Často to znie ako časť roviny, ktorá je ohraničená kruhom. Obvod kruhu je plochá uzavretá krivka. Všetky body umiestnené na krivke sú rovnako vzdialené od stredu kružnice. V kruhu je jeho dĺžka a obvod rovnaké. Pomer dĺžky ľubovoľného kruhu a jeho priemeru je konštantný a označuje sa číslom π = 3,1415.

Určenie obvodu kruhu

Obvod kruhu s polomerom r sa rovná dvojnásobku súčinu polomeru r a čísla π(~3,1415)

Vzorec obvodu kruhu

Obvod kruhu s polomerom \(r\) :

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – obvod (obvod).

\(r\) – polomer.

\(d\) – priemer.

Kružnicu budeme nazývať geometrickým útvarom, ktorý pozostáva zo všetkých takých bodov, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od ktoréhokoľvek daného bodu.

Stred kruhu budeme nazývať bod, ktorý je špecifikovaný v definícii 1.

Polomer kruhu budeme nazývať vzdialenosť od stredu tohto kruhu k ľubovoľnému jeho bodu.

V karteziánskom súradnicovom systéme \(xOy\) môžeme zaviesť aj rovnicu ľubovoľného kruhu. Označme stred kružnice bodom \(X\) , ktorý bude mať súradnice \((x_0,y_0)\) . Nech sa polomer tejto kružnice rovná \(τ\) . Zoberme si ľubovoľný bod \(Y\), ktorého súradnice označíme \((x,y)\) (obr. 2).

Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi v našom danom súradnicovom systéme dostaneme:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

Na druhej strane, \(|XY| \) je vzdialenosť od ľubovoľného bodu na kruhu do stredu, ktorý sme si vybrali. To znamená, že podľa definície 3 dostaneme, že \(|XY|=τ\) , teda

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Dostaneme teda, že rovnica (1) je rovnicou kruhu v karteziánskom súradnicovom systéme.

Obvod (obvod kruhu)

Dĺžku ľubovoľného kruhu \(C\) odvodíme pomocou jeho polomeru rovného \(τ\) .

Budeme uvažovať o dvoch ľubovoľných kruhoch. Ich dĺžky označme \(C\) a \(C"\) , ktorých polomery sa rovnajú \(τ\) a \(τ"\) . Do týchto kružníc vpíšeme pravidelné \(n\)-uholníky, ktorých obvody sa rovnajú \(ρ\) a \(ρ"\), dĺžky strán sa rovnajú \(α\) a \ (α"\), resp. Ako vieme, strana pravidelného \(n\) štvorca vpísaného do kruhu sa rovná

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Potom to získame

\(ρ=na=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Chápeme, že vzťah \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) budú pravdivé bez ohľadu na počet strán vpísaných pravidelných mnohouholníkov. Teda

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

Na druhej strane, ak nekonečne zväčšujeme počet strán vpísaných pravidelných mnohouholníkov (tj \(n→∞\)), dostaneme rovnosť:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Z posledných dvoch rovnosti dostaneme to

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Vidíme, že pomer obvodu kruhu k jeho dvojnásobnému polomeru je vždy rovnaké číslo, bez ohľadu na výber kruhu a jeho parametrov, tj.

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Táto konštanta by sa mala nazývať číslo „pi“ a označovať \(π\) . Toto číslo sa bude približne rovnať \(3,14\) (neexistuje presná hodnota tohto čísla, pretože ide o iracionálne číslo). Teda

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Nakoniec zistíme, že obvod (obvod kruhu) je určený vzorcom

\(C=2πτ\)

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!

Kruh sa skladá z mnohých bodov, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od stredu. Ide o plochý geometrický útvar a nie je ťažké nájsť jeho dĺžku. S kruhom a kruhom sa človek stretáva každý deň bez ohľadu na to, v akej oblasti pracuje. Veľa zeleniny a ovocia, zariadenia a mechanizmy, riad a nábytok sú okrúhleho tvaru. Kruh je množina bodov, ktoré ležia v rámci hraníc kruhu. Preto sa dĺžka postavy rovná obvodu kruhu.

