Integrácia nie je ťažké sa naučiť. Aby ste to dosiahli, musíte sa naučiť určitý, pomerne malý súbor pravidiel a vyvinúť určitý inštinkt. Je, samozrejme, ľahké naučiť sa pravidlá a vzorce, ale je dosť ťažké pochopiť, kde a kedy uplatniť to či ono pravidlo integrácie alebo diferenciácie. Toto je v skutočnosti schopnosť integrácie.

1. Antiderivát. Neurčitý integrál.

Predpokladá sa, že v čase čítania tohto článku už čitateľ má určité rozlišovacie schopnosti (t. j. nájdenie derivátov).

Definícia 1.1: Funkcia sa nazýva primitívna derivácia funkcie, ak platí rovnosť:

Komentáre:> Dôraz v slove „pôvodný“ možno klásť dvoma spôsobmi: prvý O obrazný alebo prototyp A vediac.

Vlastnosť 1: Ak je funkcia primitívnou vlastnosťou funkcie, potom je táto funkcia tiež priradenou funkciou.

dôkaz: Dokážme to z definície primitívneho derivátu. Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Prvý termín v definícia 1.1 sa rovná a druhý člen je deriváciou konštanty, ktorá sa rovná 0.

.

Zhrnúť. Zapíšme si začiatok a koniec reťazca rovnosti:

Derivácia funkcie sa teda rovná , a preto je podľa definície jej primitívnou vlastnosťou. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Definícia 1.2: Neurčitý integrál funkcie je celá množina primitívnych prvkov tejto funkcie. Označuje sa to takto:

.

Pozrime sa podrobne na názvy jednotlivých častí záznamu:

— všeobecné označenie integrálu,

— integrandový (integrálny) výraz, integrovateľná funkcia.

je diferenciál a výraz za písmenom , v tomto prípade je to , sa bude nazývať premenná integrácie.

Komentáre: Kľúčové slová v tejto definícii sú „celý súbor“. Tie. Ak v budúcnosti nebude toto isté „plus C“ zapísané v odpovedi, skúšajúci má plné právo túto úlohu nezapočítať, pretože je potrebné nájsť celú množinu primitívnych derivátov, a ak C chýba, nájde sa iba jeden.

Záver: Aby sme skontrolovali, či je integrál vypočítaný správne, je potrebné nájsť deriváciu výsledku. Musí sa zhodovať s integrandom.
Príklad:
Cvičenie: Vypočítajte neurčitý integrál a skontrolujte.

Riešenie:

Spôsob výpočtu tohto integrálu v tomto prípade nezáleží. Predpokladajme, že ide o zjavenie zhora. Našou úlohou je ukázať, že zjavenie nás neoklamalo, a to sa dá urobiť overením.

Vyšetrenie:

Pri diferencovaní výsledku sme dostali integrand, čo znamená, že integrál bol vypočítaný správne.

2. Začiatok. Tabuľka integrálov.

Ak chcete integrovať, nemusíte si zakaždým pamätať funkciu, ktorej derivácia sa rovná danému integrandu (t. j. použite definíciu integrálu priamo). Každá zbierka úloh alebo učebnica matematickej analýzy obsahuje zoznam vlastností integrálov a tabuľku najjednoduchších integrálov.

Uveďme si vlastnosti.

Vlastnosti:
1.
Integrál diferenciálu sa rovná premennej integrácie.
2. , kde je konštanta.
Konštantný násobiteľ môže byť vyňatý zo znamienka integrálu.

3.
Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov (ak je počet členov konečný).
Tabuľka integrálov:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Najčastejšie je úlohou redukovať skúmaný integrál na tabuľkový pomocou vlastností a vzorcov.

Príklad:

[Použime tretiu vlastnosť integrálov a zapíšme ju ako súčet troch integrálov.]

[Použime druhú vlastnosť a presuňte konštanty za znak integrácie.]

