Metóda Monte Carlo

1. Predmet metódy Monte Carlo

Za dátum zrodu metódy Monte Carlo sa považuje rok 1949, kedy vedci N. Metropolis a S. Ulam publikovali článok s názvom „Monte Carlo Method“, v ktorom načrtli podstatu svojej metódy. Názov metódy je spojený s názvom mesta Monte Carlo, kde sa v herniach (kasínach) hrá ruleta, ktorá je jedným z najjednoduchších zariadení na získanie tzv. náhodné čísla na ktorých je táto metóda založená.

Počítače uľahčujú získanie tzv. pseudonáhodné čísla “(pri riešení problémov sa často používajú namiesto náhodných čísel). To viedlo k širokému zavedeniu metódy v mnohých oblastiach vedy a techniky (štatistická fyzika, teória radenia, teória hier atď.). Metóda Monte Carlo sa používa na výpočet integrálov, najmä viacrozmerných, na riešenie systémov algebraických rovníc vyšších rádov, na štúdium rôznych druhov zložitých systémov (automatické riadenie, ekonomické, biologické atď.).

Podstata metódy Monte Carlo pozostáva z nasledovného: treba nájsť hodnotučísla nejakú skúmanú hodnotu. Ak to chcete urobiť, vyberte náhodnú premennú
, ktorého matematické očakávanie sa rovná :
, t.j. rieši danú funkčnú rovnicu. Táto úloha je vo všeobecnosti veľmi zložitá a náročná.

V praxi sa správajú takto: testy, ktorých výsledkom je možné hodnoty
; vypočítať ich aritmetický priemer

a prijať ako odhad (približná hodnota) požadované číslo :

Keďže metóda Monte Carlo vyžaduje veľké množstvo testov, často sa označuje ako štatistická testovacia metóda. Teória tejto metódy naznačuje, ako je najvhodnejšie zvoliť náhodnú premennú
ako zistiť jeho možné hodnoty. Predovšetkým sa vyvíjajú metódy na zníženie rozptylu použitých náhodných premenných, v dôsledku čoho chyba nastala pri nahradení požadovaného matematického očakávania počtu jeho hodnotenie .

Nájdenie možných hodnôt náhodnej premennej
(simulácia) sa nazýva " prehraním náhodnej hodnoty". Tu uvádzame len niektoré spôsoby hrania r.v.
a ukázať, ako odhadnúť povolenú chybu v tomto prípade.

2. Náhodné čísla, odhad chyby metódou Monte Carlo.

Ako už bolo uvedené, metóda Monte Carlo je založená na použití náhodných čísel; Uveďme definíciu týchto čísel. Označiť podľa n.r.v. rozložené rovnomerne v intervale
.

náhodné čísla pomenovať možné hodnoty spojitej náhodnej premennej , rovnomerne rozložené v intervale
.

Reálne využívajú nerovnomerne rozmiestnenú r.v. , ktorého možné hodnoty, všeobecne povedané, majú nekonečný počet desatinných miest a kvázi-jednotná náhodná premenná
, ktorého možná hodnota má konečný počet znakov. V dôsledku výmeny na
hraná hodnota má nie presne, ale približne dané rozdelenie.

Na konci knihy je tabuľka náhodných čísel, požičaných z knihy (Boľšev LN....“Tabuľky matematickej štatistiky. Veda, 1965).

Nechajte získať odhad matematické očakávanie čísla náhodná premenná
bol vyrobený nezávislé pokusy (nakreslené možné hodnoty) az nich sa zistil výberový priemer , ktorý je akceptovaný ako požadovaný odhad
.

Je zrejmé, že ak sa experiment zopakuje, získajú sa ďalšie možné hodnoty
. Preto iný priemer a iný odhad počtu
. Už z toho vyplýva, že vo všeobecnom prípade nie je možné získať presný odhad MO.

Prirodzene vyvstáva otázka o veľkosti povolenej chyby. Tu sa obmedzíme na nájdenie iba hornej hranice prípustná chyba s danou pravdepodobnosťou (spoľahlivosť)

Zaujíma nás horná hranica chyby nie je nič iné ako" presnosť odhadu O matematickom očakávaní výberového priemeru pomocou intervalov spoľahlivosti sme už hovorili v Prílohe 1, téme 21. V tejto súvislosti použijeme predtým získané

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ RuleOfThumb – metóda Monte Carlo

✪ Dmitrij Kazakov - Quarks

✪ [Kolokvium]: Brilantnosť a chudoba matematických metód v aplikovanom výskume

✪ Prednáška 1: Chyby vo výpočte

✪ Elena Brown - Mýtus o Richardovi III

titulky

Príbeh

Buffonov algoritmus na určenie počtu pi

	Počet hodov	Počet križovatiek	Dĺžka ihly	Vzdialenosť medzi rovnými čiarami	Rotácia	Hodnota pí	Chyba
Prvý pokus	500	236	3	4	neprítomný	3.1780	+3,6⋅10 -2
Druhý pokus	530	253	3	4	prítomný	3.1423	+7,0⋅10 -4
Tretí pokus	590	939	5	2	prítomný	3.1416	+4,7⋅10 -5

Komentáre:

Vzťah medzi stochastickými procesmi a diferenciálnymi rovnicami

Vytváranie matematického aparátu stochastických metód sa začalo koncom 19. storočia. V roku 1899 Lord Rayleigh ukázal, že jednorozmerná náhodná prechádzka po nekonečnej mriežke môže poskytnúť približné riešenie jedného druhu parabolickej diferenciálnej rovnice. Andrej Nikolajevič Kolmogorov v roku 1931 dal veľký impulz rozvoju stochastických prístupov k riešeniu rôznych matematických problémov, pretože dokázal, že Markovove reťazce sú spojené s niektorými integro-diferenciálnymi rovnicami. V roku 1933 Ivan Georgievich Petrovsky ukázal, že náhodná prechádzka tvoriaca Markovov reťazec asymptoticky súvisí s riešením eliptickej parciálnej diferenciálnej rovnice. Po týchto objavoch sa ukázalo, že stochastické procesy možno opísať diferenciálnymi rovnicami, a teda skúmať pomocou v tom čase dobre vyvinutých matematických metód na riešenie týchto rovníc.

Zrod metódy Monte Carlo v Los Alamos

Myšlienku vyvinul Ulam, ktorý pri hraní solitaire počas zotavovania sa z choroby premýšľal, aká je pravdepodobnosť, že solitaire vyjde. Namiesto použitia zvyčajných kombinatorických úvah pre takéto problémy, Ulam navrhol, že by sa dalo jednoducho spustiť experiment veľakrát a spočítaním počtu úspešných výsledkov odhadnúť pravdepodobnosť. Navrhol tiež použiť počítače na výpočty v Monte Carle.

Príchod prvých elektronických počítačov, ktoré dokázali generovať pseudonáhodné čísla vysokou rýchlosťou, dramaticky rozšíril okruh problémov, pri ktorých sa stochastický prístup ukázal byť efektívnejší ako iné matematické metódy. Potom nastal veľký prelom a metóda Monte Carlo sa používala v mnohých problémoch, ale jej použitie nebolo vždy opodstatnené kvôli veľkému počtu výpočtov potrebných na získanie odpovede s danou presnosťou.

Za rok zrodu metódy Monte Carlo sa považuje rok 1949, kedy je publikovaná práca Metropolisa a Ulama „Metóda Monte Carlo“. Názov metódy pochádza z názvu obce v Monackom kniežatstve, ktorá je všeobecne známa svojimi početnými kasínami, keďže ruleta je jedným z najznámejších generátorov náhodných čísel. Stanislav Ulam vo svojej autobiografii The Adventures of a Matematician píše, že názov navrhol Nicholas Metropolis na počesť svojho strýka, ktorý bol hazardným hráčom.

Ďalší vývoj a modernosť

Integrácia Monte Carlo

Predpokladajme, že potrebujeme vziať integrál nejakej funkcie. Použijeme neformálny geometrický popis integrálu a budeme ho chápať ako plochu pod grafom tejto funkcie.

Na určenie tejto oblasti môžete použiť jednu z obvyklých metód numerickej integrácie: rozdeliť segment na podsegmenty, vypočítať plochu pod grafom funkcie na každom z nich a pridať. Predpokladajme, že pre funkciu znázornenú na obrázku 2 stačí rozdeliť sa na 25 segmentov a teda vypočítať 25 funkčných hodnôt. Predstavte si, že teraz máme čo do činenia n (\displaystyle n)-rozmerná funkcia. Potom potrebujeme 25 n (\displaystyle 25^(n)) segmentov a rovnaký počet výpočtov hodnoty funkcie. Keď je rozmer funkcie väčší ako 10, úloha sa stáva obrovskou. Keďže s vysokorozmernými priestormi sa stretávame najmä v problémoch teórie strún, ako aj v mnohých iných fyzikálnych problémoch, kde existujú systémy s mnohými stupňami voľnosti, je potrebné mať metódu riešenia, ktorej výpočtová zložitosť by až tak nezávisela. na rozmere. Toto je vlastnosť metódy Monte Carlo.

Obyčajný integračný algoritmus Monte Carlo

Predpokladajme, že chcete vypočítať určitý integrál ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

Zvážte náhodnú premennú u (\displaystyle u), rovnomerne rozložené na integračnom intervale . Potom to bude tiež náhodná premenná a jej matematické očakávanie je vyjadrené ako
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \,dx), Kde φ (x) (\displaystyle \varphi (x))- hustota rozdelenia náhodnej veličiny u (\displaystyle u) rovná 1 b − a (\displaystyle (\frac (1)(b-a))) Poloha zapnutá [ a , b ] (\displaystyle).

Požadovaný integrál je teda vyjadrený ako
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( u)).

Ale matematické očakávanie náhodnej premennej f (u) (\displaystyle f(u)) možno ľahko odhadnúť simuláciou tejto náhodnej premennej a výpočtom priemeru vzorky.

Takže hádžeme N (\displaystyle N) bodky rovnomerne rozložené [ a , b ] (\displaystyle), za každý bod u i (\displaystyle u_(i)) vypočítať f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). Potom vypočítame vzorový priemer: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

Výsledkom je odhad integrálu: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\približne (\frac (b-a) (N))\súčet _(i=1)^(N)f(u_(i)))

Presnosť odhadu závisí len od počtu bodov N (\displaystyle N).

