Відомо, що функція y = f(x) може бути задана неявно за допомогою рівняння, що зв'язує змінні х і у:

F(x,y)=0.

Сформулюємо умови, за яких рівняння F(x,y)=0 визначає одну із змінних як функція іншої. Справедлива наступна

Теорема (існування неявної функції) Нехай функція F(x,y)=0 задовольняє наступним умовам:

1) існує точка P˳(х˳,у˳) , в якій F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) функції F'x (x, y)і F'y (x, y) безперервні в деякій околиці точки

P 0 (x 0 ,y 0).

Тоді існує єдина функція y =f (x), визначена на деякому інтервалі, що містить точку, і задовольняє при будь-якому х з цього інтервалу рівняння F(x,y)=0 така що f(x 0) = y0

Якщо є неявна функція від хтобто вона визначається з рівняння F ( х, у) = 0, то, припускаючи, що ує функція від х, ми отримуємо тотожність F (х, у(х)) = 0, яке можна розглядати як константу-функцію. Диференціюючи цю константу-функцію, отримаємо:

Якщо в цьому співвідношенні, то можна знайти.

Диференціюючи співвідношення (1) ще раз, отримаємо:

Співвідношення (2) можна розглядати як рівняння для визначення другої похідної. Диференціюючи співвідношення (2) ще раз, отримаємо рівняння визначення третьої похідної тощо.

Похідна за напрямком. Вектор напряму для двох і трьох змінних (напрямні косинуси). Збільшення функції за заданим напрямом. Визначення похідної за напрямом, її вираз через приватні похідні. Градієнт функції. Взаємне положення градієнта та лінії рівня в даній точці для функції двох змінних.

Похідною z'I за напрямом I функції двох змінних z=f(x;y) називається межа відношення збільшення функції в цьому напрямку до величини переміщення ∆I при прагненні останньої до 0: z'i=lim∆iz /∆I

Похідна z’ I характеризує швидкість зміни функції у напрямку i.

Якщо функція z=f(x;y) має у точці М(x;y) безперервні приватні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом, що виходить з точки М(x;y), яка обчислюється за формулою z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ,де cosα, cosβ- напрямні к4осинуси вектора.

Градієнтом функції z = f (x, y) називається вектор з координатами f'x, f'y. Позначається z = (f'x, f'y) або .

Похідна за напрямом дорівнює скалярному добутку градієнта та одиничного вектора, що задає напрямок I.

Вектор z у кожній точці спрямований нормалі до лінії рівня, що проходить через дану точку у бік зростання функції.

Приватні похідні f'x і f'y є похідними функціями z=f(x,y) за двома приватними напрямками осей Ox і Oу.

Нехай z = f (x, y) - функція, що диференціюється в деякій області D, M (x, y) . Нехай I - деякий напрямок (вектор з початком у точці М), а = (cosα; cosβ).

При переміщенні в даному напрямку I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функція z отримає приріст ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) зване збільшенням функції z у цьому напрямі I.

Якщо MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, отже, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Дуже часто при вирішенні практичних завдань (наприклад, у вищій геодезії чи аналітичній фотограмметрії) з'являються складні функції кількох змінних, тобто аргументи x, y, z однієї функції f (x, y, z) ) самі є функціями від нових змінних U, V, W ).

Так, наприклад, буває при переході від нерухомої системи координат Oxyz у рухому систему O 0 UVW і назад. При цьому важливо знати всі приватні похідні за "нерухомими" - "старими" і "рухомими" - "новими" змінними, оскільки ці приватні похідні зазвичай характеризують положення об'єкта в цих системах координат, і, зокрема, впливають на відповідність аерофотознімків реальному об'єкту . У таких випадках застосовуються такі формули:

Тобто задана складна функція T трьох "нових" змінних U, V, W за допомогою трьох "старих" змінних x, y, z, тоді:

Зауваження. Можливі варіації у кількості змінних. Наприклад: якщо

Зокрема, якщо z = f(xy), y = y(x) , то отримуємо так звану формулу "повної похідної":

Ця ж формула "повної похідної" у разі:

набуде вигляду:

Можливі й інші варіації формул (1.27) – (1.32).

