Lemma.
Dôkaz. Lebo vyhlásenie je zrejmé. Dovoliť a byť kanonický rozklad čísla . Potom, vzhľadom na to, že deliče majú tvar , kde , ,…, ; , dostaneme
pretože
Veta. (Aditívny Möbiov inverzný vzorec.) Dovoliť a byť funkcie prirodzeného argumentu . Potom ak 
Dôkaz. Máme
Nechaj . Potom fixne prebehne všetky hodnoty deliteľov čísla. To znamená, že súčtové znamienka v poslednom dvojitom súčte možno obrátiť, t.j.
Teraz, vzhľadom na to
dostaneme
Existuje iná forma dokázanej vety:
Veta.
(Multiplikatívny Möbiov inverzný vzorec.) Nechajte 
kde symbol označuje súčin rozšírený na všetkých deliteľov čísla .
Dôkaz:
Príklady použitia Möbiovho inverzného vzorca:
Problém počtu krúžkových sekvencií. Pozri: Hala M. Kombinatorika. M.: Mir, , § .
Počet ireducibilných polynómov daného stupňa v konečnom poli prvkov. Pozri: Berlekamp E. Teória algebraického kódovania. − M.: Mir, 1970, Ch. 3.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra. V t. M .: Helios, . T. , § .
Pre samoukov:
Möbiova inverzia na čiastočne objednaných súpravách. Princíp inklúzie-vylúčenia ako špeciálny prípad Möbiovej inverznej formuly. Pozri: Hala M. Kombinatorika. Moskva: Mir, , §; Bender E., Goldman J. O aplikáciách Möbiovej inverzie v kombinatorickej analýze. In: Enumeratívne problémy kombinatorickej analýzy. M.: Mir, 1971. S. - .
Porovnania pre kombinačné čísla
Nech je prvočíslo.
Lemma.
Dôkaz. Keď je vo vzorci čitateľ
Dôsledok.
Dôkaz.
Lemma. Nech , , , sú nezáporné celé čísla a , . Potom
Dôkaz. Máme
Na druhej strane,
Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninoch dostaneme požadovaný výsledok. ∎
− reprezentácie nezáporných celých čísel a podľa základu . (Tu akékoľvek celé číslo, pre ktoré , ). Na množine nezáporných celých čísel definujeme vzťah čiastočného poradia (vzťah prednosť), za predpokladu, že vtedy a len vtedy
Lucasova veta ( ).
Dôkaz. Podľa predchádzajúcej lemy,
Kde , . Opakovaným aplikovaním lemy k príslušný počet krát získame požadovaný výsledok. ∎
Komentujte. Veta neplatí pre nejednoduché . Napríklad (pozri Berlekamp, s.),
Dôsledok.
II . Algebraické štruktúry
II. 1. Množiny s binárnymi operáciami. Grupoidy, pologrupy, monoidy
Binárna algebraická operácia(alebo kompozičný zákon) na neprázdnej súprave S sa nazýva mapovanie : , párovanie prvkov , jedinečne definovaný prvok , . Na množine je možné definovať veľa operácií. (Ak napríklad, samozrejme, potom počet spôsobov je , kde je počet prvkov v .) Ak chceme vybrať jeden z nich, napríklad , napíšeme , . Takýto objekt je tzv binárna algebra, alebo grupoid. Namiesto , často píšu , a samotná operácia je označená nejakým symbolom ( , , , atď.).
Komentujte. Spolu s binárnymi operáciami prichádzajú do úvahy aj všeobecnejšie -árne operácie (unárne pre , ternárne pre , atď.). Algebraické štruktúry (systémy) s nimi spojené sú predmetom štúdia tzv. univerzálne algebry.
Binárna operácia na množine sa volá asociatívne, Ak
, pre akékoľvek , , .
Grupoid s asociatívnou operáciou sa nazýva poloskupina.
Príklad neasociatívneho grupoidu. Na množine definujeme operáciu ako 
. Operácia nie je asociatívna: , ale .
Veta. Ak je binárna operácia na množine asociatívna, potom hodnota výrazu nezávisí od usporiadania zátvoriek v nej.
Dôkaz. Pre , alebo tvrdenie je zrejmé. Pre , stačí ukázať indukciou, že
pre akékoľvek, . Podľa indukčnej hypotézy usporiadanie zátvoriek v
nie významné; najmä,.
Ak potom .
Ak potom
Pravá strana dokazovanej rovnosti (1) je zredukovaná do rovnakého tvaru. ∎
Prvok sa volá neutrálny ohľadom operácie, ak
pre hocikoho .
Polgrupa s prvkom sa nazýva monoid(alebo pologrupa s identitou) a označujú , , .
Pologrupa (grupoid) môže mať najviac jeden neutrálny prvok: ak
, sú teda neutrálne prvky 
Grupoid (pologrupa) sa nazýva podskupina (podpoloskupina) grupoidu (polgrupy) , , ak
A pre akékoľvek,.
V tomto prípade sa hovorí, že podmnožina je za prevádzky zatvorené. Monoid, , sa nazýva submonoid monoid , , , if a .
Prvok monoidu , , sa nazýva reverzibilné ak existuje prvok taký, že 
(Samozrejme, potom budeme invertovať). Ak má prvok rovnakú vlastnosť, t.j. 
, potom z rovností vyplýva, že prvok je v skutočnosti jediný (vzhľadom na ). To vám umožňuje hovoriť o obrátene element , to (invertible) element , s vlastnosťami: , .
Ak sú , invertibilné prvky monoidu , , , potom ich súčin je tiež invertibilný prvok, pretože 
, 
. Je zrejmé, že ide o invertovateľný prvok. Preto existuje
Veta. Množina všetkých invertibilných prvkov monoidu , , je pod operáciou ∗ uzavretá a tvorí submonoid v , , .
skupiny
Definícia skupiny. Monoid , , , ktorého všetky prvky sú invertibilné, sa nazýva skupina.
Inými slovami, skupina je množina s binárnou operáciou, pre ktorú platia nasledujúce axiómy:
. (Uzavretie prevádzky.) , .
. (Prevádzková asociativita.) ,
. (Existencia neutrálneho prvku.) ∃ 
.
. (Existencia inverzného prvku.) .
Komentujte. Ak sa vrátime k algebraickým štruktúram uvedeným vyššie, pozorujeme medzi nimi nasledujúcu hierarchiu: dvojica , je grupoid, ak axióma ; poloskupina, ak sú splnené axiómy a; monoid, ak sú axiómy , a ; skupina, ak sú axiómy , , a .
Stupne prvkov so zjavnými vlastnosťami sú prirodzene definované:
(raz),
; 
, (
, , .
Vo všeobecnosti nie je možné preusporiadať prvky vo výraze (t.j. 
). Ak 
, potom sa prvky nazývajú permutačný, alebo dochádzanie. Ak akékoľvek dva prvky skupiny dochádzajú, potom sa skupina volá komutatívny, alebo abelian(na počesť nórskeho matematika Riela Henrika Abela ( - )).
Operácia v skupine sa najčastejšie označuje buď symbolom (sčítanie) alebo symbolom (násobenie). Skupina je podľa toho pomenovaná aditívum alebo multiplikatívne, jeho neutrálny prvok − resp nula() alebo jednotka(). V aditívnej skupine, prvku, sa volá prvok inverzný k prvku opak a označuje sa , a namiesto toho píšu . V multiplikatívnej skupine sa zvyčajne píše namiesto , pričom sa vynecháva operačný symbol.
Príklady aditívnych skupín. 1) , , , , , , sú aditívne skupiny kruhu a polí , , . Stačí napísať,,,,. 2) Akýkoľvek adičný kruh je abelovská skupina. Najmä polynómový kruh ,…, ] a maticový kruh poradia nad poľom sú abelovské skupiny. 3) Akýkoľvek vektorový priestor nad poľom vzhľadom na sčítanie je abelovská grupa. 4) , 1,…, je úplný systém najmenších nezáporných zvyškov modulo s operáciou sčítania modulo .
Príklady multiplikatívnych skupín. 1) , , − multiplikatívne skupiny polí , , . 2) je množina invertovateľných prvkov akéhokoľvek kruhu s jednotou pri násobení. Najmä = ; , je množina invertibilných matíc z . 3) − všetky (skutočné a komplexné) korene
, , 1,…, , − imaginárna jednotka,
rovnice sú multiplikatívnou abelovskou grupou. 4) − množina rotácií pravidelného -uholníka v rovine a v priestore − nekomutatívna grupa (pre ).
Ďalej sa častejšie používa multiplikatívna forma záznamu operácie. Skupina sa zvyčajne označuje jedným písmenom bez určenia operácie. Množina všetkých prvkov skupiny sa nazýva hlavný súbor skupiny a označuje sa tým istým písmenom. Ak je základná množina konečná, potom sa volá skupina konečný; inak sa to vola nekonečné. Číselný prvok konečnej grupy sa nazýva jeho v poriadku. Skupina poradia 1 sa nazýva slobodný, alebo T triviálne. Nekonečná skupina vraj má nekonečný poriadok. Rovnaké symboly Card (kardinálne číslo) a () sa používajú na označenie poradia skupiny (kardinalita hlavného súboru).
Ak , sú podmnožiny (hlavnej množiny) skupiny, potom nastavíme
, 
, .
Podskupina Skupina je podmnožinou B, ktorá je sama osebe skupinou vzhľadom na rovnakú operáciu ako v . Inými slovami, podmnožina je podskupinou vtedy a len vtedy, ak (jeden v) a je uzavretá pod násobením a reciprokou, t.j. , (v skutočnosti sú tu dokonca rovnoprávnosti). Ak − je podskupina v , potom napíšte ; ak v rovnakom čase , potom sa nazýva vlastné podskupina a táto je označená ako .
1. Najprv si pripomeňme definíciu dôležitej číselno-teoretickej Möbiouovej funkcie
1, ak n = 1
µ (n)=0 ak existuje prvočíslo p, p2 n (-1)k ak n = p1 … pk je súčinom k rôznych prvočísel.
Dokážme hlavnú vlastnosť Möbiovej funkcie:
Veta 1.
