Центральне розтягування-стисквиникає у разі, коли на кінцях стрижня вздовж його осі діють дві рівні протилежно спрямовані сили. При цьому в кожному перерізі по довжині стрижня виникає внутрішнє зусилля ($N$ кН), яка чисельно дорівнює сумі всіх сил, що діють вздовж осі стрижня та розташовані з одного боку від перерізу.

З умов рівноваги відсіченої частини стрижня $N = F$.

Поздовжня сила при розтягуванні вважається позитивною, при стисканні- Негативною.

Приклад визначення внутрішніх сил.

Розглянемо брус, навантажений зовнішніми силами вздовж осі. Брус закріплений у стіні (закріплення «закладення») (рис. 20.2а). Ділимо брус на ділянки навантаження.

Ділянкою навантаження вважають частину бруса між зовнішніми силами.

На представленому малюнку 3 ділянки навантаження.

Скористаємося методом перерізів і визначимо внутрішні силові фактори всередині кожної ділянки.

Розрахунок починаємо з вільного кінця бруса, щоб не визначати величини реакцій в опорах.

Поздовжня сила позитивна, ділянка 1 розтягнутий.

Поздовжня сила позитивна, ділянка 2 розтягнутий.

Поздовжня сила негативна, ділянка 3 стиснутий.

Отримане значення N 3 дорівнює реакції в закладенні.

Під схемою бруса будуємо епюру поздовжньої сили (рис. 20.2 б).

Епюрою поздовжньої сили називається графік розподілу поздовжньої сили вздовж осі бруса.

Вісь епюри паралельна поздовжній осі.

Нульова лінія проводиться тонкою лінією. Значення сил відкладають від осі, позитивні вгору, негативні вниз.

У межах однієї ділянки значення сили не змінюється, тому епюра окреслюється відрізками прямих ліній, паралельними осі Oz.

напруги. Діюча і допустима напруга

Величина внутрішньої сили дає уявлення про опір поперечного перерізу в цілому (інтегрально), але не дає уявлення про інтенсивність роботи матеріалу в окремих точках перерізу. Так, при рівній поздовжній силі матеріал у стрижні з великим перетином працюватиме менш інтенсивно, менш напружено, ніж менший.

Напруги - внутрішні сили, що припадають на одиницю площі перерізу. Напруги, спрямовані перпендикулярно (за нормаллю) до перерізу називаютьсянормальними.

$\sigma = \frac(N)(A)$

Одиниці виміру напруг - Па, кПа, МПа.

Знаки напруги приймають так, як і для поздовжньої сили.

Діюча напруга - напруги, що виникають у аналізованому перерізі.

Будь-який стрижень у момент руйнування має певну напругу, яка залежить тільки від матеріалу стрижня і залежить від площі перерізу.

Допустимінапруги$\left[ \sigma \right]$- така напруга, яка не повинна бути перевищена в запроектованих конструкціях. Допустимі напруги залежать від міцності матеріалу, характеру його руйнування, ступеня відповідальності конструкції.

Принцип Сен-Венана : у перерізах, достатньо віддалених від місця застосування навантаження, розподіл напруг не залежить від способу застосування навантаження, а залежить тільки від його рівнодіючої.

тобто, розподіл напруги в перерізі I-I для трьох різних випадків, показаних на малюнку, приймається однаковим.

Малюнок - ілюстрація принципу Сен-Венана

Абсолютна та відносна деформація

При розтягуванні виникає подовження стрижня - різниця між довжиною стрижня до та після навантаження. Ця величина називаєтьсяабсолютною деформацією .

$\Delta l = (l_1) - l$

Відносна деформація - відношення абсолютної деформації до первісної довжини.

