Funkcia formulára , kde je tzv kvadratickej funkcie.

Graf kvadratickej funkcie − parabola.

Zvážte prípady:

PRÍPAD I, KLASICKÁ PARABOLA

To je,,

Ak chcete zostaviť, vyplňte tabuľku dosadením hodnôt x do vzorca:

Označiť body (0;0); (1;1); (-1;1) atď. na súradnicovej rovine (čím menší krok vezmeme hodnoty x (v tomto prípade krok 1), a čím viac hodnôt x vezmeme, tým hladšia krivka), dostaneme parabolu:

Je ľahké vidieť, že ak vezmeme prípad , , , to znamená, že dostaneme parabolu, ktorá je symetrická podľa osi (x). Je ľahké to overiť vyplnením podobnej tabuľky:

PRÍPAD II, "a" ODLIŠNÉ OD JEDNÉHO

Čo sa stane, ak vezmeme , , ? Ako sa zmení správanie paraboly? S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prvý obrázok (pozri vyššie) jasne ukazuje, že body z tabuľky pre parabolu (1;1), (-1;1) boli transformované na body (1;4), (1;-4), tj. pri rovnakých hodnotách sa ordináta každého bodu vynásobí 4. Toto sa stane so všetkými kľúčovými bodmi pôvodnej tabuľky. Podobne argumentujeme aj v prípade obrázkov 2 a 3.

A keď sa parabola „stane širšou“ parabolou:

Poďme si to zrekapitulovať:

1)Znamienko koeficientu je zodpovedné za smer vetiev. S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolútna hodnota koeficient (modul) je zodpovedný za „expanziu“, „stlačenie“ paraboly. Čím väčšia , tým užšia je parabola, tým menšie |a|, tým širšia parabola.

ZOBRAZÍ SA PRÍPAD III, "C".

Teraz poďme do hry (to znamená, že uvažujeme o prípade, keď ), budeme uvažovať o parabolách tvaru . Je ľahké uhádnuť (vždy sa môžete pozrieť na tabuľku), že parabola sa bude pohybovať nahor alebo nadol pozdĺž osi v závislosti od znamienka:

IV ZOBRAZÍ SA PRÍPAD, „b“.

Kedy sa parabola „odtrhne“ od osi a konečne „prejde“ po celej súradnicovej rovine? Keď to prestane byť rovné.

Tu, aby sme vytvorili parabolu, potrebujeme vzorec na výpočet vrcholu: , .

Takže v tomto bode (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu, ktorá je už v našich silách. Ak sa zaoberáme prípadom , tak zhora vyčleníme jeden jednotkový segment doprava, jeden nahor, - výsledný bod je náš (podobne, krok doľava, krok hore je náš bod); ak máme do činenia napríklad s, tak zhora odložíme jeden segment doprava, dva hore atď.

Napríklad vrchol paraboly:

Teraz treba hlavne pochopiť, že v tomto vrchole postavíme parabolu podľa šablóny paraboly, pretože v našom prípade.

Pri konštrukcii paraboly po zistení súradníc vrcholu je veľmiJe vhodné zvážiť nasledujúce body:

1) parabola musí prejsť cez bod . Skutočne, dosadením x=0 do vzorca dostaneme, že . To znamená, že ordináta priesečníka paraboly s osou (oy), to je. V našom príklade (vyššie) parabola pretína os y v , pretože .

2) os symetrie paraboly je priamka, takže všetky body paraboly budú okolo nej symetrické. V našom príklade okamžite zoberieme bod (0; -2) a postavíme parabolu symetrickú podľa osi symetrie, dostaneme bod (4; -2), cez ktorý bude parabola prechádzať.

3) Rovnaké k , zistíme priesečníky paraboly s osou (ox). Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu. V závislosti od diskriminantu dostaneme jeden (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V predchádzajúcom príklade máme koreň diskriminantu - nie celé číslo, pri jeho zostavovaní nemá zmysel hľadať korene, ale jasne vidíme, že budeme mať dva priesečníky s (oh) axis (keďže title = " Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tak poďme cvičiť

Algoritmus na zostavenie paraboly, ak je daný vo forme

1) určiť smer vetiev (a>0 - hore, a<0 – вниз)

2) nájdite súradnice vrcholu paraboly podľa vzorca , .

