Priamka v rovine a v priestore.

Štúdium vlastností geometrických útvarov pomocou algebry je tzv analytická geometria , a budeme používať tzv súradnicová metóda .

Čiara v rovine je zvyčajne definovaná ako množina bodov, ktoré majú svoje vlastné vlastnosti. Skutočnosť, že súradnice (čísla) x a y bodu ležiaceho na tejto priamke sú analyticky zapísané ako nejaká rovnica.

Def.1 priamková rovnica (krivková rovnica) v rovine Oxy sa nazýva rovnica (*), ktorá je splnená súradnicami x a y každého bodu danej priamky a nie je splnená súradnicami žiadneho iného bodu, ktorý na tejto priamke neleží.

Z definície 1 vyplýva, že každá čiara v rovine zodpovedá nejakej rovnici medzi aktuálnymi súradnicami ( x, y ) body tejto priamky a naopak, ktorejkoľvek rovnici zodpovedá, všeobecne povedané, nejaká priamka.

To vedie k dvom hlavným problémom analytickej geometrie v rovine.

1. Čiara je daná vo forme množiny bodov. Pre tento riadok musíte napísať rovnicu.

2. Daná rovnica priamky. Je potrebné študovať jeho geometrické vlastnosti (tvar a umiestnenie).

Príklad. Klamú body A(-2;1) A IN (1;1) v riadku 2 X +pri +3=0?

Problém hľadania priesečníkov dvoch priamok daných rovnicami a je redukovaný na hľadanie súradníc vyhovujúcich rovnici oboch priamok, t.j. na riešenie sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych.

Ak tento systém nemá reálne riešenia, potom sa čiary nepretínajú.

Koncept linky je zavedený podobným spôsobom v UCS.

Čiara na rovine môže byť definovaná dvoma rovnicami

Kde X A pri – ľubovoľné súradnice bodu M(x; y), ležiace na tejto čiare a t je premenná tzv parameter , parameter definuje polohu bodu v rovine.

Napríklad ak , potom hodnota parametra t=2 zodpovedá bodu (3;4) v rovine.

Ak sa parameter zmení, potom sa bod v rovine pohne a opisuje danú čiaru. Tento spôsob definovania čiary sa nazýva parametrická, a rovnica (5.1) - parametrická rovnica priamky.

Na prechod od parametrických rovníc k všeobecnej rovnici (*) je potrebné nejakým spôsobom vylúčiť parameter z týchto dvoch rovníc. Upozorňujeme však, že takýto prechod nie je vždy účelný a nie vždy možný.

Je možné nastaviť čiaru na rovine vektorová rovnica , kde t je skalárny premenný parameter. Každá hodnota parametra zodpovedá špecifickému rovinnému vektoru. Pri zmene parametra bude koniec vektora opisovať nejaký riadok.

vektorová rovnica v DSC existujú dve skalárne rovnice

(5.1), t.j. rovnice priemetov na súradnicové osi vektorovej rovnice priamky je jeho

parametrické rovnice.

Vektorová rovnica a parametrické rovnice priamky majú mechanický význam. Ak sa bod pohybuje po rovine, potom sa tieto rovnice nazývajú pohybové rovnice , a priamka je trajektória bodu, zatiaľ čo parameter t je čas.

Záver: každá čiara v rovine zodpovedá rovnici tvaru.

Vo všeobecnom prípade AKEJKOĽVEK ROVNICE POHĽADU zodpovedá určitej priamke, ktorej vlastnosti určuje táto rovnica (výnimkou je, že žiadnemu geometrickému obrázku nezodpovedá rovnica v rovine).

Nech je zvolený súradnicový systém v rovine.

Def. 5.1. Rovnica priamky sa nazýva taká rovnica tvaruF(x;y) =0, ktorému vyhovujú súradnice každého bodu ležiaceho na tejto priamke, a nie súradnice žiadneho bodu, ktorý na nej neleží.