$\varepsilon = \frac((\Delta l))(l)$

$\sigma = E \cdot \varepsilon $

Таблиця – фізико-механічні характеристики матеріалів

2 = -30 + 20 (z 2 - 1) - 10 (z 2 - 1) 2 = -10 z 2 2 + 40z 2 - 60

(квадратна парабола, у якої опуклість – вниз, а дотична горизонтальна при z 2 = 2 де Q у = 0);

при z 2 = 2 м М х = -10. 22 + 40 . 2 - 60 = -20 кНм, при z 2 = 1 м М х = -10. 12+40. 1 - 60 = -30 кНм.

3-я ділянка. (0 ≤ z 3 ≤ 1 м)

Q у = 0

М х = - М z = - 30 кНм (горизонтальна пряма); Епюри збудовані.

3.4. Побудова епюри поздовжніх сил

Центральним розтягуванням-стисненням (ЦРС) називається вид опору, при якому в поперечних перерізах стрижня з шести можливих компонентів зусиль присутня тільки одна - поздовжня сила N .

Побудова епюри поздовжньої сили N виконується набагато простіше, ніж епюри поперечних сил та згинальних моментів для балок.

Покажемо на прикладі.

Завдання. Побудувати епюру поздовжніх сил для стрижня, зображеного на малюнку за наступних значень навантажень:

F 1 = 40 кН, F 2 = 10 кН, F 3 = 20 кН, q 1 = 30 кН/м, q 2 = 5 кН/м.

2. Пронумеруємо ділянки стрижня (у напрямку до закладення). У довільному місці на кожній ділянці відзначимо поперечний переріз. Розглядаючи або ліву або праву частини стрижня, запишемо вираз для поздовжньої сили N на кожній ділянці.

На ділянці 1, 2, 5 (рис. 3.21) зусилля N постійно і не залежить від того, де знаходиться розглянутий переріз. На ділянці 2, 3, де прикладено розподілене навантаження, від розташування перерізу залежить, яка частина розподіленого навантаження припаде на відсічену частину стрижня.

Інакше кажучи, зусилля N залежатиме від розташування перерізу (у разі лінійно). Щоб це врахувати, розташування перерізу будемо відзначати змінною відстанню, яку можна відраховувати від краю частини стрижня, що розглядається (z 3 – для 3-ї ділянки і z 4 – для 4-ї ділянки).

У цьому випадку дещо простіше відраховувати їх від межі ділянки

При розгляді ділянок 1, 2, 3, 4 відкидатимемо ліву частину стрижня.

1 ділянку. N 1 = F 1 = +20 кН (розтяг).

Будуємо графік функції N 3 = -10 - 5z 3 (похила пряма).

Графік похилої прямої зазвичай будують, порахувавши значення функції при двох значеннях аргументу, тобто проводячи її через дві точки. У разі зручно визначати її значення межах ділянки.

5 ділянку. N 5 = + R = +35 кН

3. Відкладаємо обчислені значення поздовжньої сили від горизонтальної осі («+» – вгору, «-» – вниз).

На ділянках з розподіленим навантаженням підраховані значення з'єднуємо похилими лініями, на решті зусилля N не залежить від z і зображується горизонтальними лініями. Розставляємо знаки, робимо штрихування. Епюра збудована.

Коли стрижень має опору тільки з одного боку, зусилля на дільницях можна визначати, відкидаючи завжди ту частину стрижня, до якої прикладена невідома реакція. У цьому випадку невідома реакція ніколи не буде потрібна для визначення зусиль і епюра може бути побудована без визначення реакцій.

3.5. Побудова епюри крутних моментів

Крученням називають простий вид опору, при якому в перерізі присутні (з шести можливих) одне єдине зусилля – момент М z , що крутить, який в технічній літературі часто позначають про-

сто М кр.

Побудова епюри крутного моменту виконується аналогічно до того, як будується епюра поздовжніх сил у разі центрального розтягування – стиснення.

Розглянемо це з прикладу.

Завдання. Побудувати епюру моменту, що крутить, для стрижня, зображеного на рис. 3.22.

