Нулі функції
Нулем функції називається те значення х, при якому функція звертається до 0, тобто f(x)=0.

Нулі – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.

Парність функції
Функція називається парною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = f(x)

Парна функція симетрична щодо осі Оу

Непарність функції
Функція називається непарною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).

Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду.

Зростання функції
Функція f(x) називається зростаючою, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції, тобто. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1)

Зменшення функції
Функція f(x) називається спадною, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції, тобто. x 2 >x 1 → f(x 2)
Проміжки, на яких функція або лише зменшується, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f(x) має 3 проміжки монотонності:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання та зменшення функції

Локальний максимум
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0) > f(x)

Локальний мінімум
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0)< f(x).

Точки локального максимуму та точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму.

x 1 x 2 - точки локального екстремуму.

Періодичність функції
Функція f(x) називається періодичною, з періодом Т, якщо для будь-кого хвиконується рівність f(x+T) = f(x).

Проміжки знакостійності
Проміжки, у яких функція або лише позитивна, або лише негативна, називаються проміжками знакопостійності.

f(x)>0 при x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Безперервність функції
Функція f(x) називається безперервною в точці x 0 якщо межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто. .

Точки розриву
Точки, в яких порушена умова безперервності, називаються точками розриву функції.

x 0- Точка розриву.

Загальна схема для побудови графіків функцій

1. Знайти область визначення функції D(y).
2. Знайти точки перетину графіка функцій з осями координат.
3. Дослідити функцію на парність чи непарність.
4. Дослідити функцію на періодичність.
5. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції.
6. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.
7. Знайти асимптоти функції.
8. За наслідками дослідження побудувати графік.

Приклад:Дослідити функцію та побудувати її графік: y = x 3 – 3x
8) За результатами дослідження побудуємо графік функції:

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій із іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями у соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати та вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами іабо відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий переддень Нового Року... морозна погода та сніжинки на шибці... Все це спонукало мене знову написати про... фрактали, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. Із цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо складніші приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що й те й інше є безліч, у даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку форму, як і сама вихідна фігура. Тобто це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми бачитимемо ту саму форму, що і без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (не фракталу), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають простішу форму, ніж вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає як відрізок прямий. З фракталами такого не відбувається: за будь-якого їх збільшення ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням повторюватиметься знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактал, у своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які однаково складні у своїх деталях, як і у своїй загальній формі. Тобто якщо частина фракталу буде збільшена до розміру цілого, вона виглядатиме, як ціле, або точно, або, можливо, з невеликою деформацією".

- (матем.) Функція у = f(x) називається парною, якщо вона не змінюється, коли незалежне змінне змінює тільки знак, тобто якщо f(x) = f(x). Якщо ж f(x) = f(x), то функція f(x) називається непарною. Наприклад, у = cosx, у = x2 ...

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

Функція, що задовольняє рівність f(x) = f(x). Див. парні та непарні функції … Велика Радянська Енциклопедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

Спеціальні функції, введені французьким математиком Е. Матьє (E. Mathieu) у 1868 р. при вирішенні завдань про коливання еліптичної мембрани. М. ф. застосовуються також при вивченні поширення електромагнітних хвиль в еліптичному циліндрі. Велика Радянська Енциклопедія

Запит "sin" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія

Парність і непарність функції одна із основних її властивостей, і парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.

Визначимо парність функції. Власне кажучи, досліджувану функцію вважають парною, якщо протилежних значень незалежної змінної (x), що у її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.

Дамо більш суворе визначення. Розглянемо деяку функцію f(x), яка задана в області D. Вона буде парною, якщо для будь-якої точки x, що знаходиться в області визначення:

• -x (протилежна точка) також лежить у цій галузі визначення,

• f(-x) = f(x).

З наведеного визначення випливає умова, необхідна області визначення подібної функції, а саме, симетричність щодо точки О, що є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить в цій області. З вищесказаного, таким чином, випливає висновок: парна функція має симетричний до осі ординат (Oy) вигляд.

Як на практиці визначити парність функції?

Нехай задається з допомогою формули h(x)=11^x+11^(-x). Наслідуючи алгоритм, що випливає безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, тобто перша умова виконана.

Наступним кроком підставимо замість аргументу (x) протилежне значення (-x).
Отримуємо:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Оскільки додавання задовольняє комутативному (переміщувальному) закону, очевидно, h(-x) = h(x) і задана функціональна залежність - парна.

Перевіримо парність функції h(x)=11^x-11^(-x). Наслідуючи той самий алгоритм, отримуємо, що h(-x) = 11^(-x) -11^x. Винісши мінус, у підсумку, маємо
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Отже, h(x) – непарна.

До речі, слід нагадати, що є функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.

Парні функції мають низку цікавих властивостей:

• в результаті складання подібних функцій одержують парну;
• в результаті віднімання таких функцій отримують парну;
• парна, також парна;
• в результаті множення двох таких функцій одержують парну;
• в результаті множення непарної та парної функцій отримують непарну;
• в результаті поділу непарної та парної функцій отримують непарну;
• похідна такої функції – непарна;
• якщо звести непарну функцію квадрат, отримаємо парну.

Чітність функції можна використовувати під час вирішення рівнянь.

Щоб вирішити рівняння типу g(x) = 0, де ліва частина рівняння є парною функцією, буде цілком достатньо знайти її рішення для невід'ємних значень змінної. Отримані коріння рівняння необхідно поєднати з протилежними числами. Один із них підлягає перевірці.

Це успішно застосовують для вирішення нестандартних завдань з параметром.

Наприклад, чи є значення параметра a, при якому рівняння 2x^6-x^4-ax^2=1 матиме три корені?

Якщо врахувати, що змінна входить у рівняння парних ступенях, то зрозуміло, що заміна х на - х задане рівняння не змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то ним є і протилежне число. Висновок очевидний: коріння рівняння, відмінне від нуля, входить у безліч його рішень «парами».

Зрозуміло, що саме число 0 не є, тобто число коренів подібного рівняння може бути парним і, природно, ні за якого значення параметра воно не може мати трьох коренів.

І це число коренів рівняння 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може бути непарним, причому будь-якого значення параметра. Справді, легко перевірити, що багато коренів даного рівняння містить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці його рівняння, отримуємо 2=2 . Таким чином, окрім «парних» 0 також є коренем, що й доводить їх непарну кількість.

Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі.

Визначення 1.

Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х).

Визначення 2.

Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х).

Довести, що у = х 4 – парна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною.

Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.

Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною.

Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними.

Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число, можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n – парне число, то функція у = хn – парна.

Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х).

Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною.

Вивчення питання, чи є задана функція парної чи непарної, зазвичай називають дослідженням функції на парність.

У визначеннях 1 і 2 йдеться про значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, в той час як )