Zadajte rovnicuF(x;y )=0 sa nazýva všeobecná rovnica priamky alebo rovnica v implicitnom tvare.

Čiara Г je teda miestom bodov, ktoré vyhovuje danej rovnici Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linka je tiež tzv nepoctivý.

Rovnosť tvaru F(x, y) = 0 sa nazýva rovnica s dvoma premennými x, y, ak neplatí pre žiadnu dvojicu čísel x, y. Hovorí sa, že dve čísla x \u003d x 0, y \u003d y 0 spĺňajú nejakú rovnicu tvaru F (x, y) \u003d 0, ak keď sú tieto čísla nahradené premennými x a y v rovnici, vľavo je strana zmizne.

Rovnica danej priamky (v priradenom súradnicovom systéme) je rovnica s dvoma premennými, ktorá je splnená súradnicami každého bodu ležiaceho na tejto priamke a nie je splnená súradnicami každého bodu, ktorý na nej neleží.

V nasledujúcom texte namiesto výrazu „vzhľadom na rovnicu priamky F(x, y) = 0“ budeme často hovoriť kratšie: pri priamke F(x, y) = 0.

Ak sú dané rovnice dvoch priamok F(x, y) = 0 a Ф(x, y) = 0, potom spoločné riešenie sústavy

F(x, y) = 0, F(x, y) = 0

uvádza všetky ich priesečníky. Presnejšie povedané, každá dvojica čísel, ktorá je spoločným riešením tohto systému, určuje jeden z priesečníkov,

157. Dané body *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Určte, ktoré z daných bodov ležia na priamke definovanej rovnicou x + y = 0 a ktoré na nej neležia. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Ukážte to na výkrese.)

158. Na priamke definovanej rovnicou x 2 + y 2 \u003d 25 nájdite body, ktorých úsečky sa rovnajú nasledujúcim číslam: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na rovnakom riadku nájdite body, ktorých súradnice sa rovnajú nasledujúcim číslam: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Ukážte to na výkrese.)

159. Určite, ktoré čiary sú určené nasledujúcimi rovnicami (zostavte ich na výkrese): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8 x + 15 = 0; 15) y2+ by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7 x y + 10 y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x2 + y2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5)2 + (y-1)2 = 9; 26) (x - 1)2 + y2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3)2 + y2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Sú dané riadky: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x2 + y2-36 = 0; 4) x 2 + y2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Určte, ktoré z nich prechádzajú počiatkom.

161. Sú dané riadky: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6)2 + (y - Z)2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y2 - 12x + 16y - 0; 6) x2 + y2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Nájdite body ich priesečníka: a) s osou x; b) s osou Oy.

162. Nájdite priesečníky dvoch priamok:

1) x2 + y2-8; x - y \u003d 0;

2) x2 + y2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0; x2 + y2 = 25;

4) x2 + y2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y2 = 4.

163. Body M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) a M 5 ( 1;2/3π ). Určte, ktoré z týchto bodov ležia na priamke definovanej v polárnych súradniciach rovnicou p = 2cosΘ a ktoré na nej neležia. Ktorá čiara je určená touto rovnicou? (Ukážte to na výkrese.)

164. Na priamke definovanej rovnicou p \u003d 3 / cosΘ nájdite body, ktorých polárne uhly sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Postavte ho na výkrese.)

165. Na priamke definovanej rovnicou p \u003d 1 / sinΘ nájdite body, ktorých polárne polomery sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) 1 6) 2, c) √2. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Postavte ho na výkrese.)

166. Určite, ktoré čiary sú určené v polárnych súradniciach podľa nasledujúcich rovníc (zostavte ich na výkrese): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sin8 = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Zostrojte na výkrese nasledujúce Archimedove špirály: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.

