V tejto lekcii sa pozrieme na to, ako použiť determinant na vytvorenie rovinná rovnica. Ak neviete, čo je determinant, prejdite na prvú časť lekcie - „Matice a determinanty“. V opačnom prípade riskujete, že v dnešnom materiáli ničomu nerozumiete.

Rovnica roviny pomocou troch bodov

Prečo vôbec potrebujeme rovinnú rovnicu? Je to jednoduché: keď to vieme, môžeme ľahko vypočítať uhly, vzdialenosti a iné svinstvá v úlohe C2. Vo všeobecnosti sa bez tejto rovnice nezaobídete. Preto problém formulujeme:

Úloha. V priestore sú uvedené tri body, ktoré neležia na tej istej priamke. Ich súradnice:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x3,y3,z3);

Musíte vytvoriť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu týmito tromi bodmi. Okrem toho by rovnica mala vyzerať takto:

Ax + By + Cz + D = 0

kde čísla A, B, C a D sú koeficienty, ktoré je v skutočnosti potrebné nájsť.

Ako získať rovnicu roviny, ak sú známe iba súradnice bodov? Najjednoduchší spôsob je dosadiť súradnice do rovnice Ax + By + Cz + D = 0. Získate systém troch rovníc, ktoré sa dajú ľahko vyriešiť.

Mnoho študentov považuje toto riešenie za mimoriadne zdĺhavé a nespoľahlivé. Minuloročná Jednotná štátna skúška z matematiky ukázala, že pravdepodobnosť, že urobíte chybu vo výpočte, je naozaj vysoká.

Najpokročilejší učitelia preto začali hľadať jednoduchšie a elegantnejšie riešenia. A našli to! Pravda, získaná technika sa týka skôr vyššej matematiky. Osobne som sa musel prehrabať celým federálnym zoznamom učebníc, aby som sa uistil, že máme právo používať túto techniku ​​bez akéhokoľvek odôvodnenia a dôkazov.

Rovnica roviny cez determinant

Dosť bolo textov, poďme na vec. Na začiatok veta o tom, ako súvisí determinant matice a rovnica roviny.

Veta. Nech sú dané súradnice troch bodov, cez ktoré treba nakresliť rovinu: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y3, z 3). Potom možno rovnicu tejto roviny zapísať cez determinant:

Ako príklad skúsme nájsť dvojicu rovín, ktoré sa skutočne vyskytujú v úlohách C2. Pozrite sa, ako rýchlo sa všetko vypočíta:

Ai = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Zložíme determinant a prirovnáme ho k nule:

Rozšírime determinant:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 10 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Ako vidíte, pri výpočte čísla d som rovnicu trochu „učesal“, aby premenné x, y a z boli v správnom poradí. To je všetko! Rovnica roviny je pripravená!

Úloha. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Okamžite dosadíme súradnice bodov do determinantu:

Opäť rozširujeme determinant:

a = 11 z + 01 x + 10 y = z;
b = 11 x + 00 z + 11 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Takže rovnica roviny je opäť získaná! Opäť sme v poslednom kroku museli zmeniť znaky v ňom, aby sme získali „krásnejší“ vzorec. V tomto riešení to nie je vôbec potrebné, ale aj tak sa to odporúča - zjednodušiť ďalšie riešenie problému.

Ako vidíte, skladanie rovnice roviny je teraz oveľa jednoduchšie. Dosadíme body do matice, vypočítame determinant - a je to, rovnica je pripravená.

Tým by sa lekcia mohla skončiť. Mnoho študentov však neustále zabúda, čo je vo vnútri determinantu. Napríklad, ktorý riadok obsahuje x 2 alebo x 3 a ktorý riadok obsahuje iba x. Aby sme to naozaj prehnali, pozrime sa, odkiaľ každé číslo pochádza.

Odkiaľ pochádza vzorec s determinantom?

Poďme teda zistiť, odkiaľ pochádza taká drsná rovnica s determinantom. To vám pomôže zapamätať si ho a úspešne ho aplikovať.

Všetky roviny, ktoré sa objavia v úlohe C2, sú definované tromi bodmi. Tieto body sú vždy vyznačené na výkrese, prípadne aj naznačené priamo v texte úlohy. V každom prípade, aby sme vytvorili rovnicu, budeme musieť zapísať ich súradnice:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y3, z 3).