♦ Ak n = 1, potom jediným deliteľom je d = 1 a (1) je pravdivé, pretože µ (1) = 1. Nech je teraz n > 1. Znázornime to v tvare
n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,
kde pi , i 1, k sú prvočísla, si sú ich mocniny. Ak d je deliteľ čísla n, potom d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,
kde 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. Ak di > 1 pre nejaké i 1, k , potom µ (d) = 0. Preto v (1) musíme uvažovať len tie d, pre ktoré di ≤ 1, i 1, k . Každý takýto deliteľ
stojí zo súčinu r rôznych prvočísel, kde r 1, k , a jeho príspevku k súčtu
(1) sa rovná (-1)r a celkovo je k. Tak dostaneme
u (d) = 1 - |
K + (-1) k |
0. ♦ |
||||||||
Veta 2. (Möbiov inverzný vzorec). Nech f(n) a g(n) sú funkcie prirodzeného |
||||||||||
skutočný argument. Potom rovnosť |
||||||||||
∑f(d) |
||||||||||
je pravdivé vtedy a len vtedy, ak je rovnosť pravdivá |
||||||||||
∑µ (d)g( |
||||||||||
♦ Nech (2) platí pre ľubovoľné n. Potom
g(d n ) = ∑ f(d′ )
d'dn
Dosadením do pravej strany (3) dostaneme
∑µ (d)g( |
) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ ) |
||||||
d' |
|||||||
Dvojité sčítanie vpravo sa vykoná pre všetky páry d, d′ tak, že d d′ n . Ak zvolíme d′, potom d bude prebiehať cez všetky delitele d n′. Teda
∑µ (d)g( |
) = ∑ f(d′) ∑ µ (d′) |
||||||||||||
d' |
d' |
||||||||||||
d' |
n > d′ |
||||||||||||
Ale podľa (1) máme ∑ |
|||||||||||||
µ (d') = |
n = d′ |
||||||||||||
d' |
|||||||||||||
d' |
|||||||||||||
Preto je stanovená rovnosť (3). Nech teraz (3) platí pre ľubovoľné n. Potom
∑ f(d) = |
∑ ∑ µ (d′ )g( |
), d′′ = d d ′ - je deliteľ n a dvojitý súčet môže |
||||||||||||
d' |
||||||||||||||
n d' |
||||||||||||||
byť prepísaný ako |
||||||||||||||
∑ µ (d′ )g(d′′ ) = |
∑ g(d′′) |
∑µ (d′) |
||||||||||||
d′′ |
n d' |
d′′ |
d′′ |
d' |
d′′ |
|||||||||
Podľa (1) sa posledný súčet zmení na jednotku v prípade d′′ = n, v ostatných prípadoch
čajov je nulová. To dokazuje (2). ♦ 2. Zvážte použitie Möbiovej inverzie.
Nech je uvedená abeceda A s písmenami. V danej abecede je sn slov dĺžky n. Pre každé slovo w0 = a1 a2 … možno definovať n - 1 slov
w1 = a2 a3 … an a1, w2 = a3 a4 … a1 a2, … , wk-1 = an a1 … an-1, získané jeden od druhého cyklickými posunmi. Na množine všetkých sn slov zavedieme vzťah ekvivalencie: dve slová sa vyhlásia za ekvivalentné, ak jedno z druhého získame cyklickým posunom. Nás bude zaujímať počet tried, ktoré obsahujú práve n slov. Takýto problém vzniká v teórii synchronizácie kódov.
Slovo w budeme nazývať degenerované, ak trieda ekvivalencie obsahujúca w pozostáva z menej ako n slov. W nazývame periodické, ak existuje slovo u a prirodzené číslo m také, že w = u u … u (m-krát).
Veta 3. Slovo w je periodické práve vtedy, ak je degenerované.
ako u môžeme vziať a 1 a 2 … a p a ako m =
♦ Je jasné, že ak je w periodické, potom je degenerované. Nech je w degenerované. Nech p je najmenšie celé číslo také, že w = wp . Potom ak
w = a1 a2 … an , potom wp = a1+p a2+p … an+p (indexy modulo n). Preto dostaneme, že v n p . (Je ľahké vidieť, že p n). ♦ Tapeta
je významný z hľadiska M(d) - počtu štvorcov, ktoré obsahujú d slov. Z predchádzajúceho máme
dn. Teda vzorec∑ dM(d) = s n . d n
Aplikujme Möbiov inverzný vzorec pre prípad g(n) = sn , f(d) = dM(d). Potom dostaneme
nM(n) = n (d)s n d d n
∑µ (d)sn d |
|||||||||||||
M(n) je teda číslo, ktoré nás zaujíma. Ak n = p je prvočíslo, potom |
|||||||||||||
− s) |
|||||||||||||
Existuje multiplikatívna verzia Möbiovej inverzie. Fér |
|||||||||||||
Veta 4. Nech f(n) a g(n) sú funkcie súvisiaceho prirodzeného argumentu |
|||||||||||||
nosenie |
|||||||||||||
f(n) = ∏g(d) |
|||||||||||||
µ(n |
|||||||||||||
g(n) = ∏f(d) |
|||||||||||||
A naopak, z (5) vyplýva (4).
Pomocou Möbiovho inverzného vzorca je možné vyriešiť prakticky dôležitý problém počtu ireducibilných polynómov pevného stupňa nad konečným poľom. Nech GF(q) je pole q prvkov a m je prirodzené číslo. Potom pre číslo
Φ m (q) ireducibilných polynómov nad poľom GF(q), máme vzorec
Uveďme tabuľku niekoľkých prvých hodnôt funkcie Φ m (2)
Φm(2) |
§ 5. Trvalky a ich aplikácia na súpisy
1. Na vyriešenie mnohých kombinatorických problémov sa používajú permanenty. Zvážte číselnú maticu
A = (ai, j), i = 1, n, j = 1, m, n ≤ m
Permanent matice A (zápis - per A) je definovaný rovnosťou
na A = ∑ |
a 2 j L a nj |
||||
(j1, K, jn) |
|||||
kde sčítanie sa vykonáva cez všetky n-permutácie m prvkov 1, 2, m. Inými slovami, trvalosť matice sa rovná súčtu súčinov prvkov odobratých po jednom z každého riadku a rôznych stĺpcov.
Vzorec (1) implikuje niektoré zrejmé vlastnosti permanentu, podobné vlastnostiam determinantu pre štvorcové matice.
1. Ak jeden z riadkov(n × m)-matica A (n ≤ m) pozostáva z núl, potom na A = 0. Pre n = m to isté platí pre stĺpce.
2. Pri vynásobení všetkých prvkov jedného z riadkov matice A nejakým číslom sa hodnota permanentu A vynásobí rovnakým číslom.
3. Permanent sa nemení, keď sú jeho riadky a stĺpce preusporiadané.
Označme Aij maticu získanú z A vymazaním i-tého riadku a j-tého stĺpca.
4. Vzorec pre rozšírenie permanentu v i-tom rade platí pre A = ai1 pre Ai1 + ai2 pre Ai2 + ... + cieľ pre cieľ (2)
teda mnohé vlastnosti permanentov sú podobné vlastnostiam determinantov.
Hlavná vlastnosť determinantov det(A B) = detA detB však pre permanenty neplatí a táto okolnosť značne komplikuje ich výpočet.
Napríklad, |
|||||
2, per |
|||||||||
Avšak 4 = za |
≠ za |
||||||||
Uvažujme o jednej z najdôležitejších aplikácií konceptu permanentu v kombinatorických problémoch.
chaty. Nech X = (x1 , xm ) je konečná množina a X1 , … , Xn je systém podmnožín
V tomto prípade prvok xi predstavuje množinu Xi . Potreba nájsť systém rôznych zástupcov vzniká pri riešení mnohých aplikovaných problémov. Zvážte nasledujúci problém s kódovaním. Nech je tam nejaká veta, t.j. usporiadaný súbor slov v nejakej abecede. Túto vetu je potrebné zakódovať tak, aby každé slovo bolo spojené s jedným písmenom a toto písmeno musí byť súčasťou tohto slova a rôzne písmená musia zodpovedať rôznym slovám.
Príklad: Vetu a bc ab d abe c de cd e možno zakódovať ako abecd. Zároveň nie je možné takto zakódovať vetu ab ab bc abc bcd, keďže prvé štyri slová obsahujú celkovo len tri písmená.
Pre sústavu množín X1 , … , Xn definujeme matica výskytu A = (aij ), i = 1, n ,
1 ak xi |
||||||||
a ij = |
||||||||
0 inak. |
||||||||
Fér |
||||||||
Veta 1. Nech A = (aij ), i = |
(n ≤ m) matica výskytu |
|||||||
množiny X1, …, Xn, kde Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm) . Potom pre počet systémov
osobní zástupcovia R(X1 , … , Xn ) množín X1 , … , Xn
R(Xi, ..., Xn) = na A |
|||||||||||||||||
♦ Pretože v matici A prvok aij = 1, ak xj Xi a aij = 0 , |
|||||||||||||||||
ak xj |
K, xi |
) prvky X je systém rôznych pred- |
|||||||||||||||
Xi , potom množina (xi |
|||||||||||||||||
dodávatelia pre X1 , … , Xn |
vtedy a len vtedy, ak a1i |
K ,a ni |
|||||||||||||||
policajti a1i |
K ,a ni |
sú v rôznych stĺpcoch matice A. Sčítajte čísla |
|||||||||||||||
a1i ,K ,a ni |
cez všetky n-permutácie prvkov 1, 2, ... , m. Potom dostaneme sto |
||||||||||||||||
na druhej strane počet systémov rôznych zástupcov pre X1 , ... , Xn a na druhej strane hodnota per-
matica A. ♦
a 1i 1 a 2i 2 L a ni n
Dôsledok. Systém rôznych zástupcov pre X1 , ... , Xn existuje vtedy a len vtedy, ak pre zodpovedajúcu maticu platí výskyt A:
Keďže vo vzorci (1) je m(m - 1) ... (m - n +1) členov, výpočet trvalej na základe definície je zložitý. Na tento účel uvádzame všeobecný vzorec.
2. Obmedzíme sa na uvažovanie štvorcových číselných matíc А = (aij ), i, j = 1, n .
Potom na A = ∑
(i1,K,in)
kde súčet presahuje všetky permutácie i1 , … , v prvkoch
1, 2, …, č. Aplikujme vzorec inklúzie-vylúčenia na výpočet permanentu matice A. Každá množina i1 , … , in bude mať priradenú váhu rovnajúcu sa a1i 1 ,K ,a ni n .
Permanent A je teda súčtom váh tých množín, ktoré zodpovedajú permutáciám. Zaveďme n vlastností P1 , … , Pn na množine všetkých kolekcií i1 , i2 , … , in z 1, 2, … , n, kde vlastnosť Pi znamená, že kolekcia i1 , … , in nemá prvok i. Permanent A je teda súčtom váh množín i1 , ... , ktoré nemajú žiadnu z vlastností P1 , ... , Pn . Zostáva určiť súčet váh W(Pi 1 ,K , Pi k ) množín s vlastnosťami k
Pi 1 , K , Pi k . Pre súčet váh W(0) všetkých množín máme i1 , … , ik . |
|||||||||
W(0) = ∑ |
K , a ni |
= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn ) |
|||||||
i1,K,in |
|||||||||
W(N(Pi)) = |
a1i ,K , a ni |
= (a11 + L + a1i |
L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9) |
||||||
≠i |
|||||||||
kde znak ^ nad prvkom matice A znamená, že tento prvok by mal byť vynechaný. Podobne pre sij (t.j< j) имеем
W(N(Pi, Pj)) = (al1 + L + ali |
L+a1j |
L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10) |
|
Teraz pomocou vzorca zahrnutia-vylúčenia získame Raiserov vzorec pre trvalé A:
na A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L + |
|||||
+ (- 1)s |
∑∏n |
||||
(a k1 + L + a ki1 |
L+a ki |
L + a kn) + L |
|||
1≤ i1< L < is ≤ k n= 1 |
|||||
Výpočet permanentu podľa Raiserovho vzorca je možné zorganizovať tak, aby bol požadovaný
(2n - 1) (n - 4) násobenia a (2n - 2) (n + 1) sčítania. Hoci táto hodnota rýchlo rastie s n, tento vzorec poskytuje najefektívnejší spôsob výpočtu permanentov.
3. Ujasnime si teraz otázku podmienok pre rovnosť nuly permanentu (0, 1)-matice. Obmedzíme sa na prípad štvorcovej matice.