[ V prvom integráli použijeme tabuľkový integrál č. 1 (n=2), v druhom použijeme rovnaký vzorec, ale n=1 a pre tretí integrál môžeme použiť buď rovnaký tabuľkový integrál, ale s n=0 alebo prvá vlastnosť. ]
.
Skontrolujeme diferenciáciou:

Pôvodný integrand bol získaný, preto integrácia prebehla bez chýb (a nezabudlo sa ani na pridanie ľubovoľnej konštanty C).

Tabuľkové integrály sa treba naučiť naspamäť z jedného jednoduchého dôvodu – aby ste vedeli, o čo sa snažiť, t.j. poznať účel transformácie daného výrazu.

Tu je niekoľko ďalších príkladov:
1)
2)
3)

Úlohy na samostatné riešenie:

Cvičenie 1. Vypočítajte neurčitý integrál:

+ Zobraziť/skryť tip č. 1.

1) Použite tretiu vlastnosť a reprezentujte tento integrál ako súčet troch integrálov.

+ Zobraziť/skryť tip č. 2.

+ Zobraziť/skryť tip č. 3.

3) Pre prvé dva pojmy použite prvý tabuľkový integrál a pre tretí použite druhý tabuľkový integrál.

+ Zobraziť/skryť riešenie a odpoveď.

4) Riešenie:

odpoveď:

V skoršom materiáli sa uvažovalo o probléme hľadania derivácie a ukázali sa jej rôzne aplikácie: výpočet sklonu dotyčnice ku grafu, riešenie optimalizačných problémov, štúdium funkcií pre monotónnosť a extrémy. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Obrázok 1.

Uvažovalo sa aj o probléme nájdenia okamžitej rýchlosti $v(t)$ pomocou derivácie po predtým známej prejdenej dráhe, vyjadrenej funkciou $s(t)$.

Obrázok 2

Veľmi častý je aj inverzný problém, keď potrebujete nájsť cestu $s(t)$, ktorú prejde bod v čase $t$, pričom poznáte rýchlosť bodu $v(t)$. Ak si spomíname, okamžitú rýchlosť $v(t)$ nájdeme ako deriváciu dráhovej funkcie $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. To znamená, že na vyriešenie inverznej úlohy, teda na výpočet dráhy, musíte nájsť funkciu, ktorej derivácia sa bude rovnať funkcii rýchlosti. Ale vieme, že deriváciou cesty je rýchlosť, teda: $s’(t) = v(t)$. Rýchlosť sa rovná zrýchleniu krát čas: $v=at$. Je ľahké určiť, že požadovaná funkcia cesty bude mať tvar: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ale toto nie je úplne úplné riešenie. Úplné riešenie bude mať tvar: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kde $C$ je nejaká konštanta. Prečo je to tak, sa bude diskutovať ďalej. Zatiaľ si skontrolujeme správnosť nájdeného riešenia: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Stojí za zmienku, že nájdenie cesty založenej na rýchlosti je fyzickým významom primitívneho derivátu.

Výsledná funkcia $s(t)$ sa nazýva primitívna funkcia $v(t)$. Celkom zaujímavé a nezvyčajné meno, však. Obsahuje veľký význam, ktorý vysvetľuje podstatu tohto pojmu a vedie k jeho pochopeniu. Všimnete si, že obsahuje dve slová „prvý“ a „obrázok“. Hovoria sami za seba. To znamená, že toto je funkcia, ktorá je počiatočná pre deriváciu, ktorú máme. A pomocou tejto derivácie hľadáme funkciu, ktorá bola na začiatku, bola „prvý“, „prvý obrázok“, teda primitívna. Niekedy sa nazýva aj primitívna funkcia alebo primitívna funkcia.

Ako už vieme, proces hľadania derivácie sa nazýva diferenciácia. A proces hľadania primitívnej zložky sa nazýva integrácia. Operácia integrácie je opakom operácie diferenciácie. Opak je tiež pravdou.

Definícia. Primitívna derivácia funkcie $f(x)$ na určitom intervale je funkcia $F(x)$, ktorej derivácia sa rovná tejto funkcii $f(x)$ pre všetky $x$ zo zadaného intervalu: $F' (x) = f (x) $.