Zoberme si ďalší bod na našej rovine s ľubovoľnými súradnicami:

T = (x, y, z)

Vezmite ľubovoľný bod z prvých troch bodov (napríklad bod M) a nakreslite z neho vektory do každého z troch zostávajúcich bodov. Dostaneme tri vektory:

MN = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - zi);
MK = (x 3 − x 1, y 3 − y 1, z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1 ).

Teraz z týchto vektorov poskladáme štvorcovú maticu a jej determinant prirovnáme k nule. Súradnice vektorov sa stanú riadkami matice - a dostaneme samotný determinant, ktorý je uvedený vo vete:

Tento vzorec znamená, že objem kvádra postaveného na vektoroch MN, MK a MT je rovný nule. Preto všetky tri vektory ležia v rovnakej rovine. Najmä ľubovoľný bod T = (x, y, z) je presne to, čo sme hľadali.

Nahradenie bodov a čiar determinantu

Determinanty majú niekoľko skvelých vlastností, vďaka ktorým je to ešte jednoduchšie riešenie problému C2. Napríklad nám nezáleží na tom, z ktorého bodu kreslíme vektory. Preto nasledujúce determinanty dávajú rovnakú rovinnú rovnicu ako vyššie:

Môžete tiež vymeniť riadky determinantu. Rovnica zostane nezmenená. Mnohí ľudia napríklad radi píšu čiaru so súradnicami bodu T = (x; y; z) úplne hore. Prosím, ak je to pre vás výhodné:

Niekoho mätie, že jedna z čiar obsahuje premenné x, y a z, ktoré pri dosadzovaní bodov nezmiznú. Ale nemali by zmiznúť! Nahradením čísel do determinantu by ste mali dostať túto konštrukciu:

Potom sa determinant rozšíri podľa diagramu uvedeného na začiatku lekcie a získa sa štandardná rovnica roviny:

Ax + By + Cz + D = 0

Pozrite si príklad. Je to posledná v dnešnej lekcii. Zámerne vymením čiary, aby som sa uistil, že odpoveď poskytne rovnakú rovnicu roviny.

Úloha. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1,1,0);
D1 = (0, 1, 1).

Takže zvážime 4 body:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1,1,0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najprv vytvorte štandardný determinant a prirovnajte ho k nule:

Rozšírime determinant:

a = 01 (z - 1) + 10 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je všetko, dostali sme odpoveď: x + y + z − 2 = 0.

Teraz preusporiadame pár riadkov v determinante a uvidíme, čo sa stane. Napríklad napíšme riadok s premennými x, y, z nie dole, ale hore:

Výsledný determinant opäť rozšírime:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 10 + y (−1) (−1) + (x − 1) 10 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dostali sme presne rovnakú rovinnú rovnicu: x + y + z − 2 = 0. To znamená, že naozaj nezáleží na poradí riadkov. Zostáva už len zapísať odpoveď.

Sme teda presvedčení, že rovnica roviny nezávisí od postupnosti priamok. Môžeme vykonať podobné výpočty a dokázať, že rovnica roviny nezávisí od bodu, ktorého súradnice odčítame od iných bodov.

Vo vyššie uvedenom probléme sme použili bod B 1 = (1, 0, 1), ale bolo celkom možné vziať C = (1, 1, 0) alebo D 1 = (0, 1, 1). Vo všeobecnosti akýkoľvek bod so známymi súradnicami ležiaci v požadovanej rovine.

Aby sme získali všeobecnú rovnicu roviny, analyzujme rovinu prechádzajúcu daným bodom.

Nech sú nám vo vesmíre už známe tri súradnicové osi - Vôl, Oj A Oz. Držte list papiera tak, aby zostal rovný. Rovina bude samotný list a jeho pokračovanie vo všetkých smeroch.

Nechaj Pľubovoľná rovina vo vesmíre. Každý vektor, ktorý je naň kolmý, sa nazýva normálny vektor do tejto roviny. Prirodzene, hovoríme o nenulovom vektore.