Іноді виникає необхідність при відомих розмірах та формі поперечного перерізу визначити з розрахунку на міцність навантаження, яке зможе витримати цей стрижень. У цьому випадку спочатку значення навантажень невідомі і вони можуть бути лише в буквеному вираженні. У цьому, звісно, ​​і епюри внутрішніх сил доводиться будувати, вказуючи чисельні, а символічні значення.

1. Нумеруємо ділянки. На кожному їх показуємо перетин (рис. 3.23).

2. Вибравши перетин на кожній ділянці, розглядатимемо праву частину стрижня, відкидаючи ліву, оскільки до неї прикладено невідомий реактивний момент, що виникає у жорсткому закладенні та перешкоджає вільному обертанню стрижня щодо осі. z.

Щоб визначити значення крутного моменту в перерізі, необхідно порахувати всі розташовані до нього моменти, дивлячись на перетин уздовж осі z

і приймаючи їх позитивними, якщо вони спрямовані проти годинникової стрілки, і негативним, якщо за годинниковою.

1 ділянку. М z = -2М

2 ділянку. М z = -2М + 5М = 3М

3 ділянку. М z = -2М + 5М - 7М = - 4М

4 ділянку. М z = -2М + 5М - 7М + 3М = - М

3. Оскільки в межах однієї ділянки значення моменту, що крутить, виявилося не залежним від розташування перерізу, на епюрі відповідні графіки будуть горизонтальними прямими. Підписуємо знайдені значення та розставляємо знаки. Епюра збудована.

Завдання виконання розрахунково-графічної роботи №2 з опору матеріалів

Для заданих двох схем балок (рис. 3.24) потрібно написати вирази Q і М для кожної ділянки в загальному вигляді, побудувати епюри Q і М знайти М max і підібрати: а) для схеми «а» дерев'яну балку круглого поперечного перерізу при [α ] = 8 МПа; б) для схеми "б" - сталеву балку двотаврового поперечного перерізу при [α] = 8 МПа. Дані взяти із табл. 2.

Таблиця 3.2

Студент зобов'язаний взяти з таблиці дані відповідно до свого особистого номера (шифру) і перших шести літер російського алфавіту, які слід розташувати під шифром, наприклад:

шифр – 2 8 7 0 5 2

літери – а в г д е Якщо особистий номер складається з семи цифр, друга цифра шифру не вчи-

ється.

З кожного вертикального стовпця таблиці, позначеного внизу певною літерою, треба взяти тільки одне число, яке стоїть у горизонтальному рядку, номер якого збігається з номером літери. Наприклад, вертикальні стовпці табл. Позначені літерами "е", "г", і "д". У цьому випадку за вказаного вище особистого номера 287052 студент повинен взяти зі стовпця «е» другий рядок, зі стовпця «г» – нульовий рядок, та зі стовпця «д» – п'ятий рядок.

Роботи, виконані з порушенням цих вказівок, не зачитуються.