Примітка: формула "повної похідної" використовується в курсі фізики, розділ "Гідродинаміка" під час виведення основної системи рівнянь руху рідини.

приклад 1.10. Дано:

Згідно (1.31):

§7 Приватні похідні неявно заданої функції кількох змінних

Як відомо, неявно задана функція однієї змінної визначається так: функція незалежної змінної x називається неявною, якщо вона задана рівнянням, не дозволеним щодо y :

приклад 1.11.

Рівняння

неявно ставить дві функції:

А рівняння

не ставить жодної функції.

Теорема 1.2 (існування неявної функції).

Нехай функція z = f (х, у) та її приватні похідні f" x і f" y визначені і безперервні в околиці U M0 крапки M 0 (x 0 y 0 ) . Крім того, f(x 0 ,y 0 )=0 і f"(x 0 ,y 0 )≠0 тоді рівняння (1.33) визначає в околиці U M0 неявну функцію y= y(x) , безперервну та диференційовану в деякому інтервалі D з центром у точці x 0 , причому y(x 0 )=y 0 .

Без підтвердження.

З теореми 1.2 слід, що у цьому інтервалі D :

тобто має місце тотожність по

де "повна" похідна знаходиться згідно (1.31)

Тобто (1.35) дає формулу знаходження похідної неявно заданої функції однієї змінної x .

Аналогічно визначається і неявна функція двох і більше змінних.

Наприклад, якщо в деякій області V простору Oxyz виконується рівняння:

то за деяких умов на функцію F воно неявно задає функцію

При цьому за аналогією з (1.35) її похідні приватні знаходяться так:

приклад 1.12. Вважаючи, що рівняння

неявно задає функцію

знайти z" x , z" y .

тому згідно (1.37) отримуємо відповідь.

§8 Приватні похідні другого та вищих порядків

Визначення 1.9 Приватні похідні другого порядку функції z = z (x, y) визначаються так:

Їх виявилося чотири. Причому за деяких умов на функції z(x,y) виконується рівність:

Зауваження. Приватні похідні другого порядку можуть і так:

Визначення 1.10 Приватних похідних третього порядку – вісім (2 3).

Вчимося знаходити похідні функцій, заданих неявно, тобто заданих деякими рівняннями, що зв'язують між собою змінні xі y. Приклади функцій, заданих неявно:

,

Похідні функцій, заданих неявно, або похідні неявних функцій, досить просто. Зараз розберемо відповідне правило і приклад, а потім з'ясуємо, для чого взагалі це потрібно.

Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно продиференціювати обидві частини рівняння по иксу. Ті доданки, в яких присутній тільки ікс, звернуться до звичайної похідної функції від іксу. А доданки з греком потрібно диференціювати, користуючись правилом диференціювання складної функції, оскільки ігрок - це функція від ікса. Якщо дуже просто, то в отриманій похідній доданку з іксом має вийти: похідна функції від ігрека, помножена на похідну від ігрека. Наприклад, похідна доданку запишеться як , похідна доданку запишеться як . Далі з цього потрібно висловити цей " гравець штрих " і буде отримана шукана похідна функції, заданої неявно. Розберемо це з прикладу.

приклад 1.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння по іксу, вважаючи, що гравець - функція від ікса:

Звідси отримуємо похідну, яка потребує завдання:

Тепер дещо про неоднозначну властивість функцій, заданих неявно, і чому потрібні особливі правила диференціювання. У частині випадків можна переконатися, що підстановка задане рівняння (див. приклади вище) замість грека його виразу через ікс призводить до того, що це рівняння звертається в тотожність. Так. наведене вище рівняння неявно визначає такі функції:

Після підстановки висловлювання ігрека в квадраті через ікс початкове рівняння отримуємо тотожність:

.

Вирази, які ми підставляли, вийшли шляхом розв'язання рівняння щодо гравця.

Якби ми стали диференціювати відповідну явну функцію

то отримали відповідь як у прикладі 1 - від функції, заданої неявно:

Але не будь-яку функцію, задану неявно, можна уявити у вигляді y = f(x) . Так, наприклад, задані неявно функції

не виражаються через елементарні функції, тобто ці рівняння не можна дозволити щодо гравця. Тому і існує правило диференціювання функції, заданої неявно, яке ми вже вивчили і далі послідовно застосовуватимемо в інших прикладах.