168. Zostrojte na výkrese tieto hyperbolické špirály: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/8; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Zostrojte na výkrese nasledujúce logaritmické špirály: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Určte dĺžku segmentov, do ktorých Archimedova špirála p = 3Θ reže lúč vychádzajúci z pólu a sklonený k polárnej osi pod uhlom Θ = π / 6. Urobte si kresbu.

171. Bod C je nasnímaný na Archimedovej špirále p \u003d 5 / πΘ, ktorej polárny polomer je 47. Určte, koľko častí táto špirála pretína polárny polomer bodu C. Urobte nákres.

172. Na hyperbolickej špirále P \u003d 6 / Θ nájdite bod P, ktorého polárny polomer je 12. Nakreslite.

173. Na logaritmickej špirále p \u003d 3 Θ nájdite bod P, ktorého polárny polomer je 81. Nakreslite.

Zopakujme si * Čo je to kvadratická rovnica? * Aké rovnice sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice? * Ktorá kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná? * Čo je koreňom kvadratickej rovnice? * Čo znamená vyriešiť kvadratickú rovnicu? Čo je to kvadratická rovnica? Aké rovnice sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice? Ktorá kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná? Čo je koreňom kvadratickej rovnice? Čo znamená vyriešiť kvadratickú rovnicu? Čo je to kvadratická rovnica? Aké rovnice sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice? Ktorá kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná? Čo je koreňom kvadratickej rovnice? Čo znamená vyriešiť kvadratickú rovnicu?

Algoritmus riešenia kvadratickej rovnice: 1. Určte, akým spôsobom je racionálnejšie riešiť kvadratickú rovnicu 2. Vyberte najracionálnejší spôsob riešenia 3. Určenie počtu koreňov kvadratickej rovnice 4. Nájdenie koreňov tabuľky kvadratickej rovnice ...

Doplnková podmienka Odmocniny rovnice Príklady 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c \u003d 0, a 0, c 0 os 2 + c \u003d 0 4. a 0 os 2 + bx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / 2 a, kde D \u003d v 2 - 4 ako, D0 5. c je párne číslo (b \u003d 2k), ale 0, pri 0, s 0 os 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / a, D 1 \u003d k 2 - ac, kde k \u003d 6. Veta je opakom Vietovej vety x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Špeciálne metódy 7. Metóda extrakcie druhej mocniny dvojčlenu. Účel: Redukovať všeobecnú rovnicu na neúplnú kvadratickú rovnicu. Poznámka: Metóda je použiteľná pre akékoľvek kvadratické rovnice, ale nie vždy je vhodné ju použiť. Používa sa na dokázanie vzorca pre korene kvadratickej rovnice. Príklad: vyriešte rovnicu x 2 -6 x + 8 = 0 8. Metóda "prenosu" seniorského koeficientu. Korene kvadratických rovníc ax 2 + bx + c = 0 a y 2 +by+ac=0 súvisia vzťahmi: a Poznámka: metóda je vhodná pre kvadratické rovnice s "pohodlnými" koeficientmi. V niektorých prípadoch umožňuje ústne vyriešiť kvadratickú rovnicu. Príklad: vyriešte rovnicu 2 x 2 -9 x-5=0 Na základe teorém: Príklad: vyriešte rovnicu 157 x x-177=0 9. Ak v kvadratickej rovnici a + b + c = 0, potom jedna z korene sú 1 a druhý je podľa Vietovej vety c / a 10. Ak v kvadratickej rovnici a + c \u003d b, potom jeden z koreňov je -1 a druhý podľa veta Vieta je -c / a Príklad: vyriešte rovnicu 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a

III. Všeobecné metódy riešenia rovníc 11. Metóda faktoringu. Cieľ: Doviesť všeobecnú kvadratickú rovnicu do tvaru A(x)·B(x)=0, kde A(x) a B(x) sú polynómy vzhľadom na x. Metódy: Zátvorka spoločného činiteľa; Používanie skrátených vzorcov na násobenie; metóda zoskupovania. Príklad: vyriešte rovnicu 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metóda zavedenia novej premennej. Dobrá voľba novej premennej robí štruktúru rovnice prehľadnejšou Príklad: vyriešte rovnicu (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8