Ak je známy nejaký bod na rovine P a nejaký normálový vektor k tomu, potom týmito dvoma podmienkami je rovina v priestore úplne definovaná(cez daný bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na daný vektor). Všeobecná rovnica roviny bude:

Takže podmienky, ktoré definujú rovnicu roviny, sú. Získať seba rovinná rovnica, ktorý má vyššie uvedený tvar, nastúpte do lietadla P svojvoľný bod M s variabilnými súradnicami X, r, z. Tento bod patrí do roviny iba vtedy, ak vektor kolmo na vektor(obr. 1). Na to je podľa podmienky kolmosti vektorov potrebné a postačujúce, aby sa skalárny súčin týchto vektorov rovnal nule, tzn.

Vektor je určený podmienkou. Súradnice vektora nájdeme pomocou vzorca :

.

Teraz pomocou vzorca skalárneho súčinu vektorov , skalárny súčin vyjadrujeme v súradnicovom tvare:

Od veci M(x; y; z) je zvolená ľubovoľne na rovine, potom poslednej rovnici vyhovujú súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho v rovine P. Za bod N, neležiac ​​na danej rovine, t.j. je porušená rovnosť (1).

Príklad 1 Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom a kolmú na vektor.

Riešenie. Použime vzorec (1) a pozrime sa na to znova:

V tomto vzorci čísla A , B A C vektorové súradnice a čísla X0 , r0 A z0 - súradnice bodu.

Výpočty sú veľmi jednoduché: tieto čísla dosadíme do vzorca a dostaneme

Vynásobíme všetko, čo treba vynásobiť a sčítame len čísla (ktoré nemajú písmená). výsledok:

.

Požadovaná rovnica roviny v tomto príklade sa ukázala byť vyjadrená všeobecnou rovnicou prvého stupňa vzhľadom na premenné súradnice x, y, zľubovoľný bod roviny.

Takže rovnica tvaru

volal všeobecná rovinná rovnica .

Príklad 2 Zostrojte v pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme rovinu danú rovnicou .

Riešenie. Na zostrojenie roviny je potrebné a postačujúce poznať všetky tri jej body, ktoré neležia na rovnakej priamke, napríklad priesečníky roviny so súradnicovými osami.

Ako nájsť tieto body? Ak chcete nájsť priesečník s osou Oz, musíte nahradiť nuly za X a Y v rovnici uvedenej v probléme: X = r= 0. Preto dostávame z= 6. Daná rovina teda pretína os Oz v bode A(0; 0; 6) .

Rovnakým spôsobom nájdeme priesečník roviny s osou Oj. O X = z= 0 dostaneme r= −3, teda bod B(0; −3; 0) .

A nakoniec nájdeme priesečník našej roviny s osou Vôl. O r = z= 0 dostaneme X= 2, teda bod C(2; 0; 0). Na základe troch bodov získaných v našom riešení A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) a C(2; 0; 0) zostroj danú rovinu.

Uvažujme teraz špeciálne prípady všeobecnej rovinnej rovnice. Ide o prípady, keď sa určité koeficienty rovnice (2) stanú nulovými.

1. Kedy D= 0 rovnica definuje rovinu prechádzajúcu počiatkom, keďže súradnice bodu 0 (0; 0; 0) spĺňajú túto rovnicu.

2. Kedy A= 0 rovnica definuje rovinu rovnobežnú s osou Vôl, keďže normálový vektor tejto roviny je kolmý na os Vôl(jeho priemet na os Vôl rovná nule). Podobne, keď B= 0 lietadlo rovnobežne s osou Oj, a kedy C= 0 lietadlo rovnobežne s osou Oz.

3. Kedy A=D= Rovnica 0 definuje rovinu prechádzajúcu osou Vôl, pretože je rovnobežná s osou Vôl (A=D= 0). Podobne rovina prechádza osou Oj a rovinou cez os Oz.

4. Kedy A=B= Rovnica 0 definuje rovinu rovnobežnú s rovinou súradníc xOy, keďže je rovnobežná s osami Vôl (A= 0) a Oj (B= 0). Podobne je rovina rovnobežná s rovinou yOz a rovina je rovina xOz.

5. Kedy A=B=D= 0 rovnica (alebo z = 0) definuje súradnicovú rovinu xOy, pretože je rovnobežná s rovinou xOy (A=B= 0) a prechádza cez začiatok ( D= 0). Rovnako tak Eq. y= 0 v priestore definuje súradnicovú rovinu xOz a rovnica x = 0 - rovina súradníc yOz.