Niekto môže mať otázku: odkiaľ sa v definícii vzali $F(x)$ a $f(x)$, ak sme pôvodne hovorili o $s(t)$ a $v(t)$. Faktom je, že $s(t)$ a $v(t)$ sú špeciálne prípady označenia funkcie, ktoré majú v tomto prípade špecifický význam, to znamená, že sú funkciou času a funkciou rýchlosti. Rovnako je to aj s premennou $t$ – označuje čas. A $f$ a $x$ sú tradičným variantom všeobecného označenia funkcie a premennej. Osobitnú pozornosť je potrebné venovať zápisu primitívneho prvku $F(x)$. V prvom rade $F$ je kapitál. Antideriváty sú označené veľkými písmenami. Po druhé, písmená sú rovnaké: $F$ a $f$. To znamená, že pre funkciu $g(x)$ bude primitívna derivácia označená $G(x)$, pre $z(x)$ – $Z(x)$. Bez ohľadu na zápis sú pravidlá na nájdenie primitívnej funkcie vždy rovnaké.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 1 Dokážte, že funkcia $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ je primitívnym derivátom funkcie $f(x)=\cos5x$.

Aby sme to dokázali, použijeme definíciu alebo skôr skutočnosť, že $F'(x)=f(x)$ a nájdeme deriváciu funkcie $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. To znamená, že $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ je primitívnym derivátom $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Príklad 2 Zistite, ktoré funkcie zodpovedajú nasledujúcim primitívnym prvkom: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Aby sme našli požadované funkcie, vypočítajme ich derivácie:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Príklad 3 Aký bude primitívny prvok pre $f(x)=0$?
Použime definíciu. Zamyslime sa nad tým, ktorá funkcia môže mať deriváciu rovnajúcu sa $0$. Keď si spomenieme na tabuľku derivácií, zistíme, že každá konštanta bude mať takúto deriváciu. Zistili sme, že primitívna funkcia, ktorú hľadáme, je: $F(x)= C$.

Výsledné riešenie je možné vysvetliť geometricky a fyzikálne. Geometricky to znamená, že dotyčnica ku grafu $y=F(x)$ je v každom bode tohto grafu vodorovná, a preto sa zhoduje s osou $Ox$. Fyzikálne sa to vysvetľuje tým, že bod s rýchlosťou rovnajúcou sa nule zostáva na svojom mieste, to znamená, že dráha, ktorou prešiel, je nezmenená. Na základe toho môžeme sformulovať nasledujúcu vetu.

Veta. (Znak stálosti funkcií). Ak na nejakom intervale $F’(x) = 0$, potom je funkcia $F(x)$ na tomto intervale konštantná.

Príklad 4. Určte, ktoré funkcie sú primitívne funkcie a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3 $; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kde $a$ je nejaké číslo.
Použitím definície primitívnej funkcie sme dospeli k záveru, že na vyriešenie tohto problému musíme vypočítať derivácie priradených funkcií. Pri výpočte nezabúdajte, že derivácia konštanty, teda ľubovoľného čísla, sa rovná nule.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

čo vidíme? Niekoľko rôznych funkcií je primitívom tej istej funkcie. To naznačuje, že každá funkcia má nekonečne veľa primitív a tie majú tvar $F(x) + C$, kde $C$ je ľubovoľná konštanta. To znamená, že operácia integrácie je viachodnotová, na rozdiel od operácie diferenciácie. Na základe toho sformulujme vetu, ktorá popisuje hlavnú vlastnosť primitív.

Veta. (Hlavná vlastnosť primitívnych derivátov). Nech funkcie $F_1$ a $F_2$ sú primitívne deriváty funkcie $f(x)$ na nejakom intervale. Potom pre všetky hodnoty z tohto intervalu platí nasledujúca rovnosť: $F_2=F_1+C$, kde $C$ je nejaká konštanta.

Skutočnosť prítomnosti nekonečného počtu primitívnych derivátov možno interpretovať geometricky. Pomocou paralelného prekladu pozdĺž osi $Oy$ je možné získať od seba grafy akýchkoľvek dvoch primitívnych derivátov pre $f(x)$. Toto je geometrický význam primitívnej derivácie.

