Vyššie bola špecifikovaná spojitá náhodná premenná pomocou distribučnej funkcie. Tento spôsob nastavenia nie je jediný. Spojitá náhodná premenná môže byť špecifikovaná aj pomocou funkcie tzv hustota distribúcie alebo hustota pravdepodobnosti (často nazývané diferenciálna funkcia ).

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X zavolajte funkciu f(x)- prvá derivácia distribučnej funkcie F(x):

f(x)=F"(x).

Z tejto definície vyplýva, že distribučná funkcia je primitívne pre hustotu distribúcie. Keď poznáme hustotu rozdelenia, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne hodnotu, ktorá patrí do daného intervalu.

Veta. Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu ( a, b), sa rovná určitému integrálu hustoty distribúcie v rozsahu od A predtým b:

Poznanie hustoty distribúcie f(x), môžeme nájsť distribučnú funkciu F(x) podľa vzorca

.

Vlastnosti hustoty distribúcie:

Nehnuteľnosť 1. Distribučná hustota je nezáporná funkcia:
.

Geometricky táto vlastnosť znamená, že body patriace do grafu hustoty rozloženia sú umiestnené buď nad osou Oh alebo na tejto osi. Graf hustoty distribúcie je tzv distribučná krivka .

Nehnuteľnosť 2. Nesprávny integrál hustoty distribúcie v rozsahu od
predtým
sa rovná jednej:

.

Geometricky to znamená, že celá plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená osou Ox a distribučnou krivkou sa rovná jednej.

Najmä, ak všetky hodnoty náhodnej premennej patria do intervalu ( a, b), To

.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Distribučný zákon plne charakterizuje náhodnú premennú. Často je to však vopred neznáme a človek musí využívať nepriame informácie. V mnohých prípadoch tieto nepriame charakteristiky úplne postačujú na riešenie praktických problémov a nie je potrebné určovať distribučný zákon. Takéto charakteristiky sú tzv číselné charakteristiky kliešte náhodnej hodnoty. A prvým z nich je matematické očakávanie.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej X je súčet súčinov všetkých jeho možných hodnôt ( X 1 , X 2 , …, x n) na ich pravdepodobnosti ( p 1 , p 2 , …, p n):

Treba poznamenať, že M(X) Existuje nenáhodné (konštantný. Dá sa to dokázať M(X) je približne rovnaký (a čím presnejšie, tým väčší je počet pokusov n) na aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej.

Matematické očakávanie má nasledovné vlastnosti:

· Očakávaná hodnota konštantný rovná sa najkonštantnejšiemu:

.

· Konštantný multiplikátor možno vyňať z matematického znaku očakávania:

.

· Očakávaná hodnota Tvorba dve nezávislé náhodné premenné X A Y(to znamená, že distribučný zákon jedného z nich nezávisí od možných hodnôt druhého) sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

· Očakávaná hodnota sumy dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:

Nižšie súčet X + Y Náhodné premenné sa chápu ako nová náhodná premenná, ktorej hodnoty sa rovnajú súčtom každej hodnoty X so všetkými možnými hodnotami Y; pravdepodobnosti možných hodnôt X + Y pre nezávislé náhodné premenné X A Y sa rovnajú súčinom pravdepodobností členov a pri závislých súčinom pravdepodobností jedného člena a podmienenej pravdepodobnosti druhého. Ak teda X A Y sú nezávislé a ich distribučné zákony

Ak sa vyrába n nezávislé skúšky,

z ktorých každá pravdepodobnosť udalosti A konštantné a rovnaké p, potom matematické očakávanie počet vystúpení diania A v sérii:

.

Všimnite si, že tretia a štvrtá vlastnosť sa dajú ľahko zovšeobecniť pre ľubovoľný počet náhodných premenných.

Disperzia diskrétnej náhodnej premennej

Matematické očakávanie je vhodnou charakteristikou, ale často nestačí na posúdenie možných hodnôt náhodnej premennej alebo toho, ako rozptýlené okolo priemeru. Preto sa zavádzajú aj ďalšie číselné charakteristiky.

Nechaj X je náhodná premenná s matematickým očakávaním M(X). odchýlka X 0 je rozdiel medzi náhodnou premennou a jej matematickým očakávaním:

.

Matematické očakávanie odchýlky M(X 0) = 0.

Príklad. Nech zákon rozdelenia množstva X:

Odchýlka je stredná charakteristika, na základe ktorej zavedieme vhodnejšiu charakteristiku. disperzia (disperzia ) Diskrétna náhodná premenná sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej:

Napríklad nájdime rozptyl množstva X s nasledujúcim distribučným zákonom:

Tu . Požadovaný rozptyl:

Hodnota rozptylu je určená nielen hodnotami náhodnej premennej, ale aj ich pravdepodobnosťou. Preto, ak majú dve náhodné premenné rovnaké alebo blízke matematické očakávania (toto je celkom bežné), potom sú rozptyly zvyčajne odlišné. To nám umožňuje dodatočne charakterizovať skúmanú náhodnú premennú.

Uvádzame vlastnosti disperzie:

Disperzia konštantný hodnota je nula:

.

· Konštantný multiplikátor možno odstrániť zo znaku rozptylu jeho odmocniním:

.