Veta 2. Nech A = (aij ), i, j = 1, n je (0, 1)-matica rádu n. Potom
na A= 0 práve vtedy, ak má A submaticu s × t núl, kde s + t = n + 1.
♦ Nech takáto nulová podmatica existuje v A. Keďže permanent sa nemení z permutácií riadkov a stĺpcov, môžeme predpokladať, že táto podmatica je umiestnená v ľavom dolnom rohu, t.j.
kde O - (s × t) je matica núl, podmatica B má veľkosť (n - s) × t. Každý člen trvalého A musí obsahovať jeden prvok z prvých t stĺpcov. Ak teda hľadáme kladný člen permanentu, tak prvky týchto stĺpcov musia patriť v pároch do rôznych riadkov s číslami 1, 2, …, n - s. Avšak n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.
Nech teraz pre A = 0. Vetu dokážeme indukciou na n. Pre n = 1 je tvrdenie zrejmé (A = (0)). Nech platí pre všetky objednávky menšie ako n. Ak je A nulová matica rádu n, potom je tvrdenie zrejmé. Ak A nie je nulová matica, nech aij = 1. Napíšme rozklad A do riadku i:
na A = ai1 Ai1 + … + ain Ain
Pretože za А = 0, potom za Аij = 0. Ale Аij má veľkosť (n - 1) × (n - 1) a podľa indukčnej hypotézy existuje podmatica núl veľkosti
s1 x t1 a s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Usporiadajte riadky a stĺpce tak, aby táto nulová podmatica bola v ľavom dolnom rohu:
A→B= |
|
kde О - nulová podmatica veľkosti s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - má veľkosť (n - s1 ) × t1 , D -
má veľkosť s1 × (n - t) . Matice С a D sú teda štvorcové a majú poradie (t1 × t1 ) a (s1 × s1 ). Podľa definície trvalého máme na B = na A a,
na B = na C na D a teda z na A = 0 vyplýva, že buď na C = 0, alebo na D = 0.
Nech na C = 0. Podľa indukčnej hypotézy má C nulovú veľkosť submatice
u × v, kde u + v = t1 + 1. Nech sa nachádza v riadkoch s číslami i1 , … , iu a stĺpcoch s číslami j1 , … , jv . Uvažujme podmaticu B pozostávajúcu z riadkov
i1 , … , iu , t1 + 1, … , n a stĺpce j1 , … , jv . Toto je nulová podmatica veľkosti (u + n - t1 ) × v,
kde u + n - t1 + v = n + +1. Matica B teda obsahuje nulovú podmaticu veľkosti s × t, kde s + t = n + 1. Keďže matice A a B sa líšia v permutácii riadkov a stĺpcov, veta je dokázaná. ♦
Uvažujme teraz dôležitý konkrétny prípad matice A. Označme A(k, n) maticu n × n 0,1 prvkov s k jedna pre každý riadok a každý stĺpec (k > 0).
Veta 3. Pre ľubovoľnú maticu A(k, n) platí pre A(k, n) > 0.
♦ Predpokladajme naopak, že na A(k, n) = 0. Potom podľa vety 2 existuje nula
podmaticu veľkosti s × t, kde s + t = n + 1. Potom preskupením riadkov a stĺpcov matice A(k, n) získame maticu
kde O je nulová (s × t) matica.
Spočítajme počet 1s v maticách B a D. Keďže A(k, n) má k 1 v každom riadku a každom stĺpci, v každom stĺpci B a v každom riadku D je práve k 1.
Jednotky. Celkovo je v A(k, n) n k jednotiek, takže nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Teda
zom, n ≥ t + s, čo je nemožné, pretože s + t = n + 1
platnosť tvrdenia. ♦ Dokazuje sa to podobne
Veta 3a. Nech A je (0,1)-matica veľkosti n × m (n≤ m). Potom perA = 0 práve vtedy, ak obsahuje nulovú podmaticu veľkosti s × t, kde s+t=m+1.
4. Uvažujme teraz o aplikácii uvažovaných otázok na konštrukciu zemepisnej šírky.
plechové štvorce. latinčina (n × m)-obdĺžnik nad množinou X=(x1 ,…,xm )
sa nazýva (n × m)-matica prvkov X, v ktorej každý riadok je n-permutáciou X a každý stĺpec je m-permutáciou množiny X. Pre n=m sa latinský obdĺžnik nazýva Latinské námestie.
Je jasné, že pre n=1 sa počet latinských obdĺžnikov 1 × m rovná m!. Pre n=2, po výbere prvého riadku, môže byť akákoľvek permutácia považovaná za druhú.
inovácia, ktorá odporuje zvolenému. Počet takýchto permutácií je Dm , teda počet 2× m -
latinské obdĺžniky sa rovná m! Dm.
Prirodzená otázka vyvstáva v súvislosti s induktívnou konštrukciou latinských štvorcov. Zostrojme latinský (n × m) obdĺžnik (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?
Fér
Veta 4. Každá latinka (n × m) -obdĺžnik n ♦ Nech X=(x1 ,…,xm ) a L-latinsky (n × m)-obdĺžnik s prvkami z X. Uvažujme množinu množín A1 ,… ,Am, kde Ai sú prvky i-tého stĺpca Latinský obdĺžnik L. Nech A - matica výskytu množinovej sústavy A1 ,… ,Am . Má veľkosť m × m a každý riadok matice A obsahuje práve n jednotiek, pretože Ai = n, i = 1, m . Každý prvok xi X sa môže objaviť v stĺpcoch L maximálne m-krát, inak by existoval riadok, v ktorom sa tento prvok vyskytuje dvakrát. Celkový počet prvkov L sa rovná m n, takže každý prvok xi X sa v stĺpcoch objaví presne n-krát. To znamená, že každý stĺpec matice A obsahuje práve n jednotiek. Uvažujme teraz o matici A získanej nahradením každej 1 nulou a každej nuly 1. Matica A je incidenčná matica sústavy množín X1 , … , Xn , kde Xi = X\Ai , i = 1, m. Obsahuje m - n jednotiek v každom riadku a v každom stĺpci. Podľa vety > 0. Nech ai1 … mi ≠ 0. Potom máme xi X1 , K , xi Xm a všetky prvky xi, K, xi sú párovo odlišné. Linka xi, K, xi možno brať ako (n + 1)-tý pre latinský (n × m)-obdĺžnik L. Pokračujúc v tomto postupe získame latinku nebeské námestie. ♦ Označme l n - počet latinských štvorcov rádu n, s prvkami z množiny X = (1, 2, ... , n), v ktorej sú prvky prvého stĺpca a prvého riadku v prirodzenom poradí. Tu je tabuľka niekoľkých známych hodnôt čísla l n: 5. Matica n × n A = (aij ) s reálnymi nezápornými prvkami je tzv. dvojnásobne stochastické, Ak Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia stredná škola s prehlbovacím štúdiom jednotlivca položky s. Terbuny pás Mobius
Doplnila: Chepurina Anna Vitalievna, Žiak 10. ročníka Vedúci: Kirikova M.A., prvý učiteľ matematiky kvalifikačnej kategórii s.Terbuny 2015 Úvod ……………………………………………………………………………………………………….. ........... ......3 Historické pozadie ………………………………………………… 4 Möbiov pás je začiatkom novej vedy o topológii.................................................5 Výroba Möbiovho prúžku ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. Experimenty s Möbiovým pásom ................................................ ..................9 Topologické vlastnosti Möbiovho pásu …………………………..11 Möbiove pruhové vety………………………………………… .12 Triky s prúžkom Mobius……………………………………………… 15 Aplikácia Möbiovho prúžku………………………………………..16 Záver................................................. ......................................23 Zoznam referencií ................................................ ................................... .25 Aplikácia Úvod
V našej dobe je dôležité štúdium rôznych vlastností a neštandardných aplikácií neobvyklých postáv. Počuli ste už o Möbiovom páse? Ako sa dá vyrobiť, ako súvisí s matematikou a kde sa v živote uplatňuje. Pri tejto práci som dospel k záveru, že hoci Möbiov pás bol objavený už v XΙX storočí, bol relevantný v XX. storočí a v XXΙ. Úžasné vlastnosti Möbiovho pásu sa využívali a využívajú vo varení, technike, fyzike, maliarstve, architektúre, šperkoch a bižutérii. Inšpiroval tvorbu mnohých spisovateľov a umelcov. Záujem o Möbiov pás neutícha ani dnes. V septembri 2006 sa v Moskve konal Festival umeleckej matematiky. Prezentácia profesora z mesta Tokio bola prijatá s veľkým úspechom. Táto téma ma veľmi zaujala, zaujala. Študoval som literatúru, potom som sám vyrobil Möbiov pás a potom som robil výskum, experimentoval, študoval jeho magické, mimoriadne vlastnosti. Möbiov pás je kus papiera s jedným koncom otočeným o pol otáčky (t. j. o 180 stupňov) a prilepený k druhému koncu. Milióny ľudí vo všetkých častiach sveta si ani neuvedomujú, že každý deň používajú Möbiov pás. Cieľ
: povedzte a ukážte spolužiakom, že to vyzerá ako obyčajná otočená páska pol otáčky s lepenými koncami, môže obsahovať veľa prekvapení. Predmet štúdia:
Möbiov pás. Úlohy:
identifikovať zdroje a literatúru k danej téme a analyzovať ich; zoznámiť sa s históriou vzniku Möbiovho pruhu; naučiť sa, ako vyrobiť Möbiov pás; študovať rôzne vlastnosti Möbiovho pásu; Pri práci na téme som použil nasledujúce
metódy: analýza, syntéza, pozorovanie, experiment, porovnávanie a sociologický prieskum. KAPITOLA
ja
"Möbiov pás - začiatok novej vedy"
1. 1. Historické pozadie
Tajomný a slávny Möbiov pás bol vynájdený v roku 1858 nemeckým geometrom.August Ferdinand Möbius
. Hovorí sa, že slúžka pomohla Möbiovi otvoriť jeho „list“ nesprávnym zošitím koncov dlhej stuhy. Sedem rokov čakal na posúdenie svojej práce a bez čakania zverejnil jej výsledky. Súčasne s Möbiom tento list vynašiel ďalší študent K. F. Gaussa -Johann Benedict Listing,
profesor na univerzite v Göttingene. Svoje dielo publikoval o tri roky skôr ako Möbius, v roku 1862. A. F. Möbius sa narodil v mestečku Schulpfort. Istý čas pod vedením K. Gaussa študoval astronómiu. V roku 1818 začal vykonávať nezávislé astronomické pozorovania na observatóriu v Pleisenburgu. sa stal jej riaditeľom. V tých časoch matematika nebola podporovaná a astronómia dávala dosť peňazí na to, aby na ňu nemyslela a nechala si čas na vlastné úvahy. Möbius, ktorý sa od roku 1816 stal profesorom na univerzite v Lipsku, prvýkrát predstavil projektívnu geometriu, súradnicový systém a analytické metódy výskumu; potvrdil existenciu jednostranných plôch (Möbiove pásy), mnohostenov, pre ktoré je „zákon hrán“ nepoužiteľný a ktoré nemajú objem. Möbius je jedným zo zakladateľov teórie geometrických transformácií, ako aj topológie. Získal dôležité výsledky v teórii čísel (Möbiova funkcia) a stal sa jedným z najväčších geometrov svojej doby. 1.2. Möbiov pás - začiatok novej vedy o topológii
Od chvíle, keď nemecký matematik A. F. Möbius objavil existenciu úžasného jednostranného listu papiera, sa začal rozvíjať úplne nový odbor matematiky nazývaný topológia. Termín "topológia" sa môže vzťahovať na dve odvetvia matematiky. Jedna topológia, ktorej predkom bol Poincaré, sa dlho nazývala kombinatorická. Ten druhý, pri zrode ktorého stál nemecký vedec Georg Cantor, dostal názov všeobecný alebo množinový. Kombinatorická topológia je odvetvím geometrie. „Geometria“ je grécke slovo, preložené do ruštiny znamená „meračstvo“, („geo“ - v gréčtine - zem a „metreo“ - meranie) študuje vlastnosti figúr. Ako každá veda, aj geometria je rozdelená na časti. 1. Planimetrie (lat. slovo, "planum" - povrch + geometria), časť geometrie, ktorá študuje vlastnosti obrazcov na rovine (trojuholník, štvorec, kruh, kruh atď.) 2. Stereometria (gréčtina, "stereos" - priestor + metrika) - časť geometrie, ktorá študuje vlastnosti obrazcov v priestore (guľa, kocka, rovnobežnosten atď.) 3. Topológia (grécky "topos" - miesto, plocha + logika) je jednou z "najmladších" sekcií modernej geometrie, ktorá študuje vlastnosti takých obrazcov, ktoré sa nemenia, ak sú ohnuté, natiahnuté, stlačené, ale nie zlepené. a neroztrhnú sa, t.j. nemenia sa deformáciami. Príkladom topologických objektov sú: písmená I a H, tenké dlhé balóny. Kombinatorická topológia študuje vlastnosti geometrických útvarov, ktoré zostávajú nezmenené pri zobrazení jedna ku jednej a pri spojitom zobrazení. Po dlhú dobu bola topológia vnímaná ako veda vzdialená od života, určená len na „oslavu ľudskej mysle“. Ale v našej dobe sa ukázalo, že to najviac priamo súvisí s vysvetlením štruktúry vesmíru. Všeobecná topológia susedí s teóriou množín a je základom matematiky. Ide o axiomatickú teóriu navrhnutú na skúmanie pojmov ako „limita“, „konvergencia“, „kontinuita“ atď. Základy axiomatiky topologického priestoru položil Felix Hausdorff a dokončil ich ruský matematik Pavel Sergejevič Alexandrov. 1.3. Ako sa vyrába Möbiov pás?
