Izospin nukleónov a jadier

Základné aj excitované stavy jadier – okrem energie, spinu a parity diskutovaných v predchádzajúcich seminároch – sú charakterizované kvantovými číslami, ktoré sa nazývajú izospinová a izospinová projekcia. (V literatúre sa tieto kvantové čísla zvyčajne označujú buď symboly T a Tz, alebo I a Iz).
Zavedenie týchto kvantových čísel je spôsobené skutočnosťou, že jadrové sily sú pri substitúcii invariantné protóny na neutróny. Toto je obzvlášť výrazné v spektrách takzvaných „zrkadlových“ jadier, t.j. izobarické jadrá, v ktorých sa počet protónov jedného rovná počtu neutrónov druhého. (Pozri napr. spektrá 13C a 13N jadier). Pre všetky známe páry takýchto jadier sú spektrá najnižších excitovaných stavov podobné: spiny a parity najnižších stavov sú rovnaké a excitačné energie sú blízko.
Z hľadiska teórie izospinu sú neutrón a protón tá istá častica - nukleón s izospinom I = 1/2 - v dvoch rôznych stavoch, ktoré sa líšia priemetom izospinu na zvolenú os (I z = I 3) v izospinovom priestore. Pre moment I = 1/2 môžu existovať iba dve takéto projekcie: I z = +1/2 (protón) a Iz = -1/2 (neutrón). (Kvantová izospinová teória je konštruovaná analogicky so spinovou teóriou. Isospinový priestor sa však nezhoduje s obyčajným súradnicovým priestorom.)
Systém protónov Z a neutrónov N - jadro - má projekciu izospinu

Jadrové (t.j. silné) interakcie nezávisia od izospinovej projekcie, alebo presnejšie, silné interakcie sú invariantné vzhľadom na rotácie v izospinovom priestore.
Jadrové sily však závisia od veľkosti izospinu! Najnižšie energetické stavy nukleónového systému, t.j. Základný stav jadra je stav s najnižšou možnou hodnotou izospinu, ktorá sa rovná

Jadro 48 Ca má 20 protónov a 28 neutrónov. V dôsledku toho sa projekcia izospinu Iz tohto jadra rovná
I z = (20 - 28) / 2 = - 4. Základný izospin I = |I z | = 4.
Častice alebo systémy častíc, ktoré majú rovnaký izospin a rôzne izospinové projekcie tvoria izospinové multiplety (dublety, triplety atď.). Zvláštnosťou členov takéhoto multipletu je, že sa podieľajú na silnej interakcii rovnakým spôsobom. Najjednoduchším príkladom dubletu je neutrón a protón. Ďalším príkladom sú stavy zrkadlových jadier 13C a 13N (pozri spektrá jadier.)

2.6. Elektromagnetické momenty nukleónov a jadier.

Elektromagnetické momenty určujú potenciál interakcie jadra alebo častíc s vonkajšími elektrickými a magnetickými poľami:

Tu je Ze náboj jadra, D je elektrický dipólový moment jadra, Q je kvadrupólový moment jadra a je magnetický dipólový moment. Výrazy interakčného potenciálu s vyššou tenzorovou dimenziou (2.18) tvoria zanedbateľne malý príspevok k interakcii.
Elektrický dipólový moment jadier v základnom stave sa rovná nule (až po malé členy spojené so slabými interakciami v jadrách). Rovnosť momentu D i k nule je dôsledkom parity druhej mocniny vlnovej funkcie základného stavu jadra:

Druhá mocnina vlnovej funkcie základného stavu jadra je párnou funkciou súradníc, z je nepárna funkcia. Integrál v trojrozmernom priestore súčinu párnej a nepárnej funkcie je vždy rovný 0.
Druhá mocnina ψ-funkcie má kladnú paritu, ak samotná ψ-funkcia má určitú paritu (+ alebo -). To platí pre príspevky k funkcii ψ zo silných a paritu zachovávajúcich elektromagnetických interakcií. Malé prídavky k ψ-funkcii zo slabých (paritu nekonzervujúcich) interakcií môžu spôsobiť odchýlku od nuly pre dipólové momenty jadier a častíc. Úloha týchto príspevkov je pre modernú fyziku veľmi zaujímavá, takže pokusy o meranie neutrónového dipólového momentu neustávajú.
Štvorpólový elektrický moment jadro v súradnicovom systéme spojenom s jadrom (vnútorný kvadrupólový moment)

Keďže priemerná hodnota fyzikálnej veličiny v kvantovej mechanike, podľa definície,

vnútorný kvadrupólový moment až do konštanty je rozdiel medzi priemernou hodnotou 2z 2 a priemernou hodnotou súčtu štvorcov x 2 a y 2. Preto pre sférické jadrá Q = 0, pre predĺžené vzhľadom na vnútornú os rotácie z Q > 0 a pre sploštené jadrá Q< 0.

Magnetický dipólový momentčastice je operátor v priestore vlnových funkcií častíc a súvisí s operátormi orbitálnych a spinových momentov vzťahom

V súradnicovom systéme spojenom s časticou neexistuje žiadny orbitálny pohyb. Hodnota magnetického momentu je definovaná ako diagonálny maticový prvok operátora (2.21) v stave s maximálnou hodnotou priemetu momentu na os z. Činnosť operátora spinovej projekcie dáva

Pozorovaná hodnota jadrového magnetického momentu (v jadrových magnetónoch) je úmerná hodnote jadrového spinu Koeficient úmernosti sa nazýva jadrový gyromagnetický pomer:

Celkový moment sústavy elektrónový obal-jadro pozostáva z momentu elektrónového obalu I a spinu jadra J. Keďže veľkosť magnetického poľa vytvoreného elektrónmi v oblasti jadra je úmerná I, a tzv. magnetický moment jadra je spojený s J (2.24), interakčný potenciál je funkciou skalárneho súčinu týchto vektorov:

Tento interakčný potenciál, zahrnutý v úplnom hamiltoniáne atómu, je zodpovedný za experimentálny fakt, že stavy s rôznymi hodnotami skalárneho súčinu vektorov I a J majú rôzne posuny v energiách atómových úrovní. Keďže veľkosť posunu závisí od jadrového magnetónu, je v porovnaní s veľkosťou malá tenkýštiepenie atómových hladín, ktoré sú spôsobené interakciou magnetického momentu elektrónového obalu s vonkajším magnetickým poľom. Preto sa štiepenie atómových hladín, ku ktorému dochádza v dôsledku interakcie magnetického momentu jadra s magnetickým poľom atómu, nazýva Ultra tenký. Počet stavov hyperjemného rozdelenia sa rovná počtu rôznych hodnôt skalárneho súčinu vektorov. Definujme túto veličinu cez druhé mocniny kvantových vektorov F, J, I:

Počet úrovní hyperjemného rozdelenia sa teda rovná počtu rôznych hodnôt vektora F, ktorý môže nadobudnúť nasledujúce hodnoty

F = |J - I| , |J-I + 1|, .... , J + I-1, J + I.