V kontakte s

Charakteristika postavy

Okrem toho, že popis pojmu kruh je pomerne jednoduchý, sú ľahko pochopiteľné aj jeho charakteristiky. S ich pomocou môžete vypočítať jeho dĺžku. Vnútorná časť kruhu pozostáva z mnohých bodov, medzi ktorými sú dva - A a B - viditeľné v pravom uhle. Tento segment sa nazýva priemer, pozostáva z dvoch polomerov.

Vo vnútri kruhu sú body X také, ktorý sa nemení a nerovná sa jednote, pomer AX/BX. V kruhu musí byť táto podmienka splnená, inak tento obrazec nemá tvar kruhu. Každý bod, ktorý tvorí obrazec, podlieha nasledujúcemu pravidlu: súčet štvorcov vzdialeností od týchto bodov k ostatným dvom vždy presahuje polovicu dĺžky segmentu medzi nimi.

Základné kruhové pojmy

Na to, aby ste vedeli nájsť dĺžku postavy, potrebujete poznať základné pojmy, ktoré sa jej týkajú. Hlavnými parametrami figúry sú priemer, polomer a akord. Polomer je segment spájajúci stred kruhu s ktorýmkoľvek bodom na jeho krivke. Veľkosť tetivy sa rovná vzdialenosti medzi dvoma bodmi na krivke obrazca. Priemer - vzdialenosť medzi bodmi, prechádzajúci stredom postavy.

Základné vzorce pre výpočty

Parametre sa používajú vo vzorcoch na výpočet rozmerov kruhu:

Priemer vo výpočtových vzorcoch

V ekonómii a matematike je často potrebné nájsť obvod kruhu. Ale v bežnom živote sa s touto potrebou môžete stretnúť napríklad pri stavbe plotu okolo okrúhleho bazéna. Ako vypočítať obvod kruhu podľa priemeru? V tomto prípade použite vzorec C = π*D, kde C je požadovaná hodnota, D je priemer.

Napríklad šírka bazéna je 30 metrov a plotové stĺpiky sa plánujú umiestniť vo vzdialenosti desať metrov od neho. V tomto prípade je vzorec na výpočet priemeru: 30+10*2 = 50 metrov. Požadovaná hodnota (v tomto príklade dĺžka plotu): 3,14*50 = 157 metrov. Ak stoja plotové stĺpiky vo vzdialenosti troch metrov od seba, tak ich bude celkovo potrebných 52 ks.

Výpočty polomeru

Ako vypočítať obvod kruhu zo známeho polomeru? Na tento účel použite vzorec C = 2*π*r, kde C je dĺžka, r je polomer. Polomer v kruhu je polovica priemeru a toto pravidlo môže byť užitočné v každodennom živote. Napríklad v prípade prípravy koláča v posuvnej forme.

Aby sa kulinársky výrobok neznečistil, je potrebné použiť dekoratívny obal. Ako vyrezať papierový kruh vhodnej veľkosti?

Tí, ktorí sa trochu orientujú v matematike, chápu, že v tomto prípade musíte číslo π vynásobiť dvojnásobkom polomeru použitého tvaru. Napríklad priemer tvaru je 20 centimetrov, respektíve jeho polomer je 10 centimetrov. Pomocou týchto parametrov sa zistí požadovaná veľkosť kruhu: 2*10*3, 14 = 62,8 centimetrov.

Šikovné metódy výpočtu

Ak nie je možné nájsť obvod pomocou vzorca, mali by ste použiť dostupné metódy na výpočet tejto hodnoty:

• Ak je okrúhly predmet malý, jeho dĺžku možno zistiť pomocou lana, ktoré sa okolo neho raz omotá.
• Veľkosť veľkého predmetu sa meria nasledovne: lano sa položí na rovný povrch a raz sa po ňom prevalí kruh.
• Moderní študenti a školáci používajú na výpočty kalkulačky. Online môžete zistiť neznáme množstvá pomocou známych parametrov.