Príklad 3 Vytvorte rovnicu roviny P, prechádzajúci cez os Oj a bodka.

Riešenie. Takže rovina prechádza cez os Oj. Preto v jej rovnici r= 0 a táto rovnica má tvar . Na určenie koeficientov A A C využime, že bod patrí rovine P .

Preto sú medzi jeho súradnicami tie, ktoré sa dajú dosadiť do rovinnej rovnice, ktorú sme už odvodili (). Pozrime sa ešte raz na súradnice bodu:

M0 (2; −4; 3) .

Medzi nimi X = 2 , z= 3. Dosadíme ich do všeobecnej rovnice a dostaneme rovnicu pre náš konkrétny prípad:

2A + 3C = 0 .

Nechajte 2 A na ľavej strane rovnice posuňte 3 C na pravú stranu a dostaneme sa

A = −1,5C .

Nahradením zistenej hodnoty A do rovnice, dostaneme

alebo .

Toto je rovnica požadovaná v príklade podmienky.

Vyriešte problém rovinnej rovnice sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 4. Definujte rovinu (alebo roviny, ak je viac ako jednu) vzhľadom na súradnicové osi alebo súradnicové roviny, ak sú roviny dané rovnicou.

Riešenia typických problémov, ktoré sa vyskytujú počas testov, sú v učebnici „Problémy na rovine: rovnobežnosť, kolmosť, priesečník troch rovín v jednom bode“.

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi

Ako už bolo spomenuté, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na zostrojenie roviny sú okrem jedného bodu a normálového vektora aj tri body, ktoré neležia na jednej priamke.

Nech sú uvedené tri rôzne body , a , ktoré neležia na tej istej priamke. Keďže uvedené tri body neležia na tej istej priamke, vektory nie sú kolineárne, a preto akýkoľvek bod v rovine leží v rovnakej rovine s bodmi, a to vtedy a len vtedy, ak vektory , a koplanárny, t.j. vtedy a len vtedy zmiešaný produkt týchto vektorov rovná sa nule.

Pomocou výrazu pre zmiešaný produkt v súradniciach získame rovnicu roviny

(3)

Po odhalení determinantu sa táto rovnica stáva rovnicou tvaru (2), t.j. všeobecná rovnica roviny.

Príklad 5. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke:

a určte špeciálny prípad všeobecnej rovnice priamky, ak sa vyskytne.

Riešenie. Podľa vzorca (3) máme:

Rovnica normálnej roviny. Vzdialenosť od bodu k rovine

Normálna rovnica roviny je jej rovnica, zapísaná v tvare

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na rovnakej priamke.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) vo všeobecnom karteziánskom súradnicovom systéme.

Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine s bodmi M 1, M 2, M 3, je potrebné, aby vektory boli koplanárne.

(
) = 0

teda

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny zadanej dvoma bodmi a vektorom kolineárnym s rovinou.

Nech sú dané body M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) a vektor
.

Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu danými bodmi M 1 a M 2 a ľubovoľným bodom M (x, y, z) rovnobežným s vektorom. .

vektory
a vektor
musia byť koplanárne, t.j.

(
) = 0

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny pomocou jedného bodu a dvoch vektorov,

kolineárne s rovinou.

Nech sú dané dva vektory
A
, kolineárne roviny. Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine, vektory
musí byť koplanárna.

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny bodom a normálovým vektorom .

Veta. Ak je bod M daný v priestore 0 (X 0 , r 0 , z 0 ), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na normálny vektor (A, B, C) má tvar:

A(X – X 0 ) + B(r – r 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor. Pretože vektor je normálový vektor, potom je kolmý na rovinu, a teda kolmý na vektor
. Potom skalárny súčin

= 0

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Rovnica roviny v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici Ax + Bi + Cz + D = 0 delíme obe strany (-D)

,

nahradenie
, dostaneme rovnicu roviny v segmentoch:

Čísla a, b, c sú priesečníky roviny s osami x, y, z.

Rovnica roviny vo vektorovom tvare.

