Aj v škole sa každý z nás učil rovnice a pre istotu aj sústavy rovníc. Málokto však vie, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť. Dnes si podrobne rozoberieme všetky metódy riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc, ktoré pozostávajú z viac ako dvoch rovníc.
Príbeh
Dnes je známe, že umenie riešenia rovníc a ich sústav má svoj pôvod v starovekom Babylone a Egypte. Rovnosti vo svojej obvyklej podobe sa však objavili po objavení sa znaku rovnosti „=“, ktorý v roku 1556 zaviedol anglický matematik Record. Mimochodom, toto znamenie bolo vybrané z nejakého dôvodu: znamená dva paralelné rovnaké segmenty. V skutočnosti neexistuje lepší príklad rovnosti.
Zakladateľom moderných písmenných označení neznámych a znakov stupňov je francúzsky matematik.Jeho označenia sa však od dnešných výrazne líšili. Napríklad druhú mocninu neznámeho čísla označil písmenom Q (lat. „quadratus“) a kocku písmenom C (lat. „cubus“). Tieto zápisy sa teraz zdajú trápne, ale vtedy to bol najzrozumiteľnejší spôsob písania systémov lineárnych algebraických rovníc.
Nevýhodou vtedajších metód riešenia však bolo, že matematici uvažovali len o kladných koreňoch. Možno je to spôsobené tým, že záporné hodnoty nemali praktické využitie. Tak či onak, boli to talianski matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli, ktorí ako prví uvažovali o negatívnych koreňoch v 16. storočí. A moderný pohľad, hlavná metóda riešenia (cez diskriminant) vznikla až v 17. storočí vďaka práci Descarta a Newtona.
V polovici 18. storočia našiel švajčiarsky matematik Gabriel Cramer nový spôsob, ako uľahčiť riešenie sústav lineárnych rovníc. Táto metóda bola následne po ňom pomenovaná a používame ju dodnes. O Cramerovej metóde si však povieme o niečo neskôr, no zatiaľ budeme diskutovať o lineárnych rovniciach a metódach ich riešenia oddelene od systému.
Lineárne rovnice
Lineárne rovnice sú najjednoduchšie rovnosti s premennou (premennými). Sú klasifikované ako algebraické. píšte vo všeobecnom tvare takto: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Ich reprezentáciu v tejto podobe budeme potrebovať pri ďalšom zostavovaní systémov a matíc.
Systémy lineárnych algebraických rovníc
Definícia tohto pojmu je nasledovná: ide o súbor rovníc, ktoré majú spoločné neznáme a spoločné riešenie. Spravidla sa v škole všetko riešilo sústavami s dvomi alebo aj tromi rovnicami. Existujú však systémy so štyrmi alebo viacerými komponentmi. Poďme najprv zistiť, ako ich zapísať, aby bolo vhodné ich neskôr vyriešiť. Po prvé, systémy lineárnych algebraických rovníc budú vyzerať lepšie, ak budú všetky premenné napísané ako x s príslušným indexom: 1,2,3 atď. Po druhé, všetky rovnice by sa mali uviesť do kanonického tvaru: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
Po všetkých týchto akciách môžeme začať hovoriť o tom, ako nájsť riešenie systémov lineárnych rovníc. Matice sú na to veľmi užitočné.
Matrice
Matica je tabuľka, ktorá pozostáva z riadkov a stĺpcov a na ich priesečníkoch sú jej prvky. Môžu to byť špecifické hodnoty alebo premenné. Najčastejšie sa na označenie prvkov pod ne umiestňujú dolné indexy (napríklad 11 alebo 23). Prvý index znamená číslo riadku a druhý číslo stĺpca. Na maticách, ako aj na akomkoľvek inom matematickom prvku, môžete vykonávať rôzne operácie. Takto môžete:
2) Vynásobte maticu nejakým číslom alebo vektorom.
3) Transponovať: premeňte riadky matice na stĺpce a stĺpce na riadky.