● Möbiov pás je jedným z (matematických prekvapení). Na výrobu Möbiovho pásu si vezmite obdĺžnikový pás ABCD, otočte ho o 180 stupňov a prilepte protiľahlé strany AB aCD, t.j. takže body A aC a body D a V. Pozrite si aplikáciu. jedenásť. ● Tvary a veľkosti papierových pásikov
pre Möbiov pás. Pás by mal byť úzky a dlhý, s čo najväčším pomerom dĺžky k šírke. Zo štvorcového listu Möbiov pás nevyrobíte. To je pravda, ale netreba podceňovať fakt, že na obmedzeniach veľkosti záleží, keď sa papier nesmie krčiť. Ak nie je zakázané krčiť papier, tak Möbiov pás je možné lepiť nielen zo štvorca, ale aj z obdĺžnika ľubovoľnej veľkosti - zlepené strany môžu byť dokonca aj násobne dlhšie ako tie nelepené. ● Vystružovanie povrchu.
Keďže požiadavka nekrčiť papier je dôležitá, pozrime sa, aký je jej matematický význam. Je ľahké pochopiť, že zákaz vrások výrazne obmedzuje schopnosť manipulovať s listom papiera. Napríklad list papiera môže byť zložený do rúrky alebo zložený na polovicu bez pokrčenia, ale nemôže byť zložený na štyri. Môžete vytvoriť kužeľ z listu papiera bez toho, aby ste ho pokrčili, ale nemôžete vytvoriť guľu alebo dokonca kúsok z nej: pritlačte list papiera na zemeguľu a vrásky sa určite objavia. Ako vidíte, nie každý tvar možno dať listu papiera. Pozrite si aplikáciu. 2. Plochy, ktoré sa dajú vyrobiť z listu papiera ohnutím, ale nie rozdrvením, nazývajú matematici neohýbateľné plochy. V matematike sú rozvinuteľné plochy definované inak: v metamatematickom jazyku chýbajú slová „papier“, „krčiť“, „vyrábať“. Existuje celá teória rozvíjateľných povrchov, medzi úspechmi ktorých je uspokojivá odpoveď na otázku, aké môžu byť; matematici to nazývajú „klasifikácia“ (odpoveď má na svedomí Leonardo Euler). Uveďme len niektoré vlastnosti rozvinuteľných plôch ako experimentálne fakty. Pozrite si aplikáciu. 3 1. Každým bodom A rozvíjateľnej plochy, ktorý neleží na jej hranici, prechádza segment ležiaci na ploche, ktorý nekončí písmenom A. Inými slovami, každý bod možno pripojiť k rozvinutej ploche (zakrivený, ale nezmačkaný list papiera) tak, aby priliehal k povrchu do určitej vzdialenosti na oboch stranách snímaného bodu. Takýto segment sa nazýva tvoriaca čiara povrchu (súhlasíme s tým, že tento názov sa vzťahuje len na segmenty maximálnej dĺžky, ktoré celé ležia na povrchu, teda na segmenty, ktoré nie sú obsiahnuté vo veľkých segmentoch s touto vlastnosťou). 2. Ak dva rôzne generátory prechádzajú bodom A, ktorý neleží na hranici povrchu, a A nie je koncom žiadneho z nich, potom dostatočne malý kúsok povrchu obklopujúceho A je plochý. V tomto prípade sa bod A bude nazývať plochý. 3. Ak bod A, ktorý neleží na hranici povrchu, je koncom nejakej tvoriacej čiary, povedzme,A
, potom je okolie bodu A usporiadané takto: jediný generátor, ktorý v ňom nekončí, prechádza bodom A, povedzmeb
. Táto tvoriaca čiara rozdeľuje povrch na dve časti. Na druhej strane generatrixb
, s ktorým je umiestnená generatrixa
, do generatrix b
susedný plochý kus na druhej straneb
, ľubovoľne od bodu A, sú nerovné body. Bod A v tejto situácii budeme nazývať poloplochý. Zdôrazňujeme, že ak bod plochy nie je ani hraničný, ani plochý, potom ním prechádza jediná tvoriaca čiara, ktorá v ňom nekončí, a konce tejto tvoriacej čiary ležia na hranici plochy. ●Príklady: Hárok papiera zvinutý do valca alebo do kužeľa nemá žiadne ploché (alebo poloploché) bodky. Pre valec tvoria generátory rodinu paralelných segmentov, pre kužeľ skupinu segmentov, ktoré sa rozprestierajú z jedného bodu. Sú možné zložitejšie usporiadania generátorov. Pozrite si aplikáciu. 4. Napríklad generátory a ploché body vyvolávacieho povrchu sú znázornené na obrázku (na ktorom je povrch rozložený do plochého listu papiera): tenké čiary sú generátory a vyplnené oblasti pozostávajú z plochých bodov. Body ležiace na hranici plochy plochých bodov sú buď celoplošné alebo poloploché. Ak je povrch vyrobený z papierového mnohouholníka (povedzme obdĺžnika), potom ploché body tvoria jeden alebo viac plochých mnohouholníkov, pričom každý z týchto mnohouholníkov má vrcholy na hranici povrchu a strany buď ležia na hranici alebo pozostávajú z poloploché body. KAPITOLA 2
2.1. Experimenty s Möbiovým pásom
Každý z nás má intuitívnu predstavu o tom, čo je „povrch“. Povrch listu papiera, povrch stien triedy, povrch zemegule je všetkým známy. Môže byť v tak obyčajnom koncepte niečo tajomné? Áno, možno príkladom je Möbiov pás. Na štúdium jeho vlastností som sám vykonal niekoľko experimentov (rozdelil som ich do dvoch skupín). ja
skupina experimentov Zážitok číslo 1. Sme zvyknutí, že každý povrch s ktorým máme puzdro (list papiera, fotoaparát na bicykel alebo volejbal) - dve strany. Začal som maľovať Möbiov pás bez toho, aby som ho otočil. Výsledok
. Möbiov pás je kompletne prelakovaný. „Ak sa niekto rozhodne namaľovať len jednu stranu
povrch Moebiusovho pásu, nech ho celý ihneď ponorí do vedra s farbou,
píše Richard Courant a Herbert Robins vo výbornej kniha Čo je matematika? Skúsenosť číslo 2. Vyrobil som pavúka a muchu z papiera a poslal som ich „prechádzať sa“.
obyčajný krúžok, ale zakázal im plaziť sa cez hranice. Výsledok.
Pavúk sa nevedel dostať k muche. Skúsenosť č. 3. Poslal som tieto pavúky a lietať iba na Möbiovom páse. A im zakázal prekročiť hranice. Výsledok.Úbohá mucha bude zjedená, pokiaľ, samozrejme, nebude pobehovať pavúk. rýchlejšie! Skúsenosť číslo 4. Urobil som malého človiečika z papiera a poslal som ho cestovať po Möbiovom páse. Výsledok.