Počet rôznych hodnôt vektora F sa rovná 2K + 1, kde K je najmenší z vektorov J, I. Keďže pre draslík je počet hyperjemných úrovní štiepenia 4, táto hodnota nezodpovedá prípadu keď moment elektrónového obalu 5/2 je menší ako spin jadra (potom by bol počet hladín rovný 6). Preto je počet úrovní hyperjemného štiepenia 4 = 2J + 1 a nukleárny spin je J = 3/2.

Kapitola 10

ULTRAFÍNNE ŠTIEPANIE VO VODÍKU

§ 1. Základné stavy pre sústavu dvoch častíc so spinom 1/2

§2. Hamiltonián základného stavu vodíka

§ 3. Energetické hladiny

§ 6. Projekčná matica pre spin 1

§ 1. Základné stavy pre sústavu dvoch častíc so spinom 1 / 2

V tejto kapitole sa pozrieme na „hyperjemné štiepenie“ vodíka, zaujímavý príklad toho, čo už môžeme robiť s kvantovou mechanikou. Tu už nebudeme mať dva štáty, ale viac. Inštruktívnosť tohto príkladu je v tom, že nám predstaví metódy kvantovej mechaniky aplikované na zložitejšie problémy. Tento príklad je sám o sebe dosť zložitý a keď pochopíte, ako ho zvládnuť, hneď vám bude jasné, ako ho zovšeobecniť na ďalšie možné problémy.

Ako viete, atóm vodíka pozostáva z elektrónu a protónu; Elektrón sedí blízko protónu a môže existovať v jednom z mnohých diskrétnych energetických stavov, z ktorých každý je odlišný. Prvý excitovaný stav teda leží na 3/4 Rydberga alebo 10 ev, nad základným stavom. Ale ani takzvaný základný stav vodíka nie je v skutočnosti samostatným stavom so špecifickou energiou, pretože elektrón a protón majú spiny. Tieto rotácie sú zodpovedné za „hyperjemnú štruktúru“ energetických úrovní, ktorá rozdeľuje všetky energetické úrovne na niekoľko takmer rovnakých úrovní.

Spin elektrónu môže smerovať buď nahor alebo nadol; aj protón jeho vlastné rotácia môže smerovať nahor alebo nadol. Preto pre každý dynamický stav atómu existuje štyri možné stavy točenia. Inými slovami, keď fyzik hovorí o „základnom stave“ vodíka, v skutočnosti má na mysli „štyri základné stavy“, a nielen najnižší z nich. Štyri spinové stavy nemajú presne rovnakú energiu; existujú malé posuny v porovnaní s tým, čo by bolo pozorované pri absencii rotácií. Tieto posuny sú však mnohonásobne menšie ako tých 10 ev, ktoré ležia medzi základným stavom a nasledujúcim vyšším stavom.

V dôsledku toho sa energia každého dynamického stavu rozdelí na množstvo veľmi blízkych úrovní – ide o tzv hyperjemné štiepanie.

Energetické rozdiely medzi štyrmi spinovými stavmi sú to, čo chceme v tejto kapitole vypočítať. Hyperjemné štiepenie je spôsobené interakciou magnetických momentov elektrónu a protónu; výsledkom sú mierne odlišné magnetické energie pre každý spinový stav. Tieto energetické posuny sú len asi desať miliónov elektrónvoltov, čo je v skutočnosti oveľa menej ako 10 ev!

Práve kvôli takej veľkej medzere máme právo považovať základný stav vodíka za „štvorúrovňový systém“, bez obáv z toho, že v skutočnosti existuje oveľa viac stavov pri vyšších energiách. Máme v úmysle obmedziť sa tu na štúdium hyperjemnej štruktúry iba základného stavu atómu vodíka.

Pre naše účely nie sú pre nás dôležité rôzne detaily umiestnenie elektrón a protón, pretože všetky, takpovediac, už vytvoril atóm, všetky sa ukázali samé, keď sa atóm dostal do základného stavu. Stačí vedieť, že elektrón a protón nie sú ďaleko od seba, v nejakom špecifickom priestorovom vzťahu. Okrem toho môžu mať najrôznejšie vzájomné orientácie otáčania. A my chceme uvažovať len o spinových efektoch.

Prvá otázka na zodpovedanie je: čo sú základných stavov pre tento systém? Ale táto otázka je položená nesprávne. Veci ako jediný základ neexistuje a akýkoľvek systém základov, ktorý si vyberiete, nebude jediný. Vždy je možné vytvárať nové systémy z lineárnych kombinácií starých. Pre základné stavy je vždy veľa možností a všetky sú rovnako platné.

To znamená, že sa musíme pýtať: nie "čo je základ?", ale "čo to je?" Môcť vybrať?". A máte právo vybrať si, čo chcete, pokiaľ je to pre vás výhodné.

Zvyčajne je najlepšie začať so základňou, ktorá fyzicky najzreteľnejšie. Nemusí nutne riešiť nejaký problém alebo byť priamo nejakým spôsobom dôležité, nie, vo všeobecnosti by to malo len uľahčiť pochopenie toho, čo sa deje.

Vyberáme tieto základné stavy:

Podmienka 1. Elektrón aj protón sú otočené chrbtom nahor.

Štát 2. Spin elektrónu je hore a protón je dole.

Stav 3. Spin elektrónu je klesajúci, zatiaľ čo spin protónu áno

Stav 4. Elektrón aj protón sa pozerajú chrbtom

Aby sme stručne napísali tieto štyri stavy, zavedieme nasledujúcu notáciu:

1. podmienka:|+ +>; elektrón má spin hore, protón má rotáciu hore.

Stav 2:| + ->; elektrón má spin hore,

protón má rotáciu dole.

Stav 3:|- + >; elektrón má spin dole, protón má rotáciu hore.

Stav 4:|- - >; elektrón má spin dole, protón má rotáciu dole. (10.1)

zapamätaj si to najprv znamienko plus alebo mínus sa vzťahuje na elektrón, druhý - na protón. Aby ste mali tieto symboly na dosah ruky, sú zhrnuté na obr. 10.1.

Obr. 10.1. Súbor základných stavov

pre základný stav atómu vodíka.

Tieto stavy označujeme | + +>, | + ->> |- +>.

Niekedy bude vhodnejšie označiť tieto stavy ako |1>, |2>, |3> a |4>.