Disperzia sumy A rozdiely dve nezávislé náhodné premenné sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných:

Disperzia počet vystúpení diania A V n nezávislé testy, v každom z nich pravdepodobnosť P výskyt udalosti konštantný , sa určuje podľa vzorca:

,

Kde
je pravdepodobnosť, že udalosť nenastane.

Pohodlná pomocná charakteristika používaná vo výpočtoch ešte častejšie ako D(X), je smerodajná odchýlka (alebo štandardné ) náhodná premenná:

.

Faktom je, že D(X) má rozmer druhej mocniny rozmeru náhodnej premennej a rozmer štandardu  X) je rovnaký ako pre náhodnú premennú X. To je veľmi výhodné na odhad šírenia náhodnej premennej.

Príklad. Nech je náhodná premenná daná rozdelením:

X	2 m	3 m	10 m
P	0,1	0,4	0,5

Vypočítajte: m

a štandard: m.

Preto o náhodnej premennej X dá sa povedať buď - jeho matematický predpoklad je 6,4 m s rozptylom 13,04 m 2, alebo - jeho matematický predpoklad je 6,4 m s rozptylom
m) Druhá formulácia je samozrejme jasnejšia.

Poznač si to za sumu n nezávislé náhodné premenné:

Počiatočné a ústredné teoretické momenty

Pre väčšinu praktických výpočtov numerických charakteristík uvedených vyššie MX),DX)a  X) dosť. Na štúdium správania náhodných premenných však môžete použiť aj niektoré ďalšie numerické charakteristiky, ktoré vám umožnia sledovať nuansy správania náhodnej premennej a zovšeobecniť vyššie uvedenú teóriu.

Počiatočný moment k-tého rádu náhodnej premennej X sa nazýva matematické očakávanie množstva X k :

Definícia . nepretržitý sa nazýva náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť všetky hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu.

Pre spojitú náhodnú premennú sa zavádza pojem distribučnej funkcie.

Definícia. distribučná funkcia Pravdepodobnosti náhodnej premennej X sa nazývajú funkcia F(x), ktorá pre každú hodnotu x určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x, teda:

F(x) = P(X< x)

Často sa namiesto termínu „distribučná funkcia“ používa termín „integrálna distribučná funkcia“.

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. Hodnoty distribučnej funkcie patria do segmentu:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Distribučná funkcia je neklesajúca funkcia, to znamená:

ak x > x ,

potom F(x) ≥ F(x).

3. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale, je určitý integrál
. ☻

Geometricky získaná pravdepodobnosť sa rovná ploche obrazca ohraničenej zhora distribučnou krivkou a založenej na segmente [a, b] (obr. 3.8).

Distribučnú funkciu spojitej náhodnej premennej možno vyjadriť pomocou hustoty pravdepodobnosti pomocou vzorca:

.

Geometricky sa distribučná funkcia rovná ploche obrázku ohraničenej zhora distribučnou krivkou a ležiacej vľavo od bodu x (obr. 3.9).

Geometricky vlastnosti 1 a 4 hustoty pravdepodobnosti znamenajú, že jej graf - distribučná krivka - neleží pod osou x a celková plocha obrázku ohraničená distribučnou krivkou a osou x sa rovná jednej.

1. Náhodná premenná rozdelená podľa binomického zákona, jej matematického očakávania a rozptylu. Poissonov zákon o rozdelení.

Definícia. Diskrétna náhodná premenná X má zákon binomického rozdelenia s parametrami npq, ak nadobudne hodnoty 0, 1, 2,..., m,..., n s pravdepodobnosťou

kde 0<р

Ako vidíte, pravdepodobnosti P(X=m) sa nachádzajú pomocou Bernoulliho vzorca, preto je zákon binomického rozdelenia zákonom rozdelenia počtu X=m výskytov udalosti A v n nezávislých pokusoch, v každom z ktorých sa môže vyskytnúť s rovnakou pravdepodobnosťou p .

Distribučný rad binomického zákona má tvar:

Je zrejmé, že definícia binomického zákona je správna, pretože hlavná vlastnosť distribučnej série
urobené, pretože nie je nič iné ako súčet všetkých členov expanzie Newtonovho binomu:

Očakávaná hodnota náhodná premenná X, rozdelená podľa binomického zákona,

a jeho rozptyl

Definícia. Diskrétna náhodná premenná X má Poissonov zákon o rozdelení s parametrom λ > 0, ak nadobudne hodnoty 0, 1, 2,..., m, ... (nekonečná, ale spočítateľná množina hodnôt) s pravdepodobnosťou
,

Distribučný rad Poissonovho zákona má tvar:

Je zrejmé, že definícia Poissonovho zákona je správna, pretože je hlavnou vlastnosťou distribučnej série
spokojný, pretože súčet série.

Na obr. 4.1 je znázornený mnohouholník (polygón) rozdelenia náhodnej premennej rozloženej podľa Poissonovho zákona Р(Х=m)=Р m (λ) s parametrami λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Veta. Matematické očakávanie a rozptyl náhodné veličiny rozdelené podľa Poissonovho zákona sa zhodujú a rovnajú sa parametru λ tohto zákona, t.j.

A

"