. Розглянемо на конкретному прикладі.
Тіло кидають під кутом до поверхні гори, що має кут нахилу α. З якою швидкістю треба кинути тіло, щоб воно впало рівно на відстані Lвід точки кидання?
Побудуємо трикутник переміщень – це трикутник ABC(Див. рис. 19). Проведемо в ньому висоту BD. Очевидно, що кут DBCдорівнює α.
Виразимо бік BDіз трикутника BCD:
Виразимо бік BDіз трикутника ABD:
Прирівняємо і:
Звідки знаходимо час польоту:
Висловимо ADіз трикутника ABD:
Виразимо бік DCіз трикутника BCD:
Але Отримуємо
Підставимо в це рівняння, отриманий вираз для часу польоту:
Остаточно отримуємо
3.2.19. Як розв'язувати задачі за допомогою закону руху? (по горизонталі)
Як правило, у школі при вирішенні завдань на рівнозмінний рух застосовуються формули
Однак такий підхід до вирішення важко застосувати до вирішення багатьох завдань. Розглянемо конкретний приклад.
Запізнілий пасажир підійшов до останнього вагона поїзда в той момент, коли поїзд рушив, почавши рух з постійним прискоренням Єдині відчинені двері в одному з вагонів виявилися від пасажира на відстані Яку найменшу постійну швидкість він має розвинути, щоб встигнути сісти в поїзд?
Введемо вісь Ox, спрямовану вздовж руху людини та поїзда. За нульове становище приймемо початкове становище людини («2»). Тоді початкова координата відчинених дверей («1») L:
Двері («1»), як і весь поїзд, мають початкову швидкість рівну нулю. Людина («2») починає рух зі швидкістю
Двері («1»), як і весь поїзд, рухаються із прискоренням a. Людина («2») рухається з постійною швидкістю:
Закон руху та двері та людини має вигляд:
Підставимо умови і в рівняння для кожного з тіл, що рухаються:
Ми склали рівняння руху кожного з тіл. Тепер скористаємося вже відомим алгоритмом для знаходження місця та часу зустрічі двох тіл – нам потрібно прирівняти і:
Звідки одержуємо квадратне рівняння для визначення часу зустрічі:
Це квадратне рівняння. Обидва його рішення мають фізичний сенс – найменший корінь, це перша зустріч людини та двері (людина з місця може побігти швидко, а поїзд не відразу набере велику швидкість, так що людина може обігнати двері), другий корінь – друга зустріч (коли вже потяг розігнався і наздогнав людину). Але наявність обох коренів означає - людина може бігти і повільніше. Швидкість буде мінімальною, коли рівняння матиме один єдиний корінь, тобто
Звідки знаходимо мінімальну швидкість:
У таких завданнях важливо розібрати в умовах завдання: до чого рівні початкова координата, початкова швидкість та прискорення. Після цього складаємо рівняння руху та думаємо як далі вирішувати завдання.
3.2.20. Як розв'язувати задачі за допомогою закону руху? (по вертикалі)
Розглянемо приклад.
Тіло, що вільно падає, пройшло останні 10 м за 0,5 с. Знайти час падіння та висоту, з якої впало тіло. Опір повітря знехтувати.
Для вільного падіння тіла справедливий закон руху:
У нашому випадку:
початкова координата:
початкова швидкість:
Підставимо умови до закону руху:
Підставляючи в рівняння руху потрібні значення часу, отримуватимемо координати тіла в ці моменти.
У момент падіння координата тіла
За с до моменту падіння, тобто при координаті тіла
Рівняння та становлять систему рівнянь, у якій невідомі Hі Вирішуючи цю систему, отримаємо:
Отже, знаючи вид закону руху (3.30), і використовуючи умови завдання перебування і отримуємо закон руху цієї конкретної задачи. Після цього, підставляючи необхідні значення часу, отримуємо відповідні значення координати. І вирішуємо завдання!
Рівноприскорений рух - це рух, при якому вектор прискорення не змінюється за модулем та напрямом. Приклади такого руху: велосипед, що котиться з гірки; камінь кинутий під кутом до горизонту. Рівномірний рух - окремий випадок рівноприскореного руху з прискоренням, що дорівнює нулю.
Розглянемо випадок вільного падіння (тіло кинуто під кутом до горизонту) докладніше. Такий рух можна подати у вигляді суми рухів щодо вертикальної та горизонтальної осей.
У будь-якій точці траєкторії на тіло діє прискорення вільного падіння g → , яке не змінюється за величиною і завжди спрямоване в один бік.