Môžete povedať: „Ale častice interagujú a možno tieto stavy vôbec nie sú tými správnymi základnými stavmi. Je to ako keby ste sa pozerali na obe častice nezávisle." Ano, naozaj! Interakcia kladie otázku: čo je Hamiltonián systémy? Otázkou však je ako popísať systému, sa netýka interakcie. Čokoľvek si vyberieme ako základ, nemá nič spoločné s tým, čo sa stane potom. Môže sa ukázať, že atóm nie je schopný pobyt v jednom z týchto základných stavov, aj keď tam to všetko začalo. Ale to je už iná otázka. Toto je otázka, ako sa amplitúdy menia v priebehu času na zvolenom (pevnom) základe. Výberom základných stavov jednoducho vyberáme "jednotkové vektory" pre náš popis.

Keďže sme sa toho už dotkli, pozrime sa na všeobecný problém hľadania množiny základných stavov, keď neexistuje jedna častica, ale viac. Poznáte základné stavy pre jednu časticu. Napríklad elektrón je úplne opísaný v reálnom živote (nie v našich zjednodušených prípadoch, ale v reálnom živote) špecifikovaním amplitúd bytia v jednom z nasledujúcich stavov:

| Elektrón sa roztočí s hybnosťou p> alebo

| Spin elektrónov s hybnosťou p>.

V skutočnosti existujú dve nekonečné zbierky stavov, jedna pre každú hodnotu p. To znamená, že môžete povedať, že elektronický stav |y> je úplne opísaný iba vtedy, keď poznáte všetky amplitúdy

kde + a - predstavujú zložky momentu hybnosti pozdĺž nejakej osi, zvyčajne osi z, a p- vektor impulzov. Preto pre každý mysliteľný impulz musia existovať dve amplitúdy (dvojnásobne nekonečná množina základných stavov). To je všetko, čo je potrebné na opísanie jednej častice.

Rovnakým spôsobom sa dajú zapísať základné stavy, keď nie je jedna častica, ale viac. Napríklad, ak by bolo potrebné uvažovať o elektróne a protóne v zložitejšom prípade ako je ten náš, potom by základné stavy mohli byť nasledovné: Elektrón s hybnosťou p 1 sa pohybuje hore a protón s hybnosťou R 2 sa pohybuje dozadu. A tak ďalej pre ďalšie kombinácie točenia. Ak existuje viac ako dve častice, myšlienka zostáva rovnaká. Takže vidíte, čo maľovať možné základné stavy sú v skutočnosti veľmi jednoduché. Jedinou otázkou je, čo je hamiltonián.

Na štúdium základného stavu vodíka nepotrebujeme používať úplné súbory základných stavov pre rôzne momenty. Určité hybné stavy protónu a elektrónu špecifikujeme a fixujeme, keď vyslovujeme slová „základný stav“. Podrobnosti konfigurácie - amplitúdy pre všetky pulzné základné stavy - sa dajú vypočítať, ale to je už iná úloha. A teraz sa dotýkame len vplyvu spinu, takže sa obmedzíme len na štyri základné stavy (10.1). Ďalšia otázka znie: aký je Hamiltonián pre túto množinu stavov?

§ 2. Hamiltonián základného stavu vodíka

Dozviete sa o chvíľu. Najprv vám však chcem pripomenúť jednu vec: všelijaké veci stav môže byť vždy reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných stavov. Pre akýkoľvek stav |y|> môžeme písať

Pripomeňme, že úplné zátvorky sú len komplexné čísla, takže ich možno označovať obvyklým spôsobom S i, Kde i=l, 2, 3 alebo 4 a do formulára napíšte (10.2).

Nastavenie štvornásobnej amplitúdy S iúplne opisuje stav rotácie |y>. Ak sa táto štvorica mení v čase (ako sa v skutočnosti bude), potom rýchlosť zmeny v čase je daná operátorom N^.Úlohou je nájsť tento operátor H^.

Neexistuje žiadne všeobecné pravidlo, ako napísať hamiltonián atómového systému, a nájsť správny vzorec si vyžaduje viac zručnosti ako nájsť systém základných stavov. Dokázali sme vám poskytnúť všeobecné pravidlo, ako zapísať systém základných stavov pre akýkoľvek problém, v ktorom je protón a elektrón, ale je príliš ťažké opísať všeobecný Hamiltonián takejto kombinácie na tejto úrovni. Namiesto toho vás dovedieme k hamiltoniánu pomocou nejakého heuristického uvažovania a budete ho musieť prijať ako správny, pretože výsledky budú súhlasiť s experimentálnymi pozorovaniami.

Pripomeňme, že v predchádzajúcej kapitole sme dokázali opísať hamiltonián jednej častice spin-1/2 pomocou sigma matíc alebo presne ekvivalentných sigma operátorov. Vlastnosti operátorov sú zhrnuté v tabuľke. 10.1. Tieto operátory, ktoré sú jednoducho pohodlným a stručným spôsobom zapamätania si prvkov matice typu, boli užitočné na opis správania oddelenéčastice so spinom 1/2. Vynára sa otázka, či je možné nájsť podobný prostriedok na opis systému s dvoma spinmi. Áno a veľmi jednoducho. Pozri sa sem. Vymyslíme vec, ktorú nazveme „elektrón-sigma“ a ktorú budeme reprezentovať vektorovým operátorom s e s tromi zložkami s e x , s e y a s e z . Ďalej dohodnime saže keď jeden z nich koná

Tabuľka 10.1· VLASTNOSTI OPERÁTOROV SIGMA

na ktorýkoľvek z našich štyroch základných stavov atómu vodíka, potom pôsobí iba na spin elektrónu a akoby bol len jeden elektrón, sám od seba. Príklad: čo je s y e|-+>? Pretože s y pôsobiace na elektrón so zníženým spinom dáva - i, vynásobený stavom s elektrónom, ktorého spin je hore, teda

s e y |-+>=- i|++>.

(Keď s y e pôsobí na kombinovaný stav, preklopí elektrón bez ovplyvnenia protónu a výsledok vynásobí - i.) Pôsobenie na iné štáty, s e pri dá

Pripomeňme si ešte raz, že operátor s e pôsobí len na najprv symbol točenia, teda za točenie elektrón.

Teraz definujeme zodpovedajúci protón-sigma operátor pre protónový spin. Jeho tri zložky s p x , s p y, s p z, pôsobia rovnako ako s e, ale len na protónový spin. Napríklad, ak s p x pôsobí na každý zo štyroch základných stavov, potom sa ukáže (opäť pomocou tabuľky 10.1)

Ako vidíte, nič ťažké. Vo všeobecnosti môžu byť veci komplikovanejšie. Napríklad súčin operátorov s e y s p z . Keď je takýto produkt, potom sa najprv urobí to, čo chce správny operátor, a potom to, čo požaduje ľavý. Napríklad,

Všimnite si, že títo operátori nerobia nič; toto sme použili, keď sme písali s e x (-1)=(-1) s e x . Hovoríme, že operátori „komutujú“ s číslami, alebo že čísla „možno pretiahnuť“ cez operátora. Precvičte si a ukážte, že produkt s e X s p z dáva nasledujúci výsledok pre štyri stavy:

Ak prejdeme všetky platné operátory, každý raz, tak môže byť spolu 16 možností. Áno, šestnásť, ak zahrnieme aj „operátor jednotky“ 1. Po prvé, je tu trojité s e X, s e r, s e z, potom tri s p x , s p y , s p z , spolu teda šesť. Okrem toho existuje deväť produktov formy s e X sp y , celkovo 15. A ďalší jediný operátor, pričom všetky štáty zostávajú nedotknuté. To je všetkých šestnásť!