Zvážte vzťah formy F(x, y)=0 prepojenie premenných X A pri. Rovnosť (1) sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými x, y, ak táto rovnosť neplatí pre všetky dvojice čísel X A pri. Príklady rovníc: 2x + 3 roky \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

Ak (1) platí pre všetky dvojice čísel x a y, potom sa volá identity. Príklady identity: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

Bude sa nazývať rovnica (1). rovnica množiny bodov (x; y), ak je táto rovnica splnená súradnicami X A pri ktorýkoľvek bod množiny a nespĺňajú súradnice žiadneho bodu, ktorý do tejto množiny nepatrí.

Dôležitým konceptom v analytickej geometrii je koncept rovnice priamky. Nech obdĺžnikový súradnicový systém a nejaká čiara α.

Definícia. Rovnica (1) sa nazýva priamková rovnica α (vo vytvorenom súradnicovom systéme), ak túto rovnicu súradnice spĺňajú X A pri ktorýkoľvek bod na čiare α , a nespĺňajú súradnice žiadneho bodu, ktorý neleží na tejto priamke.

Ak (1) je priamková rovnica α, potom povieme, že rovnica (1) určuje (sady) riadok α.

Linka α možno určiť nielen rovnicou tvaru (1), ale aj rovnicou tvaru

F(P, φ) = 0, obsahujúci polárne súradnice.

• rovnica priamky so sklonom;

Nech je daná nejaká priamka, nie kolmá na os OH. Zavolajme uhol sklonu daná priamka k osi OH rohu α o ktoré sa má otáčať os OH tak, že kladný smer sa zhoduje s jedným zo smerov priamky. Tangenta uhla sklonu priamky k osi OH volal faktor sklonu táto priamka a označená písmenom TO.

	K = tg a
		(1)

Odvodíme rovnicu tejto priamky, ak ju poznáme TO a hodnotu v segmente OV, ktorú ona odreže na osoh OU.

(2)

y=kx+b

Označiť podľa M„bod lietadla (x; y). Ak kreslíte rovno BN A NM rovnobežne s osami teda r BNM - pravouhlý. T. MC C BM <=>keď hodnoty NM A BN splniť podmienku: . ale NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> vzhľadom na (1) dostaneme bod M (x; y) C na tejto linke<=>keď jeho súradnice spĺňajú rovnicu: =>

Rovnica (2) sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Ak K = 0, potom je čiara rovnobežná s osou OH a jeho rovnica je y = b.

• rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi;

(4)

Dajme dva body M 1 (x 1; y 1) A M2 (x 2; y 2). Po prijatí bodu (3). M (x; y) pozadu M2 (x 2; y 2), dostaneme y 2 - y 1 \u003d k (x 2 - x 1). Definovanie k z poslednej rovnosti a jej dosadením do rovnice (3) dostaneme požadovanú rovnicu priamky: . Toto je rovnica, ak y 1 ≠ y 2, možno napísať ako:

Ak y1 = y2, potom rovnica požadovanej priamky má tvar y = y 1. V tomto prípade je čiara rovnobežná s osou OH. Ak x 1 = x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 A M 2, rovnobežne s osou OU, jeho rovnica má tvar x = x 1.

• rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom s daným sklonom;

(3)

Ax + By + C = 0

Veta. V pravouhlom súradnicovom systéme Oh akákoľvek priamka je daná rovnicou prvého stupňa:

a naopak rovnica (5) pre ľubovoľné koeficienty A, B, C (A A B ≠ 0 súčasne) definuje nejakú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme Oh.

Dôkaz.