Уздовж осі X рух рівномірний і прямолінійний, а вздовж осі Y - рівноприскорений і прямолінійний. Розглянемо проекції векторів швидкості та прискорення на осі.
Формула для швидкості при рівноприскореному русі:
Тут v 0 - Початкова швидкість тіла, a = c o ns t - прискорення.
Покажемо на графіці, що з рівноприскореному русі залежність v (t) має вигляд прямої лінії.
Прискорення можна визначити за кутом нахилу графіка швидкості. На малюнку вище модуль прискорення дорівнює відношенню сторін трикутника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Чим більший кут β, тим більший нахил (крутість) графіка по відношенню до осі часу. Відповідно, тим більше прискорення тіла.
Для першого графіка: v 0 = - 2 м; a = 0,5 м з 2 .
Для другого графіка: v 0 = 3 м; a = - 13 м з 2 .
За цим графіком можна також обчислити переміщення тіла за час t. Як це зробити?
Виділимо на графіку малий відрізок часу ∆t. Вважатимемо, що він настільки малий, що рух за час ∆t можна вважати рівномірним рухом зі швидкістю, що дорівнює швидкості тіла в середині проміжку ∆t. Тоді, переміщення ∆ s за час ∆ t дорівнюватиме ∆ s = v ∆ t .
Розіб'ємо весь час t на нескінченно малі проміжки ∆ t. Переміщення s за час t дорівнює площі трапеції ODEF.
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t.
Ми знаємо, що v - v 0 = a t , тому остаточна формула для переміщення тіла набуде вигляду:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того щоб знайти координату тіла в даний момент часу, потрібно до початкової координати тіла додати переміщення. Зміна координати у залежності від часу виражає закон рівноприскореного руху.
Закон рівноприскореного руху
Закон рівноприскореного рухуy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Ще одне поширене завдання кінематики, що виникає під час аналізу рівноприскореного руху - знаходження координати при заданих значеннях початкової та кінцевої швидкостей та прискорення.
Виключаючи із записаних вище рівнянь t і вирішуючи їх, отримуємо:
s = v 2 - v 0 2 2 a.
За відомою початковою швидкістю, прискоренням і переміщенням можна знайти кінцеву швидкість тіла:
v = v 0 2 + 2 as.
При v 0 = 0 s = v 2 2 a і v = 2 a s
Важливо!
Величини v, v 0, a, y 0, s, що входять у вирази, є величинами алгебри. Залежно від характеру руху та напрями координатних осей в умовах конкретного завдання вони можуть набувати як позитивних, так і негативних значень.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
На цьому уроці ми з вами розглянемо важливу характеристику нерівномірного руху – прискорення. Крім того, ми розглянемо нерівномірний рух із постійним прискоренням. Такий рух ще називається рівноприскореним чи рівноуповільненим. Нарешті, ми поговоримо у тому, як графічно зображувати залежності швидкості тіла від часу при рівноприскореному русі.
Домашнє завдання
Вирішивши завдання до цього уроку, ви зможете підготуватися до питань 1 ГІА та питань А1, А2 ЄДІ.
1. Завдання 48, 50, 52, 54 зб. завдань А.П. Римкевич, вид. 10.
2. Запишіть залежності швидкості від часу та намалюйте графіки залежності швидкості тіла від часу для випадків, зображених на рис. 1, випадки б) та г). Позначте на графіках точки повороту, якщо такі є.
3. Розгляньте такі питання та відповіді на них:
Запитання.Чи є прискорення вільного падіння прискоренням, згідно з цим визначенням?
Відповідь.Звісно, є. Прискорення вільного падіння - це прискорення тіла, яке вільно падає з певної висоти (опір повітря потрібно знехтувати).
Запитання.Що станеться, якщо прискорення тіла буде спрямоване перпендикулярно швидкості руху тіла?
Відповідь.Тіло рухатиметься рівномірно по колу.
Запитання.Чи можна обчислювати тангенс кута нахилу, скориставшись транспортиром та калькулятором?
Відповідь.Ні! Тому що прискорення, що отримане таким чином, буде безрозмірним, а розмірність прискорення, як ми показали раніше, повинна мати розмірність м/с 2 .
Запитання.Що можна сказати про рух, якщо графік залежності швидкості від часу не є прямою?
Відповідь.Можна сміливо сказати, що прискорення цього тіла змінюється згодом. Такий рух не буде рівноприскореним.