Všimnite si teraz, že pre štvorstavový systém musí byť Hamiltonova matica maticou 4x4 koeficientov a bude v nej 16 čísel. Je ľahké ukázať, že akúkoľvek maticu 4X4, a najmä Hamiltonovu maticu, možno zapísať ako lineárnu kombináciu šestnástich matíc s dvojitým spinom zodpovedajúcim systému operátorov, ktorý sme práve vytvorili. Preto pre interakciu medzi protónom a elektrónom, ktorá zahŕňa iba ich spiny, môžeme očakávať, že Hamiltonov operátor môže byť napísaný ako lineárna kombinácia rovnakých 16 operátorov. Jedinou otázkou je ako.

Najprv však vieme, že interakcia nezávisí od nášho výberu osí pre súradnicový systém. Ak neexistuje žiadne vonkajšie rušenie - niečo ako magnetické pole, zvýrazňujúce nejaký smer v priestore - potom hamiltonián nemôže závisieť od nášho výberu axiálnych smerov x, y A z. To znamená, že hamiltonián nemôže mať sám o sebe výrazy ako s e x. Vyzeralo by to smiešne, pretože niekto v inom súradnicovom systéme by dospel k iným výsledkom.

Jediné možné termíny sú tie s maticou identity, povedzme konštantou A(vynásobené 1^) a nejaká kombinácia sigmov, ktorá nezávisí od súradníc, nejaká „invariantná“ kombinácia. Jediný skalárne invariantná kombinácia dvoch vektorov je ich skalárnym súčinom, ktorý má pre naše sigmy tvar

Tento operátor je invariantný vzhľadom na akúkoľvek rotáciu súradnicového systému. Takže jedinou možnosťou pre hamiltonián s vhodnou symetriou v priestore je konštanta krát matica identity plus konštanta krát, že bodový súčin, t.j.

Toto je náš Hamiltonián. Toto je jediná vec, ktorej sa na základe symetrie v priestore môže rovnať, zatiaľ neexistuje žiadne vonkajšie pole. Stály člen nám veľa nepovie; jednoducho to závisí od úrovne, ktorú sme si zvolili na počítanie energií. Dalo by sa rovnako dobre prijať E 0 = 0. A druhý člen nám povie všetko, čo je potrebné na nájdenie rozdelenia hladín vo vodíku.

Ak chcete, môžete o Hamiltoniánovi uvažovať inak. Ak sú blízko seba dva magnety s magnetickými momentmi m e a m p, potom ich vzájomná energia závisí okrem iného od m e · m R. A my, ako si pamätáte, sme zistili, že vec, ktorú sme nazývali v klasickej fyzike m e, v kvantovej mechanike vystupuje pod názvom m e s e . Tak isto to, čo v klasickej fyzike vyzerá ako m p, sa zvyčajne rovná m p s p v kvantovej mechanike (kde m p je magnetický moment protónu, ktorý je takmer 1000-krát menší ako m e a má opačné znamienko). To znamená, že (10.5) uvádza, že interakčná energia je podobná interakcii dvoch magnetov, ale nie úplne, pretože interakcia dvoch magnetov závisí od vzdialenosti medzi nimi. Ale (10.5) možno zvážiť (a v skutočnosti je) druh priemernej interakcie. Elektrón sa nejakým spôsobom pohybuje vo vnútri atómu a náš Hamiltonián dáva iba priemernú interakčnú energiu. Vo všeobecnosti to všetko naznačuje, že pre predpísané umiestnenie elektrónu a protónu v priestore existuje energia úmerná kosínusu uhla medzi dvoma magnetickými momentmi (klasicky povedané). Tento klasický kvalitatívny obraz vám môže pomôcť pochopiť, odkiaľ všetko pochádza, ale záleží len na tom, že (10.5) je správny kvantovo-mechanický vzorec.

Rádová veľkosť klasickej interakcie medzi dvoma magnetmi by bola daná súčinom dvoch magnetických momentov delených druhou mocninou vzdialenosti medzi nimi. Vzdialenosť medzi elektrónom a protónom v atóme vodíka, zhruba povedané, sa rovná polovici atómového polomeru, t.j. 0,5 A. Preto môžeme zhruba odhadnúť, že konštanta A by sa mala rovnať súčinu magnetických momentov m e a m p delených druhou mocninou polovice angstromu. Výsledkom tohto zacielenia sú čísla, ktoré spadajú práve do správnej oblasti. Ale ukazuje sa, že A Vieš počítať presnejšie, len musíš pochopiť kompletnú teóriu atómu vodíka, ktorej zatiaľ nie sme schopní. v skutočnosti A bola vypočítaná s presnosťou na 30 ppm. Ako vidíte, na rozdiel od neustáleho opätovného hádzania A molekuly amoniaku, ktoré sa podľa teórie nedajú dobre vypočítať, naša konštanta A pre vodík Možno vypočítané z podrobnejšej teórie. Ale nedá sa nič robiť, pre naše súčasné účely budeme musieť počítať Ačíslo, ktoré možno určiť zo skúseností, a analyzovať fyziku veci.

Ak vezmeme Hamiltonián (10.5), môžeme ho dosadiť do rovnice

a uvidíte, čo robí spinová interakcia s energetickými hladinami. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať šestnásť prvkov matice H ij = i| H|j> zodpovedajúce ktorýmkoľvek dvom zo štyroch základných stavov (10.1).

Začnime výpočtom, čomu sa rovná Н^ |j> pre každý zo štyroch základných stavov. napr.

Použitím metódy opísanej o niečo skôr (pamätajte na tabuľku 10.1, veci sa veľmi zjednodušia) zistíme, čo robí každý pár s |+ +>· Odpoveď je:

To znamená, že (10.7) sa zmení na

Tabuľka 10.2· spinové operátory PRE ATÓM VODÍKA

A keďže všetky naše štyri základné stavy sú ortogonálne, okamžite to vedie k

Spomínajúc si, že N| i>=<.i>|H|j>*, môžeme okamžite napísať diferenciálnu rovnicu pre amplitúdu S 1:

To je všetko! Iba jeden člen.