Je veľmi dôležité venovať pozornosť tomu, že voľbou konštanty $C$ môžete zabezpečiť, aby graf primitívnej derivácie prechádzal určitým bodom.

Obrázok 3.

Príklad 5. Nájdite primitívnu funkciu pre funkciu $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, ktorej graf prechádza bodom $(3; 1)$.
Najprv nájdime všetky primitívne deriváty pre $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Ďalej nájdeme číslo C, pre ktoré bude graf $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ prechádzať bodom $(3; 1)$. Aby sme to dosiahli, dosadíme súradnice bodu do grafovej rovnice a vyriešime ju pre $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Získali sme graf $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, ktorý zodpovedá primitívnej derivácii $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabuľka primitívnych derivátov

Tabuľku vzorcov na hľadanie primitívnych derivátov možno zostaviť pomocou vzorcov na hľadanie derivátov.

Tabuľka primitívnych derivátov

Funkcie	Primitívne deriváty
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\v R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Správnosť tabuľky môžete skontrolovať nasledujúcim spôsobom: pre každú množinu primitív umiestnenej v pravom stĺpci nájdite deriváciu, ktorej výsledkom budú zodpovedajúce funkcie v ľavom stĺpci.

Niektoré pravidlá pre hľadanie primitívnych derivátov

Ako je známe, mnohé funkcie majú zložitejší tvar ako tie, ktoré sú uvedené v tabuľke primitív, a môže ísť o ľubovoľnú kombináciu súčtov a súčinov funkcií z tejto tabuľky. A tu vyvstáva otázka: ako vypočítať primitívne deriváty takýchto funkcií. Napríklad z tabuľky vieme, ako vypočítať primitívne deriváty $x^3$, $\sin x$ a $10$. Ako sa dá napríklad vypočítať primitívna derivácia $x^3-10\sin x$? Pri pohľade do budúcnosti stojí za zmienku, že sa bude rovnať $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Ak je $F(x)$ primitívny pre $f(x)$, $G(x)$ pre $g(x)$, potom pre $f(x)+g(x)$ bude primitívny rovná $ F(x)+G(x)$.
2. Ak je $F(x)$ primitívom pre $f(x)$ a $a$ je konštanta, potom pre $af(x)$ je primitívom $aF(x)$.
3. Ak pre $f(x)$ je primitívna derivácia $F(x)$, $a$ a $b$ sú konštanty, potom $\frac(1)(a) F(ax+b)$ je primitívna za $f (ax+b)$.
Pomocou získaných pravidiel môžeme rozšíriť tabuľku primitív.

Funkcie	Primitívne deriváty
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Príklad 5. Nájsť primitívne deriváty pre:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Antiderivát

Definícia primitívnej funkcie

• Funkcia y=F(x) sa nazýva primitívna derivácia funkcie y=f(x) v danom intervale X, ak pre všetkých X ∈X platí rovnosť: F′(x) = f(x)

Dá sa čítať dvoma spôsobmi:

1. f derivácia funkcie F
2. F primitíva funkcie f

Vlastnosť primitívnych derivátov

• Ak F(x)- priradená funkcia f(x) na danom intervale má potom funkcia f(x) nekonečne veľa primitív a všetky tieto primitívy možno zapísať v tvare F(x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta.

Geometrická interpretácia

• Grafy všetkých primitívnych prvkov danej funkcie f(x) sa získajú z grafu ktorejkoľvek primitívnej derivácie paralelnými transláciami pozdĺž osi O pri.

Pravidlá pre výpočet primitívnych derivátov

1. Prvok súčtu sa rovná súčtu primitívnych prvkov. Ak F(x)- predchodca pre f(x) a G(x) je primitívum pre g(x), To F(x) + G(x)- predchodca pre f(x) + g(x).
2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie. Ak F(x)- predchodca pre f(x), A k- stály teda k·F(x)- predchodca pre k f(x).
3. Ak F(x)- predchodca pre f(x), A k, b- stály a k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- predchodca pre f(kx + b).