4) Vynásobte matice, ak sa počet riadkov jednej z nich rovná počtu stĺpcov druhej.
Všetky tieto techniky si rozoberieme podrobnejšie, pretože sa nám budú hodiť v budúcnosti. Odčítanie a sčítanie matíc je veľmi jednoduché. Keďže berieme matice rovnakej veľkosti, každý prvok jednej tabuľky zodpovedá každému prvku inej. Tieto dva prvky teda sčítame (odčítame) (dôležité je, aby boli vo svojich maticiach na rovnakých miestach). Pri násobení matice číslom alebo vektorom jednoducho musíte vynásobiť každý prvok matice týmto číslom (alebo vektorom). Transpozícia je veľmi zaujímavý proces. Niekedy je veľmi zaujímavé vidieť to v reálnom živote, napríklad pri zmene orientácie tabletu alebo telefónu. Ikony na pracovnej ploche sú maticou a keď zmeníte polohu, transponuje sa a rozšíri sa, ale výška sa zníži.
Rozoberme si taký proces ako Hoci to pre nás nebude užitočné, stále bude užitočné ho poznať. Dve matice môžete vynásobiť iba vtedy, ak sa počet stĺpcov v jednej tabuľke rovná počtu riadkov v druhej tabuľke. Teraz si vezmime prvky riadku jednej matice a prvky zodpovedajúceho stĺpca inej matice. Vzájomne ich vynásobíme a potom sčítame (to znamená, že napríklad súčin prvkov a 11 a a 12 b 12 a b 22 sa bude rovnať: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Takto sa získa jeden prvok tabuľky a ten sa ďalej vyplní podobnou metódou.
Teraz môžeme začať uvažovať, ako je vyriešený systém lineárnych rovníc.
Gaussova metóda
Táto téma začína už v škole. Dobre poznáme pojem "systém dvoch lineárnych rovníc" a vieme ich riešiť. Ale čo ak je počet rovníc viac ako dve? Toto nám pomôže
Samozrejme, túto metódu je vhodné použiť, ak zo systému vytvoríte maticu. Ale nemôžete ho premeniť a vyriešiť v jeho čistej forme.
Ako je teda systém lineárnych Gaussových rovníc vyriešený touto metódou? Mimochodom, hoci je táto metóda pomenovaná po ňom, bola objavená už v staroveku. Gauss navrhuje nasledovné: vykonávať operácie s rovnicami s cieľom prípadne zredukovať celú množinu na stupňovitú formu. To znamená, že je potrebné, aby zhora nadol (ak je správne umiestnené) od prvej rovnice po poslednú klesala jedna neznáma. Inými slovami, musíme sa uistiť, že dostaneme, povedzme, tri rovnice: v prvej - tri neznáme, v druhej - dve, v tretej - jedna. Potom z poslednej rovnice nájdeme prvú neznámu, dosadíme jej hodnotu do druhej alebo prvej rovnice a potom nájdeme zvyšné dve premenné.
Cramerova metóda
Na zvládnutie tejto metódy je životne dôležité ovládať zručnosti sčítania, odčítania matíc a tiež musíte vedieť nájsť determinanty. Preto, ak toto všetko robíte zle alebo vôbec neviete ako, budete sa musieť učiť a cvičiť.
Čo je podstatou tejto metódy a ako ju urobiť tak, aby sa získala sústava lineárnych Cramerových rovníc? Všetko je veľmi jednoduché. Maticu musíme zostrojiť z číselných (takmer vždy) koeficientov sústavy lineárnych algebraických rovníc. Aby sme to urobili, jednoducho vezmeme čísla pred neznáme a vložíme ich do tabuľky v poradí, v akom sú zapísané v systéme. Ak je pred číslom znak „-“, zapíšeme záporný koeficient. Zostavili sme teda prvú maticu koeficientov neznámych, bez čísel za znamienkami rovnosti (prirodzene, rovnica by sa mala zredukovať na kanonickú formu, keď je len číslo vpravo a všetky neznáme s koeficienty sú vľavo). Potom musíte vytvoriť niekoľko ďalších matíc - jednu pre každú premennú. Aby sme to dosiahli, v prvej matici postupne nahradíme každý stĺpec koeficientmi stĺpcom čísel za znamienkom rovnosti. Takto získame niekoľko matíc a potom nájdeme ich determinanty.