Najprv dokážme prvé tvrdenie. Ak čiara nie je kolmá oh, potom je určená rovnicou prvého stupňa: y = kx + b, t.j. rovnica tvaru (5), kde

A = k, B = -1 A C = b. Ak je čiara kolmá oh, potom všetky jeho body majú rovnakú úsečku rovnajúcu sa hodnote α segment odrezaný o priamku na osi Oh.

Rovnica tejto priamky má tvar x = α, tie. je tiež rovnica prvého stupňa tvaru (5), kde A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. To dokazuje prvé tvrdenie.

Dokážme opačné tvrdenie. Nech je daná rovnica (5) a aspoň jeden z koeficientov A A B ≠ 0.

Ak B ≠ 0, potom (5) možno zapísať ako . šikmé , dostaneme rovnicu y = kx + b, t.j. rovnica tvaru (2), ktorá definuje priamku.

Ak B = 0, To A ≠ 0 a (5) má tvar . Označenie cez α, dostaneme

x = α, t.j. rovnica priamky kolmá Ox.

Nazývajú sa priamky definované v pravouhlom súradnicovom systéme rovnicou prvého stupňa linky prvého poriadku.

Zadajte rovnicu Ah + Wu + C = 0 je neúplná, t.j. jeden z koeficientov sa rovná nule.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 a definuje priamku prechádzajúcu počiatkom.

2) B = 0 (A ≠ 0); rovnica Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 a definuje priamku rovnobežnú Oh.

Rovnica (6) sa nazýva rovnica priamky „v segmentoch“. čísla A A b sú hodnoty segmentov, ktoré priamka odreže na súradnicových osiach. Tento tvar rovnice je vhodný pre geometrickú konštrukciu priamky.

• normálna rovnica priamky;

Аx + Вy + С = 0 je všeobecná rovnica nejakej priamky a (5) X cos α + y sin α – p = 0(7)

jeho normálna rovnica.

Keďže rovnice (5) a (7) definujú rovnakú priamku, potom ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 A

A2x + B2y + C2 = 0 => ) koeficienty týchto rovníc sú úmerné. To znamená, že vynásobením všetkých členov rovnice (5) nejakým faktorom M dostaneme rovnicu MA x + MB y + MS = 0, ktorá sa zhoduje s rovnicou (7), t.j.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Aby sme našli faktor M, odmocnime prvé dve z týchto rovnosti a pridáme:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

Rovnosť tvaru F (x, y) = 0 sa nazýva rovnica s dvoma premennými X, y, ak to neplatí pre všetky dvojice čísel x, y. Hovoria dve čísla X = X 0 , y=y 0, splniť nejakú rovnicu tvaru F(x, y)=0, ak pri dosadzovaní týchto čísel namiesto premenných X A pri v rovnici jej ľavá strana zmizne.

Rovnica danej priamky (v priradenom súradnicovom systéme) je rovnica s dvoma premennými, ktorá je splnená súradnicami každého bodu ležiaceho na tejto priamke a nie je splnená súradnicami každého bodu, ktorý na nej neleží.

V budúcnosti namiesto výrazu „vzhľadom na rovnicu priamky F(x, y) = 0“ budeme často hovoriť kratšie: daný riadok F(x, y) = 0.

Vzhľadom na rovnice dvoch riadkov F(x, y) = 0 A Ф(x, y) = Q, potom spoločné riešenie systému

uvádza všetky ich priesečníky. Presnejšie, každá dvojica čísel, ktorá je spoločným riešením tohto systému, určuje jeden z priesečníkov.

*) V prípadoch, keď súradnicový systém nie je pomenovaný, predpokladá sa, že je kartézsky pravouhlý.

157. Prideľujú sa body *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6(3;-2). Určte, ktorý z daných bodov leží na priamke definovanej rovnicou X+ y = 0, a ktoré na ňom neležia. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Ukážte to na výkrese.)