Pamätajte!

Akákoľvek funkcia F(x) = x 2 + C , kde C je ľubovoľná konštanta a iba takáto funkcia je primitívnou funkciou funkcie f(x) = 2x.

• Napríklad:

  F"(x) = (x2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, pretože F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, pretože F"(x) = (x 2 – 3)" = 2x = f(x);

Vzťah medzi grafmi funkcie a jej primitívnej funkcie:

1. Ak je graf funkcie f(x)>0 F(x) sa v tomto intervale zvyšuje.
2. Ak je graf funkcie f(x)<0 na intervale, potom graf jeho primitívnej funkcie F(x) v tomto intervale klesá.
3. Ak f(x)=0, potom graf jeho primitívnej zložky F(x) v tomto bode sa mení z rastúceho na klesajúci (alebo naopak).

Na označenie primitívnej derivácie sa používa znamienko neurčitého integrálu, teda integrálu bez označenia hraníc integrácie.

Neurčitý integrál

Definícia:

• Neurčitý integrál funkcie f(x) je výraz F(x) + C, teda množina všetkých primitív k danej funkcii f(x). Neurčitý integrál sa označí takto: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- nazývaná funkcia integrand;
• f(x)dx- nazývaný integrand;
• X- nazývaná premenná integrácie;
• F(x)- jedna z primitív funkcie f(x);
• S- ľubovoľná konštanta.

Vlastnosti neurčitého integrálu

1. Derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konštantný faktor integrandu možno vyňať zo znamienka integrálu: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integrál súčtu (rozdielu) funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov týchto funkcií: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ak k, b sú konštanty a k ≠ 0, potom \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabuľka primitívnych a neurčitých integrálov

Funkcia f(x)	Antiderivát F(x) + C	Neurčité integrály \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) = 2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newtonov-Leibnizov vzorec

Nechaj f(x) túto funkciu F jeho svojvoľný priradený derivát.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Kde F(x)- predchodca pre f(x)

Teda integrál funkcie f(x) na intervale sa rovná rozdielu primitív v bodoch b A a.

Oblasť zakriveného lichobežníka

Krivočiary lichobežník je číslo ohraničené grafom funkcie, ktorá je nezáporná a spojitá na intervale f, Ox a priame čiary x = a A x = b.

Oblasť zakriveného lichobežníka sa zistí pomocou vzorca Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Táto lekcia je prvou zo série videí o integrácii. V ňom budeme analyzovať, čo je primitívna funkcia funkcie, a tiež študovať základné metódy výpočtu práve týchto primitív.

V skutočnosti tu nie je nič zložité: v podstate to všetko súvisí s konceptom derivátu, ktorý by ste už mali poznať. :)

Hneď si všimnem, že keďže ide o úplne prvú lekciu v našej novej téme, dnes nebudú žiadne zložité výpočty a vzorce, ale to, čo sa dnes naučíme, bude základom pre oveľa zložitejšie výpočty a konštrukcie pri výpočte zložitých integrálov a plôch. .

Navyše, keď začíname študovať najmä integráciu a integrály, implicitne predpokladáme, že študent už aspoň pozná pojmy derivácie a má aspoň základné zručnosti v ich výpočte. Bez jasného pochopenia tohto sa v integrácii nedá robiť absolútne nič.

Tu však leží jeden z najbežnejších a najzákernejších problémov. Faktom je, že keď začínajú počítať svoje prvé primitívne derivácie, mnohí študenti si ich mýlia s deriváciami. V dôsledku toho sa pri skúškach a samostatnej práci robia hlúpe a urážlivé chyby.

Preto teraz nepoviem jasnú definíciu primitívneho derivátu. Na oplátku vám navrhujem, aby ste videli, ako sa vypočítava pomocou jednoduchého konkrétneho príkladu.

Čo je to primitívny derivát a ako sa počíta?