Malý človiečik sa vráti do východiskového bodu, kde by sa stretol so svojím zrkadlovým obrazom. II skupina experimentov spojené s rezaním Möbiovho pásu, výsledky sú uvedené v tabuľke skúsenosti Popis skúseností Výsledok
Jednoduchý krúžok som narezal pozdĺž stredu pozdĺž. Dostal som dva jednoduché prstene, rovnakej dĺžky, dvakrát tak široké, s dvoma obrubami. Möbiov pás bol prerezaný pozdĺž stredu. Prišiel mi 1 krúžok, ktorého dĺžka je 2x dlhšia, šírka 2x užšia, stočený o 1 celé otočenie, s jedným okrajom. Šírka Möbiovho pásu 5 cm rozrežte pozdĺžne vo vzdialenosti 1 cm od okraja. Dostal som dva prstene navzájom spojené: 1) Mobiov prúžok - dĺžka = dĺžka originálu, šírka 3 cm; 2) šírka 1 cm, dĺžka dvojnásobok originálu, skrútená o dve plné otáčky, s dvoma okrajmi. Šírka Möbiovho pásu 5 cm rozrežte pozdĺžne vo vzdialenosti 2 cm od okraja. Dostal som dva prstene spojené navzájom: 1) prsteň je Möbiov pás široký 1 cm, dĺžka = dĺžka pôvodného; 2) krúžok - 2 cm široký, dvakrát dlhší ako pôvodný stočený jeden o dva plné otáčky, s dvoma okrajmi. Möbiov pás široký 5 cm, odrezaný pozdĺžne vo vzdialenosti 3 cm, od okraja. Dostal som dva prstene spojené navzájom: 1) prsteň je Möbiov pás so šírkou 1 cm rovnakej dĺžky; 2) prsteň - 2 cm široký, jeho dĺžka je dvakrát väčšia ako pôvodný, skrútený o dve plné otáčky. Výsledky sociologického prieskumu realizovaného so žiakmi 10. ročníka. Áno Nie Počul 1. Viete, čo je to topológia? 2. Viete, čo je Mobius pásik? 3.Vieš Vlastnosti prúžkov Mobius? Len 5 % žiakov v 10. ročníku vie, čo je topológia. 30 % študentov vie, čo je Möbiov pás, 20 % o ňom už počulo. 50 % nemá ani potuchy o Möbiovom páse. Vlastnosti pásky pozná 25 % študentov, 10 % o nich počulo, 65 % nevie nič o vlastnostiach Möbiovho pásu. 2.2 Topologické vlastnosti Möbiovho pásu
Na základe výsledkov experimentov môžeme sformulovať nasledujúce topologické vlastnosti Möbiovho pásu, súvisiace s matematickými prekvapeniami. Jednostrannosť je topologická vlastnosť Möbiovho pásu, ktorá je charakteristická len preň. Spojitosť – na Möbiovom páse je možné napojiť ktorýkoľvek bod s akýmkoľvek iným bodom. Neexistujú žiadne medzery - kontinuita je úplná. Z topologického hľadiska je kruh na nerozoznanie od štvorca, pretože sa dajú ľahko premeniť z jedného na druhý bez toho, aby sa zlomili kontinuita. Konektivita - na rozdelenie prsteňa na polovicu sú potrebné dva rezy. Pokiaľ ide o Möbiov pás, počet spojení sa nahrádza v závislosti od zmeny počtu závitov pásky: ak je jeden závit spojený dvojito, ak sú jednoducho spojené dva závity, ak sú tri spojené dvojito atď. štvorec na dve časti, potrebujeme iba jeden rez. Konektivita sa zvyčajne odhaduje podľa Bettiho čísla, prípadne sa niekedy používa Eulerova charakteristika. 4. Orientácia je vlastnosť, ktorá v Möbiovom páse absentuje. Ak by teda človek mohol prejsť všetkými zákrutami Möbiovho pásu, potom by sa vrátil do východiskového bodu, ale zmenil by sa na svoj zrkadlový obraz. 5. "Chromatické číslo" je maximálny počet oblastí, ktoré je možné nakresliť na plochu tak, aby každá z nich mala spoločnú hranicu so všetkými ostatnými. Chromatické číslo Möbiovho prúžku je šesť. 6.Vety o Möbiovom páse
Vzhľadom na náročnosť dokazovania s ním vo svojej práci neuvažujem. Táto veta je jednoduchšia ako predchádzajúca: na jej dôkaz stačí vysvetliť, ako zlepiť Möbiov prúžok z prúžku, ktorého dĺžka je väčšia ako √3. Predpokladajme, že jeho dĺžka je presne √3. Potom je možné na tento pás umiestniť dva pravidelné trojuholníky. Zložte prúžok pozdĺž strán týchto trojuholníkov a striedajte smer ohybu. Okraje prúžkov AB a CD budú zarovnané a bod A bude zarovnaný s bodom D a bod B bude zarovnaný s bodom C. Získate Möbiov prúžok, ktorého okraje sú zarovnané (pozri prílohu 1.2 ) Kým sa problém nevyrieši, ťažko povedať, prečo sa nevyriešil. Napriek tomu je niekedy v rôznych nevyriešených problémoch možné vystopovať bežné ťažkosti, vyznačiť takpovediac ťažké miesta na matematickej mape, čo niekedy umožňuje predpovedať úspech či neúspech pri riešení konkrétneho problému. Veta 3. Möbiov pás s vlastnými priesečníkmi možno zlepiť z pásu ľubovoľnej dĺžky väčšej ako π/2. Preto môžeme očakávať, že λ = √3. Triky s prúžkom Mobius
Problém viazania uzlov
Ako uviazať uzol na šatke bez toho, aby ste pustili jej konce? Dá sa to urobiť takto. Položte šál na stôl. Prekrížte si ruky na hrudi. Pokračujte v ich držaní v tejto polohe, zohnite sa k stolu a vezmite si jeden koniec šatky striedavo každou rukou. Po oddelení rúk sa v strede šatky sám vytvorí uzol. Pomocou topologickej terminológie môžeme povedať, že ruky diváka, jeho telo a šatka tvoria uzavretú krivku v podobe „trojlistového“ uzla. Pri rozťahovaní rúk sa uzol presúva len z rúk na vreckovku. Jednou rukou uviažte na šatke uzol, pričom koniec šatky držte v ruke. Odpoveď na túto hádanku nájdete v knihe M. Gardnerovej Matematické zázraky a záhady. Z hľadiska topológie možno vestu považovať za obojstrannú plochu s tromi neprepojenými okrajmi, z ktorých každá je obyčajná uzavretá krivka. Vesta s gombíkmi má obojstranný povrch so štyrmi okrajmi. Tajomná slučka.
Divákovi, ktorý má na sebe vestu, sa nasadí slučka na ruku a potom sa vyzve, aby vložil palec do spodného vrecka vesty. Teraz môžete vyzvať prítomných, aby vám sňali slučku z ruky bez toho, aby ste vytiahli prst z vrecka vesty. Riešenie je toto: slučku treba vtiahnuť do otvoru vesty pre rukáv, prehodiť divákovi cez hlavu, vytiahnuť cez druhý otvor pre rukáv a preniesť pod druhú ruku. V dôsledku týchto akcií bude slučka pod vestou a obklopuje hrudník. Spustite ju, kým sa neobjaví spod vesty, a potom ju nechajte spadnúť na podlahu. Otočenie vesty naruby bez toho, aby ste ju vybrali z osoby.
Majiteľ vesty musí zopnúť prsty za chrbtom. Ostatní musia otočiť vestu naruby bez toho, aby nositeľovi oddelili ruky. Na preukázanie tohto zážitku je potrebné rozopnúť vestu a stiahnuť ju za ruky za chrbát nositeľa. Vesta bude visieť vo vzduchu, ale samozrejme sa nevyzlečie, pretože ruky sú zopnuté. Teraz musíte vziať ľavé poschodie vesty a snažiť sa vestu nepokrčiť a zatlačiť ju čo najviac do pravého prieramku. Potom vezmite pravý prieramok a vložte ho do toho istého prieramku a rovnakým smerom. Zostáva narovnať vestu a vytiahnuť ju na majiteľa. Vesta bude otočená naruby. Tento trik sme predviedli a nakrútili na video so spolužiakmi. Je obsiahnutý v prezentácii Moebius Strip. 2.3. Aplikácia Möbiovho pásu
∞ Pri vchode do Múzea histórie a techniky vo Washingtone, DC, sa na podstavci pomaly otáča polotočený oceľový pás. V roku 1967, keď sa v Brazílii konal medzinárodný matematický kongres, jeho organizátori vydali pamätnú známku v nominálnych hodnotách piatich centavos. Bol na ňom Möbiov pás. Viac ako dva metre vysoký pamätník aj drobná známka sú originálnymi pamiatkami nemeckého matematika a astronóma Augusta Ferdinanda Möbiusa. Pozri prílohu 5. Patentový úrad zaregistroval mnoho vynálezov založených na rovnakom jednostrannom povrchu. ∞ Möbiov pás sa používa v mnohých vynálezoch inšpirovaných starostlivým štúdiom vlastností jednostranného povrchu. Pás dopravného pásu, vyrobený vo forme Möbiovho pásu, mu umožňuje pracovať dvakrát dlhšie, pretože celý povrch plechu sa opotrebováva rovnomerne. V roku 1923 bol vydaný patent vynálezcovi Lee de Force, ktorý navrhol nahrávať zvuk na filmový pás bez výmeny kotúčov na oboch stranách naraz. Boli vynájdené kazety pre magnetofón, kde je páska skrútená a zlepená do krúžku, pričom je možné nahrávať alebo čítať informácie z oboch strán naraz, čím sa zdvojnásobí kapacita kazety a tým aj doba prehrávania. V ihličkových tlačiarňach bola farbiaca páska vo forme Möbiovho prúžku na zvýšenie trvanlivosti. To poskytuje hmatateľné úspory. Möbiov pás sa používa v cyklistickej a volejbalovej komore. ∞ Nedávno sa pre ňu našlo iné využitie - začala hrať úlohu pružiny, ale pružiny sú špeciálne. Ako viete, natiahnutá pružina funguje v opačnom smere. Möbiov pás, na rozdiel od všetkých zákonov, nemení smer činnosti, ako mechanizmy s dvoma stabilnými polohami. Takáto pružina by mohla byť neoceniteľná v hodinárskych hračkách - nedá sa skrútiť ako normálna - akýsi stroj na večný pohyb. Pozrite si aplikáciu. 6. ∞ V roku 1971 vynálezca z Uralu Chesnokov P.N. aplikoval filter vo forme Möbiovho prúžku. ∞ Möbiov pásik sa používa pri varení, aby vytvoril zaujímavý a chutný vzhľad buchiet, sušičiek, drevín. A tiež pri výrobe nástrojov na varenie a zdobenie rôznych jedál, energetických štruktúr (mixér). Pozrite si aplikáciu. 