a) q M

l1 = 10a

	Осьовим розтягуванням (стисненням) прямого стрижня називають такий вид його деформації, при якому в довільному поперечному перерізі виникає лише одна складова внутрішніх зусиль – поздовжня сила розтягування або стискування. Це можливо за умови, що зовнішнє навантаження приводиться до рівнодіючих сил, що діють уздовж осі бруса. Поздовжня сила розтягування приймається позитивною величиною, а поздовжня сила стиснення негативною. Поздовжні сили визначаються методом перерізів. Для цього необхідно розділити стрижень на ділянки, обмежені точками осі бруса, де діють зовнішні зосереджені сили. У межах кожної ділянки потрібно вибрати довільний переріз на змінній відстані x від початку координат (від якогось торця стрижня) і розглянути рівновагу однієї з частин стрижня. При цьому частина стрижня, рівновага якої розглядається, навантажується зовнішніми силами та невідомим поздовжнім зусиллям. N , який прямує від перерізу, тобто відповідно до розтягування стрижня. Використовуючи умову рівноваги Σ X i =0 складаємо рівняння рівноваги, з якого визначаємо поздовжню силу N на кожній ділянці. Зміну поздовжньої сили за довжиною стрижня можна відобразити графіком, який має назву епюрацього зусилля. Розглянемо прямий стрижень, розташований горизонтально, жорстко закріплений на правому торці і навантажений вздовж осі зовнішніми силами F 1 , F 2 = 2F 1і F 3 =3F 1 (Рис.9.1, а). Ці сили прикладені відповідно до точок а, b, c. Закріплену точку осі стрижня позначимо літерою d. Для визначення поздовжніх сил розділимо стрижень на три ділянки ab, bc та cd. У межах кожної ділянки проведемо довільні поперечні перерізи 1-1, 2-2 та 3-3, взяті на відстанях x 1 , x 2і x 3від лівого вільного кінця стрижня. Відкинемо, подумки, праву частину від перерізу 1-1, а її дію на ліву частину замінимо невідомою поздовжньою силою N 1 , яка спрямована від перерізу (рис.9.1,б) і складемо рівняння рівноваги: ΣX i =0,N 1 - F 1 = 0 , звідки знаходимо N 1 = F 1 . Таким чином, поздовжня сила на ділянці ab не залежить від x 1та має постійне значення N 1 = F 1 Відкинемо, подумки, праву від перерізу 2-2 частина бруса і замінимо її дію на частину бруса, що залишилася, невідомою поздовжньою силою N 2 , Яка також спрямована від перерізу (рис.9.1,в). Складемо рівняння рівноваги: ΣX i = 0, N 2 - F 1 + 2F 1 = 0,звідки знаходимо N 1 = - F 1 . Таким чином, поздовжня сила на ділянці bc не залежить від x 2і має негативне постійне значення, тобто на цій ділянці стрижень стиснену частину льни переризиантажений вздовж осі середжені сили. У межах кожної ділянки вибрати довільний. Аналогічно визначаємо поздовжню силу N 3 на ділянці CD. Розглядаємо рівновагу лівої частини стрижня щодо перерізу 3-3 (рис.9.1, г) і складаємо рівняння рівноваги: ΣX i = 0, N 3 - F 1 + 2F 1 - 3F 1 = 0,звідки знаходимо N 3 = 2F 1 . На цій ділянці стрижень розтягується силою N 3 = 2F 1 , яка не залежить від x 3. Побудуємо А1 = 20,2 см2; см4; см4; епюру N . Для цього: Проведемо нульову пряму паралельно осі стрижня; Відкладемо вгору від неї позитивні значення поздовжньої сили, а вниз її негативні значення, прийнявши довільний масштаб; З'єднаємо прямими лініями вершини сусідніх ординат. Ці лінії обмежують епюру поздовжніх сил окремих ділянках. На рис.9.1д накреслена епюра N. Для можливості її використання, тобто визначення поздовжньої сили в будь-якому перерізі, потрібно заштрихувати епюру рівномірно розташованими прямими лініями перпендикулярно осі стрижня. Аналізуючи цю епюру, легко помітити, що вона має стрибки в точках, де діють зовнішні сили. При цьому величини стрибків дорівнюють діючим силам. На ділянках між зовнішніми силами поздовжня сила залишається незмінною, тобто. епюра обмежена прямими лініями паралельними до осі бруса. приклад 1.Збудувати епюру для колони змінного перерізу (рис. а). Довжини ділянок 2 м. Навантаження: зосереджені = 40 кН, = 60 кН, = 50 кН; розподілена = 20 кН/м. Мал. 1.