3) bod priesečníka paraboly s osou (oy) nájdeme voľným členom, postavíme bod symetrický k danému vzhľadom na os súmernosti paraboly (treba si uvedomiť, že sa stáva, že je nerentabilné označiť tento bod, napríklad, pretože hodnota je veľká ... tento bod preskočíme ...)

4) V nájdenom bode - vrchole paraboly (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Nájdeme priesečníky paraboly s osou (oy) (ak sa samy ešte „nevynorili“) a vyriešime rovnicu

Príklad 1

Príklad 2

Poznámka 1. Ak dostaneme parabolu na začiatku v tvare , kde sú nejaké čísla (napríklad ), potom bude ešte jednoduchšie ju postaviť, pretože súradnice vrcholu sme už dostali. prečo?

Zoberme si štvorcovú trojčlenku a označme v nej celý štvorec: Pozri, tu to máme , . Predtým sme nazývali vrchol paraboly, teda teraz.

Napríklad, . Na rovine označíme vrchol paraboly, chápeme, že vetvy smerujú nadol, parabola je rozšírená (relatívne). To znamená, že vykonáme kroky 1; 3; 4; 5 z algoritmu na konštrukciu paraboly (pozri vyššie).

Poznámka 2. Ak je parabola daná v podobnom tvare (teda reprezentovaná ako súčin dvoch lineárnych faktorov), potom okamžite vidíme priesečníky paraboly s osou (x). V tomto prípade - (0;0) a (4;0). Vo zvyšku konáme podľa algoritmu a otvárame zátvorky.

Zostrojenie paraboly patrí medzi známe matematické operácie. Pomerne často sa používa nielen na vedecké účely, ale aj na čisto praktické účely. Poďme sa naučiť, ako vykonať tento postup pomocou súpravy nástrojov aplikácie Excel.

Parabola je graf kvadratickej funkcie nasledujúceho typu f(x)=ax^2+bx+c. Jednou z jeho pozoruhodných vlastností je skutočnosť, že parabola má tvar symetrického útvaru, ktorý pozostáva zo súboru bodov rovnako vzdialených od smerovej čiary. Celkovo sa vytváranie paraboly v Exceli príliš nelíši od vytvárania akéhokoľvek iného grafu v tomto programe.

Vytvorte tabuľku

V prvom rade, skôr ako začnete stavať parabolu, mali by ste si postaviť stôl, na základe ktorého bude vytvorená. Zoberme si napríklad graf funkcie f(x)=2x^2+7.

Plotovanie

Ako už bolo spomenuté vyššie, teraz musíme zostaviť samotný graf.

Úprava grafu

Teraz môžete výsledný graf mierne upraviť.

Okrem toho môžete vykonávať akékoľvek iné typy úprav výslednej paraboly, vrátane zmeny jej názvu a názvov osí. Tieto techniky úprav nepresahujú rámec práce v Exceli s grafmi iných typov.

Ako vidíte, zostavenie paraboly v Exceli sa zásadne nelíši od zostavenia iného typu grafu alebo grafu v rovnakom programe. Všetky akcie sa vykonávajú na základe vopred vytvorenej tabuľky. Okrem toho je potrebné vziať do úvahy, že bodový pohľad diagramu je najvhodnejší na zostrojenie paraboly.

Aby sme nakreslili graf funkcie v karteziánskych súradniciach, potrebujeme dve na seba kolmé priamky xOy (kde O je priesečník x a y), ktoré sa nazývajú „súradnicové osi“ a potrebujeme mernú jednotku.

Bod v tomto systéme má dve súradnice.
M(x, y): M je názov bodu, x je úsečka a meria sa pomocou Ox a y je ordináta a meria sa pomocou Oy.

Ak uvažujeme funkciu f: A -> B (kde A je definičný definičný obor, B je definičný definičný obor), potom bod na grafe tejto funkcie môže byť reprezentovaný v tvare P(x, f( X)).