Poznáme tento vzorec:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Tento derivát sa vypočíta jednoducho:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Pozrime sa pozorne na výsledný výraz a vyjadrime $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Ale môžeme to napísať takto, podľa definície derivátu:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

A teraz pozornosť: to, čo sme práve zapísali, je definícia primitívneho derivátu. Ale aby ste to napísali správne, musíte napísať nasledovné:

Rovnakým spôsobom napíšeme nasledujúci výraz:

Ak toto pravidlo zovšeobecníme, môžeme odvodiť nasledujúci vzorec:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Teraz môžeme formulovať jasnú definíciu.

Primitívna derivácia funkcie je funkcia, ktorej derivácia sa rovná pôvodnej funkcii.

Otázky týkajúce sa primitívnej funkcie

Zdá sa, že definícia je pomerne jednoduchá a zrozumiteľná. Keď si to však pozorný študent vypočuje, okamžite napadne niekoľko otázok:

1. Povedzme, dobre, tento vzorec je správny. V tomto prípade s $n=1$ však máme problémy: v menovateli sa objaví „nula“ a nemôžeme deliť „nulou“.
2. Vzorec je obmedzený len na stupne. Ako vypočítať primitívnu funkciu, napríklad sínus, kosínus a akúkoľvek inú trigonometriu, ako aj konštanty.
3. Existenciálna otázka: je vždy možné nájsť primitívny derivát? Ak áno, ako je to s primitívnou hodnotou súčtu, rozdielu, súčinu atď.?

Na poslednú otázku odpoviem hneď. Žiaľ, primitívum na rozdiel od derivátu nie je vždy brané do úvahy. Neexistuje univerzálny vzorec, podľa ktorého z akejkoľvek počiatočnej konštrukcie získame funkciu, ktorá sa bude rovnať tejto podobnej konštrukcii. Pokiaľ ide o sily a konštanty, o tom si teraz povieme.

Riešenie problémov s napájacími funkciami

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Ako vidíte, tento vzorec pre $((x)^(-1))$ nefunguje. Vynára sa otázka: čo potom funguje? Nemôžeme počítať $((x)^(-1))$? Samozrejme, že môžeme. Najprv si spomeňme na toto:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Teraz si predstavme: derivácia ktorej funkcie sa rovná $\frac(1)(x)$. Je zrejmé, že každý študent, ktorý aspoň trochu študoval túto tému, si bude pamätať, že tento výraz sa rovná derivácii prirodzeného logaritmu:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Preto môžeme s istotou napísať nasledovné:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Tento vzorec musíte poznať, rovnako ako deriváciu mocninovej funkcie.

Takže, čo zatiaľ vieme:

• Pre mocninovú funkciu - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Pre konštantu - $=const\to \cdot x$
• Špeciálnym prípadom mocninovej funkcie je $\frac(1)(x)\to \ln x$

A ak začneme násobiť a deliť najjednoduchšie funkcie, ako potom môžeme vypočítať primitívnu vlastnosť súčinu alebo kvocientu. Bohužiaľ, analógie s derivátom produktu alebo kvocientu tu nefungujú. Neexistuje žiadny štandardný vzorec. V niektorých prípadoch existujú zložité špeciálne vzorce - zoznámime sa s nimi v budúcich video lekciách.

Pamätajte však: neexistuje všeobecný vzorec podobný vzorcu na výpočet derivácie kvocientu a súčinu.

Riešenie skutočných problémov

Úloha č.1

Vypočítajme každú z mocenských funkcií samostatne:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Keď sa vrátime k nášmu výrazu, napíšeme všeobecnú konštrukciu:

Problém č.2

Ako som už povedal, prototypy diel a detaily „k veci“ sa neberú do úvahy. Tu však môžete urobiť nasledovné:

Zlomok sme rozdelili na súčet dvoch zlomkov.

Poďme si to spočítať:

Dobrou správou je, že so znalosťou vzorcov na výpočet primitívnych prvkov už dokážete vypočítať zložitejšie štruktúry. Poďme však ďalej a trochu viac si rozšírme naše vedomosti. Faktom je, že mnohé konštrukcie a výrazy, ktoré na prvý pohľad nemajú nič spoločné s $((x)^(n))$, možno znázorniť ako mocninu s racionálnym exponentom, a to:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Všetky tieto techniky môžu a mali by sa kombinovať. Mocenské výrazy môžu byť

• násobiť (stupne pridávať);
• deliť (stupne sa odčítajú);
• násobiť konštantou;
• atď.