Схема побудови епюри поздовжніх сил N Рішення: Користуємося методом перерізів. Розглядаємо (по черзі) рівновагу відсіченої (верхньої) частини колони (мал. 1 в). З рівняння для відсіченої частини стрижня у довільному перерізі ділянки поздовжня сила (), при = 0 кН; при = 2 м кН, у перерізах ділянок маємо відповідно: КН, КН, КН, Отже, у чотирьох перерізах поздовжні сили негативні, що свідчить про деформацію стискування (укорочення) всіх ділянок колони. За результатами обчислень будуємо епюру поздовжніх сил (рис. 1 б), дотримуючись масштабу. З аналізу епюри слід, що у ділянках, вільних від навантажень, поздовжня сила постійна, на навантажених – змінна, у точках докладання зосереджених сил – змінюється стрибкоподібно. приклад 2.Побудувати епюру N zдля стрижня, наведеного малюнку 2. Мал. 2.Схема навантаження стрижня Рішення: Стрижень навантажений лише зосередженими осьовими силами, тому поздовжнясила у межах кожної ділянки постійна. На межі ділянокN zзазнає розривів. Приймемо напрям обходу від вільного кінця (січ.Е) до защемлення (січ.А). На ділянці DEпоздовжня сила позитивна, оскільки сила викликає розтягнення, тобто.N ED = + F. У перерізі Dпоздовжня сила змінюється стрибком від N DE= N ED= Fдо N D З= N D Е – 3 F= – 2 F(Знаходимо з умови рівноваги нескінченно малого елементаdz, виділеного на кордоні двох суміжних ділянокCDі DE). Зауважимо, що стрибок дорівнює по величині прикладеної сили3 Fі спрямований у бік негативних значеньN z, оскільки сила 3Fвикликає стиск. На ділянці CDмаємо N СD= N DС= – 2 F. У перерізі Cпоздовжня сила змінюється стрибкомвід N СD= – 2 Fдо N СВ =N СD+ 5 F= 3 F. Величина стрибка дорівнює прикладеній силі 5F. У межах ділянкиCВпоздовжня сила знову постійнаN СВ =N НД=3 F. Нарешті, у перерізіУна епюрі N zзнову стрибок: поздовжня сила змінюєтьсявід N НД= 3 Fдо N ВА= N НД – 2 F= F. Напрямок стрибка вниз (у бік негативних значень), оскільки сила 2Fвикликає стиск стрижня. ЕпюраN zнаведено малюнку 2. Виникають у різних поперечних перерізах стрижня, неоднакові, закон їх зміни за довжиною стрижня подається у вигляді графіка N(z), званого епюрою поздовжніх сил. Епюра поздовжніх сил необхідна для оцінки стрижня і будується для того, щоб знайти небезпечний переріз (поперечний переріз, в якому поздовжня сила набуває найбільшого значення). Як будувати епюру поздовжніх сил? Для побудови епюри N використовується. Продемонструємо його застосування з прикладу (рис. 2.1). Визначимо поздовжню силу N, що виникає у наміченому нами поперечному перерізі. Розріжемо стрижень у цьому місці та подумки відкинемо нижню його частину (рис. 2.1, а). Далі ми маємо замінити дію відкинутої частини на верхню частину стрижня внутрішньою поздовжньою силою N. Для зручності обчислення її значення закриємо верхню частину стрижня, що розглядається нами, листком паперу. Нагадаємо, що N, що виникає в поперечному перерізі, можна визначити як суму алгебри всіх поздовжніх сил, що діють на відкинуту частину стрижня, тобто на ту частину стрижня, яку ми бачимо. При цьому застосовуємо наступне: сили, що викликають розтягування залишеної частини стрижня (закритої нами листком паперу) входять у згадану суму алгебри зі знаком «плюс», а сили, що викликають стиск - зі знаком «мінус». Отже, визначення поздовжньої сили N в наміченому нами поперечному перерізі необхідно просто скласти всі зовнішні сили, які ми бачимо. Оскільки сила кН розтягує верхню частину, а сила кН її стискає, то кН. Знак «мінус» означає, що в цьому перерізі стрижень зазнає стиснення. Можна знайти опорну реакцію R (рис. 2.1 б) і скласти рівняння рівноваги для всього стрижня, щоб перевірити результат. Читайте також Побудова епюр поздовжніх та нормальних напруг при розтягуванні та стисканні Побудова епюри поздовжніх сил стрижня Показники пружного та пластичного стану металів Похідна функції, заданої неявно Геометричний зміст модуля