Príklad
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Ak x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (kde Gf je graf tejto funkcie).

kvadratickej funkcie

Štandardná forma: f(x) = ax2 + bx + c

Tvar vrcholu: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
Kde A = b2-4ac

Ak a > 0 , potom minimálna hodnota f(x) bude $-\frac(\Delta)(4a)$ , čo sa získa, ak $x=-\frac(b)(2a)$. Harmonogram bude konvexná parabola, ktorého vrchol (bod, v ktorom mení smer) je $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Ak< 0 , то минимальное значение f(x) bude $-\frac(\Delta)(4a)$ , čo sa získa, ak $x=-\frac(b)(2a)$. Harmonogram bude konkávna parabola, ktorého vrchol je $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Parabola je symetrická vzhľadom na priamku, ktorú pretína $x=-\frac(b)(2a)$ a ktorá je tzv. "os symetrie".
Preto keď priraďujeme vedomosti X, potom ich vyberieme ako symetrické vzhľadom na $-\frac(b)(2a)$.
Pri vykresľovaní grafu sú veľmi dôležité priesečníky so súradnicovými osami.

|. Bod umiestnený na osi Vôl má formu P(x, 0), pretože vzdialenosť od nej do Vôl je 0. Ak sa bod nachádza na Vôl a na grafe funkcie má potom aj tvar P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Aby sme teda našli súradnice priesečníka s osou Vôl, musíme vyriešiť rovnicu f(x)=0. Dostaneme rovnicu a2 + bx + c = 0.

Riešenie rovnice závisí od znamienka A = b2-4ac.

Immm nasledujúce možnosti:

1) ∆< 0 ,
potom rovnica nemá žiadne riešenia R(množina reálnych čísel) a graf sa nepretína Vôl. Tvar grafu bude:

2) A = 0,
potom má rovnica dve riešenia $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Graf sa dotýka osi Vôl na vrchole paraboly. Tvar grafu bude:

3) A > 0,
potom má rovnica dve rôzne riešenia.

$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ a $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$

Graf funkcie bude pretínať os Vôl v bodoch M(x1 A Vôl. Tvar grafu bude:

||. Bod na osi Oj má formu R(0;y) pretože vzdialenosť od Oj rovná sa 0 . Ak sa bod nachádza na Oj a na grafe funkcie má potom aj tvar R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

V prípade kvadratickej funkcie,
f(0) = a×02 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Kroky potrebné na vytvorenie grafu kvadratickej funkcie

f: R → R
f(x) = ax2 + bx + c

1. Urobíme si tabuľku premenných, kde zadáme niektoré dôležité hodnoty X.

2. Vypočítajte súradnice vrcholu $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

3. Do tabuľky zapíšte aj 0 a nulové hodnoty symetrické $-\frac(b)(2a)$.

4. Určíme priesečník s osou Vôl, riešenie rovnice f(x)=0 a napíšte korene x 1 A x2 v tabulke.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ dotyky grafu Vôl priamo na vrchole paraboly. Opäť vyberieme dve vhodné hodnoty, ktoré sú symetrické k $-\frac(b)(2a)$. Pre lepšie určenie tvaru grafu môžeme zvoliť iné dvojice hodnôt X, ale musia byť symetrické $-\frac(b)(2a)$.

5. Tieto hodnoty vynesieme do súradnicového systému a vytvoríme graf spojením týchto bodov.

Príklad 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2 x - 3
a=1, b=-2, c=-3

$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$

2. f(0) = -3
Symetrická hodnota 0 vzhľadom na 1 je 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
A = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$

$x_1=\frac(2+4)(2)=3$

Našli sme body:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Graf bude vyzerať takto:

Príklad 2
f: R → R
f(x) = -x2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ \u003d b 2 – 4 × a × c \u003d (-2) 2 – 4 × (-1) × 8 \u003d 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (0-symetrická hodnota vzhľadom na -1 je -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
A = 36
x 1 = 2 a x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Príklad 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a=1, b=-4, c=4
Δ \u003d b 2 – 4 × a × c \u003d (-4) 2 – 4 × 1 × 4 \u003d 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (symetrická hodnota 0 okolo 2 je 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Príklad 4
f: R → R
f(x) = -x2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 – 4×a×c = 4 2 – 4×(-1)×(-5) = 16 – 20 = –4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (0-symetrická hodnota vzhľadom na 2 je 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
Táto rovnica nemá riešenia. Zvolili sme symetrické hodnoty okolo 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Ak definičný obor nie je R (množina reálnych čísel), ale nejaký interval, potom vymažeme časť grafu, ktorá zodpovedá týmto hodnotám X, ktoré nie sú v tomto intervale. Je potrebné zaznamenať koncové body intervalu do tabuľky.

Príklad 5
f :)