Táto metóda má aj geometrickú interpretáciu. Je veľmi podobná vyššie opísanej deterministickej metóde s tým rozdielom, že namiesto rovnomerného rozdelenia integračnej oblasti na malé intervaly a sčítania plôch výsledných „stĺpcov“ hodíme na integračnú oblasť náhodné body, na ktorých každý postavíme rovnaký "stĺpec" a určíme jeho šírku Ako b − a N (\displaystyle (\frac (b-a)(N))) a spočítajte ich oblasti.

Geometrický integračný algoritmus Monte Carlo

Na určenie oblasti pod funkčným grafom môžete použiť nasledujúci stochastický algoritmus:

Pre malý počet rozmerov integrovateľnej funkcie je výkon integrácie Monte Carlo oveľa nižší ako výkon deterministických metód. Avšak v niektorých prípadoch, keď je funkcia špecifikovaná implicitne, ale je potrebné určiť oblasť špecifikovanú vo forme komplexných nerovností, môže byť vhodnejšia stochastická metóda.

Použitie vzorkovania významnosti

Pri rovnakom počte náhodných bodov je možné zvýšiť presnosť výpočtov priblížením oblasti, ktorá obmedzuje požadovanú funkciu, k samotnej funkcii. Na to je potrebné použiť náhodné veličiny s distribúciou, ktorej tvar sa čo najviac približuje tvaru integrovateľnej funkcie. Toto je základ jednej z metód na zlepšenie konvergencie vo výpočtoch Monte Carlo: vzorkovanie významnosti.

Optimalizácia

Na riešenie optimalizačných problémov možno použiť rôzne variácie metódy Monte Carlo. Napríklad algoritmus-imitácia-žíhanie.

Aplikácia vo fyzike

Počítačová simulácia hrá dôležitú úlohu v modernej fyzike a metóda Monte Carlo je jednou z najbežnejších v mnohých oblastiach od kvantovej fyziky po fyziku pevných látok, fyziku plazmy a astrofyziku.

Metropolisov algoritmus

Metóda Monte Carlo sa tradične používa na stanovenie rôznych fyzikálnych parametrov systémov v termodynamickej rovnováhe. Predpokladajme, že existuje množina možných stavov fyzikálneho systému S (\displaystyle S). Na určenie priemernej hodnoty A ¯ (\displaystyle (\overline (A))) nejakú hodnotu A (\displaystyle A) treba vypočítať A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S)), kde súčet je nad všetkými stavmi S (\displaystyle S) od W (S) (\displaystyle W(S)), P (S) (\displaystyle P(S))- pravdepodobnosť stavu S (\displaystyle S).

Dynamická (kinetická) formulácia

Priama simulácia Monte Carlo

Priama Monte Carlo simulácia akéhokoľvek fyzikálneho procesu zahŕňa modelovanie správania jednotlivých elementárnych častí fyzikálneho systému. Táto priama simulácia je v podstate blízka vyriešeniu problému od prvých princípov, ale zvyčajne sú na urýchlenie výpočtov povolené niektoré fyzikálne aproximácie. Ako príklad môžu poslúžiť výpočty rôznych procesov metódou molekulovej dynamiky: na jednej strane je systém opísaný prostredníctvom správania sa jeho elementárnych komponentov, na druhej strane je využívaný interakčný potenciál často empirický.

Príklady priamej simulácie Monte Carlo:

• Simulácia ožarovania pevných látok iónmi pri aproximácii binárnych zrážok.
• Priama simulácia Monte Carlo riedkych plynov.
• Väčšina kinetických modelov Monte Carlo je priama (najmä štúdium epitaxie molekulárneho lúča).

Metóda kvantového Monte Carlo

Metóda kvantového Monte Carlo sa široko používa na štúdium zložitých molekúl a pevných látok. Tento názov kombinuje niekoľko rôznych metód. Prvým z nich je variačná metóda Monte Carlo, čo je v podstate numerická integrácia viacrozmerných integrálov, ktoré vznikajú pri riešení Schrödingerovej rovnice. Riešenie problému s 1000 elektrónmi si vyžaduje 3000-rozmerné integrály a pri riešení takýchto problémov má metóda Monte Carlo obrovskú výkonnostnú výhodu oproti iným metódam numerickej integrácie. Ďalšou variáciou metódy Monte Carlo je difúzna metóda Monte Carlo.

Nie je to tak dávno, čo som čítal úžasnú knihu od Douglasa Hubbarda. V zhrnutí knihy som sľúbil, že jednej z častí – Hodnotenie rizík: Úvod do simulácie Monte Carlo – budem venovať samostatnú poznámku. Áno, nejako to nevyšlo. A nedávno som začal bližšie študovať metódy riadenia menových rizík. V materiáloch venovaných tejto téme sa často spomína simulácia Monte Carlo. Takže sľúbený materiál je pred vami.

Uvediem jednoduchý príklad simulácie Monte Carlo pre tých, ktorí s ňou nikdy predtým nepracovali, ale rozumejú používaniu tabuliek Excelu.

Povedzme, že si chcete prenajať nový stroj. Náklady na ročný prenájom stroja sú 400 000 dolárov a zmluva musí byť podpísaná na niekoľko rokov. Preto aj bez dosiahnutia nemôžete stroj okamžite vrátiť. Zmluvu sa chystáte podpísať s tým, že moderné vybavenie ušetria náklady na prácu a suroviny a tiež si myslíte, že logistika nového stroja bude lacnejšia.

Stiahnite si poznámku vo formáte , príklady vo formáte

Vaši kalibrovaní hodnotitelia uviedli nasledujúce rozsahy očakávaných úspor a ročnej produkcie:

Ročná úspora bude: (MS + LS + RMS) x PL

Samozrejme, tento príklad je príliš jednoduchý na to, aby bol realistický. Objem výroby sa každý rok mení, niektoré náklady sa znížia, keď pracovníci konečne zvládnu nový stroj a podobne. Ale v tomto príklade sme zámerne obetovali realizmus kvôli jednoduchosti.

Ak vezmeme medián (priemer) každého z hodnotových intervalov, dostaneme ročnú úsporu: (15 + 3 + 6) x 25 000 = 600 000 (USD)

Vyzerá to tak, že sme nielenže dosiahli vyrovnanosť, ale aj nejaký zisk, no pamätajte, že existujú neistoty. Ako posúdiť rizikovosť týchto investícií? Najprv si definujme, čo je v tomto kontexte riziko. Aby sme mohli riskovať, musíme premietnuť budúce výsledky s ich inherentnými neistotami, z ktorých niektoré pravdepodobne utrpia vyčísliteľné škody. Jedným zo spôsobov, ako sa pozrieť na riziko, je predstaviť si pravdepodobnosť, že nezlomíme vyrovnanosť, teda že naše úspory budú nižšie ako ročné náklady na prenájom stroja. Čím viac nebudeme mať na pokrytie nájomného, ​​tým viac stratíme. Suma 600 000 USD je medián intervalu. Ako určiť skutočný rozsah hodnôt a vypočítať z neho pravdepodobnosť, že nedosiahneme bod zlomu?

Keďže neexistujú presné údaje, nie je možné vykonať jednoduchými výpočtami odpoveď na otázku, či dokážeme dosiahnuť požadované úspory. Existujú metódy, ktoré umožňujú za určitých podmienok nájsť rozsah hodnôt výsledného parametra z rozsahov hodnôt počiatočných údajov, ale pre väčšinu problémov z reálneho života takéto podmienky spravidla neexistuje. Akonáhle začneme sčítavať a násobiť rôzne typy rozdelení, problém sa zvyčajne zmení na to, čo matematici nazývajú neriešiteľný alebo neriešiteľný problém bežnými matematickými metódami. Namiesto toho používame metódu priameho výberu možných možností, ktorú umožnil nástup počítačov. Z dostupných intervalov náhodne vyberieme množinu (tisíce) presných hodnôt počiatočných parametrov a vypočítame množinu presných hodnôt požadovaného ukazovateľa.

Simulácia Monte Carlo je vynikajúci spôsob, ako vyriešiť tieto problémy. Musíme len náhodne vybrať hodnoty v uvedených intervaloch, dosadiť ich do vzorca na výpočet ročných úspor a vypočítať súčet. Niektoré výsledky presiahnu náš vypočítaný medián 600 000 USD, zatiaľ čo iné budú nižšie. Niektoré budú dokonca pod hranicou 400 000 dolárov, ktorá je potrebná na vyrovnanie.

Simulácie Monte Carlo môžete jednoducho spustiť na osobnom počítači pomocou Excelu, ale budete potrebovať trochu viac informácií, než je 90% interval spoľahlivosti. Musíte poznať tvar distribučnej krivky. Pre rôzne množstvá sú krivky jedného tvaru vhodnejšie ako iné. V prípade 90 % intervalu spoľahlivosti sa zvyčajne používa normálna (Gaussova) distribučná krivka. Toto je dobre známa krivka v tvare zvona, v ktorej je väčšina možných výsledných hodnôt zoskupená v centrálnej časti grafu a len niekoľko, menej pravdepodobných, je distribuovaných a smerom k okrajom miznú do ničoho (obr. 1).

Takto vyzerá normálne rozdelenie:

Obr.1. Normálne rozdelenie. Abscisa je počet sigmov.

Zvláštnosti:

• hodnoty umiestnené v strednej časti grafu sú pravdepodobnejšie ako hodnoty pozdĺž jeho okrajov;
• rozdelenie je symetrické; medián je presne v strede medzi hornou a dolnou hranicou 90 % intervalu spoľahlivosti (CI);
• "chvosty" grafu sú nekonečné; hodnoty mimo 90 % intervalu spoľahlivosti sú nepravdepodobné, ale stále možné.