Riešenie mocninných výrazov s racionálnym exponentom

Príklad č. 1

Vypočítajme každý koreň samostatne:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Celkovo možno celú našu konštrukciu napísať takto:

Príklad č.2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \vpravo))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Preto dostaneme:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Celkovo, zhromaždením všetkého do jedného výrazu, môžeme napísať:

Príklad č.3

Na začiatok si všimneme, že sme už vypočítali $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Poďme prepísať:

Dúfam, že nikoho neprekvapím, ak poviem, že to, čo sme práve študovali, sú len tie najjednoduchšie výpočty primitív, najelementárnejších konštrukcií. Pozrime sa teraz na trochu zložitejšie príklady, v ktorých si okrem tabuľkových primitív budete musieť zapamätať aj školské učivo, a to skrátené vzorce na násobenie.

Riešenie zložitejších príkladov

Úloha č.1

Pripomeňme si vzorec pre druhú mocninu rozdielu:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Prepíšme našu funkciu:

Teraz musíme nájsť prototyp takejto funkcie:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Dajme všetko dohromady do spoločného dizajnu:

Problém č.2

V tomto prípade musíme kocku rozdielu rozšíriť. Pripomeňme si:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ak vezmeme do úvahy túto skutočnosť, môžeme to zapísať takto:

Poďme trochu transformovať našu funkciu:

Počítame ako vždy - pre každý termín zvlášť:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Zapíšme si výslednú konštrukciu:

Problém č.3

V hornej časti máme druhú mocninu súčtu, rozviňme ho:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Napíšeme konečné riešenie:

Teraz pozornosť! Veľmi dôležitá vec, s ktorou sa spája leví podiel na chybách a nedorozumeniach. Faktom je, že doteraz, keď sme počítali primitívne derivácie pomocou derivácií a prinášali transformácie, neuvažovali sme o tom, čomu sa rovná derivácia konštanty. Ale derivácia konštanty sa rovná „nule“. To znamená, že môžete napísať nasledujúce možnosti:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Toto je veľmi dôležité pochopiť: ak je derivácia funkcie vždy rovnaká, potom tá istá funkcia má nekonečný počet primitív. Môžeme jednoducho pridať akékoľvek konštantné čísla k našim priradeným derivátom a získať nové.

Nie je náhoda, že vo vysvetlení problémov, ktoré sme práve vyriešili, bolo napísané „Zapíšte si všeobecnú formu priradení“. Tie. Už vopred sa predpokladá, že ich nie je jeden, ale celý zástup. Ale v skutočnosti sa líšia len konštantou $C$ na konci. Preto v našich úlohách opravíme to, čo sme nesplnili.

Opäť prepisujeme naše konštrukcie:

V takýchto prípadoch by ste mali dodať, že $C$ je konštanta - $C=const$.

V našej druhej funkcii dostaneme nasledujúcu konštrukciu:

A ten posledný:

A teraz sme naozaj dostali to, čo sa od nás vyžadovalo v pôvodnom stave problému.

Riešenie problémov hľadania primitívnych prvkov s daným bodom

Teraz, keď už vieme o konštantách a zvláštnostiach písania primitív, je celkom logické, že ďalší typ problému nastáva, keď sa z množiny všetkých primitív vyžaduje nájsť tú jedinú, ktorá by prešla daným bodom. . Čo je to za úlohu?

Faktom je, že všetky primitívne funkcie danej funkcie sa líšia iba tým, že sú vertikálne posunuté o určité číslo. A to znamená, že bez ohľadu na to, ktorý bod na súradnicovej rovine vezmeme, určite prejde jedna primitívna a navyše iba jedna.