Keď sme našli determinanty, záležitosť je malá. Máme počiatočnú maticu a existuje niekoľko výsledných matíc, ktoré zodpovedajú rôznym premenným. Aby sme získali riešenia sústavy, vydelíme determinant výslednej tabuľky determinantom počiatočnej tabuľky. Výsledné číslo je hodnota jednej z premenných. Podobne nachádzame všetky neznáme.
Iné metódy
Existuje niekoľko ďalších metód na získanie riešenia systémov lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná Gauss-Jordanova metóda, ktorá sa používa na hľadanie riešení sústavy kvadratických rovníc a je spojená aj s používaním matíc. Existuje aj Jacobiho metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Najľahšie sa prispôsobuje počítaču a používa sa vo výpočtovej technike.
Ťažké prípady
Zložitosť zvyčajne vzniká, keď je počet rovníc menší ako počet premenných. Potom môžeme s istotou povedať, že buď je systém nekonzistentný (to znamená, že nemá korene), alebo počet jeho riešení má tendenciu k nekonečnu. Ak máme druhý prípad, musíme si zapísať všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Bude obsahovať aspoň jednu premennú.
Záver
Tu sa dostávame na koniec. Zhrňme to: analyzovali sme, čo je systém a matica, naučili sme sa nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Okrem toho sa zvažovali aj ďalšie možnosti. Zistili sme, ako sa rieši sústava lineárnych rovníc: Gaussova metóda a Hovorili sme o zložitých prípadoch a iných spôsoboch hľadania riešení.
V skutočnosti je táto téma oveľa rozsiahlejšia a ak jej chcete lepšie porozumieť, odporúčame vám prečítať si odbornejšiu literatúru.
Homogénna sústava lineárnych rovníc AX = 0 vždy spolu. Má netriviálne (nenulové) riešenia, ak r= hodnosť A< n .
Pre homogénne systémy sú bázové premenné (koeficienty, pri ktorých tvoria minoritnú bázu) vyjadrené ako voľné premenné vzťahmi v tvare:
Potom n - r lineárne nezávislé vektorové riešenia budú:
a akékoľvek iné riešenie je ich lineárna kombinácia. Rozhodovací vektor 
vytvoriť normalizovaný základný systém.
V lineárnom priestore tvorí množina riešení homogénneho systému lineárnych rovníc podpriestor dimenzie n - r; 
je základom tohto podpriestoru.
systém m lineárne rovnice s n neznámy(alebo, lineárny systém
 |
Tu X 1 , X 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, amn- systémové koeficienty - a b 1 , b 2 , … b m aiji) a neznáme ( j
Systém (1) sa nazýva homogénneb 1 = b 2 = … = b m= 0), inak - heterogénne.
Systém (1) sa nazýva námestie ak číslo m rovnice sa rovná číslu n neznámy.
Riešenie systémy (1) - sada nčísla c 1 , c 2 , …, c n, tak, že nahradenie každého c i namiesto x i do systému (1) premení všetky svoje rovnice na identity.
Systém (1) sa nazýva kĺb nezlučiteľné
Riešenia c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) a c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n rôzne
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
istý neistý. Ak existuje viac rovníc ako neznámych, nazýva sa to predefinované.
Riešenie sústav lineárnych rovníc
Riešenie maticových rovníc ~ Gaussova metóda
Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc sú rozdelené do dvoch skupín:
1. presné metódy, čo sú konečné algoritmy na výpočet koreňov systému (riešenie systémov pomocou inverznej matice, Cramerovo pravidlo, Gaussova metóda atď.),
2. iteračné metódy, ktoré umožňujú získať riešenie systému s danou presnosťou pomocou konvergentných iteračných procesov (metóda iterácie, Seidelova metóda a pod.).