Na vytvorenie normálneho rozdelenia v Exceli môžete použiť funkciu =NORMIST(X; Stredná hodnota; Standard_dev; Kumulatívne), kde
X je hodnota, pre ktorú je skonštruované normálne rozdelenie;
Priemer - aritmetický priemer rozdelenia; v našom prípade = 0;
Standard_dev je štandardná odchýlka distribúcie; v našom prípade = 1;
Integrál - logická hodnota, ktorá určuje formu funkcie; ak je kumulatívny argument TRUE, funkcia NORMIST vráti funkciu kumulatívneho rozdelenia; ak je tento argument FALSE, vráti sa funkcia hustoty rozdelenia; v našom prípade = NEPRAVDA.

Keď už hovoríme o normálnom rozdelení, je potrebné spomenúť taký súvisiaci pojem, ako je štandardná odchýlka. Je zrejmé, že nie každý intuitívne chápe, čo to je, ale keďže štandardná odchýlka môže byť nahradená číslom vypočítaným z 90% intervalu spoľahlivosti (ktorého význam mnohí intuitívne chápu), nebudem sa tým zaoberať . Obrázok 1 ukazuje, že v jednom 90% intervale spoľahlivosti je 3,29 štandardných odchýlok, takže stačí urobiť transformáciu.

V našom prípade musíme v tabuľke vytvoriť generátor náhodných čísel pre každý rozsah hodnôt. Začnime napríklad MS – úspora na logistike. Použime vzorec Excel: =NORMINV(pravdepodobnosť, stredná hodnota, smerodajná odchýlka), kde
Pravdepodobnosť je pravdepodobnosť zodpovedajúca normálnemu rozdeleniu;
Priemer - aritmetický priemer rozdelenia;
Standard_dev je štandardná odchýlka distribúcie.

V našom prípade:
Priemer (medián) = (horná hranica 90 % CI + dolná hranica 90 % CI)/2;
Smerodajná odchýlka = (horná hranica 90 % CI - dolná hranica 90 % CI)/3,29.

Pre parameter MS je vzorec: =NORMINV(RAND();15;(20-10)/3,29), kde
RAND - funkcia, ktorá generuje náhodné čísla v rozsahu od 0 do 1;
15 – aritmetický priemer rozsahu MS;
(20-10)/3,29 = 3,04 - štandardná odchýlka; Dovoľte mi pripomenúť, že význam smerodajnej odchýlky je nasledovný: 90 % všetkých hodnôt náhodnej premennej (v našom prípade MS) spadá do intervalu 3,29 * Standard_dev, umiestneného symetricky voči priemeru

Rozdelenie úspor na údržbe pre 100 náhodných normálne rozdelených hodnôt:

Ryža. 2. Pravdepodobnosť distribúcie MS v rozsahu hodnôt; Informácie o tom, ako vytvoriť takúto distribúciu pomocou kontingenčnej tabuľky, nájdete v časti

Keďže sme použili „len“ 100 náhodných hodnôt, rozdelenie nie je také symetrické. Približne 90 % hodnôt však spadalo do rozsahu úspor 10 až 20 USD na MS (presne 91 %).

Zostavme tabuľku založenú na intervaloch spoľahlivosti parametrov MS, LS, RMS a PL (obr. 3). Posledné dva stĺpce zobrazujú výsledky výpočtov na základe údajov z iných stĺpcov. Stĺpec Celková úspora zobrazuje ročné úspory vypočítané pre každý riadok. Napríklad, ak by sa implementoval scenár 1, celkové úspory by boli (14,3 + 5,8 + 4,3) x 23 471 = 570 834 USD. naozaj to nepotrebuješ. Pridal som to len na informačné účely. Vytvorme 10 000 riadkov skriptu v Exceli.

Ryža. 3. Výpočet scenárov metódou Monte Carlo v Exceli

Na vyhodnotenie výsledkov môžete použiť napríklad kontingenčnú tabuľku, ktorá vám umožní spočítať počet scenárov v každom 100 000. rozsahu. Potom vytvoríte graf, ktorý zobrazuje výsledky výpočtu (obr. 4). Tento graf ukazuje, aký podiel z 10 000 scenárov bude mať ročné úspory v danom rozsahu hodnôt. Napríklad približne 3 % scenárov povedie k ročným úsporám viac ako 1 milión USD.

Ryža. 4. Rozdelenie celkových úspor podľa rozpätí hodnôt. Vodorovná osa ukazuje 100 000. rozsah úspor a zvislá osa ukazuje podiel scenárov spadajúcich do určeného rozsahu

Zo všetkých výsledných ročných úspor bude približne 15 % nižších ako 400 000 USD. To znamená, že pravdepodobnosť poškodenia je 15%. Toto číslo predstavuje zmysluplné hodnotenie rizika. Riziko sa však nie vždy zredukuje na možnosť negatívnej návratnosti investície. Hodnotením veľkosti veci zisťujeme jej výšku, hmotnosť, obvod atď. Podobne existuje niekoľko užitočných ukazovateľov rizika. Ďalšia analýza ukazuje, že existuje 4% šanca, že závod stratí 100 000 dolárov ročne namiesto toho, aby ušetril. Úplný nedostatok príjmu je však prakticky nemožný. To je to, čo sa myslí analýzou rizika – musíme byť schopní vypočítať pravdepodobnosti poškodenia rôznych mier. Ak skutočne meriate riziko, presne to by ste mali robiť.

V niektorých situáciách si môžete vybrať kratšiu trasu. Ak sú všetky rozdelenia hodnôt, s ktorými pracujeme, normálne a potrebujeme intervaly týchto hodnôt sčítať (napríklad intervaly nákladov a výnosov) alebo ich od seba odčítať, potom môžu byť simulácie Monte Carlo vynechané. Pokiaľ ide o sčítanie troch úspor z nášho príkladu, je potrebné urobiť jednoduchý výpočet. Ak chcete získať interval, ktorý hľadáte, použite šesť krokov uvedených nižšie:

1) odpočítať priemernú hodnotu každého intervalu hodnôt od jeho hornej hranice; pre úsporu údržby 20 - 15 = 5 USD, pre úsporu práce 5 USD a ušetriť na surovinách a materiáloch - 3 doláre;

2) druhá mocnina výsledkov prvého kroku 5 2 = 25 (dolárov) atď.;

3) spočítajte výsledky druhého kroku 25 + 25 + 9 = 59 (USD);

4) vezmite druhú odmocninu prijatej sumy: dostanete 7,7 dolárov;

5) spočítajte všetky priemery: 15 + 3 + 6 = 24 (USD);

6) pridajte výsledok kroku 4 k súčtu priemerov a získajte hornú hranicu rozsahu: 24 + 7,7 = 31,7 dolárov; odpočítajte výsledok kroku 4 od súčtu priemerov a získate dolný koniec rozsahu 24 - 7,7 = 16,3 dolárov.

90 % interval spoľahlivosti pre súčet troch 90 % intervalov spoľahlivosti pre každý typ úspor je teda 16,3 – 31,7 USD.

Použili sme nasledujúcu vlastnosť: rozsah celkového intervalu sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín rozsahov jednotlivých intervalov.

Niekedy sa niečo podobné robí sčítaním všetkých „optimistických“ hodnôt hornej hranice a „pesimistických“ hodnôt dolnej hranice intervalu. V tomto prípade by sme na základe našich troch 90 % intervalov spoľahlivosti dostali celkový interval 11 – 37 USD. Tento interval je o niečo širší ako 16,3–31,7 dolárov. Keď sa takéto výpočty robia pri zdôvodňovaní projektu s desiatkami premenných, rozšírenie intervalu sa stáva príliš veľa na to, aby sa ignorovalo. Ak vezmeme „najoptimistickejšie“ hodnoty pre hornú hranicu a „pesimistické“ pre spodnú hranicu, je to ako premýšľať: hodením niekoľkých kociek dostaneme vo všetkých prípadoch iba „1“ alebo iba „6“. V skutočnosti nejaká kombinácia nízkych a vysokých hodnôt vypadne. Prílišné predlžovanie intervalu je častou chybou, ktorá samozrejme často vedie k nerozumným rozhodnutiam. Jednoduchá metóda, ktorú som opísal, zároveň funguje skvele, keď máme niekoľko 90% intervalov spoľahlivosti, ktoré je potrebné sčítať.

Naším cieľom však nie je len sčítať intervaly, ale ich aj vynásobiť objemom výroby, ktorej hodnoty sú uvedené aj ako rozpätie. Metóda jednoduchého súčtu je vhodná len na odčítanie alebo sčítanie rozsahov hodnôt.

Simulácia Monte Carlo sa vyžaduje aj vtedy, keď nie sú všetky distribúcie normálne. Iné typy rozdelení síce predmetom tejto knihy nie sú, ale spomenieme dva z nich – rovnomerné a binárne (obr. 5, 6).

Ryža. 5. Jednotné rozdelenie (nie dokonalé, ale vytvorené pomocou funkcie RAND v Exceli)

Zvláštnosti:

• pravdepodobnosť všetkých hodnôt je rovnaká;
• rozdelenie je symetrické, bez skreslení; medián je presne v strede medzi hornou a dolnou hranicou intervalu;
• hodnoty mimo rozsahu nie sú možné.

Na vytvorenie tejto distribúcie v Exceli bol použitý nasledujúci vzorec: RAND()*(UB - LB) + LB, kde UB je horná hranica; LB - spodná hranica; nasleduje rozdelenie všetkých hodnôt do rozsahov pomocou kontingenčnej tabuľky.

Ryža. 6. Binárne rozdelenie (Bernoulliho rozdelenie)

Zvláštnosti:

• sú možné iba dve hodnoty;
• existuje jediná pravdepodobnosť jednej hodnoty (v tomto prípade 60%); pravdepodobnosť ďalšej hodnoty je jedna mínus pravdepodobnosť prvej hodnoty

Na vytvorenie náhodného rozdelenia tohto typu v Exceli sa použila funkcia: =IF(RAND()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Metódu prvýkrát použil matematik Stanislav Ulam (pozri).

Douglas Hubbard ďalej uvádza niekoľko programov určených pre simulácie Monte Carlo. Medzi nimi je Crystal Ball of Decisioneering, Inc, Denver, Colorado. Kniha v angličtine vyšla v roku 2007. Teraz tento program patrí spoločnosti Oracle. Demo verzia programu je k dispozícii na stiahnutie z webovej stránky spoločnosti. Budeme horieť o jeho schopnostiach.