Okrúhle predmety v dejinách ľudského života

Prvý výrobok okrúhleho tvaru, ktorý človek vynašiel, bolo koleso. Prvé konštrukcie boli malé guľaté guľatiny namontované na osi. Potom prišli kolesá vyrobené z drevených lúčov a ráfikov. Postupne boli do výrobku pridávané kovové časti, aby sa znížilo opotrebovanie. Vedci minulých storočí hľadali vzorec na výpočet tejto hodnoty, aby zistili dĺžku kovových pásikov na čalúnenie kolies.

Hrnčiarsky kruh má tvar kruhu, väčšina dielov v zložitých mechanizmoch, konštrukcie vodných mlynov a kolovratov. V stavebníctve sa často nachádzajú okrúhle predmety - rámy kruhových okien v románskom architektonickom štýle, okenné otvory na lodiach. Architekti, inžinieri, vedci, mechanici a dizajnéri sa pri svojej profesionálnej činnosti každý deň stretávajú s potrebou vypočítať rozmery kruhu.

Kruh sa v každodennom živote nachádza nie menej často ako obdĺžnik. A pre mnohých ľudí je problém, ako vypočítať obvod, ťažký. A to všetko preto, že nemá žiadne rohy. Keby boli k dispozícii, všetko by bolo oveľa jednoduchšie.

Čo je to kruh a kde sa vyskytuje?

Tento plochý obrazec predstavuje niekoľko bodov, ktoré sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od iného, ​​ktorý je stredom. Táto vzdialenosť sa nazýva polomer.

V každodennom živote nie je často potrebné vypočítať obvod kruhu, s výnimkou ľudí, ktorí sú inžiniermi a dizajnérmi. Vytvárajú návrhy mechanizmov, ktoré využívajú napríklad ozubené kolesá, okienka a kolesá. Architekti vytvárajú domy s okrúhlymi alebo oblúkovými oknami.

Každý z týchto a ďalších prípadov si vyžaduje svoju presnosť. Navyše sa ukazuje, že nie je možné vypočítať obvod úplne presne. Je to spôsobené nekonečnosťou hlavného čísla vo vzorci. "Pí" sa stále zdokonaľuje. A najčastejšie sa používa zaokrúhlená hodnota. Stupeň presnosti sa volí tak, aby bola daná najsprávnejšia odpoveď.

Označenia veličín a vzorce

Teraz je ľahké odpovedať na otázku, ako vypočítať obvod kruhu podľa polomeru; na to budete potrebovať nasledujúci vzorec:

Keďže polomer a priemer spolu súvisia, existuje ďalší vzorec na výpočty. Keďže je polomer dvakrát menší, výraz sa mierne zmení. A vzorec na výpočet obvodu kruhu so znalosťou priemeru bude nasledujúci:

l = π * d.

Čo ak potrebujete vypočítať obvod kruhu?

Nezabudnite, že kruh zahŕňa všetky body vo vnútri kruhu. To znamená, že jeho obvod sa zhoduje s jeho dĺžkou. A po výpočte obvodu dajte znamienko rovnosti s obvodom kruhu.

Mimochodom, ich označenia sú rovnaké. To platí pre polomer a priemer a obvod je latinské písmeno P.

Príklady úloh

Úloha jedna

Podmienka. Zistite dĺžku kruhu, ktorého polomer je 5 cm.

Riešenie. Tu nie je ťažké pochopiť, ako vypočítať obvod. Stačí použiť prvý vzorec. Keďže je polomer známy, stačí len nahradiť hodnoty a vypočítať. 2 vynásobené polomerom 5 cm dáva 10. Zostáva len vynásobiť ho hodnotou π. 3,14 x 10 = 31,4 (cm).

odpoveď: l = 31,4 cm.