158. Na priamke definovanej rovnicou X 2 + y 2 \u003d 25, nájdite body, ktorých úsečky sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na tej istej priamke nájdite body, ktorých súradnice sa rovnajú nasledujúcim číslam: e) 3, f) - 5, g) - 8. Ktorá priamka je definovaná touto rovnicou? (Ukážte to na výkrese.)

159. Určte, ktoré čiary sú určené nasledujúcimi rovnicami (zostavte ich na výkrese):

1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) X- 2 = 0; 4) X+ 3 = 0;

5) y-5 = 0; 6) r+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) r = 0;

9) X 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; jedenásť) X 2 - r 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y2-9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2 + 5y + 4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10r = 0; 17) y =|X|; 18) x =|pri|; 19)r + |X|=0;

20) x +|pri|= 0; 21)y=|X- 1|; 22) r = |X+ 2|; 23) X 2 + pri 2 = 16;

24) (X-2) 2 +(r-1) 2 =16; 25) (X+ 5) 2 +(r- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + r 2 = 4; 27) X 2 +(r + 3) 2 = 1; 28) (X -3) 2 + r 2 = 0;

29) X 2 + 2r 2 = 0; 30) 2X 2 + 3r 2 + 5 = 0

31) (X- 2) 2 + (r + 3) 2 + 1=0.

160. Dané riadky:

1)X+ y= 0; 2)x - y = 0; 3) X 2 + r 2 - 36 = 0;

4) X 2 +r 2 -2X==0; 5) X 2 +r 2 + 4X-6r-1 =0.

Určte, ktoré z nich prechádzajú počiatkom.

161. Dané riadky:

1) X 2 + r 2 = 49; 2) (X- 3) 2 + (r+ 4) 2 = 25;

3) (X+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( X + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) X 2 +r 2 - 12x + 16y = 0; 6) X 2 +r 2 - 2x + 8pri+ 7 = 0;

7) X 2 +r 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Nájdite ich priesečníky: a) s osou Oh; b) s osou OU.

162. Nájdite priesečníky dvoch priamok;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16X+4pri+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2X+4pri -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8X+10r+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Body sú dané v polárnom súradnicovom systéme

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) A M 5 (1; )

Určte, ktoré z týchto bodov ležia na priamke definovanej rovnicou v polárnych súradniciach  = 2 cos  a ktoré na nej neležia. Ktorá čiara je určená touto rovnicou? (Ukáž to na výkrese :)

164. Na priamke definovanej rovnicou  = , nájdite body, ktorých polárne uhly sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) ,b) - , c) 0, d) . Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou?

(Postavte ho na výkrese.)

165. Na priamke definovanej rovnicou  = , nájdite body, ktorých polárne polomery sa rovnajú nasledujúcim číslam: a) 1, b) 2, c)
. Ktorá čiara je definovaná touto rovnicou? (Postavte ho na výkrese.)

166. Určte, ktoré čiary sú určené v polárnych súradniciach podľa nasledujúcich rovníc (zostavte ich na výkrese):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) hriech  = 9) hriech  =

167. Zostrojte na výkrese nasledujúce Archimedove špirály:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4) p \u003d -1.

168. Zostrojte na výkrese nasledujúce hyperbolické špirály:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Zostrojte na výkrese nasledujúce logaritmické špirály:

,
.

170. Určte dĺžku segmentov, do ktorých sa Archimedova špirála zarezáva

lúč vychádzajúci z pólu a sklonený k polárnej osi pod uhlom
. Urobte si kresbu.

171. Na Archimedovej špirále
dobrá poznámka S, ktorého polárny polomer je 47. Určte, koľko častí táto špirála pretína polárny polomer bodu S, Urobte si kresbu.

172. Na hyperbolickej špirále
nájsť bod R, ktorého polárny polomer je 12. Urob nákres.

173. Na logaritmickej špirále
nájdite bod Q, ktorého polárny polomer je rovný 81. Urobte nákres.