Pozri 5. kapitolu spomínanej knihy od Douglasa Hubbarda

Douglas Hubbard tu chápe rozsah ako rozdiel medzi hornou hranicou 90% intervalu spoľahlivosti a priemernou hodnotou tohto intervalu (alebo medzi priemernou hodnotou a dolnou hranicou, keďže rozdelenie je symetrické). Obvykle sa rozsah chápe ako rozdiel medzi hornou a dolnou hranicou.

Prednáška 5

Metóda Monte Carlo

Téma 3. Procesy radenia v ekonomických systémoch

1. Úvodné poznámky. 1

2. Všeobecná schéma metódy Monte Carlo. 2

3. Príklad výpočtu systému radenia metódou Monte Carlo. 4

Bezpečnostné otázky.. 5

1. Úvodné poznámky

Metóda štatistického modelovania na počítači je hlavnou metódou na získanie výsledkov pomocou simulačných modelov stochastických systémov, pričom ako teoretický základ využíva limitné vety teórie pravdepodobnosti. Základom je štatistická testovacia metóda Monte Carlo.

Metódu Monte Carlo možno definovať ako metódu na modelovanie náhodných premenných s cieľom vypočítať charakteristiky ich rozdelenia. Vo všeobecnosti sa predpokladá, že simulácia sa vykonáva pomocou elektronických počítačov (ECM), hoci v niektorých prípadoch môže byť úspešná s použitím zariadení, ako sú páska, ceruzka a papier.

Termín „metóda Monte Carlo“ (navrhnutý J. Von Neumannom a v 40. rokoch 20. storočia) označuje simuláciu procesov pomocou generátora náhodných čísel. Termín Monte Carlo (bežne známy svojimi kasínami) pochádza zo skutočnosti, že „počet šancí“ (simulačné metódy Monte Carlo) sa použil na nájdenie integrálov zložitých rovníc pri vývoji prvých jadrových bômb (integrály kvantovej mechaniky). Generovaním veľkých vzoriek náhodných čísel napríklad z niekoľkých rozdelení možno integrály týchto (komplexných) rozdelení aproximovať z (vygenerovaných) údajov.

Vznik myšlienky využitia náhodných javov v oblasti približných výpočtov sa zvyčajne pripisuje roku 1878, keď sa Hallova práca objavila na určovaní čísel p pomocou náhodných hodov ihly na papier ohraničený rovnobežnými čiarami. Podstatou veci je experimentálne reprodukovať udalosť, ktorej pravdepodobnosť je vyjadrená číslom p, a túto pravdepodobnosť približne odhadnúť.

Domáce práce na metóde Monte Carlo sa objavili v rokoch. Počas dvoch desaťročí sa nahromadila rozsiahla bibliografia Monte Carlo, ktorá zahŕňa viac ako 2000 titulov. Zároveň aj zbežný prehľad názvov príspevkov umožňuje konštatovať, že metóda Monte Carlo je použiteľná na riešenie aplikovaných problémov z veľkého množstva oblastí vedy a techniky.

Spočiatku sa metóda Monte Carlo používala najmä na riešenie problémov neutrónovej fyziky, kde sa tradičné numerické metódy ukázali ako málo použiteľné. Ďalej sa jeho vplyv rozšíril na širokú triedu problémov štatistickej fyziky, veľmi odlišných v ich obsahu. Medzi oblasti vedy, kde sa metóda Monte Carlo stále viac využíva, patria problémy v teórii radenia, problémy v teórii hier a matematickej ekonómii, problémy v teórii prenosu správ v prítomnosti rušenia a množstvo ďalších.

Metóda Monte Carlo mala a má významný vplyv na rozvoj metódy výpočtovej matematiky (napríklad vývoj metód numerickej integrácie) a pri riešení mnohých problémov sa úspešne kombinuje s inými výpočtovými metódami a dopĺňa ich. Jeho použitie je opodstatnené predovšetkým v tých problémoch, ktoré umožňujú pravdepodobnostný popis. Vysvetľuje sa to jednak prirodzenosťou získania odpovede s určitou danou pravdepodobnosťou pri problémoch s pravdepodobným obsahom, jednak výrazným zjednodušením postupu riešenia. Obtiažnosť riešenia tohto alebo toho problému na počítači bude do značnej miery určená obtiažnosťou jeho prekladu do "jazyka" stroja. Vytvorenie automatických programovacích jazykov výrazne zjednodušilo jednu z etáp tejto práce. Najťažšie etapy sú preto v súčasnosti: matematický popis skúmaného javu, nevyhnutné zjednodušenia problému, výber vhodnej numerickej metódy, štúdium jej chyby a záznam algoritmu. V tých prípadoch, kde existuje pravdepodobnostný popis problému, môže použitie metódy Monte Carlo výrazne zjednodušiť spomínané medzikroky. Ako však vyplynie z nasledujúceho, v mnohých prípadoch je užitočné aj pre striktne deterministické problémy zostaviť pravdepodobnostný model (randomizovať pôvodný problém), aby bolo možné ďalej použiť metódu Monte Carlo.

2. Všeobecná schéma metódy Monte Carlo

Predpokladajme, že potrebujeme vypočítať nejakú neznámu hodnotu m a chceme to urobiť tak, že vezmeme do úvahy náhodnú premennú takú, že jej matematické očakávanie M, = m. Nech je rozptyl tejto náhodnej premennej D = b.

Uvažujme N náhodných nezávislých premenných,,…, ktorých rozdelenia sa zhodujú s rozdelením uvažovanej náhodnej premennej ξ..gif" width="247" height="48">

Posledný vzťah možno prepísať ako

Výsledný vzorec dáva metódu na výpočet m a odhad chyby tejto metódy.

Podstatou aplikácie metódy Monte Carlo je určenie výsledkov na základe štatistických údajov získaných do doby prijatia určitého rozhodnutia.

Napríklad. Nech E1 a E2 sú jediné dve možné realizácie nejakého náhodného procesu, kde p1 je pravdepodobnosť výsledku E1 a p2 = 1 – p1 je pravdepodobnosť výsledku E2. Aby sme určili, ktorý z týchto dvoch javov, e1 alebo E2, nastáva v tomto prípade, vezmeme náhodné číslo u v intervale medzi 0 a 1, rovnomerne rozložené v intervale (0, 1), a vykonáme test. Výsledok E1 sa uskutoční, ak , a výsledok E2 - inak.

Spoľahlivosť výsledkov získaných pomocou metódy Monte Carlo je teda rozhodujúcim spôsobom určená kvalitou generátora náhodných čísel.

Na získanie náhodných čísel na počítači sa používajú metódy generovania, ktoré sú zvyčajne založené na viacnásobnom opakovaní nejakej operácie. Takto získaná postupnosť je vhodnejšia pre názov pseudonáhodných čísel, pretože vygenerovaná postupnosť je periodická a od určitého momentu sa čísla začnú opakovať. Vyplýva to z toho, že do počítačového kódu možno zapísať len konečný počet rôznych čísel. Preto sa nakoniec jedno z vygenerovaných čísel γ1 zhoduje s jedným z predchádzajúcich členov sekvencie γL. A keďže generovanie sa vykonáva podľa vzorca formulára

γk+1 = F(γk),

od tohto bodu sa budú zvyšné členy sekvencie opakovať.

Použitie rovnomerne rozdelených náhodných čísel tvorí základ simulácií Monte Carlo. Môžeme povedať, že ak bola nejaká náhodná premenná určená pomocou metódy Monte Carlo, potom sa na jej výpočet použila postupnosť rovnomerne rozdelených náhodných čísel.

Rovnomerne rozdelené náhodné čísla sú v rozsahu od 0 do 1 a vyberajú sa náhodne v súlade s distribučnou funkciou

F(x) = Pr(X< х} = х, .

Pri tomto rozdelení je výskyt akýchkoľvek hodnôt náhodnej premennej v intervale (0, 1) rovnako pravdepodobný. Tu Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Hlavnou metódou na získanie náhodných čísel je ich modulo generovanie. Nech m, a, c, x0 sú celé čísla také, že m > x0 a a, c, x0 > 0. Pseudonáhodné číslo хi z postupnosti (хi) získame pomocou rekurencie.

xi = a xi-1 + c (mod m).

Stochastické charakteristiky generovaných čísel v rozhodujúcej miere závisia od výberu m, a a c. Ich zlý výber vedie k chybným výsledkom v simuláciách Monte Carlo.

Numerické simulácie často vyžadujú veľký počet náhodných čísel. Preto perióda postupnosti generovaných náhodných čísel, po ktorej sa sekvencia začne opakovať, musí byť dostatočne veľká. Musí byť výrazne väčší ako počet náhodných čísel potrebných na modelovanie, inak budú výsledky skreslené.

Väčšina počítačov a programov shell obsahuje generátor náhodných čísel. Väčšina štatistických testov však ukazuje koreláciu medzi výslednými náhodnými číslami.

Existuje rýchly test, pomocou ktorého musíte skontrolovať každý generátor. Kvalitu generátora náhodných čísel možno preukázať vyplnením úplne d-rozmernej mriežky (napríklad dvoj- alebo trojrozmernej). Dobrý generátor by mal vyplniť celý priestor hyperkocky.

Ďalším približným spôsobom kontroly rovnomernosti rozdelenia N náhodných čísel xi je výpočet ich matematického očakávania a rozptylu. Podľa tohto kritéria pre rovnomerné rozdelenie musia byť splnené podmienky

Existuje mnoho štatistických kritérií, ktoré možno použiť na testovanie, či bude sekvencia náhodná. Spektrálne kritérium sa považuje za najpresnejšie. Napríklad veľmi časté kritérium nazývané KS-kritérium alebo Kolmogorov-Smirnovovo kritérium. Test ukazuje, že napríklad generátor náhodných čísel v excelovských tabuľkách toto kritérium nespĺňa.

V praxi je hlavným problémom postaviť jednoduchý a spoľahlivý generátor náhodných čísel, ktorý môžete použiť vo svojich programoch. Na tento účel sa odporúča nasledujúci postup.