7. ∞ Pomocou Möbiovho pásu vznikajú celé majstrovské diela. Möbiov pás slúžil ako inšpirácia pre sochy a grafické umenie. Escher bol jedným z umelcov, ktorí si to mimoriadne obľúbili a tomuto matematickému objektu venoval niekoľko svojich litografií. Jeden z najznámejších zobrazuje mravce lezúce po povrchu Möbiovho pásu. Pozri prílohu 9. ∞ Möbiov pás sa opakuje aj vo vedeckej fantastike, ako napríklad v poviedke Arthura C. Clarka „The Wall of Darkness“. Niekedy sci-fi príbehy naznačujú, že náš vesmír môže byť nejaký zovšeobecnený Möbiov pás. V príbehu autora A.J. Deutsch, bostonské metro stavia novú linku, ktorej trasa sa stáva natoľko neprehľadnou, že sa mení na Mobiusov pás, po ktorom začnú na tejto trati miznúť vlaky. ∞ Existuje hypotéza, že samotná špirála DNA je tiež fragmentom Möbiovho prúžku, a to je jediný dôvod, prečo je genetický kód tak ťažké rozlúštiť a vnímať. Takáto štruktúra navyše celkom logicky vysvetľuje príčinu nástupu biologickej smrti: špirála sa uzatvára sama do seba a dochádza k sebazničeniu. Príloha 10. ∞ Möbiov pás si obľúbili nielen matematici, ale aj kúzelníci Už viac ako 100 rokov sa Möbiov pás používa na predvádzanie trikov a zábavy. Úžasné vlastnosti plachty sa ukázali aj v cirkuse, kde boli zavesené svetlé stuhy, zlepené dohromady vo forme Möbiových pásikov. Kúzelník si zapálil cigaretu a horiacim koncom sa dotkol strednej čiary každej stuhy, ktorá bola vyrobená z dusičnanu draselného. Ohnivou cestou sa z prvej stuhy stala dlhšia a z druhej dve stuhy, navlečené jedna do druhej. (V tomto prípade kúzelník prerezal Möbiov pás nie v strede, ale vo vzdialenosti jednej tretiny jeho šírky). ∞ Fyzici tvrdia, že všetky optické zákony sú založené na vlastnostiach Möbiovho pásu, najmä odraz v zrkadle je druh prenosu času, krátkodobý, trvajúci stotiny sekundy, pretože vidíme pred sebou ... správne, naše zrkadlové dvojité. ∞Existuje hypotéza, že náš vesmír je dosť pravdepodobne uzavretý v rovnakom Möbiovom páse, podľa teórie relativity platí, že čím väčšia hmotnosť, tým väčšie zakrivenie priestoru. Táto teória plne potvrdzuje predpoklad, že vesmírna loď letiaca stále rovno sa môže vrátiť do východiskového bodu, potvrdzuje neobmedzenosť a konečnosť vesmíru. Pozrite si aplikáciu. jedenásť. ∞ Záujem o Möbiov pás neutícha ani dnes. V septembri 2006 sa v Moskve konal Festival umeleckej matematiky. Príhovor profesora Jin Akiyamu z Tokia bol prijatý s veľkým úspechom. Jeho vystúpenie pripomínalo iluzionistickú šou, kde bolo miesto pre Möbiov pás (práca s papierom „Möbiov pás a jeho modifikácie“). ŠPORT
Manuálny expandér "Robur"
Pozrite si aplikáciu. 12. Jeden zobľúbené veci všetkých učiteľov školskej telesnej výchovy, ktoré podľa nichvlastný výraz „vlaky nielen svaly ruky, alea mozgového svalu.“ Karpálny expandér zŠtúdio Art.Lebedev opakuje tvar Möbiovho pásu. Skvelý odbúravač stresunekonečno alen užitočný spôsob, ako zamestnať ruky. PARFUM
Parfum Bugatti
Pozrite si aplikáciu. 13 SpoločnosťBugattispustila výrobu nielen ultra drahých áut (modelVeyronnáklady 1,3 milióna eur), ale aj ... liehoviny. každá fľaša, vyrobená z krištáľu a pokrytá pravým zlatom, je vyrobená vo forme nezvyčajného prúžku Mobius, ktorý má iba jednu stranu. cena parfémuBugattije 3500 eur. Parfém Loewe Quzas, Quizas, Quizas
Pozrite si aplikáciu. 14. Na jeseň 2011 vyšla fialová verzia vône, ktorej flakón je omotaný stuhou Mobius, symbolom kolobehu vášní v prírode. Bohatosť kompozície pozostáva zo sviežosti ázijských pomarančov, bergamotu, červených bobúľ, pokračuje kvetinovým srdcom z magnólie, frézie a okvetných lístkov pomaranča a končí kompozíciou zmyselnej stopy kašmírového dreva, zlatej ambry a vetiveru. Parfum UFO Limited Edition, Kenzo
Pozrite si aplikáciu. 15. Prezentácia vôníKenzosa uskutočnila v roku 2009 na retrospektívnej výstave diel Rona Arada (RonArad) v Centre Pompidou v Paríži. Práve tento umelec a architekt prišiel s kozmickým dizajnom flakónu v podobe Möbiovho pásu. Je navrhnutý tak, aby presne padol do dlane.NeidentifikovanývôňaObjekt, alebo Unidentified Aromatic Object, je obmedzený na 180 kópií a stojí 188 USD. NÁBYTOK
Möbiov stôl
Pozrite si aplikáciu. 16 Jednoplošný stôl na pohodlné státie, sedenie a ležanie. Knižnica Infinity
Pozrite si aplikáciu. 17. Dizajnér Job Kelevius rozbil formu, keď navrhol svoju knižnicu Infiniti. Pomocou matematického konceptu Lemniscate a niečoho podobného ako Moebius pásik, dizajnér stelesnil fyzickú myšlienku nekonečna v poličke Infinity. To znamená, že ak ste prečítali všetky knihy na tejto poličke, zvážte, že ste pochopili celé nekonečno literatúry. Pohovka Möbius
Pozrite si aplikáciu. 18. Narodený pod heslom "Dvojité kreslo - dvojité potešenie", rozkladacie kresloMoebiusDvojitékreslovytvoril dizajnérGaeopálenieVandeWyerz Belgicka a prináša čerstvú víziu nábytku pre milovníkov. LOGOS
Logo spoločnosti Woolmark
Pozrite si aplikáciu. 19. Logo vzniklo v roku 1964 ako výsledok súťaže návrhov. Člen porotyFrancoGrignanineodolal a ponúkol vlastnú verziu, skrývajúcu sa pod pseudonymomFrancescoSeraglio. Toto logo pripomína pruh Möbius a je symbolom večnosti a flexibility spoločnosti.
Symbol recyklácie
Pozrite si aplikáciu. 20. Medzinárodným symbolom pre recykláciu je Möbiov pás. Recyklácia (iné výrazy: recyklácia, recyklácia odpadu, recyklácia a recyklácia)- opätovné použitie alebo vrátenie výrobného odpadu alebo odpadu do obehu. Najčastejšie sekundárne, terciárne a T. e) Spracovanie na škále materiálov ako sklo, papier, hliník, asfalt, železo, textílie a rôzne druhy plastov. Od staroveku sa v poľnohospodárstve využíva aj organický poľnohospodársky a domáci odpad. Matematický symbol
Pozrite si aplikáciu. 21. Möbiov pás je považovaný za symbol modernej matematiky, pretože to bol on, kto dal impulz novému matematickému výskumu. ODEVY A OBUV
Topánky
Pozrite si aplikáciu. 22. Spoločnosť založili v roku 2003 architekt Ram Dee Koolhaas a obuvník Galahad Clark.UnitedNahása špecializuje na výrobu inovatívnych dizajnérskych topánok. Jedným z najúspešnejších vývojov spoločnosti sú topánkyMobius
, pomenovaný podľa geometra Augusta Möbiusa a jeho predstavy o jednostrannom povrchu. Myšlienka topánok je nasledovná: kožený zvršok topánok a podošva sú jedna stuha, skrútená určitým spôsobom.
Moebius šatka
Pozrite si aplikáciu. 23.
Zaujímavosťou je šatka Moebius, ktorá sa objavuje v šatníkoch 21. storočia. Šatku Mobius si môžete vyrobiť sami tak, že konce šatky zviažete otočením o jednu otáčku. MAĽOVANIE
Graffiti
Pozrite si aplikáciu. 24. Na stene v Prahe v Českej republike je namaľovaný moderný Möbiov pás.
Po páske sa pohybujú dva typy vozidiel: tanky a zariadenia na stavbu ciest Symbol modernej civilizácie: ničíme-budujeme-ničíme-budujeme.. ARCHITEKTÚRA
budova knižnice
Pozrite si aplikáciu. 25. V súčasnosti sa uvažuje o projekte výstavby knižnice v podobe Möbiovho pásu v Kazachstane. Ohyby budovy tvoria Möbiov pás, čím vnútorný priestor prechádza do vonkajšieho a naopak; podobne sa steny stanú strechou a strecha sa premení späť na steny. Prirodzené svetlo vstupuje do vnútorných chodieb cez geometrické otvory vo vonkajšom plášti a vytvára nádherne osvetlené priestory ideálne na čítanie. atrakcií
Pozrite si aplikáciu. 26. Atrakcia "Horská dráha" pripomína tvar Mobiovho pásu. Moskva má najväčšiu inverznú horskú dráhu na svete, kde človek sedí na zavesenom kresle a nohy má vo vzduchu. Rýchlosť - 81 km / h, výška 30 m. Výška v porovnaní so zahraničnými analógmi je malá, ale to sa viac ako vyplatí s množstvom špirál, krúžkov a mŕtvych slučiek. filmový kotúč
Pozrite si aplikáciu. 27. V roku 1923 bol vydaný patent vynálezcovi Lee de Force, ktorý navrhol nahrávať zvuk na film bez výmeny kotúčov, z oboch strán naraz. kazeta
Pozrite si aplikáciu. 28. Boli vynájdené kazety pre magnetofón, kde je páska skrútená a zlepená do krúžku, pričom je možné nahrávať alebo čítať informácie z oboch strán naraz, čo zvyšuje kapacitu kazety a tým aj čas prehrávania. Auto Toyota MOB
Pozrite si aplikáciu. 29. Möbius Bollid je navrhnutý španielskym dizajnérom Jorgem Marti Vidalom a spája krásu a tajomstvo Möbiovho pruhu. Jedinečný tvar karosérie poskytuje pretekárskemu autu dobrú aerodynamiku Maticová tlačiareň
Pozrite si aplikáciu. tridsať. V mnohých ihličkových tlačiarňach má farbiaca páska tiež formu Möbiovho prúžku, aby sa zvýšil jej zdroj. Möbiov odpor
Pozrite si aplikáciu. 31. Ide o novovynájdený elektronický prvok, ktorý nemá vlastnú indukčnosť. brúsny pás
Pozrite si aplikáciu. 32. V roku 1969 navrhol sovietsky vynálezca Gubaidullin nekonečný brúsny pás vo forme Möbiovho pásu. Záver
Möbiov pás je prvý jednostranný povrch objavený vedcom. Neskôr matematici objavili množstvo jednostranných plôch. ale tento - úplne prvý, ktorý položil základ celému smeru v geometrii, dodnes priťahuje pozornosť vedcov, vynálezcov, umelcov i nás študentov. Veľmi ma zaujali otvorené vlastnosti Möbiovho pásu: Moebius pásik má jeden okraj, jednu stranu Möbiov pás je topologický objekt. Ako každá topologická figúrka nemení svoje vlastnosti, kým nie je rozrezaná, roztrhnutá alebo jej jednotlivé časti zlepené. Jedna hrana a jedna strana Möbiovho pásu nesúvisia s jeho polohou v priestore, nesúvisia s pojmami vzdialenosti. Möbiov prúžok má početné využitie vo varení, strojárstve, fyzike, maľbe, architektúre, dizajne šperkov a štúdiu vlastností vesmíru. Inšpiroval tvorbu mnohých spisovateľov a umelcov. Takmer každý vie, ako vyzerá symbol nekonečna pripomínajúci obrátenú osmičku. Toto znamenie sa tiež nazýva „lemniscate“, čo v starogréčtine znamená stuha. Predstavte si, že symbol nekonečna je veľmi podobný skutočnému matematickému útvaru. Zoznámte sa s Moebiusovým pásom! pás Mobius(alebo sa nazýva aj Mobiova slučka, Mobiov prúžok a dokonca aj Mobiov prstenec) je jedným z najznámejších povrchov v matematike. Möbiova slučka je slučka s jedným povrchom a jedným okrajom. Aby ste pochopili, čo je v stávke a ako to môže byť, vziať list papiera, odrežte obdĺžnikový pás a v momente spojenia jeho