Kvôli nevyhnutnému zaokrúhľovaniu sú výsledky aj presných metód približné. Pri použití iteračných metód sa navyše pridáva chyba metódy.
Efektívna aplikácia iteračných metód v podstate závisí od dobrej voľby počiatočnej aproximácie a rýchlosti konvergencie procesu.
Riešenie maticových rovníc
Zvážte systém n lineárne algebraické rovnice vzhľadom na n neznámy X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrix A, ktorého stĺpce sú koeficienty pre zodpovedajúce neznáme a riadky sú koeficienty pre neznáme v zodpovedajúcej rovnici, sa nazýva systémová matica; stĺpcová matica b, ktorého prvky sú pravé strany rovníc sústavy, sa nazýva matica na pravej strane alebo jednoducho pravej strane systému. stĺpcová matica X, ktorého prvky sú neznáme neznáme, sa nazýva systémové riešenie.
Ak matica A- nejednotný, teda det A n e sa rovná 0, potom systém (13) alebo jeho ekvivalentná maticová rovnica (14) má jedinečné riešenie.
Skutočne, za podmienky det A nie je rovnaké 0 existuje inverzná matica A-1. Vynásobenie oboch strán rovnice (14) maticou A-1 dostaneme:
| (16) |
Vzorec (16) dáva riešenie rovnice (14) a je jedinečný.
Pomocou funkcie je vhodné riešiť sústavy lineárnych rovníc vyriešiť.
vyriešiť( A, b)
Vráti sa rozhodovací vektor X také že Oh= b.
Argumenty:
A je štvorcová, nesingulárna matica.
b je vektor, ktorý má toľko riadkov, koľko je riadkov v matici A .
Obrázok 8 ukazuje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc v troch neznámych.
Gaussova metóda
Gaussova metóda, nazývaná aj Gaussova eliminačná metóda, spočíva v tom, že sústava (13) sa postupnou elimináciou neznámych redukuje na ekvivalentnú sústavu s trojuholníkovou maticou:
V maticovom zápise to znamená, že najprv (priamy priebeh Gaussovej metódy) elementárne operácie na riadkoch privedú rozšírenú maticu systému do stupňovitého tvaru:
a potom (opačný priebeh Gaussovej metódy) sa táto kroková matica transformuje tak, že v prvom n Ukázalo sa, že stĺpce sú maticou identity:
.
Posledné, ( n+ 1) stĺpec tejto matice obsahuje riešenie sústavy (13).
V Mathcade sú pohyby dopredu a dozadu Gaussovej metódy vykonávané funkciou ref(A).
Na obrázku 9 je znázornené riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ktorá využíva nasledujúce funkcie:
rref( A)
Vráti krokový tvar matice A.
rozšíriť ( A, IN)
Vráti pole vytvorené umiestnením A A IN bok po boku. Polia A A IN musí mať rovnaký počet riadkov.
submatica( A, ir, jr, ic, jc)
Vráti sa submatica pozostávajúca zo všetkých prvkov s ir Autor: ml a stĺpce s ic Autor: jc. Uistite sa, že ir ml A
ic jc, inak bude poradie riadkov a/alebo stĺpcov obrátené.
Obrázok 9
Popis metódy
Pre systém n lineárnych rovníc s n neznámymi (nad ľubovoľným poľom)
s determinantom systémovej matice Δ odlišným od nuly sa riešenie zapíše ako
(i-tý stĺpec matice systému je nahradený stĺpcom voľných členov).