Úloha dva

Podmienka. Existuje koleso, ktorého obvod je známy a rovná sa 1256 mm. Je potrebné vypočítať jeho polomer.

Riešenie. V tejto úlohe budete musieť použiť rovnaký vzorec. Ale iba známa dĺžka bude musieť byť rozdelená na súčin 2 a π. Ukazuje sa, že produkt poskytne výsledok: 6.28. Po rozdelení zostáva číslo: 200. Toto je požadovaná hodnota.

odpoveď: r = 200 mm.

Úloha tri

Podmienka. Vypočítajte priemer, ak je známy obvod kruhu, ktorý je 56,52 cm.

Riešenie. Podobne ako v predchádzajúcom probléme, budete musieť vydeliť známu dĺžku hodnotou π zaokrúhlenou na najbližšiu stotinu. V dôsledku tejto akcie sa získa číslo 18. Získa sa výsledok.

odpoveď: d = 18 cm.

Problém štyri

Podmienka. Hodinové ručičky sú dlhé 3 a 5 cm. Musíte vypočítať dĺžky kruhov, ktoré opisujú ich konce.

Riešenie. Keďže šípky sa zhodujú s polomermi kruhov, je potrebný prvý vzorec. Musíte ho použiť dvakrát.

Pre prvú dĺžku bude výrobok pozostávať z faktorov: 2; 3,14 a 3. Výsledok bude 18,84 cm.

Pre druhú odpoveď je potrebné vynásobiť 2, π a 5. Produkt dá číslo: 31,4 cm.

odpoveď: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Úloha piata

Podmienka. Veverička beží v kolese s priemerom 2 m. Ako ďaleko ubehne za jednu celú otáčku kolesa?

Riešenie. Táto vzdialenosť sa rovná obvodu. Preto musíte použiť vhodný vzorec. Konkrétne vynásobte hodnotu π a 2 m. Výpočty dávajú výsledok: 6,28 m.

odpoveď: Veverička beží 6,28 m.

Veľmi často pri riešení školských úloh z fyziky alebo prírodných vied vyvstáva otázka - ako nájsť obvod kruhu, keď poznáme jeho priemer? V skutočnosti neexistujú žiadne ťažkosti pri riešení tohto problému, stačí si jasne predstaviť, čo vzorce Na to sú potrebné pojmy a definície.

V kontakte s

Základné pojmy a definície

1. Polomer je spojovacia čiara stred kruhu a jeho ľubovoľný bod. Označuje sa latinským písmenom r.
2. Tetiva je čiara spájajúca dva ľubovoľné body ležiace na kruhu.
3. Priemer je spojovacia čiara dva body kružnice a prechádzajúce jej stredom. Označuje sa latinským písmenom d.
4. je priamka pozostávajúca zo všetkých bodov umiestnených v rovnakej vzdialenosti od jedného vybraného bodu, nazývaného jeho stred. Jeho dĺžku budeme označovať latinským písmenom l.

Oblasť kruhu je celé územie uzavreté v kruhu. Meria sa v štvorcových jednotkách a označuje sa latinským písmenom s.

Pomocou našich definícií dospejeme k záveru, že priemer kruhu sa rovná jeho najväčšej tetive.

Pozor! Z definície, aký je polomer kruhu, môžete zistiť, aký je priemer kruhu. Toto sú dva polomery usporiadané v opačných smeroch!

Priemer kruhu.

Nájdenie obvodu a plochy kruhu

Ak dostaneme polomer kruhu, potom priemer kruhu je opísaný vzorcom d = 2*r. Aby sme teda odpovedali na otázku, ako nájsť priemer kruhu, keď poznáme jeho polomer, stačí posledný vynásobiť dvomi.

Vzorec pre obvod kruhu vyjadrený jeho polomerom má tvar l = 2*P*r.

Pozor! Latinské písmeno P (Pi) označuje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru, pričom ide o neperiodický desatinný zlomok. V školskej matematike sa považuje za predtým známu tabuľkovú hodnotu rovnajúcu sa 3,14!