Na začiatku programu je celočíselnej premennej X priradená nejaká hodnota X0. Potom sa vygenerujú náhodné čísla podľa pravidla

X = (aX + c) mod m. (1)

Výber parametrov by sa mal vykonávať podľa nasledujúcich základných princípov.

1. Počiatočné číslo X0 je možné zvoliť ľubovoľne. Ak sa program použije viackrát a zakaždým sa vyžaduje iný zdroj náhodných čísel, môžete napríklad priradiť X0 k hodnote X získanej naposledy pri predchádzajúcom spustení.

2. Číslo m musí byť veľké, napríklad 230 (pretože práve toto číslo určuje periódu vygenerovanej pseudonáhodnej postupnosti).

3. Ak m je mocnina dvoch, zvoľte a tak, že a mod8 = 5. Ak m je mocnina desať, zvoľte a tak, že a mod10 = 21. Táto voľba zaisťuje, že generátor náhodných čísel vygeneruje všetkých m možných hodnôt skôr, než sa začnú opakovať.

4. Násobiteľ A uprednostňuje sa výber medzi 0,01 ma 0,99 ma jeho binárne alebo desiatkové číslice by nemali mať jednoduchú pravidelnú štruktúru. Násobiteľ musí spĺňať spektrálne kritérium a pokiaľ možno ešte niekoľko ďalších kritérií.

5.Ak a je dobrý faktor, hodnota c nie je významná, okrem toho, že c nesmie mať spoločný faktor s m, ak m je veľkosť počítačového slova. Môžete napríklad zvoliť c = 1 alebo c = a.

6. Môžete vygenerovať maximálne m/1000 náhodných čísel. Potom sa musí použiť nová schéma, napríklad nový multiplikátor A.

Uvedené pravidlá sa týkajú najmä programovania strojového jazyka. Pre vysokoúrovňový programovací jazyk, ako je C++, sa často používa iná možnosť (1): zvolí sa prvočíslo m, ktoré je blízke najväčšiemu ľahko vypočítateľnému celému číslu, predpokladá sa, že hodnota a sa rovná primitívnemu koreňu. m a c sa berie ako nula. Napríklad si môžete vziať a= 48271 a t =

3. Príklad výpočtu systému radenia metódou Monte Carlo

Uvažujme o najjednoduchšom systéme radenia (QS), ktorý pozostáva z n liniek (inak nazývaných kanály alebo servisné body). V náhodných časoch sú do systému prijímané požiadavky. Každá požiadavka prichádza na linku č. 1. Ak je táto linka v momente prijatia Tk voľná, požiadavka je obsluhovaná v čase t3 (čas obsadenosti linky). Ak je linka obsadená, aplikácia sa okamžite prenesie na linku č. 2 atď. Ak je momentálne všetkých n liniek obsadených, systém vydá odmietnutie.

Prirodzenou úlohou je určiť charakteristiky daného systému, podľa ktorých možno posúdiť jeho efektívnosť: priemerný čas čakania na obsluhu, podiel výpadkov systému, priemernú dĺžku frontu atď.

Pre takéto systémy je metóda Monte Carlo prakticky jedinou metódou výpočtu.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Algoritmy sa používajú na získanie náhodných čísel v počítači, preto sa takéto postupnosti, ktoré sú v podstate deterministické, nazývajú pseudonáhodné. Počítač pracuje s n-bitovými číslami, preto namiesto súvislej množiny jednotných náhodných čísel intervalu (0,1) sa na počítači používa diskrétna postupnosť 2n náhodných čísel rovnakého intervalu - distribučný zákon takáto diskrétna postupnosť sa nazýva kvázi rovnomerné rozdelenie.

Požiadavky na ideálny generátor náhodných čísel:

1. Postupnosť musí pozostávať z kvázi rovnomerne rozdelených čísel.

2. Čísla musia byť nezávislé.

3. Náhodné postupnosti čísel musia byť reprodukovateľné.

4. Postupnosti musia mať neopakujúce sa čísla.

5. Sekvencie by sa mali získavať s minimálnymi výpočtovými zdrojmi.

Algoritmy formulára:

čo sú opakujúce sa vzťahy prvého rádu.

Napríklad. x0 = 0,2152, (x0)2=0, x1 = 0,6311, (x1)2=0, x2=0,8287 atď.

Nevýhodou takýchto metód je prítomnosť korelácie medzi číslami sekvencie a niekedy neexistuje žiadna náhodnosť, napríklad:

x0 = 0,4500, (x0)2=0, x1 = 0,2500, (x1)2=0, x2=0,2500 atď.

Kongruentné postupy na generovanie pseudonáhodných sekvencií sa široko používajú.

Dve celé čísla a a b sú zhodné modulo m, kde m je celé číslo, práve vtedy, ak existuje celé číslo k také, že a-b=km.

1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).

Väčšina procedúr generovania kongruentných náhodných čísel je založená na nasledujúcom vzorci:

kde sú nezáporné celé čísla.

Vzhľadom na celé čísla postupnosti (Xi) je možné zostaviť postupnosť (xi)=(Xi/M) racionálnych čísel z intervalu jednotiek (0,1).

Aplikované generátory náhodných čísel pred modelovaním musia prejsť dôkladným predbežným testovaním uniformity, stochasticity a nezávislosti výsledných sekvencií náhodných čísel.

Metódy na zlepšenie kvality postupností náhodných čísel:

1. Použitie opakujúcich sa vzorcov rádu r:

Ale použitie tejto metódy vedie k zvýšeniu nákladov na výpočtové zdroje na získanie čísel.

2. Metóda poruchy:

.

5. Modelovanie náhodných efektov na systémy

1. Je potrebné realizovať náhodný jav A, ktorý nastane s danou pravdepodobnosťou p. A definujeme ako dej spočívajúci v tom, že zvolená hodnota xi náhodnej premennej rovnomerne rozloženej na intervale (0,1) spĺňa nerovnosť:

Potom bude pravdepodobnosť udalosti A https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">,

Postup simulácie testu v tomto prípade spočíva v postupnom porovnávaní náhodných čísel xi s hodnotami lr. Ak je podmienka splnená, výsledkom súdneho konania je udalosť Am.

3. Zvážte nezávislé udalosti A a B s pravdepodobnosťami pA a pB. Možnými výstupmi spoločných pokusov v tomto prípade budú udalosti AB, s pravdepodobnosťami pApB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB). Na simuláciu kĺbových testov možno použiť dva varianty postupu:

Dôsledné vykonávanie postupu uvedeného v odseku 1.

Určenie jedného z výsledkov AB žrebom so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami, t. j. postupom uvedeným v odseku 2.

Prvá možnosť bude vyžadovať dve čísla xi a dve porovnania. Pri druhej možnosti si vystačíte s jedným číslom xi, ale môže byť potrebných viac porovnaní. Z hľadiska pohodlnosti konštrukcie modelovacieho algoritmu a šetrenia počtu operácií a pamäte počítača je výhodnejšia prvá možnosť.

4. Udalosti A a B sú závislé a vyskytujú sa s pravdepodobnosťou pA a pB. Označte pA(B) podmienenú pravdepodobnosť výskytu udalosti B za predpokladu, že udalosť A nastala.

Kontrolné otázky

1) Ako možno definovať metódu Monte Carlo?

2) Praktický význam metódy Monte Carlo.

3) Všeobecná schéma metódy Monte Carlo.

4) Príklad výpočtu systému radenia metódou Monte Carlo.

5) Spôsoby generovania náhodných čísel.

6) Aké sú požiadavky na ideálny generátor náhodných čísel?

7) Metódy na zlepšenie kvality postupností náhodných čísel.

Ďalšou metódou hodnotenia alebo analýzy citlivosti na základe počítačovej simulácie je metóda Monte Carlo, ktorá sa chápe ako určitá metóda riešenia určitej triedy ekonomických alebo matematických problémov, v ktorých sa modelujú určité parametre, v našom prípade rizikové faktory. forma náhodných premenných. Táto metóda je založená na počítačovej simulácii distribúcií týchto náhodných premenných a vytváraní zodpovedajúcich odhadov projektov na základe týchto distribúcií. Ide o simulačnú metódu pre analýzu stability, ktorá historicky dostala svoj názov podľa názvu mesta, v ktorom sa nachádzajú známe herne a kasína. Termín „simulácia Monte Carlo“ navrhli americkí vedci S. Ulam a J. von Neumann v procese práce v rámci slávneho projektu Manhattan. Prvý článok o tejto problematike bol napísaný v roku 1949.

Metóda Monte Carlo je na jednej strane určitou modifikáciou analýzy diskrétnej citlivosti diskutovanej vyššie, keďže hovoríme o hodnotení vplyvu zmien parametrov peňažných tokov na čistú súčasnú hodnotu a ďalšie kritériá hodnotenia investičných projektov. Na druhej strane, hlavný rozdiel od diskrétnej metódy spočíva v tom, že v procese aplikácie metódy Monte Carlo dochádza k určitému rozdeleniu hodnôt čistej súčasnej hodnoty projektu, vnútornej úrokovej miery, výnosového indexu a tvoria sa ďalšie ukazovatele, ktoré sa určujú v závislosti od simulovaných náhodných rozdelení vybraných rizikových faktorov. To umožňuje získať určité odhady tohto rozdelenia vo forme rozptylu, smerodajnej odchýlky alebo variačného koeficientu pre čistú súčasnú hodnotu alebo iný výsledný ukazovateľ, ktorého analýza umožňuje vyvodiť závery o udržateľnosti budúcich podmienok projektu. možnosti dosiahnutia priaznivých alebo nepriaznivých výsledkov. Uvažovaná metóda je založená na počítačovej simulácii náhodných rozdelení vybraných parametrov peňažných tokov - rizikových faktorov, na základe ktorých sa tvorí rozdelenie ukazovateľov na hodnotenie posudzovaného projektu.

Pri výpočtoch metódou Monte Carlo sa predpokladá, že sú známe hodnoty všetkých parametrov, ktoré určujú hodnotu jednotlivých zložiek cash flow investičného projektu. Pre tie parametre, ktoré sa považujú za rizikové faktory, sa pri modelovaní náhodného rozloženia tohto faktora na počítači berie počiatočná hodnota podľa očakávania.

Organizačne možno metódu Monte Carlo ako metódu simulačného počítačového modelovania opísať nasledovným sledom hlavných etáp.

Stanovenie hlavných ukazovateľov pre hodnotenie investičného projektu voči ktorým sa bude merať vplyv rizikových faktorov. Takéto ukazovatele môžu zahŕňať: čistú súčasnú hodnotu projektu, internú úrokovú mieru, výnosový index, dobu návratnosti alebo iné na žiadosť investora, ktorý má v úmysle daný projekt realizovať.

Výber parametrov , považované za rizikové faktory , ktoré budú modelované ako náhodné premenné. Pre ich numerickú implementáciu má realizovať počítačové simulácie založené na generátoroch pseudonáhodných čísel zabudovaných v balíku Microsoft Excel na základe vopred zvoleného distribučného formulára. Pre analýzu sú vyčlenené tie zložky cash flow, ktoré majú podľa názoru investora, manažéra alebo odborníka v príslušnej oblasti najsilnejší vplyv na zmenu zvoleného ukazovateľa projektu, t. sú najvýznamnejšie rizikové faktory. V zásade je možné všetky parametre všetkých zložiek peňažného toku považovať za náhodné, s tým sú však spojené tri problémy. Po prvé, zvýšenie počtu vybraných náhodných parametrov môže viesť k protichodným výsledkom v dôsledku korelácie uvažovaných implementácií náhodných premenných; po druhé, analýza získaných výsledkov a zdôvodnenie vplyvu jednotlivých faktorov môže vyžadovať viac času; po tretie, nezistí sa, ktoré faktory ovplyvnili výsledky.

Voľba formy rozdelenia náhodných veličín , na základe ktorej sa uskutoční počítačová simulácia ich numerickej realizácie. Vykonáva sa na základe niektorých predstáv o rozdelení uvažovaných ukazovateľov. Medzi takéto rozdelenia možno zaznamenať: normálne, lognormálne (častejšie používané pri modelovaní parametrov finančných trhov), trojuholníkové, rovnomerné atď. Normálne, trojuholníkové a rovnomerné rozdelenia sú symetrické a ich použitie je založené na predpoklade symetrického rozloženie budúcich výsledkov, aj keď s rôznou hustotou plnenia. Lognormálne rozdelenie nie je symetrické a jeho aplikácia sa opiera o predpoklad, že väčšina hodnôt náhodnej premennej je posunutá v určitom smere vzhľadom na očakávanú hodnotu.

V tejto knihe sa pri vykonávaní experimentálnych výpočtov metódou Monte Carlo pri modelovaní náhodných premenných – vybraných parametrov peňažných tokov – používa normálne rozdelenie.

Simulačné modelovanie náhodných veličín - vybrané parametre cash flow. Na simuláciu numerickej implementácie zodpovedajúcej náhodnej premennej sa vo voľbe „Analýza údajov“ v ponuke „Nástroje“ balíka Microsoft Excel používa vstavaný generátor pseudonáhodných čísel. V tomto prípade musí byť vopred určená očakávaná hodnota uvažovaného parametra a jeho smerodajná odchýlka, ako aj počet numerických realizácií náhodných veličín, ktoré by sa mali získať počas jedného cyklu simulačných výpočtov. Na takéto výpočty možno použiť aj špeciálne softvérové ​​balíky.

Ak sa simuluje niekoľko náhodných hodnôt súčasne, potom je potrebné skontrolovať absenciu korelácie medzi každým párom ich číselných implementácií. Možnosti použitia kritérií na testovanie štatistických hypotéz budú vysvetlené nižšie.

S prihliadnutím na každú prijatú implementáciu posudzovanej náhodnej premennej, ako aj parametre peňažných tokov, o ktorých sa predpokladá, že sú fixné, sa pre každú prijatú implementáciu špecifikovaných náhodných premenných vykonajú výpočty peňažných tokov. Počet peňažných tokov sa zhoduje so zvoleným počtom realizácií týchto hodnôt. Na základe týchto peňažných tokov sa v každom cykle simulačných výpočtov vytvára rozdelenie čistej súčasnej hodnoty projektu alebo iných odhadovaných ukazovateľov posudzovaného projektu.

Stanovenie distribučných charakteristík čistej súčasnej hodnoty projektu , získané ako výsledok jedného cyklu simulačných výpočtov, vrátane očakávanej hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu, rozptylu a smerodajnej odchýlky a ďalších ukazovateľov výsledného rozdelenia tohto ukazovateľa. Patria sem najväčšie a najmenšie hodnoty čistej súčasnej hodnoty, variačný koeficient ako doplnková charakteristika rozdelenia, pravdepodobnosť realizácie zápornej hodnoty čistej súčasnej hodnoty, t.j. nepriaznivý výsledok realizácie projektu pre investora. V druhom prípade je špecifikovaná pravdepodobnosť definovaná ako pomer počtu záporných hodnôt čistej súčasnej hodnoty vo výslednom rozdelení k celkovému počtu experimentov vykonaných v rámci jedného simulačného cyklu:

Kde k- počet negatívnych hodnôt čistej súčasnej hodnoty vo vzorke získanej počas simulácie; T - počet vykonaných simulačných experimentov. Takéto hodnotenie pravdepodobnosti nepriaznivých výsledkov je založené na predpoklade, že pravdepodobnosť každého výsledku v procese jedného simulačného cyklu je rovnaká a je p = 1 /T. Podobné výpočty možno vykonať pre vnútornú úrokovú mieru, výnosový index, dobu návratnosti.

Pri vykonávaní výpočtov môžete využiť vstavané štatistické funkcie balíka Microsoft Excel (tabuľka 5.12), ktoré sú nastavené na distribúcii NPV alebo pomocou iného vypočítaného ukazovateľa získaného ako výsledok jedného cyklu simulačných výpočtov.

Tabuľka 5.12

Použité vstavané funkcie balíka Microsoft Excel

Postupné viacnásobné opakovanie cyklov simulačných výpočtov , vykonávané v etapách 4 a 5, zahŕňajúce postupné vytváranie rozdelenia hodnôt čistej súčasnej hodnoty, ako aj zodpovedajúcich súborov hodnôt odhadovaných ukazovateľov prezentovaných v etape 5.

Na kontrolu stability získaných charakteristík rozdelenia čistej súčasnej hodnoty a zlepšenie kvality platnosti záverov by sa malo vykonať niekoľko stoviek alebo tisíc cyklov iteračných výpočtov v režime simulácie.

Analýza hlavných výsledkov. Výsledky aplikácie metódy Monte Carlo na analýzu a hodnotenie udržateľnosti projektu na identifikované rizikové faktory možno prezentovať v dvoch formách. V prvom rade môžeme hovoriť o analýze kvantitatívnych hodnôt ukazovateľov získaných ako výsledok simulačných výpočtov, ktoré charakterizujú parametre získaného rozdelenia čistej súčasnej hodnoty projektu alebo iných odhadovaných ukazovateľov. Tieto ukazovatele zahŕňajú: očakávanú hodnotu čistej súčasnej hodnoty; rozptyl, smerodajná odchýlka a variačný koeficient ako miery rizika; najväčšie a najmenšie hodnoty čistej súčasnej hodnoty výslednej vzorky; pravdepodobnosť získania zápornej čistej súčasnej hodnoty projektu. V procese opakovaného opakovania cyklu simulačných výpočtov je možné skonštruovať priemernú hodnotu pre danú vzorku pre každý špecifikovaný ukazovateľ, pričom ich považujeme za určité očakávané charakteristiky vplyvu rizikových faktorov na podmienky implementácie a daný investičný projekt.

Analýza rozloženia hodnôt týchto ukazovateľov, získaných v dôsledku dostatočne veľkého počtu iterácií, nám umožňuje vyvodiť určité závery o relatívnej stabilite čistej súčasnej hodnoty projektu, očakávanej hodnote a štandarde. odchýlka výsledného rozdelenia NPV, pravdepodobnosť získania zápornej hodnoty NPV projektu za predpokladu, že sa vybrané náhodné veličiny menia v súlade so zvolenou formou ich rozdelenia. Túto stabilitu je možné posúdiť vizuálne zostavením grafov vzorových hodnôt uvedených ukazovateľov alebo použitím príslušných štatistických odhadov určených na základe získanej vzorky príslušného ukazovateľa. Podobnú analýzu možno vykonať, ak sa použijú iné kritériá hodnotenia projektu.

Ryža. 5.4.

Inou formou výsledku počítačovej simulácie alebo Monte Carlo štúdií môžu byť rôzne grafy. Hovoríme o frekvenčných histogramoch hodnôt čistej súčasnej hodnoty, ktoré sa tvoria v závislosti od frekvencie výskytu simulovaných hodnôt čistej súčasnej hodnoty vo vybraných intervaloch alebo skupinách jej hodnôt, ako aj o grafoch rozdelenia pravdepodobnosti zápornej čistej súčasnej hodnoty. hodnotu alebo iné odhadované ukazovatele.

Všeobecná postupnosť výpočtov metódou Monte Carlo je znázornená na obr. 5.4. Zodpovedajúce výpočty je možné vykonávať iba na počítači pomocou vstavaných možností balíka Microsoft Excel alebo iných aplikačných softvérových balíkov.

Ukážme si možnosti implementácie metódy Monte Carlo a vlastnosti analýzy získaných výsledkov na nasledujúcom podmienenom príklade. Všetky počiatočné údaje o posudzovanom projekte sú uvedené v tabuľke. 5.13.

Tabuľka 5.13

Počiatočné údaje pre projekt

Index
Faktor využitia kapacity, %
Očakávaná predajná cena, rub.
Smerodajná odchýlka predajnej ceny, rub.
Investície, rub.
Fixné náklady, rub/rok
Podmienečne variabilné náklady, rub/sd. Herodes.
Smerodajná odchýlka podmienene variabilných nákladov

Vyberáme parametre a tvoríme počiatočný cash flow tohto investičného projektu. Zložky peňažného toku sa vypočítajú pomocou vzorcov

Kde k t - faktor ročného využitia kapacity t, Mt - výrobná kapacita podniku za rok t, p t - ceny produktov počas obdobia t; hf- podmienečne variabilných výdavkov za rok t; Hf- polofixné výdavky v období t,t= 1, 2,..., T; T - obdobie realizácie projektu.