Aby sme teraz získali zostávajúce Hamiltonove rovnice, musíme trpezlivo prejsť rovnakými postupmi H^, pôsobiace za iných podmienok. Najprv si precvičte kontrolu všetkých produktov sigma v tabuľke. 10.2 sú napísané správne. Potom s ich pomocou získate

A potom ich vynásobením všetkých v poradí zľava všetkými ostatnými stavovými vektormi získame nasledujúcu hamiltonovskú maticu H ij :

To samozrejme znamená, že diferenciálne rovnice pre štyri amplitúdy S i vyzerať ako

Ale predtým, ako prejdeme k ich riešeniu, je ťažké odolať, aby sme vám povedali o jednom šikovnom pravidle, ktoré Dirac odvodil. Pomôže vám to pocítiť, koľko toho už viete, hoci to pri našej práci nebudeme potrebovať. Z rovníc (10.9) a (10.12) máme

„Pozri,“ povedal Dirac, „viem tiež napísať prvú a poslednú rovnicu do formulára

a potom budú všetci rovnakí. Teraz si vymyslím nový operátor, ktorý označím R točiť. výmena a ktorá podľa definícia, bude mať nasledujúce vlastnosti:

Tento operátor, ako vidíte, vymieňa iba smer rotácie dvoch častíc. Potom môžem napísať celý systém rovníc (10.15) ako jednu jednoduchú operátorovú rovnicu:

Toto je Diracov vzorec. Operátor výmeny rotácie poskytuje pohodlné pravidlo, ktoré si treba zapamätať s e ·s p. (Ako vidíte, teraz viete, ako robiť všetko. Všetky dvere sú pre vás otvorené.)

§ 3. Energetické hladiny

Teraz sme pripravení vypočítať energetické hladiny základného stavu vodíka riešením hamiltonovských rovníc (10.14). Chceme nájsť energie stacionárnych stavov. To znamená, že musíme nájsť tie špeciálne stavy |y>, pre ktoré každá z amplitúd patriacich do |y> C i=i|y> má rovnakú časovú závislosť, a to e - w t . Potom bude mať štát energiu E=hw. To znamená, že hľadáme súbor amplitúd, pre ktoré

kde sú štyri koeficienty A i nezávisí od času. Aby sme zistili, či môžeme získať tieto amplitúdy, zapojme (10.17) do (10.14) a uvidíme, čo sa stane. Každý ihdC i /dt v (10.14) prejde do E.C. i . A po znížení o spoločný exponenciálny faktor každý S i sa zmení na A i; dostaneme

Toto je potrebné vyriešiť nájsť a 1 , A 2 , A 3 a A 4. Naozaj, na prvej rovnici je veľmi pekné, že nezávisí od ostatných, čo znamená, že jedno riešenie je okamžite viditeľné. Ak vyberiete E=A, To

a 1=1, a 2 =a 3 =a 4 =0

dá riešenie. (Samozrejme, ak prijmeme všetko A rovná nule, potom to bude tiež riešenie, ale nedá stav!) Naše prvé riešenie budeme považovať za stav | ja>:

Jeho energiu

E ja =A.

To všetko okamžite dáva kľúč k druhému riešeniu, získanému z poslednej rovnice v (10.18):

A 1 =A 2 =A 3 =0, A 4 =1, E=A.

Toto riešenie nazveme štát | II>:

|//> = |4> = |-->,(10.20)

E(a) 2 + a 3 ) = A(a 2 + a 3 ). (10.21)

Odčítaním budeme mať

Keď sa na to pozrieme a spomenieme si na amoniak, ktorý už poznáme, vidíme, že tu existujú dve riešenia:

Ide o zmesi stavov | 2 > a | 3 >. Ich označenie | III> a | IV> a vložením faktora 1/Ts2 pre správnu normalizáciu máme

E III =A(10.24)

Našli sme štyri stacionárne stavy a ich energie. Všimnite si, mimochodom, že naše štyri stavy sú navzájom ortogonálne, takže ich možno v prípade potreby považovať aj za základné stavy. Náš problém je úplne vyriešený.

Tieto tri stavy majú rovnakú energiu A a ten posledný - ZA. Priemer je nula, čo znamená, že keď sme v (10.5) vybrali E 0 = 0, Preto sme sa rozhodli počítať všetky energie z ich priemernej hodnoty. Diagram energetickej hladiny základného stavu vodíka bude vyzerať ako na obr. 10.2.

Obr. 10.2. Diagram energetickej hladiny základného stavu atómového vodíka.

Rozdiel energií medzi stavom | IV> a ktorýkoľvek z ostatných sa rovná 4 A. Atóm, ktorý sa náhodou nachádza v stavoch | ja>, môže spadnúť odtiaľ do stavu | IV>a vyžarovať svetlo: nie optické svetlo, pretože energia je veľmi malá, ale mikrovlnné kvantum. Alebo ak osvetlíme plynný vodík mikrovlnami, všimneme si absorpciu energie, pretože atómy sú v stave | IV>zachytia to a pôjdu do niektorého z vyšších stavov, ale to všetko len pri frekvencii w=4 A/h Táto frekvencia bola meraná experimentálne; najlepší výsledok získaný relatívne nedávno je tento:

Chyba je len tristo miliardtin! Pravdepodobne žiadna základná fyzikálna veličina nie je lepšie meraná ako táto; Toto je jedno z najvýznamnejších meraní vo fyzike z hľadiska presnosti. Teoretici boli veľmi šťastní, keď sa im podarilo vypočítať energiu s presnosťou 3·10 -5; ale do tejto doby to bolo namerané s presnosťou 2·10 -11, t.j. miliónkrát presnejšie ako teoreticky. Experimentátori sú teda ďaleko pred teoretikmi. V teórii základného stavu atómu vodíka a ty, a sme v rovnakej pozícii. Môžete tiež vziať význam A zo skúsenosti – a nakoniec to musí urobiť každý.

Pravdepodobne ste už počuli o „21 cm čiare“ vodíka. Toto je vlnová dĺžka spektrálnej čiary pri 1420 MHz medzi hyperjemnými stavmi. Žiarenie pri tejto vlnovej dĺžke je emitované alebo absorbované atómovým vodíkom v galaxiách. To znamená, že pomocou rádioteleskopov naladených na vlny 21 cm(alebo približne 1420 MHz), možno pozorovať rýchlosť a umiestnenie kondenzácií atómového vodíka. Meraním intenzity môžete odhadnúť jej množstvo. Meraním posunu frekvencie spôsobeného Dopplerovým javom možno určiť pohyb plynu v galaxii. Toto je jeden z najlepších rádioastronomických programov. Takže teraz hovoríme o niečom veľmi skutočnom, toto nie je nejaká umelá úloha.

§ 4. Zemanovo štiepenie

Hoci sme dokončili úlohu hľadania energetických hladín základného stavu vodíka, stále budeme pokračovať v štúdiu tohto zaujímavého systému. Povedať o tom niečo iné, napríklad vypočítať rýchlosť, akou atóm vodíka absorbuje alebo vyžaruje rádiové vlny s dĺžkou 21 cm, musíte vedieť, čo sa s ním stane, keď je pobúrený. Musíme urobiť to, čo sme urobili s molekulou amoniaku - potom, čo sme našli energetické hladiny, išli sme ďalej a zistili, čo sa stane, keď je molekula v elektrickom poli. A potom nebolo ťažké predstaviť si vplyv elektrického poľa rádiovej vlny. V prípade atómu vodíka elektrické pole nerobí nič s hladinami, okrem toho, že ich všetky posúva o nejakú konštantnú hodnotu úmernú štvorcu poľa, a to nás nezaujíma, pretože sa nemení. rozdiely energie. Tentoraz je to dôležité magnetické lúka. To znamená, že ďalším krokom je napísať Hamiltonián pre zložitejší prípad, keď atóm sedí vo vonkajšom magnetickom poli.

Čo je to za hamiltonián? Jednoducho vám povieme odpoveď, pretože nemôžeme poskytnúť žiadny „dôkaz“, okrem toho, že povieme, že presne takto je štruktúrovaný atóm.

Hamiltonián má formu

Teraz sa skladá z troch častí. Prvý člen A(s e · s p) predstavuje magnetickú interakciu medzi elektrónom a protónom; je to to isté, ako keby nebolo magnetické pole. Vplyv vonkajšieho magnetického poľa sa prejavuje vo zvyšných dvoch pojmoch. Druhý termín (-m e s e · IN) je energia, ktorú by mal elektrón v magnetickom poli, keby tam bol sám. Rovnakým spôsobom posledný člen (-m р s R · IN) by bola energia jedného protónu. Podľa klasickej fyziky by energia oboch spolu bola súčtom ich energií; Aj to je podľa kvantovej mechaniky správne. Interakčná energia vznikajúca v dôsledku prítomnosti magnetického poľa je jednoducho súčtom energií interakcie elektrónu s magnetickým poľom a protónu s rovnakým poľom, vyjadrených prostredníctvom sigma operátorov. V kvantovej mechanike tieto pojmy v skutočnosti nie sú energiami, ale odkaz na klasické vzorce pre energiu pomáha zapamätať si pravidlá písania Hamiltoniánu. Ako keby. nech je to akokoľvek, (10.27) je správny hamiltonián.

Teraz sa musíte vrátiť na začiatok a vyriešiť celý problém znova. Ale väčšina práce už bola vykonaná, len musíme pridať efekty spôsobené novými členmi. Predpokladajme, že magnetické pole B je konštantné a smeruje pozdĺž z. Potom k nášmu starému hamiltonovskému operátorovi N^ musíte pridať dva nové kusy; označme ich N^":

Pomocou tabuľky. 10.1 okamžite dostávame

Pozrite sa, aké je to pohodlné! Operátor N", pôsobiace na každý stav, jednoducho dáva číslo vynásobené rovnakým stavom. V matici i|H"|j> je teda len uhlopriečka prvkov a je možné jednoducho pridať koeficienty z (10.28) k zodpovedajúcim diagonálnym členom v (10.13), takže hamiltonovské rovnice (10.14) sa stanú

Tvar rovníc sa nezmenil, zmenili sa len koeficienty. A dovidenia IN sa časom nemení, všetko môžete robiť tak, ako predtým.

Nahrádzanie

, dostaneme

Našťastie prvá a štvrtá rovnica sú stále nezávislé od ostatných, takže sa znova použije rovnaká technika. Jedným z riešení je štát | ja>, pre ktoré

Iné riešenie

Ďalšie dve rovnice vyžadujú viac práce, pretože koeficienty A 2 a 3 sa už navzájom nerovnajú. Ale sú veľmi podobné dvojici rovníc, ktoré sme napísali pre molekulu amoniaku. Pri spätnom pohľade na rovnice (7.20) a (7.21) môžeme nakresliť nasledujúcu analógiu (pamätajte, že dolné indexy 1 a 2 tu zodpovedajú dolným indexom 2 a 3):

Predtým boli energie dané vzorcom (7.25), ktorý mal tvar

Dosadením (10.33) tu získame energiu

V kap. 7 zvykneme tieto energie nazývať E ja A E II , teraz ich označíme E III A E IV :

Našli sme teda energie štyroch stacionárnych stavov atómu vodíka v konštantnom magnetickom poli. Pozrime sa na naše výpočty, na ktoré sa budeme riadiť IN na nulu a uvidíme, či dostaneme rovnaké energie ako v predchádzajúcom odseku. Vidíš, že váha je v poriadku. O B= 0 energie E ja , E II A E III kontakt + A, a E IV - V - ZA. Aj naše číslovanie štátov je v súlade s predchádzajúcim. Ale keď zapneme magnetické pole, každá energia sa začne meniť vlastným spôsobom. Pozrime sa, ako sa to stane.

Najprv si pripomeňme, že pre elektrón je m e záporné a takmer 1000-krát väčšie ako m p, ktoré je kladné. To znamená, že m e + m p a m e - m p sú záporné a takmer rovnaké. Označme ich -m a -m":

(Obidve mi aj m" sú kladné a takmer sa zhodujú s veľkosťou m e, ktorá sa približne rovná jednému Bohrovmu magnetónu.) Naše kvarteto energií sa potom zmení na

Energia E ja spočiatku rovný A a zvyšuje sa lineárne s rastom IN pri rýchlosti m. Energia E II je tiež spočiatku rovnaký A, ale s rastom IN lineárne klesá sklon jej krivky je -m . Zmena týchto úrovní z IN znázornené na obr. 10.3. Na obrázku sú zobrazené aj energetické grafy E III A E IV . Ich závislosť na IN rôzne. Pri malom IN závisia od IN kvadratický; Najprv je ich sklon nulový a potom sa začnú ohýbať a kedy veľké B priblížiť sa k priamkam so sklonom ±m", blízko svahu e i A E II

Obr. 10.3. Energetické hladiny základného stavu

vodík v magnetickom poliIN .

Krivky E III a E IV blížiace sa bodkované čiary

A±m"B.

Keď neexistuje magnetické pole, jednoducho sa získa jedna spektrálna čiara z hyperjemnej štruktúry vodíka. Prechody stavov | IV> a ktorýkoľvek z ostatných troch sa vyskytuje pri absorpcii alebo emisii fotónu, ktorého frekvencia je 1420 MHz:1/h, vynásobené energetickým rozdielom 44. Ale keď je atóm v magnetickom poli B, získa sa oveľa viac čiar. Prechody sa môžu vyskytnúť medzi ľubovoľnými dvoma zo štyroch stavov. To znamená, že ak máme atómy vo všetkých štyroch stavoch, potom energia môže byť absorbovaná (alebo emitovaná) v ktoromkoľvek zo šiestich prechodov znázornených na obr. 10.4 so zvislými šípkami.

Obr. 10.4. Prechody medzi energetickými hladinami základného stavu vodíka v určitom magnetickom poliIN.