Teraz prepíšme predchádzajúci vzorec, aby sme našli obvod kruhu cez jeho priemer, pričom si zapamätáme, aký je jeho rozdiel vo vzťahu k polomeru. Ukáže sa: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

Z kurzu matematiky vieme, že vzorec opisujúci obsah kruhu má tvar: s = П*r^2.

Teraz prepíšme predchádzajúci vzorec, aby sme našli oblasť kruhu cez jeho priemer. Dostaneme,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Jednou z najťažších úloh v tejto téme je určenie oblasti kruhu cez obvod a naopak. Využime skutočnosť, že s = П*r^2 a l = 2*П*r. Odtiaľ dostaneme r = l/(2*П). Dosadíme výsledný výraz pre polomer do vzorca pre oblasť, dostaneme: s = l^2/(4П). Úplne podobným spôsobom je obvod určený cez oblasť kruhu.

Určenie dĺžky a priemeru polomeru

Dôležité! Najprv sa naučme, ako merať priemer. Je to veľmi jednoduché - nakreslite ľubovoľný polomer, predĺžte ho v opačnom smere, kým sa nepretína s oblúkom. Výslednú vzdialenosť odmeriame kompasom a pomocou akéhokoľvek metrického prístroja zistíme, čo hľadáme!

Odpovedzme na otázku, ako zistiť priemer kruhu, keď poznáme jeho dĺžku. Aby sme to dosiahli, vyjadríme to zo vzorca l = П*d. Dostaneme d = l/P.

Z obvodu kruhu už vieme zistiť jeho priemer a rovnakým spôsobom vieme zistiť aj jeho polomer.

l = 2*P*r, teda r = l/2*P. Vo všeobecnosti, ak chcete zistiť polomer, musí byť vyjadrený ako priemer a naopak.

Predpokladajme, že teraz musíte určiť priemer a poznať oblasť kruhu. Využívame fakt, že s = П*d^2/4. Vyjadrime d odtiaľto. Vyjde to d^2 = 4*s/P. Ak chcete určiť samotný priemer, budete musieť extrahovať odmocnina z pravej strany. Ukázalo sa, že d = 2 * sqrt (s / P).

Riešenie typických úloh

1. Poďme zistiť, ako zistiť priemer, ak je daný obvod. Nech sa rovná 778,72 kilometra. Vyžaduje sa nájsť d. d = 778,72/3,14 = 248 kilometrov. Spomeňme si, čo je priemer a okamžite určme polomer, aby sme to urobili, rozdelíme hodnotu d určenú vyššie na polovicu. Vyjde to r = 248/2 = 124 kilometer
2. Uvažujme, ako nájsť dĺžku daného kruhu, keď poznáme jeho polomer. Nech r má hodnotu 8 dm 7 cm Prepočítajme to všetko na centimetre, potom sa r bude rovnať 87 centimetrom. Pomocou vzorca nájdeme neznámu dĺžku kruhu. Potom sa naša požadovaná hodnota bude rovnať l = 2 x 3,14 x 87 = 546,36 cm. Našu získanú hodnotu preveďme na celé čísla metrických veličín l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Musíme určiť plochu daného kruhu pomocou vzorca prostredníctvom jeho známeho priemeru. Nech d = 815 metrov. Spomeňme si na vzorec na nájdenie oblasti kruhu. Nahradme hodnoty, ktoré nám tu boli dané, dostaneme s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 štvorcových. m.
4. Teraz sa naučíme, ako nájsť oblasť kruhu, pričom poznáme dĺžku jeho polomeru. Nech je polomer 38 cm Použijeme nám známy vzorec. Nahradme tu hodnotu, ktorú nám dáva podmienka. Získate nasledovné: s = 3,14*38^2 = 4534,16 štvorcových. cm.
5. Poslednou úlohou je určiť oblasť kruhu na základe známeho obvodu. Nech l = 47 metrov. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 sq. m.

Obvod