Під час підготовки до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри та геометрії. Хочеться поєднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому від основи і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація зрозуміла, оскільки вони є трикутниками, то основа завжди різна.
Як бути при знаходженні площі основи піраміди?
Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутника до n-кутника. І ця підстава, крім відмінності у кількості кутів, може бути правильною фігурою чи неправильною. У школярів, що цікавлять завданнями з ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в основі. Тому йтиметься лише про них.
Правильний трикутник
Тобто рівнобічний. Той, у якого всі сторони рівні та позначені буквою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:
S = (а 2 * √3) / 4.
Квадрат
Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову бік:
Довільний правильний n-кутник
У сторони багатокутника те саме позначення. Для кількості кутів використовується латинська літера n.
S = (n * а 2) / (4 * tg (180 º / n)).
Як вчинити при обчисленні площі бічної та повної поверхні?
Оскільки основу лежить правильна постать, всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребра рівні. Тоді для того, щоб обчислити бічну площу піраміди, знадобиться формула, що складається з суми однакових одночленів. Число доданків визначається кількістю сторін основи.
Площа рівнобедреного трикутника обчислюється за формулою, в якій половина добутку основи множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемою. Її позначення – «А». Загальна формуладля площі бічної поверхні виглядає так:
S = ½ Р * А, де Р - периметр основи піраміди.
Бувають ситуації, коли не відомі сторони основи, але дано бічні ребра (в) та плоский кут при її вершині (α). Тоді потрібно використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площу піраміди:
S = n/2 * у 2 sin α .
Завдання №1
Умови.Знайти загальну площу піраміди, якщо в його основі лежить зі стороною 4 см, а апофема має значення 3 см.
Рішення.Його починати потрібно з розрахунку периметра основи. Оскільки це правильний трикутник, то Р = 3*4 = 12 см. Оскільки апофема відома, можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .
Для трикутника в основі вийде таке значення площі: (4 2 * 3) / 4 = 4 √ 3 см 2 .
Для визначення всієї площі потрібно скласти два значення: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .
Відповідь. 10√3 см 2 .
Завдання № 2
Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони основи дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площу її поверхні.
Рішення.Оскільки багатогранник чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі основи та бічних граней, вдасться порахувати площу піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі усі сторони трикутника. Тому можна використовувати формулу Герона для обчислення їх площ.
Перші розрахунки прості і призводять до такої кількості: 49 мм 2 . Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких трикутників всього чотири, тому за підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.
Виходить: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.
Відповідь. Шукане значення 267,576 мм2.
Завдання №3
Умова. У правильній чотирикутної піраміди необхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата – 6 см і висота – 4 см.
Рішення.Найпростіше скористатися формулою з добутком периметра та апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.
Прийде згадати теорему Піфагора і розглянути Він утворений висотою піраміди та апофемою, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає у його середину.
Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює √ (32 + 42) = 5 (см).
Тепер можна обчислювати потрібну величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).
Відповідь. 96 см 2 .
Завдання № 4
Умови.Дана правильна Сторони її основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра — 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?
Рішення.Міркування в ній такі самі, як були описані в задачі №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом у основі, а тепер це шестикутник.
Насамперед обчислюється площа підстави за зазначеною вище формулою: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .
Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22+61*2):2 = 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площу кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла на підставу.
Розрахунки за формулою Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Обчислення, що дадуть площу бічної поверхні: 660*6 = 3960 см 2 . Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47-5217 см 2 .
Відповідь.Підстави - 726√3 см 2 , бічної поверхні - 3960 см 2 , вся площа - 5217 см 2 .
Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.
У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної пірамідиможна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:
де p - периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a - апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжини всіх необхідних елементівзнайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику усі сторони рівні, отже, периметр розраховується по формуле:
Підставимо дані та знайдемо значення:
Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні: 
Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула: 
Формула площі основи трикутної піраміди може бути іншою. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.
Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується на підставі піраміди. Підставимо дані у формулу: 
Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи. 
Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні по вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:
Підставляємо дані у формулу: 
Тепер знайдемо площу основи: 
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди: 
При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.
Піраміда, в основі якої лежить правильний шестикутник, а бічні сторони утворюються правильними трикутниками, називається шестикутної.
Цей багатогранник відрізняється безліччю властивостей:
- Усі сторони та кути основи рівні між собою;
- Усі ребра та двогранні вугілля піраміди також рівні між собою;
- Трикутники, що утворюють бічні сторони однакові, відповідно, мають однакові площі, сторони і висоти.
Для розрахунку площі правильної шестикутної піраміди застосовується стандартна формула площі бокової поверхні шестикутної піраміди:
де P – периметр основи, a – довжина апофеми піраміди. У більшості випадків можна розрахувати бічну площу за цією формулою, проте іноді можна скористатися й іншим методом. Так як бічні грані піраміди утворені рівними трикутниками, можна знайти площу одного трикутника, а потім помножити його на кількість бічних сторін. У шестикутній піраміді їх 6. Але цей спосіб можна застосовувати і при розрахунку. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні шестикутної піраміди.
Нехай дано правильну шестикутну піраміду, в якій апофема дорівнює a = 7 см, сторона основи b = 3 см. Розрахуйте площу бічної поверхні багатогранника.
Для початку знайдемо периметр основи. Тому що піраміда правильна - в її основі лежить правильний шестикутник. Отже, всі його сторони рівні, а периметр розраховується за такою формулою:
Підставляємо дані у формулу:
Тепер можемо легко знайти площу бічної поверхні, підставивши знайдене значення в основну формулу: 
Також важливим моментом є пошук площі основи. Формула площі основи шестикутної піраміди виводиться із властивостей правильного шестикутника: 
Розглянемо приклад розрахунку площі основи шестикутної піраміди, взявши за основу умови з минулого прикладу. З них ми знаємо, що сторона основи b = 3 см. Підставимо дані до формули: 
Формула площі шестикутної піраміди являє собою суму площі основи та бічної розгортки: 
Розглянемо приклад розрахунку площі шестикутної піраміди.
Нехай дана піраміда, в основі якої лежить правильний шестикутник зі стороною b = 4 см. Апофема заданого багатогранника дорівнює a = 6 см. Знайдіть повну площу.
Ми знаємо, що повна площа складається з площ основи та бічної розгортки. Тому спершу знайдемо їх. Розрахуємо периметр:
Тепер знайдемо площу бічної поверхні: 
Далі розраховуємо площу основи, в якій лежить правильний шестикутник: 
Тепер можемо скласти результати:
