Формули скороченого множення.

Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми та квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми та куба різниці двох виразів; суми та різниці кубів двох виразів.

Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.

Для спрощення виразів, розкладання багаточленів на множники, приведення багаточленів до стандартного виду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.

Нехай а, b R. Тоді:

1. Квадрат суми двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат різниці двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.

приклад 1.

Обчислити

а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

приклад 2.

Обчислити

Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо

приклад 3.

Спростити вираз

(х - у) 2 + (х + у) 2

Скористаємося формулами квадрата суми та квадрата різниці двох виразів

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формули скороченого множення в одній таблиці:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидкого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох многочленов.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне вирішення різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна одержати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).

Зручно знати формули, що застосовуються для скороченого множення, на згадку, тому що вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до цього списку, та їх найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного добутку першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрат другого числа. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: (а - с) ² = а ² - 2ас + с ².

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: a² - с² = (a + с) · (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потрійного твору квадрата першого доданку та другого, потрійного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сума кубів

Відповідно до формули, дорівнює добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: а + с = (а + с) · (а - ас + с?).

приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потрійного негативного добутку квадрата першого члена на другий, потрійного добутку першого члена на квадрат другого та від'ємного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ = а - 3а + + 3ас - с.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, що дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді різниця кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).

приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яка значно спростить обчислення.

Різниця квадратів

Виведемо формулу різниці квадратів $a^2-b^2$.

Для цього згадаємо таке правило:

Якщо до вислову додати будь-який одночлен і відняти такий самий одночлен, ми отримаємо правильне тотожність.

Додамо до нашого виразу і віднімемо з нього одночлен $ab$:

Отже, отримаємо:

Тобто різниця квадратів двох одночленів дорівнює добутку їх різниці на їх суму.

Приклад 1

Подати у вигляді твору $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Сума кубів

Виведемо формулу суми кубів $a^3+b^3$.

Винесемо за дужки спільні множники:

Винесемо за дужки $\left(a+b\right)$:

Отже, отримаємо:

Тобто сума кубів двох одночленів дорівнює добутку їх суми на неповний квадрат їх різниці.

Приклад 2

Подати у вигляді твору $(8x)^3+y^3$

Даний вираз можна переписати в такому вигляді:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Використовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Різниця кубів

Виведемо формулу різницю кубів $a^3-b^3$.

Для цього будемо користуватися тим самим правилом, що й вище.

Додамо до нашого виразу і віднімемо з нього одночлени $a^2b\ і (ab)^2$:

Винесемо за дужки спільні множники:

Винесемо за дужки $\left(a-b\right)$:

Отже, отримаємо:

Тобто різниця кубів двох одночленів дорівнює добутку їх різниці на неповний квадрат їх суми.

Приклад 3

Подати у вигляді твору $(8x)^3-y^3$

Даний вираз можна переписати в такому вигляді:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Використовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Приклад завдань використання формул різниці квадратів і суми і різниці кубів

Приклад 4

Розкласти на множники.

а) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Рішення:

а) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Застосовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Запишемо цей вираз у вигляді:

Застосуємо формулу куми кубів:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Запишемо цей вираз у вигляді:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Застосуємо формулу куми кубів:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]

У попередніх уроках ми розглянули два способи розкладання багаточлена на множники: винесення загального множника за дужки та спосіб угруповання.

У цьому уроці ми розглянемо ще один спосіб розкладання багаточлену на множники із застосуванням формул скороченого множення.

Рекомендуємо кожну формулу прописати щонайменше 12 разів. Для кращого запам'ятовування випишіть усі формули скороченого множення собі на невелику шпаргалку.

Згадаймо, як виглядає формула різниці кубів.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула різниці кубів не дуже проста для запам'ятовування, тому рекомендуємо використовувати спеціальний спосіб її запам'ятовування.

Важливо розуміти, що будь-яка формула скороченого множення діє і в зворотний бік.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Розглянемо приклад. Необхідно розкласти на множники різницю кубів.

Звернімо увагу, що «27а 3» - це «(3а) 3 », отже, для формули різниці кубів замість «a» ми використовуємо «3a».

Використовуємо формулу різниці кубів. На місці «a3» у нас стоїть «27a3», а на місці «b3», як і у формулі, стоїть «b3».

Застосування різниці кубів у зворотний бік

Розглянемо інший приклад. Потрібно перетворити добуток багаточленів у різницю кубів, використовуючи формулу скороченого множення.

Зверніть увагу, що добуток багаточленів «(x − 1)(x 2 + x + 1)» нагадує праву частину формули різниці кубів «», тільки замість «a» стоїть «x», а на місці «b» стоїть «1» .

Використовуємо для «(x − 1)(x 2 + x + 1)» формулу різниці кубів у зворотний бік.

Розглянемо приклад важче. Потрібно спростити твір багаточленів.

Якщо порівняти «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » з правою частиною формули різниці кубів
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)», то можна зрозуміти, що на місці «a» з першої дужки стоїть «y 2», а на місці «b» стоїть «1».