Takže úlohy, ktoré teraz budeme riešiť, sú formulované nasledovne: nielen nájsť primitívnu funkciu, poznať vzorec pôvodnej funkcie, ale vybrať presne tú, ktorá prechádza daným bodom, ktorého súradnice budú uvedené v úlohe vyhlásenie.

Príklad č. 1

Najprv jednoducho spočítajme každý výraz:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Teraz dosadíme tieto výrazy do našej konštrukcie:

Táto funkcia musí prejsť cez bod $M\left(-1;4 \right)$. Čo to znamená, že prechádza cez bod? To znamená, že ak namiesto $x$ dáme všade $-1$ a namiesto $F\left(x \right)$ - $-4$, potom by sme mali dostať správnu číselnú rovnosť. Poďme to spraviť:

Vidíme, že máme rovnicu pre $C$, tak ju skúsme vyriešiť:

Napíšme si samotné riešenie, ktoré sme hľadali:

Príklad č.2

Najprv je potrebné odhaliť druhú mocninu rozdielu pomocou skráteného vzorca násobenia:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Pôvodná konštrukcia bude napísaná takto:

Teraz nájdime $C$: nahraďte súradnice bodu $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Vyjadrujeme $C$:

Zostáva zobraziť konečný výraz:

Riešenie goniometrických úloh

Ako posledný bod k tomu, o čom sme práve diskutovali, navrhujem zvážiť dva zložitejšie problémy, ktoré zahŕňajú trigonometriu. Rovnakým spôsobom v nich budete musieť nájsť primitívne funkcie pre všetky funkcie a potom vybrať z tejto množiny tú jedinú, ktorá prechádza bodom $M$ na súradnicovej rovine.

Pri pohľade do budúcnosti by som rád poznamenal, že technika, ktorú teraz použijeme na nájdenie primitívnych derivátov goniometrických funkcií, je v skutočnosti univerzálnou technikou na autotest.

Úloha č.1

Zapamätajme si nasledujúci vzorec:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na základe toho môžeme napísať:

Dosadíme súradnice bodu $M$ do nášho výrazu:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Prepíšme výraz berúc do úvahy túto skutočnosť:

Problém č.2

Toto bude trochu náročnejšie. Teraz uvidíte prečo.

Zapamätajme si tento vzorec:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Aby ste sa zbavili „mínusu“, musíte urobiť nasledovné:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Tu je náš dizajn

Dosadíme súradnice bodu $M$:

Celkovo zapíšeme konečnú konštrukciu:

To je všetko, o čom som vám dnes chcel povedať. Študovali sme samotný pojem primitívne derivácie, ako ich vypočítať z elementárnych funkcií a tiež ako nájsť primitívu prechádzajúcu konkrétnym bodom na súradnicovej rovine.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže aspoň trochu pochopiť túto zložitú tému. V každom prípade, práve na primitívnych derivátoch sa zostrojujú neurčité a neurčité integrály, preto je absolútne nevyhnutné ich počítať. To je z mojej strany všetko. Uvídime sa znovu!

Integrácia je jednou z hlavných operácií v matematickej analýze. Tabuľky známych primitív môžu byť užitočné, ale teraz, po nástupe systémov počítačovej algebry, strácajú svoj význam. Nižšie je uvedený zoznam najbežnejších primitívov.

Tabuľka základných integrálov

Ďalšia, kompaktná možnosť

Tabuľka integrálov goniometrických funkcií

Z racionálnych funkcií

Z iracionálnych funkcií

Integrály transcendentálnych funkcií

"C" je ľubovoľná integračná konštanta, ktorá je určená, ak je známa hodnota integrálu v akomkoľvek bode. Každá funkcia má nekonečný počet primitív.

Väčšina školákov a študentov má problémy s výpočtom integrálov. Táto stránka obsahuje integrálne tabuľky z goniometrických, racionálnych, iracionálnych a transcendentálnych funkcií, ktoré pomôžu pri riešení. Pomôže vám aj tabuľka derivátov.

Video - ako nájsť integrály

Ak tejto téme celkom nerozumiete, pozrite si video, ktoré všetko podrobne vysvetľuje.