koncov jeden z nich otočte o 180 stupňov a potom ho spojte. Obrázok nižšie vám pomôže zistiť, ako vyrobiť prúžok Mobius. pás Mobius- príklad neorientovateľnej jednostrannej plochy s jednou hranou v obvyklom trojrozmernom euklidovskom priestore. Väčšina predmetov je orientovateľná, má dve strany, ako napríklad list papiera. Ako potom môže byť Möbiov pás neorientovateľný, jednostranný povrch – poviete si, veď papier, z ktorého je vyrobený, má dve strany. A skús si zobrať fixku a vyplniť jednu zo strán pásky farbou, nakoniec trafíš počiatočnú polohu a celá páska bude úplne prelakovaná, čo potvrdzuje, že má len jednu stranu. Aby ste uverili, že Möbiova slučka má len jeden okraj - posúvajte prstom po jednom z okrajov pásky bez prerušenia a rovnako ako v prípade farbenia narazíte na bod, z ktorého ste sa začali pohybovať. Úžasné, však? Zaoberá sa štúdiom Möbiovho pásu a mnohých ďalších zaujímavých objektov - topológie, odvetvie matematiky, ktoré skúma nemenné vlastnosti objektu počas jeho nepretržitej deformácie – naťahovanie, stláčanie, ohýbanie, bez narušenia celistvosti. Nemecký matematik je uznávaný ako „otec“ tejto nezvyčajnej pásky August Ferdinand Möbius, Gaussov žiak, ktorý napísal nejednu prácu o geometrii, no preslávil sa najmä objavom jednostrannej plochy v roku 1858. Prekvapujúca je skutočnosť, že pásku s jedným povrchom v tom istom roku 1858 objavil ďalší Gaussov študent - talentovaný matematik. Johann Listing, ktorý vymyslel termín „topológia“ a napísal sériu základných prác o tomto odvetví matematiky. Nezvyčajná páska však stále dostala svoje meno podľa mena Möbius. Existuje všeobecný názor, že prototypom modelu „nekonečnej slučky“ bola nesprávne ušitá páska slúžkou profesora Augusta Möbiusa. v skutočnosti, páska bola objavená už dávno v starovekom svete. Jedným z potvrdení je starorímska mozaika nachádzajúca sa vo Francúzsku v múzeu mesta Arles s rovnakou skrútenou stuhou. Zobrazuje Orfea očarujúce zvieratá so zvukmi harfy. Na pozadí je opakovane zobrazený ornament s točenou stuhou. Z výsledku budete dosť prekvapení, pretože oproti očakávaniam vám v rukách nezostanú dva kusy pásky a dokonca ani dva samostatné kruhy, ale ďalšia, ešte dlhšia páska. Už to nebude Mobiusov pás skrútený o 180 stupňov, ale pás s 360 stupňovou rotáciou. Menší Möbiov pás bude mať 1/3 pôvodnej šírky pásu, dĺžku L a otočený o 180 stupňov. Druhá dlhšia stuha bude tiež 1/3 široká ako pôvodná, ale dlhá 2 l a otočená o 360 stupňov. Möbiov pás nie je vôbec abstraktná figúrka, potrebná len pre potreby matematiky, uplatnenie našla aj v reálnom každodennom živote. Podľa princípu tohto pásu funguje na letisku pás, ktorý presúva kufre z batožinového priestoru. Táto konštrukcia umožňuje jej dlhšiu životnosť vďaka rovnomernému opotrebovaniu. Objav Augusta Möbiusa je široko používaný v priemysle obrábacích strojov. Konštrukcia sa používa pre dlhší čas záznamu na film, ako aj v tlačiarňach, ktoré pri tlači používajú pásku. Vďaka svojej viditeľnosti umožňuje Möbiova slučka moderným vedcom robiť stále viac nových objavov. Od objavu úžasných vlastností slučky sa svetom prehnala vlna nových patentovaných vynálezov. Napríklad výrazné zlepšenie vlastností magnetických jadier vyrobených z feromagnetickej pásky navinutej metódou Mobius. N. Tesla dostal patent na viacfázový systém striedavého prúdu, využívajúci vinutie cievok generátora ako Mobiovu slučku. Americký vedec Richard Davis navrhol nereaktívny Moebius rezistor – schopný tlmiť reaktívny (kapacitný a indukčný) odpor bez toho, aby spôsoboval elektromagnetické rušenie. Ťažko doceniť význam objavu Möbiovej slučky, ktorá inšpirovala nielen veľké množstvo vedcov, ale aj spisovateľov a umelcov. Najznámejším dielom venovaným Möbiovmu pásu je obraz Moebius Strip II, Červené mravce alebo Červené mravce od holandského grafika Mauritsa Eschera. Na obrázku sú mravce šplhajúce po Moebiusovej slučke z oboch strán, v skutočnosti je len jedna strana. Mravce lezú v nekonečnej slučke jeden po druhom na rovnakom povrchu. Umelec čerpal námety z článkov a prác z matematiky, hlboko ho fascinovala geometria. V tejto súvislosti jeho litografie a rytiny často obsahujú rôzne geometrické tvary, fraktály, ohromujúce optické ilúzie. Doteraz je záujem o slučku Mobius na veľmi vysokej úrovni, dokonca aj športovci predstavili rovnomennú akrobatickú figúrku. Podľa diela Möbiovho pásu od spisovateľa sci-fi Armina Deutscha bol natočený nejeden film. Vo forme Mobiusovej slučky vzniká obrovské množstvo šperkov, topánok, sôch a mnoho ďalších predmetov a foriem. Pás Möbius zanechal svoju stopu vo výrobe, dizajne, umení, vede, literatúre a architektúre. Mysli mnohých ľudí znepokojovala podobnosť tvaru molekuly DNA a Möbiovej slučky. Sovietsky cytológ Navashin predložil hypotézu, že forma prstencový chromozómštruktúrou podobná Möbiovmu pásu. Táto myšlienka vedca bola vyvolaná skutočnosťou, že kruhový chromozóm, ktorý sa množí, sa zmení na dlhší krúžok ako na samom začiatku, alebo na dva malé krúžky, ale akoby v retiazke navlečenej jeden do druhého, čo veľmi pripomína vyššie opísané pokusy s Möbiovým prúžkom. V roku 2015 sa skupine vedcov z Európy a Spojených štátov podarilo roztočiť svetlo v Möbiovom prstenci. Vo vedeckom experimente vedci použili optické šošovky a štruktúrované svetlo – sústredený laserový lúč s vopred určenou intenzitou a polarizáciou v každom bode jeho pohybu. V dôsledku toho sa získali ľahké Möbiove pásy. Existuje ešte jedna väčšia teória. Vesmír je obrovská Moebiusova slučka. Einstein sa tejto myšlienky držal. Navrhol, že vesmír je uzavretý a kozmická loď, ktorá v ňom štartuje z určitého bodu a letí stále rovno, sa vráti do rovnakého bodu v priestore a čase, z ktorého sa jej pohyb začal. Zatiaľ sú to len hypotézy, ktoré majú priaznivcov aj odporcov. Ktovie, aký objav privedie vedcov k takému jednoduchému objektu, akým je Möbiov pás. Möbiova funkcia
(n), Kde n je prirodzené číslo, nadobúda tieto hodnoty: Funkcia Möbius vám umožňuje zapísať Eulerovu funkciu ako súčet: Sčítanie prechádza cez všetkých deliteľov n (a nielen cez prvočíselníkov). Príklad. Vypočítať φ
(100) pomocou Möbiovej funkcie. Všetky delitele 100 sú (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100). (2) \u003d (-1) 1 \u003d -1 (dva majú jedného jednoduchého deliteľa - 2) (4) = 0 (4 je deliteľné druhou mocninou 2) (5) = (-1) 1 = -1 (5 má jedného hlavného deliteľa - 5) (10) = (-1) 2 = 1 (10 má dvoch hlavných deliteľov - 2 a 5) (20) = 0 (20 je deliteľné druhou mocninou dvoch) (25) = 0 (25 je deliteľné druhou mocninou piatich) (50) = 0 (50 je deliteľné 2 2 aj 5 5) (100) = 0 (100 je deliteľné 2 2 aj 5 5) teda Vlastnosť Möbiovej funkcie:. Napríklad, n=100,
{1,
2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. 16
Veta o počte spôsobov výberu k-prvkov, medzi ktorými nie sú dva susediace, z n prvkov usporiadaných za sebou. Dokážte získaním rekurzívneho vzorca. číslo r-kombinácie s opakovaniami z n-sady rovná sa – dôkaz pomocou rekurzívneho vzorca.
Metóda je založená na získaní vzorca, ktorý vám umožňuje vypočítať hodnoty požadovaného množstva krok za krokom na základe známych počiatočných hodnôt a hodnôt vypočítaných v predchádzajúcich krokoch. Opakujúci sa vzorecr
- poradie- vzorec formulára a n =
f(n,
a n- 1 ,
a n- 2 ,
… , a n-r). Vzorec vyjadruje pri n>r každý člen sekvencie ( a i) cez predchádzajúce rčlenov. Konštrukcia rekurzívneho vzorca pozostáva z nasledujúcich krokov. 1. Vývoj počiatočných podmienok na základe niektorých zjavných korelácií. Označiť podľa f(n,r). To je zrejmé 2. Logické uvažovanie. Opravme nejaký prvok v súprave S. Potom pre akékoľvek r-kombinácie s opakovaniami z n-súpravy S dá sa povedať, či obsahuje daný pevný prvok alebo nie. Ak obsahuje, potom zvyšok ( r-1) je možné vybrať položku f(n,r-1) spôsoby. Ak neobsahuje(v vzorke nie je žiadny prvok), potom r- kombinácia sa skladá z prvkov ( n-1)-sady (súprava S okrem tohto pevného prvku). Počet takýchto kombinácií f(n-1,r). Pretože Tieto prípady sa navzájom vylučujú, teda pravidlom súčtu 3. Kontrola vzorca na niektorých hodnotách a odvodenie všeobecného vzoru. 1) Vypočítajte f
(n
,0)
. Z (2) vyplýva Potom f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Od (1) f(n,1)=n,f(n-1,1)=n-1. teda f(n,0)=n-(n-1)=1=. 2) f
(n
,1)
=f(n,0)+f(n-1,1)
= 1+n- 1 =n==. 3) f
(n
,2)
=f(n,1)+f(n-1,2)
=n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) =
… = = n+(n-1)+…+2+1 = (súčet aritmetického postupu) 4) f
(n
,3)
=f(n,2)+f(n-1,3)
=+f(n-1,2)+f(n-2,3)
=++f(n-2,2)+f(n-3,3)
= … = (súčet geometrickej postupnosti) 5) f
(n
,4)
= Na základe konkrétnych prípadov možno predpokladať, že čo súhlasí s (1) # 19, 20) Počet binárnych stromov s n vrcholmi je C(n), kde C(n) je n-té katalánske číslo. Počet binárnych stromov s n vrcholmi sa nazýva katalánske číslo, ktoré má veľa zaujímavých vlastností. N-té katalánske číslo sa vypočíta pomocou vzorca (2n)! / (n+1)!n!, ktorý rastie exponenciálne. (Wikipedia ponúka niekoľko dôkazov, že ide o formu katalánskeho čísla.) Počet binárnych stromov danej veľkosti 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670 Substitúcia Skoč do: navigácia,
Vyhľadávanie Tento článok je o substitúcii ako syntaktickej operáciipodmienky
. Možno vás to zaujímapermutácia
.