V inej forme je Cramerovo pravidlo formulované takto: pre všetky koeficienty c1, c2, ..., cn platí rovnosť:
V tejto forme platí Cramerov vzorec bez predpokladu, že Δ je odlišné od nuly, dokonca nie je potrebné, aby koeficienty systému boli prvkami integrálneho kruhu (determinantom systému môže byť dokonca nulový deliteľ v kruhu). koeficientov). Môžeme tiež predpokladať, že buď množiny b1,b2,...,bn a x1,x2,...,xn, alebo množina c1,c2,...,cn, sa neskladajú z prvkov koeficientového okruhu systému, ale nejakého modulu nad týmto kruhom. V tejto podobe sa Cramerov vzorec používa napríklad pri dokazovaní vzorca pre Gramov determinant a Nakayamovu lemu.
| 35) Kroneckerova-Capelliho veta |
Aby bol systém m nehomogénnych lineárnych rovníc v n neznámych konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby bol dôkaz nevyhnutnosti. Nech je systém (1.13) konzistentný, to znamená, že existujú také čísla X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n \u003d α n,Čo  (1.15) Od posledného stĺpca rozšírenej matice odpočítajte jeho prvý stĺpec vynásobený α 1 , druhý - α 2 , …, n-tý - vynásobený α n , teda od posledného stĺpca matice (1.14) mali by ste odpočítať ľavé časti rovnosti ( 1.15). Potom dostaneme matricu  ktorých poradie sa v dôsledku elementárnych transformácií nemení a . Ale je to zrejmé, a teda dôkaz dostatočnosti. Nech a nech, pre istotu, nenulový moll rádu r umiestnený v ľavom hornom rohu matice:  To znamená, že zvyšné riadky matice možno získať ako lineárne kombinácie prvých r riadkov, to znamená, že m-r riadkov matice možno znázorniť ako súčty prvých r riadkov vynásobené nejakými číslami. Potom je ale prvých r rovníc sústavy (1.13) nezávislých a zvyšok sú ich dôsledky, teda riešenie sústavy prvých r rovníc je automaticky riešením zvyšných rovníc. Možné sú dva prípady. 1. r=n. Potom systém pozostávajúci z prvých r rovníc má rovnaký počet rovníc a neznámych a je konzistentný a jeho riešenie je jedinečné. 2.r |
36) us-e istota, neistota
systém m lineárne rovnice s n neznámy(alebo, lineárny systém) v lineárnej algebre je sústava rovníc tvaru
 |
Tu X 1 , X 2 , …, x n sú neznáme, ktoré sa majú určiť. a 11 , a 12 , …, amn- systémové koeficienty - a b 1 , b 2 , … b m- voľní členovia - predpokladá sa, že sú známi. Koeficientové indexy ( aij) sústavy označujú čísla rovnice ( i) a neznáme ( j), pri ktorej tento koeficient stojí, resp.
Systém (1) sa nazýva homogénne ak sa všetky jeho voľné termíny rovnajú nule ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inak - heterogénne.
Systém (1) sa nazýva kĺb ak má aspoň jedno riešenie a nezlučiteľné ak to nemá riešenie.
Spoločný systém formulára (1) môže mať jedno alebo viac riešení.
Riešenia c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) a c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) sa nazývajú kĺbové systémy tvaru (1). rôzne ak je porušená aspoň jedna z rovnosti:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Spoločný systém tvaru (1) sa nazýva istý ak má jedinečné riešenie; ak má aspoň dve rôzne riešenia, tak sa volá neistý
37) Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou
Nech pôvodný systém vyzerá takto
Matrix A sa nazýva hlavná matica systému, b- stĺpec voľných členov.
Potom, podľa vlastnosti elementárnych transformácií nad riadkami, môže byť hlavná matica tohto systému zredukovaná na stupňovitý tvar (rovnaké transformácie musia byť aplikované na stĺpec voľných členov):
Potom sa volajú premenné hlavné premenné. Všetci ostatní sú tzv zadarmo.
[upraviť] Podmienka konzistencie
Vyššie uvedená podmienka pre všetkých môže byť formulovaná ako nevyhnutná a postačujúca podmienka kompatibility:
Pripomeňme, že hodnosť spoločného systému je hodnosťou jeho hlavnej matice (alebo rozšírenej, keďže sú rovnaké).
Algoritmus
Popis
Algoritmus riešenia SLAE Gaussovou metódou je rozdelený do dvoch etáp.