Výsledky výpočtu počiatočného cash flow podľa vzorcov (5.10) sú uvedené v tabuľke. 5.14.

V tomto príklade sa uvažuje o počítačovej simulácii dvoch rizikových faktorov: ceny produktov v druhom roku a podmienene variabilných nákladov v treťom roku. Simulačné modelovanie sa uskutočňuje na základe predpokladu normálneho rozdelenia oboch faktorov.

Tabuľka 5.14

Parametre a cash flow investičného projektu

	Investície		faktor využitia kapacity, %	Maximálny výkon, jednotky vyd.	Očakáva sa pealnzanmn.		trvalé	Podmienečne variabilné náklady, rub/jednotka Herodes.	Peňažné
			-

Za cenu druhého roka sa ako očakávaná alebo priemerná hodnota vyberie 30 rubľov. (pozri tabuľku 5.13) a predpokladá sa, že smerodajná odchýlka je 2. V prípade podmienene variabilných výdavkov tretieho roka je očakávaná hodnota 16 rubľov. (pozri tabuľku 5.13) a smerodajná odchýlka bola zvolená rovná 1. Odhad smerodajnej odchýlky možno získať na základe predstáv o možných intervaloch fluktuácie príslušného ukazovateľa. Takže, ak je očakávané kolísanie predajnej ceny v druhom roku 6 rubľov. v oboch smeroch od očakávanej hodnoty, potom, vzhľadom na to, že v podmienkach normálneho rozdelenia je takmer celý interval ± 3a, približný odhad smerodajnej odchýlky je v tomto prípade 6/3 = 2 ruble. Ostatné hodnoty štandardnej odchýlky uvedené v tabuľke 1 možno získať podobne. 5.13.

Pri počítačovej simulácii náhodnej implementácie oboch vybraných ukazovateľov boli využité vstavané možnosti balíka Microsoft Excel na generovanie pseudonáhodných premenných na základe normálneho rozdelenia. Každý cyklus simulácie zahŕňal 100 iterácií. Výsledky jedného cyklu výpočtov oboch náhodných veličín sú uvedené v tabuľke. 5.15.

Pred vykonaním ďalších výpočtov je potrebné otestovať hypotézu neexistencie korelácie medzi oboma náhodnými veličinami, ktorých distribúcie sú uvedené v tabuľke. 5.15. Na tento účel pomocou vstavanej funkcie "CORREL" balíka Microsoft Excel vypočítame vzorový koeficient párovej korelácie, ktorého hodnota bude ph = -0,10906, t.j. takmer nulová. Formálne otestovať hypotézu

Tabuľka 5.15

Imitácia rozdelenia náhodných veličín, rub.

I číslo iterácie	Cena druhého roku, rub.	Podmienečne variabilné výdavky tretieho roka, rub/jednotka prod.
	Priemerná hodnota - 30	Priemer -16
	Smerodajná odchýlka - 2	Smerodajná odchýlka - 1

o neexistencii korelácie medzi uvažovanými náhodnými premennými je potrebné vytvoriť štatistiku

Kde P - veľkosť vzorky, t.j. počet iterácií v jednom cykle simulačných výpočtov a porovnať ho so štatistikou t a (n - 2) so študentskou distribúciou sp - 2 stupne voľnosti a úrovne spoľahlivosti a. Vzhľadom na zadanú hodnotu výberového korelačného koeficientu a veľkosť vzorky P = 100, v tomto prípade dostaneme:

čo je menej ako zodpovedajúca tabuľková hodnota kvintilu Studentovho rozdelenia s 98 stupňami voľnosti a hladinou spoľahlivosti 0,95, čo je 1,984. To nám umožňuje prijať hypotézu H() s pravdepodobnosťou chyby I. typu 0,05.

Pomocou získaných číselných implementácií ceny druhého roka a podmienene variabilných nákladov tretieho roka (pozri tabuľku 5.15), ako aj špecifikovaných hodnôt zostávajúcich parametrov peňažného toku (pozri tabuľku 5.14), peňažné toky investičného projektu sa tvoria zodpovedajúce získaným cenovým hodnotám pre každú iteráciu. Výpočty sa robia podľa vzorcov (5.10). Celkovo sa vygenerovalo 100 peňažných tokov. Výsledky výpočtu sú uvedené v tabuľke. 5.16.

Tabuľka 5.16

iterácií

Pomocou získaných hodnôt peňažných tokov vypočítame čistú súčasnú hodnotu projektu pomocou vzorca

Použila sa odhadovaná úroková sadzba 12 %. Tieto výpočty sa robia v programe Microsoft Excel pomocou vstavanej finančnej funkcie NPV, ktorá sa používa na výpočet čistých súčasných hodnôt. Výsledky výpočtu sú uvedené v tabuľke. 5.17.

Tabuľka 5.17

Možnosti peňažného toku posudzovaného projektu v rámci jedného cyklu simulačných výpočtov, rub.

Iteračné číslo	čistá súčasná hodnota	Iteračné číslo	čistá súčasná hodnota

Pomocou získaného rozdelenia hodnôt čistej súčasnej hodnoty projektu je možné určiť hlavné charakteristiky, ktoré odrážajú mieru vplyvu rizikových faktorov na čistú súčasnú hodnotu tohto projektu. Zostavme frekvenčný histogram hodnôt čistej súčasnej hodnoty. Aby sme to dosiahli, rozdelíme všetky hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu získanej pri 100 iteráciách do skupín nasledovne. Do prvej skupiny zahrnieme tie hodnoty čistej súčasnej hodnoty, ktoré nepresahujú -20 000 rubľov, a potom v prírastkoch 10 000 rubľov. vytvoríme ďalších sedem skupín čistých súčasných hodnôt, od 2. do 8., a do poslednej skupiny zahrnieme tie hodnoty čistej súčasnej hodnoty, ktoré presahujú 50 000 rubľov, a určíme počet hodnôt čistá súčasná hodnota, ktorá spadala do každej vybranej skupiny (tabuľka 5.18).

Rozdelenie získaných hodnôt čistej súčasnej hodnoty podľa skupín, ktoré sú uvedené v tabuľke. 5.18 je možné znázorniť na nasledujúcom frekvenčnom histograme (obr. 5.5). Tento histogram ukazuje, že najväčší počet prijatých hodnôt NPV sa nachádza v rozmedzí od -10 000 do 30 000. Poskytuje tiež určitú predstavu o možných záporných hodnotách čistej súčasnej hodnoty, ktoré v tomto príklade spadali do 1., 2. a 3. skupiny. Zároveň väčšina

Tabuľka 5.18

Zoskupenie odhadovaných čistých súčasných hodnôt

Ryža. 55.

vypočítané hodnoty NPV sa nachádza v oblasti kladných hodnôt. Konkrétne hodnoty frekvencií zásahov v každom intervale závisia od získanej distribúcie vybraných náhodných premenných, v našom príklade predajných cien druhého roka a podmienene variabilných nákladov tretieho, ktoré sa považujú za rizikové faktory. Získaný výsledok v podstate závisí od predpokladu normálneho rozdelenia vyššie uvedených faktorov.

Metóda Monte Carlo umožňuje analyzovať vplyv rizikových faktorov – vybraných parametrov projektu – na študované ukazovatele jeho hodnotenia. V našom príklade sa za takýto ukazovateľ považuje čistá súčasná hodnota. Výsledky výpočtov šiestich ukazovateľov charakterizujúcich rozdelenia NPV, konštruované postupne na každom z vykonaných 10 cyklov simulačných výpočtov sú uvedené v tabuľke. 5.19.

Všetky sa vykonávajú za rovnakého predpokladu normálneho rozdelenia uvažovaných náhodných premenných a zachovania ich charakteristík - strednej alebo očakávanej hodnoty a smerodajnej odchýlky. Ako rizikové faktory v procese experimentálnych výpočtov uskutočnených v tomto príklade boli zvolené ceny druhého roku a podmienene variabilné náklady tretieho roku; pre každý z týchto faktorov zostali distribučné parametre rovnaké vo všetkých 10 cykloch simulačných výpočtov. V zásade je možné vykonávať simulačné výpočty podľa metódy Monte Carlo s premenlivou smerodajnou odchýlkou. V tomto prípade je ťažšie analyzovať stabilitu získaných výsledkov.

Pozrime sa podrobnejšie na výsledky výpočtov, ktoré sú uvedené v tabuľke. 5.19. Zároveň boli na základe rozdelenia stanovené ukazovatele pre 1. cyklus simulačných výpočtov NPV, uvedené v tabuľke. 5.17.

Tabuľka 5.19

Charakteristika distribúcií NPV, získané v režime simulácie, rub.

Index	Cyklus simulačných výpočtov
očakávaná hodnota NPV
Smerodajná odchýlka NPV
Koeficient variácie
Pravdepodobnosť zápornej hodnoty NPV
Najvyššia hodnota NPV
Najnižšia hodnota NPV

Po prvé, očakávaná hodnota NPV vo všetkých 10 cykloch simulačných výpočtov dopadli pozitívne, väčšina získaných hodnôt NPV pre každé rozdelenie sa posunie do kladnej oblasti.

Po druhé, štandardná odchýlka pre každú distribúciu NPV, prijatá v režime simulácie je väčšia ako očakávaná hodnota NPV. Tento pomer odráža aj hodnotu variačného koeficientu, ktorá je väčšia ako jedna pre všetky cykly simulačných výpočtov a umožňuje nám dospieť k záveru, že možno realizovať zápornú hodnotu. NPV počas realizácie tohto projektu.

Po tretie, tento záver potvrdzujú získané odhady pravdepodobnosti zápornej hodnoty NPV projekt, ktorý sa určí podľa vzorca (5.9) ako pomer počtu záporných hodnôt čistej súčasnej hodnoty získanej v danom cykle simulačných výpočtov k celkovému počtu iterácií, ktorý sa rovná 100. všetkých vykonaných simulačných cykloch je táto pravdepodobnosť približne 30 %.