Kde

- vektor polomeru aktuálneho bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor v smere kolmice spadnutej na rovinu z počiatku.

,  a  sú uhly, ktoré zviera tento vektor s osami x, y, z.

p je dĺžka tejto kolmice.

V súradniciach táto rovnica vyzerá takto:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovine Ax+By+Cz+D=0 je:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4; -3; 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku na túto rovinu.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použijeme vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej dvoma bodmi P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) kolmá na rovinu 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normálny vektor k rovine 3x + 2y – z + 5 = 0
rovnobežne s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a

B(3, 2, -1) kolmo na rovinu X + pri + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovnica roviny má tvar: A X+B r+C z+ D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálny vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú teda navzájom kolmé

Takže normálny vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Celkovo dostaneme rovnicu roviny: 11 X - 7r – 2z – 21 = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4, -3, 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Nájdenie súradníc normálového vektora
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnica roviny má tvar: 4 X – 3r + 12z+ D = 0. Aby sme našli koeficient D, dosadíme súradnice bodu P do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkovo dostaneme požadovanú rovnicu: 4 X – 3r + 12z – 169 = 0

Príklad. Uvedené sú súradnice vrcholov pyramídy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Nájdite dĺžku hrany A 1 A 2.

Nájdite uhol medzi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Nájdite uhol medzi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3.

Najprv nájdeme normálový vektor k ploche A 1 A 2 A 3 ako krížový produkt vektorov
A
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nájdite uhol medzi normálovým vektorom a vektorom
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný uhol  medzi vektorom a rovinou bude rovný  = 90 0 - .

Nájdite oblasť tváre A 1 A 2 A 3.

Nájdite objem pyramídy.

Nájdite rovnicu roviny A 1 A 2 A 3.

Použime vzorec pre rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Pri použití počítačovej verzie „ Vyšší kurz matematiky” môžete spustiť program, ktorý vyrieši vyššie uvedený príklad pre ľubovoľné súradnice vrcholov pyramídy.

Ak chcete spustiť program, dvakrát kliknite na ikonu:

V okne programu, ktoré sa otvorí, zadajte súradnice vrcholov pyramídy a stlačte Enter. Týmto spôsobom je možné získať všetky rozhodovacie body jeden po druhom.

Poznámka: Na spustenie programu musí byť na vašom počítači nainštalovaný program Maple ( Waterloo Maple Inc.) akejkoľvek verzie, počnúc MapleV Release 4.

Na určenie rovnobežnosti a kolmosti rovín, ako aj na výpočet vzdialeností medzi týmito geometrickými objektmi je vhodné použiť jeden alebo iný typ numerických funkcií. Pre aké problémy je vhodné použiť rovinnú rovnicu v segmentoch? V tomto článku sa pozrieme na to, čo to je a ako ho použiť v praktických úlohách.

Čo je to priamková rovnica?

Rovina môže byť definovaná v trojrozmernom priestore niekoľkými spôsobmi. V tomto článku budú predstavené niektoré z nich pri riešení problémov rôzneho typu. Tu uvedieme podrobný popis rovnice v segmentoch roviny. Vo všeobecnosti má nasledujúcu formu:

Kde symboly p, q, r označujú niektoré konkrétne čísla. Táto rovnica sa dá ľahko preložiť do všeobecného výrazu a iných foriem číselných funkcií pre rovinu.

Pohodlie pri písaní rovnice v segmentoch spočíva v tom, že obsahuje explicitné súradnice priesečníka roviny s kolmými súradnicovými osami. Na osi x vzhľadom na počiatok súradníc rovina odreže segment s dĺžkou p, na osi y - rovná q, na z - s dĺžkou r.

Ak niektorá z troch premenných nie je obsiahnutá v rovnici, potom to znamená, že rovina neprechádza príslušnou osou (matematici hovoria, že sa pretína v nekonečne).

Vzťah medzi všeobecným a segmentmi rovníc

Je známe, že rovina je daná nasledujúcou rovnosťou:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Túto všeobecnú rovnicu roviny je potrebné zapísať po segmentoch.