IN matematiky A počítačová veda
substitúcia je operácia syntaktický nahradenie podtermínov daného terma iné podmienky, podľa určitých pravidiel. Zvyčajne hovoríme o nahradení výrazom za premenlivý. Definície a notácia Neexistuje žiadny univerzálny, konzistentný zápis pre substitúciu, ani neexistuje štandardná definícia. Pojem substitúcie sa líši nielen v rámci sekcií, ale aj na úrovni jednotlivých publikácií. Vo všeobecnosti sa dá rozlišovať substitúcia kontextu A náhrada "namiesto". V prvom prípade je miesto v termíne, kde dochádza k zámene, dané o kontext, teda časť pojmu, „obklopujúca“ toto miesto. Tento pojem substitúcie sa používa najmä v prepisovanie. Druhá možnosť je bežnejšia. V tomto prípade je substitúcia zvyčajne daná nejakou funkciou z množiny premenných do množiny termov. Označiť substitučné akcie zvyčajne používať postfixový zápis. Napríklad znamená výsledok substitučnej akcie. V drvivej väčšine prípadov sa vyžaduje, aby substitúcia mala konečnú podporu, teda aby množina Posledná definícia substitúcie je pravdepodobne najtypickejšia a najčastejšie používaná. Neexistuje však ani jeden všeobecne akceptovaný zápis. Najčastejšie sa používa na označenie substitúcie a namiesto X V t používa sa záznam t[a/X],
t[X:=a] alebo t[X←a]. Variabilná substitúcia vλ-kalkul
V λ-kalkule je substitúcia určená štruktúrnou indukciou. Pre ľubovoľné objekty a ľubovoľnú premennú sa vypočíta výsledok nahradenia ľubovoľného voľného výskytu substitúcia a je definovaný indukciou na konštrukcii: i) základ:: Objekt sa zhoduje s premennou. Potom; (ii) základ:: objekt sa zhoduje konštantne. Potom pre ľubovoľnú atómovú; (iii) krok:
(iv) krok:: objekt je neatómový a je abstrakciou. Potom [; (v) krok:: objekt je neatómový a navyše je abstrakciou. potom: pre iili; Variabilná substitúcia v programovaní Substitúcia premenná ( Angličtina substitúcia) V aplikačné programovanie sa chápe nasledovne. Na výpočet hodnoty funkcie f na argument v použitý záznam f(v)), Kde f definovaný dizajnom f(x) = e. Nahrávanie f(v) v tomto prípade znamená, že vo výraze e deje substitúcia alebo variabilná substitúcia X na v. Substitúcia sa vykonáva podľa výpočtová sémantika. Substitúcia premenná ( Angličtina zadanie) V programovanie chápaný ako zadanie. Operátor priradenia je prejavom von Neumannovho efektu úzkeho miesta na tradičných programovacích jazykoch.
. Oslobodené od tohto aplikačné počítačové systémy. http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf 21
Generovanie funkcií.Generujúca funkcia (enumerátor) a enumeračná generujúca funkcia pre kombinácie bez opakovaní. Generujúce funkcie: 1) Z-transformácie 2) tvoriaca čiara 3) generujúca funkcia 4) generujúca funkcia postupnosti (a r ) na báze (g r ) - funkcia f, keď je rozšírená v rade o funkcie pevnej bázy ( g r ), vytvorí sa táto postupnosť koeficientov ( a r ) Tento riadok je formálny. Názov formálny znamená, že vzorec *) interpretujeme ako pohodlnú reprezentáciu našej postupnosti - v tomto prípade nezáleží na tom, pre aké (akčné a komplexné) hodnoty konverguje. Úlohou t je rozlišovať medzi koeficientmi postupnosti A0,A1,…Ar…. preto v teórii generujúcich funkcií sa hodnoty tohto radu nikdy nepočítajú pre konkrétnu hodnotu premennej t. Na takýchto radoch sa vykonajú len niektoré operácie a potom sa na takýchto radoch určia len niektoré operácie a potom sa určia koeficienty pri jednotlivých mocninách premennej t. Zvyčajne ako 22
generujúca funkcia. Generujúca funkcia (enumerátor) a enumeračná generujúca funkcia pre kombinácie s opakovaniami. Funkcia generovania pre: Stavebné pravidlo 1) Ak prvok typu i môže byť zahrnutý v kombináciách K 1 alebo K 2 alebo ... K i krát, potom zodpovedajúci multiplikátor 3) Zostáva nájsť koeficient. pri exponenciálna generujúca funkcia pre pravidlo konštrukcie umiestnení 25) Zahŕňajú aj kombinačné čísla Stirlingove čísla prvý a druhý druh. Tieto čísla sú definované ako koeficienty v rovnosti a majú jednoduchý kombinatorický význam - rovný počtu prvkov permutačnej skupiny, ktoré sú presne produktmi k nepretínajúce sa cykly, ako aj počet oddielov n- prvok zapnutý k neprázdne podmnožiny. To je zrejmé. Podobný súčet Stirlingových čísel druhého druhu sa nazýva n-th Bell číslo a rovná sa počtu všetkých oddielov n- súprava prvkov. Pre Bell čísla platí rekurzívny vzorec. Pri riešení kombinatorických problémov sa to často ukáže ako užitočné vzorec inklúzie-vylúčenia umožňujúce nájsť mohutnosť zväzku množín, ak sú známe mohutnosti ich priesečníkov. Na získanie explicitného vzorca pre Stirlingove čísla druhého druhu používame vzorec zahrnutia a vylúčenia. Stirlingové čísla prvého druhu Z Wikipédie, voľnej encyklopédie Skoč do: navigácia,
Vyhľadávanie Stirlingové čísla prvého druhu(nepodpísané) - množstvo permutácií objednať n s k
cyklov. Definícia Stirlingové čísla prvého druhu(podpísané) s(n, k) sa nazývajú koeficienty polynóm: Kde ( X) n
- Symbol Pochhammer
(klesajúci faktoriál): Ako vidíte z definície, čísla majú striedavé znamienko. Ich absolútne hodnoty definujú číslo permutácií sada pozostávajúca z n prvky s k
cyklov. Opakujúci sa vzťah Uvádzajú sa Stirlingove čísla prvého druhu opakujúci pomer: s(n,n) = 1, pre n ≥ 0, s(n,0) = 0, pre n > 0, za 0< k
< n. Dôkaz. Pre n=1 táto rovnosť sa overuje priamo. Nechajte permutáciu ( n-1)-tý rád sa delí na k cyklov. číslo n možno pridať za ľubovoľné číslo v príslušnom cykle. Všetky výsledné permutácie sú rôzne a obsahujú k cyklov, ich počet ( n-1)· s(n-1,
k). Z akejkoľvek permutácie ( n-1)-tý rád obsahujúci k-1 cyklus, môže vzniknúť jedna permutácia n objednávka obsahujúca k cyklov sčítaním cyklu tvoreného jedným číslom n. Je zrejmé, že táto konštrukcia popisuje všetky permutácie n objednávka obsahujúca k cyklov. Tým je dokázaná rovnosť. Príklad Prvé riadky: IN kombinatorika
Stirlingovo číslo druhého druhu od n Autor: k, označené alebo, je počet neusporiadaných priečky
n- elementárny súpravy na k neprázdne podmnožiny. Opakujúci sa vzorec Stirlingové čísla druhého druhu uspokojujú opakujúci pomer: Pre n ≥ 0, Pre n > 0, Explicitný vzorec Príklad Počiatočné hodnoty Stirlingových čísel druhého druhu sú uvedené v tabuľke: Vlastnosti Bijektívny Mapovanie je mapovanie, ktoré má vlastnosti injektivity aj surjektivity.
Veta 1: λ ≥ π/2
Veta 2: λ ≤ √3
Pri tejto konštrukcii bolo porušené hlavné pravidlo – nekrčiť papier. Je však ľahké pochopiť, že ak je dĺžka pásu aspoň o niečo väčšia ako √3, potom môže byť zalomenie pozdĺž tvoriacej čiary nahradené ohybom vytvoreným v úzkej časti. Stručne povedané, nebojíme sa prerušenia pozdĺž priameho segmentu: môže byť nahradený ohybom blízko neho. (Neopraviteľné pokrčenie papiera nastáva, keď sa pretnú dve línie ohybu, t. j. keď sa list prehne ako vreckovka - to všetko je nám známe z každodennej skúsenosti.). Jeho štruktúru si možno predstaviť takto: tri rovnaké pravidelné trojuholníky ABC, A"B"C", A"B"C" ležia navzájom rovnobežné, zodpovedajúce vrcholy sú nad príslušnými vrcholmi; strany AB a A"B", B"C" a B"C", C"A" a CA sú premostené. Linka lepenia prebieha pozdĺž strednej časti jedného z trojuholníkov.Prečo nemôžeme nájsť λ presnejšie?
Robí sa to takto. Vezmite dostatočne veľké nepárne n a zostrojte pravidelný n-uholník vpísaný do kruhu s priemerom 1. Ďalej uvažujme n trojuholníkov obsahujúcich stred kruhu, z ktorých každý je ohraničený stranou a dvoma uhlopriečkami n-uholníka ( n=7). Tieto trojuholníky pokrývajú náš n-uholník, niektoré jeho miesta - niekoľkokrát. Teraz pripojíme týchto n trojuholníkov k sebe, potom odrežeme polovicu ľavého trojuholníka pozdĺž dlhého stredného a pripojíme ho k trojuholníku úplne vpravo. Získate obdĺžnikový pásik s pomerom dĺžky k šírke väčším ako π/2 a sklonom k π/2, keďže n smeruje k ∞ (šírka prúžku smeruje k 1 a dĺžka k π/2). Tento prúžok postupne preložíme pozdĺž všetkých na ňom nakreslených čiar, pričom budeme striedať smery ohybu. V tomto prípade sa segmenty AB a CD takmer zhodujú - medzi nimi bude len niekoľko vrstiev zloženého papiera. Pri tomto „takmer zhode“ bude bod A zarovnaný s D a bod B s C, takže ak by sme mohli „pretiahnuť pásku cez seba“ a prilepiť |AB| s |CD| by to bol Möbiov pás. Ak sa prúžok zoberie trochu dlhšie, dá sa predísť pokrčeniu, tak ako sme to urobili pri dôkaze vety 2. Získali sme Möbiov prúžok, ktorého okraje sú oddelené niekoľkými vrstvami papiera, pozri prílohu 1.3. Ale späť k Möbiovmu pásu. Veta 1, ako sme videli, v skutočnosti platí pre pásiky, ktoré sa pretínajú. Je nepravdepodobné, že podmienka nepriesečníka neovplyvní λ; tento efekt však nemožno brať do úvahy, keďže matematika nemá dostatočné technické prostriedky na štúdium sebapriesečníkov v trojrozmernom priestore. Naopak, je dosť pravdepodobné, že Theorem 2 sa nedá vylepšiť. Vylepšiť to predsa znamená prísť s novým dizajnom tejpu. Skúsenosti ukazujú, že optimálne konštrukcie môžu byť jednoduché a harmonické, čo je konštrukcia z dôkazu vety 2. Je prirodzené predpokladať, že ak by existovala lepšia konštrukcia, našla by sa – o toľko rokov! Čo je to Möbiov pás?
Čo je také pozoruhodné na Möbiovom páse?
Objav Augusta Möbia
„Mágia“ Möbiovho pásu
Prečo potrebujeme slučku Mobius? Aplikácia
Mobius strip - široké pole pre inšpiráciu
17 Počet kombinácií s opakovaniami
.
.4. Kontrola počiatočných podmienok pomocou výsledného vzorca.
,
bola konečná. V tomto prípade to môže byť špecifikované jednoduchým vymenovaním párov "variabilná hodnota". Keďže každá takáto substitúcia môže byť zredukovaná na sekvenciu substitúcií, ktoré nahradia vždy len jednu premennú, bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že substitúcia je daná jedným párom "variabilná hodnota"čo sa zvyčajne robí.
: objekt neatómový a má formu aplikácie. Potom;
…………*)