Po štvrté, maximálne a minimálne hodnoty NPV projekt poskytuje predstavu o možnom rozsahu výkyvov alebo rozptylu hodnôt NPV projektu. Tieto údaje opäť potvrdzujú, že smerodajná odchýlka charakterizuje len časť rozsahu kolísania hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu, určenej ako výsledok simulačných výpočtov.

Po piate, uvedené v tabuľke. 5.19 údaje nám umožňujú vyvodiť závery o stabilite distribučných charakteristík získaných pri každom cykle simulačných výpočtov NPV, čo vlastne umožňuje interpretovať získané priemerné odhady empirických výsledkov ako zodpovedajúce podmienkam realizácie projektu. Táto stabilita môže byť testovaná rôznymi spôsobmi.

1. Môžete použiť vizuálne hodnotenie rozloženia výsledkov uvedených v tabuľke. 5.19. Takže na obr. 5.6 ukazuje rozdelenie pravdepodobnosti zápornej hodnoty NPVr získané v 10 cykloch simulačných výpočtov.

Pri analýze grafu znázorneného na obr. 5.6 je zrejmé, že výsledný interval kolísania tejto pravdepodobnosti je dosť úzky. Ak použijeme maximálne a minimálne hodnoty tejto pravdepodobnosti, potom môžeme ukázať, že odchýlka od priemernej hodnoty tejto pravdepodobnosti pre túto vzorku, ktorá sa rovná 0,31, je približne 13 % v oboch smeroch.

Ryža. 5.6. Pravdepodobnosť zápornej hodnoty NPV pomocou simulačných cyklov

Podobne je možné určiť rozsah kolísania očakávanej hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu. Ako údaje v tabuľke. 5.19, vo všetkých cykloch simulácie očakávané NPV mal kladnú hodnotu, aj keď podliehal určitým výkyvom. Graf znázornený na obr. 5.7 ukazuje možné trendy zmeny špecifikovaného ukazovateľa, ako aj interval kolísania jeho hodnoty podľa ukončených cyklov simulačných výpočtov.

Ryža. 5.7. očakávaná hodnota NPV pomocou simulačných cyklov

Ak vezmeme do úvahy, že vzorová priemerná hodnota očakávanej čistej súčasnej hodnoty je 6332,38 rubľov, potom je možné ukázať, že rozsah fluktuácií vypočítaných hodnôt je približne 24% na oboch stranách priemernej hodnoty. Získané odhady sú vysoko závislé od počtu cyklov vykonaných simulačných výpočtov a samozrejme sa budú meniť počas nasledujúcich cyklov. Relatívna spoľahlivosť takýchto odhadov sa zvyšuje s rastom počtu cyklov simulačných výpočtov a rozširovaním veľkosti vzorky uvedenej v tabuľke. 5.19. Podobnú analýzu možno vykonať aj pre ďalšie ukazovatele určené v každom cykle simulačných výpočtov (pozri tabuľku 5.19).

2. Pri výraznom zvýšení počtu cyklov simulačných výpočtov a rozšírení vzorky získaných výsledkov je možné použiť formálne kritériá na testovanie hypotéz a na ich základe vyvodiť závery o stabilite získaných výsledkov. a špecifické hodnoty určitých vypočítaných parametrov. Testovanie štatistických hypotéz je založené na tvorbe testových štatistík, ktoré sa stanovujú s prihliadnutím na vzorku uvažovaného ukazovateľa, ako aj na predpoklade, že testovacia štatistika má dané rozdelenie. Vyššie, pri testovaní hypotézy, že koeficient párovej korelácie sa rovná nule, bola uvažovaná takzvaná jednoduchá hypotéza za predpokladu, že testovacia štatistika mala Studentovo rozdelenie s n - 2 stupne slobody. Znakom testovania štatistických hypotéz je, že sa prijímajú s určitou úrovňou spoľahlivosti. Výsledky zodpovedajúceho testu môžu obsahovať chyby prvého druhu, keď je hypotéza zamietnutá, ak je pravdivá, a chyby druhého druhu, keď je hypotéza prijatá, ak je nepravdivá alebo alternatívna hypotéza je pravdivá, t.j. odpoveď získaná v procese takéhoto testovania nie je absolútna.

Pri rozhodovaní o realizácii alebo neuskutočnení investičného projektu na základe údajov získaných metódou Monte Carlo ide v prvom rade o analýzu získaných rozdelení hodnôt čistej súčasnej hodnoty projektu, čo možno vykonať na základe histogramu podobného tomu, ktorý je znázornený na obr. 5.5. Podobný histogram možno skonštruovať aj pre distribučný priemer všetkých realizácií NPV.

Ak všetky distribučné hodnoty NPV pri každom cykle simulačných výpočtov sú výpočty kladné, potom možno projekt odporučiť na realizáciu, v opačnom prípade, ak sú všetky hodnoty rozdelenia NPV projektu sú negatívne v každom cykle simulačných výpočtov, projekt sa neodporúča na realizáciu. Vo všetkých ostatných prípadoch je potrebné porovnať šance na získanie kladných a záporných hodnôt. NPV. Pre histogram znázornený na obr. 5.5 možno poznamenať, že kladné hodnoty NPV dosiahnuté v skupinách 4 až 8. Vzhľadom na údaje v tabuľke. 5.18 možno poznamenať, že pre túto vzorku 65 % hodnôt NPV sú pozitívne a iba 35 % je negatívnych. Podobnú analýzu možno vykonať na priemernej hodnote rozdelenia vo všetkých cykloch simulačných výpočtov.

V literatúre venovanej problematike hodnotenia investičných projektov metódou Monte Carlo sa navrhuje vypočítať niekoľko ďalších ukazovateľov pre vzorku NPV za predpokladu, že výsledky pri každej iterácii počas jedného cyklu simulačných výpočtov majú rovnakú pravdepodobnosť p= 1 /P. Práve na základe tohto prístupu sa očakávajú hodnoty NPV v tabuľke. 5.19. Navrhuje sa použiť rovnakú schému na určenie "očakávaného zisku" kladnými hodnotami NPV vo výslednej vzorke a "očakávaná strata" - o záporné hodnoty NPV v tejto vzorke.

Vzhľadom na to NPV- ide o kritérium výberu projektu a nie o zmysluplné hodnotenie jeho užitočných výsledkov, vyžaduje sa dodatočná zmysluplná interpretácia uvedených ukazovateľov „výhier“ a „prehier“. Avšak v prípade, keď sa príjem za určité obdobie považuje za konečný modelovaný ukazovateľ, je možné zo vzorky získanej ako výsledok simulácie zostaviť odhady priemerného kladného príjmu alebo straty.

Prijatie investičného projektu na realizáciu alebo nie závisí od rozdelenia hodnôt vytvorených ako výsledok simulácie NPV a získané charakteristiky tohto rozdelenia. Charakteristiky distribúcie NPV (pozri tabuľku 5.19) sa mení s každým cyklom simulačných výpočtov. Preto je obzvlášť dôležitá analýza stability výsledkov zistená simulačnými výpočtami, ktorá umožňuje získať ďalšie informácie pre rozhodovanie. Nejde ani tak o to, aké sú konkrétne hodnoty získaných výsledkov, ale o to, nakoľko sú stabilné a či sa výrazne zmenia pod skutočným vplyvom zistených rizikových faktorov. Výsledky tejto analýzy sú relatívne tak v prípade, že sa táto analýza vykonáva vizuálne, ako aj vtedy, ak hovoria o hodnotení hlavných kritérií testovania štatistických hypotéz. Preto je pre rozhodovateľa podstatné, či získané intervaly fluktuácií charakteristík rozdelenia zodpovedajú jeho predstavám o budúcich fluktuáciách zodpovedajúceho ukazovateľa alebo či mu vyhovuje jeho úroveň spoľahlivosti naplnenia zodpovedajúcej hypotézy.

Konečné rozhodnutie manažéra o realizácii alebo neuskutočnení posudzovaného projektu sa robí na základe všetkých vyššie uvedených informácií s prihliadnutím na jeho sklon alebo averziu k riziku, čo sa odráža v tom, či táto osoba považuje za možné sám realizovať projekt so získanými distribučnými charakteristikami. NPV a či existujú pre neho určité možnosti na riadenie rizík tohto projektu v prípade, že sa jeho vývoj uberie nepriaznivou cestou. Formálne kritériá pre výber riešenia na základe informácií získaných v simulačnom procese Monte Carlo ešte nie sú vypracované, čo je jednou z hlavných nevýhod tejto metódy na hodnotenie a zdôvodňovanie investičných projektov v rizikových podmienkach.

Pri použití metódy Monte Carlo treba mať na pamäti, že v procese jej implementácie hovoríme o posudzovaní celkovej udržateľnosti projektu na zmeny identifikovaných rizikových faktorov (v našom príklade ceny a podmienene variabilné náklady) . Je to spôsobené tým, že táto metóda, podobne ako analýza diskrétnej citlivosti, nie je založená na použití možných budúcich zmien vo vybranom externom rizikovom faktore, napríklad cien, na relevantnom trhu, ale je založená na počítačovej simulácii distribúcie vybraných rizikových faktorov. Výsledky výrazne závisia od veľkosti získanej vzorky odhadnutých ukazovateľov, pričom ich konkrétne hodnoty sa môžu v jednotlivých cykloch simulačných výpočtov výrazne líšiť. V tom sú aj nedostatky metódy Monte Carlo ako simulačnej metódy na analýzu rizík dlhodobých investičných projektov.

Niekedy oddeľujú výšku investície do projektu a náklady budúceho podnikania, ktoré vzniknú pred dokončením výstavby a uvedením do prevádzky, napríklad vo forme vykurovania, osvetlenia, nákladov na správu, čo zohľadňuje parameter H₀.

Viac o testovaní hypotéz nájdete na: Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Ekonometria. Úvodný kurz. M.: Delo, 1997. S. 219-221.

Riadenie rizika investičného projektu: učebnica / vyd. M. V. Gracheva, L. B. Sikerina. M.: UNITI-DANA, 2009. S. 169-170.