Keď sa vyskytne podobný problém, musíte postupovať podľa tejto techniky: posuňte voľný termín na pravú stranu rovnosti. Potom vydelíme celú rovnicu týmto pojmom a pokúsime sa ju vyjadriť vo forme uvedenej v predchádzajúcom odseku. Máme:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Získali sme v segmentoch rovnicu roviny, ktorá bola pôvodne uvedená vo všeobecnej forme. Je zrejmé, že rovina odreže segmenty s dĺžkami 3, 2 a 6 pre osi x, y a z. Os y pretína rovinu v oblasti záporných súradníc.

Pri skladaní rovnice v segmentoch je dôležité, aby pred všetkými premennými bolo znamienko „+“. Iba v tomto prípade číslo, ktorým je táto premenná vydelená, ukáže súradnicu odrezanú na osi.

Normálny vektor a bod v rovine

Je známe, že nejaká rovina má (3; 0; -1). Je tiež známe, že prechádza bodom (1; 1; 1). Pre túto rovinu by ste mali napísať rovnicu v segmentoch.

Na vyriešenie tohto problému musíte najprv použiť všeobecný formulár pre tento dvojrozmerný geometrický objekt. Všeobecná forma je napísaná takto:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Prvé tri koeficienty sú tu súradnice vodiaceho vektora, ktorý je špecifikovaný v probléme, to znamená:

Zostáva nájsť voľný termín D. Dá sa určiť pomocou nasledujúceho vzorca:

D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z1).

Kde hodnoty súradníc s indexom 1 zodpovedajú súradniciam bodu patriaceho do roviny. Nahradíme ich hodnoty z problémových podmienok, dostaneme:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Teraz môžeme napísať rovnicu celú:

Technika prevodu tohto výrazu na rovnicu v rovinných segmentoch už bola demonštrovaná vyššie. Aplikujme to:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Odpoveď na problém bola prijatá. Všimnite si, že táto rovina pretína iba osi x a z. Pre y je rovnobežné.

Dve priame čiary definujúce rovinu

Z kurzu priestorovej geometrie každý školák vie, že dve ľubovoľné priame čiary jednoznačne definujú rovinu v trojrozmernom priestore. Poďme vyriešiť podobný problém.

Existujú dve známe priamkové rovnice:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + a*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + p*(-1; 0; 1).

Je potrebné zapísať v segmentoch rovnicu roviny prechádzajúcej týmito čiarami.

Keďže obe priamky musia ležať v rovine, znamená to, že ich vektory (riaditelia) musia byť kolmé na vektor (riaditeľ) pre rovinu. Zároveň je známe, že vektorový súčin ľubovoľných dvoch smerovaných segmentov dáva výsledok vo forme súradníc tretieho, kolmého na dva pôvodné. Ak vezmeme do úvahy túto vlastnosť, získame súradnice vektora kolmého na požadovanú rovinu:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Keďže sa dá vynásobiť ľubovoľným číslom, v tomto prípade sa vytvorí nový smerovaný segment, rovnobežný s pôvodným, potom sa znamienko získaných súradníc môže nahradiť opačným (vynásobeným -1), dostaneme:

Poznáme smerový vektor. Zostáva vziať ľubovoľný bod na jednej z čiar a zostaviť všeobecnú rovnicu roviny:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z-1 = 0.

Preložením tejto rovnosti do výrazu v segmentoch dostaneme:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Rovina teda pretína všetky tri osi v kladnej oblasti súradnicového systému.

Rovnako ako dve priame čiary, tri body definujú rovinu jedinečne v trojrozmernom priestore. Napíšme zodpovedajúcu rovnicu v segmentoch, ak sú známe nasledujúce súradnice bodov ležiacich v rovine:

Postupujme takto: vypočítame súradnice dvoch ľubovoľných vektorov spájajúcich tieto body, potom nájdime vektor n¯ kolmý na rovinu výpočtom súčinu nájdených smerovaných segmentov. Dostaneme:

QP3 = P - Q = (1; -1; 0);

QM3 = M - Q = (2; 4; 0);

n = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Zoberme si ako príklad bod P a vytvorte rovnicu pre rovinu:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 alebo z = 0.

Máme jednoduchý výraz, ktorý zodpovedá rovine xy v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Nedá sa písať po segmentoch, pretože osi x a y patria do roviny a dĺžka segmentu odrezaného na osi z je nulová (bod (0; 0; 0) patrí rovine).