§ V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy ťah, keď sa pomocou elementárnych transformácií cez riadky systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že systém je nekonzistentný. Totiž medzi prvkami prvého stĺpca matice sa vyberie nenulová jednotka, ktorá sa presunie na najvyššiu pozíciu permutáciou riadkov a prvý riadok získaný po permutácii sa odpočíta od zostávajúcich riadkov a vynásobí sa hodnota sa rovná pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, čím sa vynuluje stĺpec pod ním. Po vykonaní uvedených transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec v duchu prečiarknu a pokračujú, kým nezostane matica nulovej veľkosti. Ak sa pri niektorých iteráciách medzi prvkami prvého stĺpca nenašiel nenulový, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.
§ V druhej fáze sa vykonáva tzv. spätný ťah, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v pojmoch nebázických a zostavenie fundamentálnej sústavy riešení, alebo ak sú všetky premenné bázické. , potom číselne vyjadrite jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej sa vyjadrí príslušná základná premenná (a je tam len jedna) a dosadí sa do predchádzajúcich rovníc, a tak ďalej, po „stupňoch“. Každý riadok zodpovedá práve jednej základnej premennej, takže v každom kroku, okrem posledného (najvrchnejšieho), sa situácia presne opakuje ako prípad posledného riadku.
Gaussova metóda vyžaduje poriadok O(n 3) akcie.
Táto metóda sa spolieha na:
38)Kronecker-Capelliho veta.
Systém je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť jeho hlavnej matice rovná hodnosti jeho rozšírenej matice.
Aby ste pochopili, čo je základný rozhodovací systém môžete si pozrieť videonávod pre rovnaký príklad kliknutím na . Teraz prejdime k popisu všetkých potrebných prác. To vám pomôže podrobnejšie pochopiť podstatu tohto problému.
Ako nájsť základný systém riešení lineárnej rovnice?
Zoberme si napríklad nasledujúci systém lineárnych rovníc:
Poďme nájsť riešenie tohto lineárneho systému rovníc. Na začiatok my zapíšte maticu koeficientov systému.
Transformujme túto maticu na trojuholníkovú. Prvý riadok prepíšeme bez zmien. A všetky prvky, ktoré sú pod $a_(11)$, musia byť vynulované. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(21)$, musíte odpočítať prvý od druhého riadku a napísať rozdiel do druhého riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(31)$, musíte odpočítať prvý od tretieho riadku a rozdiel zapísať do tretieho riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(41)$, musíte odpočítať prvé vynásobené 2 od štvrtého riadku a napísať rozdiel do štvrtého riadku. Ak chcete namiesto prvku $a_(31)$ urobiť nulu, odčítajte prvé vynásobené 2 od piateho riadku a rozdiel zapíšte do piateho riadku. 
Prvý a druhý riadok prepíšeme bez zmien. A všetky prvky, ktoré sú pod $a_(22)$, musia byť vynulované. Aby sa na mieste prvku $a_(32)$ vytvorila nula, je potrebné od tretieho riadku odpočítať druhý vynásobený 2 a rozdiel zapísať do tretieho riadku. Aby sa na mieste prvku $a_(42)$ vytvorila nula, je potrebné od štvrtého riadku odpočítať sekundu vynásobenú 2 a do štvrtého riadku zapísať rozdiel. Ak chcete namiesto prvku $a_(52)$ urobiť nulu, odčítajte sekundu vynásobenú 3 od piateho riadku a napíšte rozdiel do piateho riadku. 
To vidíme posledné tri riadky sú rovnaké, takže ak odpočítate tretiu od štvrtej a piatej, stanú sa nulou. 
Pre túto matricu napíšte nový systém rovníc.
Vidíme, že máme len tri lineárne nezávislé rovnice a päť neznámych, takže základný systém riešení bude pozostávať z dvoch vektorov. Takže my posuňte posledné dve neznáme doprava.