приклад 2.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Виражаємо гравець штрих і - на виході - похідна функції, заданої неявно:

приклад 3.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

приклад 4.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

Виражаємо та отримуємо похідну:

.

Приклад 5.Знайти похідну функції, заданої неявно:

Рішення. Переносимо доданки в правій частині рівняння в ліву частину і праворуч залишаємо нуль. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса.

Нехай безперервна функція увід хзадається неявно F(x, y) = 0, де F(x, y), F "x(x, y), F " y(x, y) є безперервні функції в деякій ділянці D, що містить точку ( х, у), координати якої задовольняють співвідношенням F (x, y) = 0, F " y(x, y) ≠ 0. Тоді функція увід хмає похідну

Доказ (дивися малюнок). Нехай F " y(x, y) > 0. Оскільки похідна F " y(x, y) безперервна, то можна побудувати квадрат [ х 0 - δ" , х 0 + δ" , у 0 - δ" , у 0 + δ" ], щоб для всіх його точок було F " y (x, y) > 0, тобто F(x, y) є монотонною по упри фіксованому х. Таким чином, виконано всі умови теореми існування неявної функції у = f (x), такий, що F(x, f (x)) º 0.
Задамо збільшення Δ х. Новому значенню х + Δ хбуде відповідати у + Δ у = f (x + Δ x), таке, що ці значення задовольняють рівнянню F (x + Δ x, y + Δ y) = 0. Очевидно, що

Δ F = F(x + Δ x, y + Δ y) − F(x, y) = 0

і в цьому випадку

.

З (7) маємо

.

Оскільки неявна функція у = f (x) буде безперервна, то Δ у→ 0 при Δ х→ 0, отже α → 0 і β → 0. Звідки маємо остаточно

.

Що й потрібно було довести.

Приватні похідні та диференціали вищих порядків.

Нехай приватні похідні функції z = f (x, y), визначеної в околиці точки М, існують у кожній точці цієї околиці. У цьому випадку приватні похідні є функціями двох змінних хі у, визначені у зазначеній околиці точки М. Назвемо їх приватними похідними першого порядку. У свою чергу, приватні похідні за змінними хі увід функцій у точці М, якщо вони існують, називаються приватними похідними другого порядку від функції f (М) у цій точці і позначаються такими символами

Приватні похідні другого порядку виду, називаються змішаними приватними похідними.

Диференціали вищих порядків

Розглянемо dxу виразі для dyяк постійний множник. Тоді функція dyє функцією тільки аргументу xта її диференціал у точці xмає вигляд (при розгляді диференціалу від dyбудемо використовувати нові позначення для диференціалів):

δ ( d y) = δ [ f " (x) d x] = [f " (x) d x] " δ x = f "" (x) d(x) δ x .

Диференціал δ ( d y) від диференціалу dyу точці xвзятий при δ x = dxназивається диференціалом другого порядку функції f (x) у точці xі позначається d 2 y, тобто.

d 2 y = f ""(x)·( dx) 2 .

У свою чергу, диференціал δ( d 2 y) від диференціалу d 2 yвзятий при δ x = dxназивається диференціалом третього порядку функції f(x) і позначається d 3 yі т.д. Диференціал δ( d n-1 y) від диференціалу d n -1 fвзятий при δ x = dxназивається диференціалом n- го порядку (або n- м диференціалом) функції f(x) і позначається d n y.
Доведемо, що для n- го диференціала функції справедлива формула

d n y = y (n) ·( dx)n, n = 1, 2, … (3.1)

За доказом скористаємося методом математичної індукції. Для n= 1 і n= 2 формулу (3.1) доведено. Нехай вона вірна для диференціалів порядку n - 1

d n −1 y= y ( n−1) ·( dx)n −1 ,

та функція y (n-1) (x) диференційована в деякій точці x. Тоді

Вважаючи δ x = dx, отримуємо

що й потрібно було довести.
Для будь-кого nсправедлива рівність

або

тобто. n- я похідна функції y= f (x) у точці xдорівнює відношенню n- го диференціала цієї функції у точці xдо n- й ступені диференціала аргументу.