Teraz začneme vyjadrovať tie neznáme, ktoré sú na ľavej strane, cez tie, ktoré sú na pravej strane. Začneme poslednou rovnicou, najprv vyjadríme $x_3$, potom získaný výsledok dosadíme do druhej rovnice a vyjadríme $x_2$ a potom do prvej rovnice a tu vyjadríme $x_1$. Vyjadrili sme teda všetky neznáme, ktoré sú na ľavej strane, cez neznáme, ktoré sú na pravej strane. 
Potom namiesto $x_4$ a $x_5$ môžete nahradiť ľubovoľné čísla a nájsť $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Každých takýchto päť čísel bude koreňmi nášho pôvodného systému rovníc. Ak chcete nájsť vektory, ktoré sú zahrnuté v FSR musíme nahradiť 1 namiesto $x_4$ a nahradiť 0 namiesto $x_5$, nájsť $x_1$, $x_2$ a $x_3$ a potom naopak $x_4=0$ a $x_5=1$.
6.3. HOMOGÉNNE SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNIC
Pustite teraz do systému (6.1).
Homogénny systém je vždy kompatibilný. Riešenie () sa nazýva nula, alebo triviálne.
Homogénny systém (6.1) má nenulové riešenie vtedy a len vtedy, ak jeho poradie ( 
) je menší ako počet neznámych. Najmä homogénny systém, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych, má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho determinant nulový.
Pretože tentoraz všetko
, namiesto vzorcov (6.6) dostaneme nasledovné:
(6.7)
Vzorce (6.7) obsahujú ľubovoľný roztok homogénneho systému (6.1).
1. Množina všetkých riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc (6.1) tvorí lineárny priestor.
2. Lineárny priestorRvšetkých riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc (6.1) snneznámych a hodnosť hlavnej matice rovnár, má rozmern–r.
Akákoľvek skupina (n–r) lineárne nezávislé riešenia homogénneho systému (6.1) tvoria základ v priestoreRvšetky rozhodnutia. To sa nazýva zásadný množina riešení homogénnej sústavy rovníc (6.1). Zlatý klinec "normálne" základná množina riešení homogénneho systému (6.1):
(6.8)
Podľa definície základu, akéhokoľvek riešenia X homogénny systém (6.1) môže byť znázornený vo forme
(6.9)
Kde 
sú ľubovoľné konštanty.
Keďže vzorec (6.9) obsahuje akýkoľvek roztok homogénnej sústavy (6.1), dáva spoločné rozhodnutie tento systém.
Príklad.
Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :
Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) Riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.
Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.
Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.
Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pre ktoré má systém netriviálne riešenia a nájdite tieto riešenia:
Riešenie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:
Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a za predpokladu, že r=a A z=b, dostaneme x=b-a, t.j.
Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základnú vedľajšiu vyberte:
dostaneme zjednodušený systém
Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Za predpokladu z=4a, dostaneme
Množina všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležité lineárna vlastnosť : ak X stĺpcov 1 a X 2 - roztoky homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1+b X 2 bude aj riešením tohto systému. Skutočne, pretože AX 1 = 0 A AX 2 = 0 , To A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Vďaka tejto vlastnosti, ak má lineárny systém viac riešení, potom týchto riešení bude nekonečne veľa.
Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazýva základný rozhodovací systém homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:
Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, To k = n-r.
Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:
Riešenie. Nájdite poradie hlavnej matice systému:
Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n - r= 5 - 2 = 3. Ako základnú moll volíme
Potom, keď ponecháme iba základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné, prenesieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:
Za predpokladu X 3 = a, X 4 = b, X 5 = c, nájdeme
Za predpokladu a= 1, b=c= 0, získame prvé zásadité riešenie; za predpokladu b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; za predpokladu c= 1, a = b= 0, získame tretie základné riešenie. Výsledkom je, že normálny základný systém riešení nadobúda formu
Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.
Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B, A Y je všeobecné riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akýchkoľvek lineárnych systémov vo všeobecnosti (algebraických, diferenciálnych, funkčných atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp prekrytia. Napríklad v teórii lineárnych elektrických obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.