Похідна за напрямом функцій кількох змінних.

Розглядається функція та одиничний вектор. Проводиться пряма lчерез т.п. М 0 з напрямним вектором

Визначення 1.Похідна функції u = u(x, y, z) за змінною tназивається похідною за напрямом l

Так як на цій прямій u- складна функція однієї змінної, то похідна по tдорівнює повній похідній по t(§ 12).

Вона позначається і дорівнює

Формула похідної функції, заданої неявно. Доказ та приклади застосування цієї формули. Приклади обчислення похідних першого, другого та третього порядку.

Зміст

Похідна першого порядку

Нехай функція задана неявним чином за допомогою рівняння
(1) .
І нехай це рівняння, за деякого значення, має єдине рішення. Нехай функція є функцією, що диференціюється в точці , причому
.
Тоді, при цьому значенні, існує похідна, яка визначається за формулою:
(2) .

Доведення

Для доказу розглянемо функцію як складну функцію від змінної:
.
Застосуємо правило диференціювання складної функції та знайдемо похідну за змінною від лівої та правої частин рівняння
(3) :
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю і , то
(4) ;
.

Формулу доведено.

Похідні вищих порядків

Перепишемо рівняння (4), використовуючи інші позначення:
(4) .
При цьому і є складними функціями від змінної:
;
.
Залежність визначає рівняння (1):
(1) .

Знаходимо похідну за змінною від лівої та правої частини рівняння (4).
За формулою похідної складної функції маємо:
;
.
За формулою похідної твори:

.
За формулою похідної суми:


.

Оскільки похідна правої частини рівняння (4) дорівнює нулю, то
(5) .
Підставивши сюди похідну, отримаємо значення похідної другого порядку у неявному вигляді.

Диференціюючи, аналогічно, рівняння (5), ми отримаємо рівняння, що містить похідну третього порядку :
.
Підставивши сюди знайдені значення похідних першого та другого порядків, знайдемо значення похідної третього порядку.

Продовжуючи диференціювання, можна знайти похідну будь-якого порядку.

Приклади

Приклад 1

Знайдіть похідну першого порядку від функції, заданої неявно рівнянням:
(П1) .

Рішення за формулою 2

Знаходимо похідну за формулою (2):
(2) .

Перенесемо всі змінні в ліву частину, щоб рівняння набуло вигляду .
.
Звідси.

Знаходимо похідну за вважаючи постійною.
;
;
;
.

Знаходимо похідну за змінною, вважаючи змінну постійною.
;
;
;
.

За формулою (2) знаходимо:
.

Ми можемо спростити результат, якщо зауважимо, що відповідно до вихідного рівняння (П.1), . Підставимо:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Рішення другим способом

Вирішимо цей приклад другим способом. Для цього знайдемо похідну змінної лівої та правої частин вихідного рівняння (П1).

Застосовуємо:
.
Застосовуємо формулу похідного дробу:
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Диференціюємо вихідне рівняння (П1).
(П1) ;
;
.
Помножуємо на та групуємо члени.
;
.

Підставимо (з рівняння (П1)):
.
Помножимо на:
.

Приклад 2

Знайти похідну другого порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П2.1) .

Диференціюємо вихідне рівняння, за змінною , вважаючи, що є функцією від :
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.

Диференціюємо вихідне рівняння (П2.1):
;
.
З вихідного рівняння (П2.1) випливає, що . Підставимо:
.
Розкриваємо дужки та групуємо члени:
;
(П2.2) .
Знаходимо похідну першого порядку:
(П2.3) .

Щоб знайти похідну другого порядку, диференціюємо рівняння (П2.2).
;
;
;
.
Підставимо вираз похідної першого порядку (П2.3):
.
Помножимо на:

;
.
Звідси знаходимо похідну другого порядку.

Приклад 3

Знайти похідну третього порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П3.1) .

Диференціюємо вихідне рівняння за змінною вважаючи, що є функцією від .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Диференціюємо рівняння (П3.2) по змінній.
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Диференціюємо рівняння (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

З рівнянь (П3.2), (П3.3) та (П3.4) знаходимо значення похідних при .
;
;
.