Mnohé z týchto prechodov možno pozorovať pomocou techniky molekulárneho lúča Rabi, ktorú sme opísali v kap. 35, § 3 (vydanie 7).

Čo spôsobuje prechody? Vznikajú, ak spolu so silným konštantným poľom B aplikujte malé rušivé magnetické pole, ktoré sa mení s časom. To isté sme pozorovali pri pôsobení striedavého elektrického poľa na molekulu amoniaku. Len tu je vinníkom prechodov magnetické pole pôsobiace na magnetické momenty. Ale teoretické výpočty sú rovnaké ako v prípade amoniaku. Najjednoduchší spôsob, ako ich získať, je zobrať rušivé magnetické pole rotujúce v rovine hu, hoci to isté sa stane z akéhokoľvek oscilujúceho horizontálneho poľa. Ak vložíte toto rušivé pole ako dodatočný člen do hamiltoniánu, dostanete riešenia, v ktorých sa amplitúdy menia s časom, ako to bolo v prípade molekuly amoniaku. To znamená, že môžete ľahko a presne vypočítať pravdepodobnosť prechodu z jedného stavu do druhého. A zistíte, že to všetko je v súlade so skúsenosťami.

§ 5. Stavy v magnetickom poli

Teraz sa pozrime na tvar kriviek na obr. 10.3. Po prvé, ak hovoríme o veľkých poliach, závislosť energie od poľa je celkom zaujímavá a ľahko vysvetliteľná. Pre dostatočne veľké IN(teda kedy mB/A>>1) vo vzorcoch (10.37) môžeme zanedbať jednotu. Štyri energie majú formu

Toto sú rovnice štyroch čiar na obr. 10.3. Tieto vzorce možno fyzikálne pochopiť nasledovne. Povaha stacionárnych stavov v nula pole je úplne určené interakciou dvoch magnetických momentov. Miešanie základných stavov | + -> a | - +> v stacionárnych stavoch |III>a | IV>spôsobené touto interakciou. Sotva však možno očakávať, že každá z našich častíc (protón aj elektrón) silný vonkajší polia budú ovplyvnené poľom inej častice; každý sa bude správať, ako keby bol sám vo vonkajšom poli. Potom (ako sme už mnohokrát videli) bude spin elektrónu smerovať pozdĺž vonkajšieho magnetického poľa (pozdĺž neho alebo proti nemu).

Nech je spin elektrónu nasmerovaný nahor, t.j. pozdĺž poľa; jeho energia bude -m e B. Protón môže stáť rôznymi spôsobmi. Ak jeho spin smeruje aj nahor, potom jeho energia je -m p B. Ich súčet sa rovná -(m e + m p) B = mB. A toto je presne ono E ja , a to je veľmi pekné, pretože opisujeme stav |+ +>=| ja>. Je tu malý péro navyše A(teraz (m B>>A), ktorá predstavuje interakčnú energiu medzi protónom a elektrónom, keď sú ich rotácie paralelné. (Od samého začiatku sme verili A pozitívne, pretože to tak malo byť podľa predmetnej teórie; to isté sa deje experimentálne.) Ale rotácia protónov môže smerovať aj nadol. Potom sa jeho energia vo vonkajšom poli zmení na +m P B a spolu s elektrónom bude ich energia -(m e -m p) B= m IN. A energia interakcie sa zmení na - A. Ich súčet dodá energiu E III , v (10,38). Takže štát | III>v silných poliach sa stáva štátom |+ ->.

Nechajte rotáciu elektrónu teraz smerovať dole. Jeho energia vo vonkajšom poli sa rovná m e IN. Ak sa protón tiež pozerá dole, ich celková energia sa rovná (m e + m p) B = - m Plus interakčná energia A(chrbtá sú teraz rovnobežné). To len vedie k energii E II v (10,38) a zodpovedá stavu |- ->=| II>, čo je veľmi pekné. A nakoniec, ak elektrón má spin dole a protón má spin hore, potom dostaneme energiu (m e -m p )B-A (mínus A pretože chrbty sú opačné), t.j. E IV . A štát odpovedá |- +>.

„Počkajte chvíľu,“ pravdepodobne poviete. „Štáty | Ill>a | IV>- nie ještáty | + - > a | - + >; sú ich zmesi“. To je pravda, ale miešanie je tu sotva viditeľné. Skutočne, pri 5 = 0 sú to zmesi, ale zatiaľ sme nezistili, čo sa deje vo všeobecnosti IN. Keď sme na získanie energie stacionárnych stavov použili analógiu medzi (10.33) a vzorcami z kap. 7, potom zároveň bolo možné odtiaľ odoberať amplitúdy. Získate ich z (7.23):

Postoj a 2 /a 3 - toto je samozrejme tentoraz C 2 /C 3 Vložením podobných množstiev z (10.33) dostaneme

kde namiesto toho E musíte prijať vhodnú energiu (príp E III , alebo E IV ). Napríklad pre štát | III> máme

To znamená, že pre veľké IN v štáte | ///> S 2 >>C 3 ;stav sa takmer úplne stáva štátom | 2>= |+ ->. Rovnakým spôsobom, ak v (10.39) dosadíme e iv , potom sa ukáže, že (C 2 /C 3) IV >jednoducho prejde do stavu |3> = |- +>. Vidíte, že koeficienty v lineárnych kombináciách našich základných stavov, ktoré tvoria samotné stacionárne stavy, závisia od IN.

Chcel by som upriamiť vašu pozornosť najmä na to, čo sa deje v veľmi slabá magnetické polia. Existuje jedna energia ( -3A), ktoré nemení keď je zapnuté slabé magnetické pole. A je tu ďalšia energia ( +A), ktorý sa pri zapnutí slabého magnetického poľa rozdelí na tri rôzne energetické úrovne. V slabých energetických poliach s pribúdajúcimi IN zmeniť, ako je znázornené na obr. 10.5. Povedzme, že sme nejakým spôsobom vybrali súbor atómov vodíka, z ktorých všetky majú rovnakú energiu - 3A. Ak ich prejdeme cez Stern-Gerlachov prístroj (s nie veľmi silnými poľami), zistíme, že jednoducho celé prejdú. (Keďže ich energia nezávisí od IN, potom podľa princípu virtuálnej práce gradient magnetického poľa nevytvára žiadnu silu, ktorú by cítili.) Predpokladajme, že sme naopak vybrali skupinu atómov s energiou + A a prešiel ich cez Stern-Gerlachov prístroj, povedzme cez prístroj S.(Opäť, polia v prístroji by nemali byť také silné, aby zničili vnútro atómu; predpokladá sa, že polia sú také malé, že energie možno považovať za lineárne závislé od IN.) Dostali by sme tri zväzky. O štátoch | ja> a | II>pôsobia opačné sily, ich energie sa menia podľa IN lineárne so sklonom ±m, tak silu sú podobné silám pôsobiacim na dipól, ktorého m z = ± m , a štát | III> prechádza priamo cez. Vraciame sa opäť do kap. 3. Atóm vodíka s energiou +A je častica so spinom 1. Tento energetický stav je „častica“, pre ktorú j=1 a dá sa opísať (vzhľadom na nejaký systém osí v priestore) v základných stavoch |+ S>, | 0S> a |- S>, ktorý sme použili v kap. 3. Na druhej strane, keď má atóm vodíka energiu -3 A, je to častica so spinom nula. (Pripomíname, že všetko povedané, prísne vzaté, platí len pre nekonečne malé magnetické polia.) Stavy vodíka v nulovom magnetickom poli teda možno zoskupiť takto:

V kap. 35 (vydanie 7) sme povedali, že pre akúkoľvek časticu môžu zložky momentu hybnosti pozdĺž ktorejkoľvek osi nadobúdať len určité hodnoty, ktoré sa vždy líšia o h. Teda z-zložka momentu hybnosti J z môžu byť rovnaké J h,(j-1) h, (j- 2)h,..., (-j)h, Kde j- spin častice (ktorý môže byť celočíselný alebo polovičný). Zvyčajne píšu

J z =mh,(10.43)

Kde T stojí na mieste ktoréhokoľvek z čísel j, j-1, j- 2, . . .,-j(toto sme vtedy nepovedali). Preto často nájdete v knihách číslovanie štyroch hlavných štátov pomocou tzv kvantové čísla j A m[často označované ako „kvantové číslo celkového momentu hybnosti“ ( j) a "magnetické kvantové číslo" (m)]. Namiesto našich štátnych symbolov | ja>, |II> atď veľa ľudí často píše štáty v tvare | j, m>. Znázornili by našu tabuľku stavov pre nulové pole v (10.41) a (10.42) vo forme tabuľky. 10.3. Nie je tu žiadna nová fyzika, je to len otázka zápisu.

Tabuľka 10.3· STAVY ATÓMU VODÍKA V NULOVOM POLE

§ 6. Projekčná matica pre spin 1

Teraz by sme chceli naše poznatky o atóme vodíka aplikovať na jeden špeciálny problém. V kap. 3 sme hovorili o tom, že častica s rotáciou 1, nachádza sa v jednom zo základných stavov (+, 0, -) vo vzťahu k Stern-Gerlachovmu zariadeniu s určitou konkrétnou orientáciou (povedzme vo vzťahu k zariadeniu S), bude mať určitú amplitúdu v jednom z troch stavov vo vzťahu k zariadeniu T, orientovaný v priestore inak. Existuje deväť takýchto amplitúd jT|iS> , ktoré spolu tvoria projekčnú maticu. V kap. 3, § 7 sme prvky tejto matice pre rôzne zamerania zapísali bez dôkazu T smerom k S. Teraz vám chceme ukázať jeden zo spôsobov ich výstupu.

V atóme vodíka sme našli systém so spinom 1, zložený z dvoch častíc so spinom 1/2. V kap. 4 sme sa už naučili previesť amplitúdy pre spin 1/2. Tieto poznatky možno použiť na získanie transformácie pre spin 1. Takto sa to robí: máte systém (atóm vodíka s energiou + A) s odstredením 1. Precedíme cez filter S Stern-Gerlach, aby sme teraz vedeli, že je v jednom zo základných stavov vzhľadom na S, povedzme v |+ S). Aká je amplitúda toho, že skončí v jednom zo základných stavov, povedzme |+ T), vo vzťahu k zariadeniu T? Ak zavoláte súradnicový systém prístroja S systém x, y, z, ten štát |+ S> - toto sa nedávno nazývalo stav |+ +>. Ale predstav si, že nejaký tvoj kamarát ťahal nápravu z pozdĺž osi T. Svoje stavy bude spájať s nejakým systémom x", y", z". Jeho stavy hore a dole pre elektrón a protón by sa líšili od vášho. Jeho uveďte „plus - plus“, ktoré možno napísať | +"+">, berúc na vedomie „šrafovanosť“ systému, je tu stav |+ T> častice so spinom 1. Zaujíma vás T|+ S> že jednoducho existuje iný spôsob zaznamenávania amplitúdy.

Amplitúdu možno zistiť nasledovne. IN tvoj spinový systém elektrón zo štátu | + +> ukazuje nahor. To znamená, že má určitú amplitúdu e, aby bol v systéme vášho priateľa otočený hore a nejakú amplitúdu e, aby bol v tomto systéme otočený smerom nadol. podobne, protón schopný + + U sa roztočí vo vašom systéme a amplitúdy p a p sa ukážu byť otočené nahor alebo nadol v „primovanom“ systéme. Keďže hovoríme o dvoch rôznych časticiach, amplitúda o že obajačastice spolu V jeho ukáže sa, že systém bude s ich chrbtom nahor rovný súčinu amplitúd

Pod amplitúdy dávame ikony e a p, aby bolo jasné, čo robíme. Ale obe sú jednoducho transformačné amplitúdy pre časticu so spinom 1/2, takže v skutočnosti sú to rovnaké čísla. V skutočnosti ide o rovnaké amplitúdy, ktoré sme opísali v kap. 4 sa nazývali T|+ S>> a ktoré máme uvedené v tabuľke. 4.1 a 4.2.

Teraz nám však hrozí zmätok v zápise. Musíte byť schopní rozlíšiť amplitúdu T|+ S) pre časticu s točením 1/2 toho, čím sme Tiež s názvom T|+ S>, ale pre späť 1-nie je medzi nimi nič spoločné! Dúfam, že nebudete príliš zmätení, ak my na chvíľu Zaveďme ďalšie označenia amplitúd pre spin 1/2, ktoré sú uvedené v tabuľke. 10.4. Pre stavy častíc spin 1 budeme naďalej používať označenie | + S, | 0S> a |- S>.

Tabuľka 10.4· AMPLITUDY pre SPIN 1/2

V našom novom zápise (10.44) sa jednoducho stáva

Toto je presne amplitúda T|+ S> pre otočku 1. Predpokladajme teraz napríklad, že váš priateľ má súradnicový systém, t. j. „vyšrafované“ zariadenie T, točil dookola tvoj osi z podľa uhla j; potom zo stola Ukazuje sa 4.2

To znamená, že od (10.44) sa amplitúda pre spin 1 bude rovnať

Teraz už chápete, ako budeme postupovať ďalej.

Ale bolo by dobré vykonať výpočty vo všeobecnom prípade pre všetky štáty. Ak sú v ňom protón a elektrón náš systém (systém S) obaja vzhliadnu, potom amplitúdy toho, čo je v druhom systéme (systém T)budú v jednom zo štyroch možných stavov,

Stav |+ +> potom môžeme zapísať ako nasledujúcu lineárnu kombináciu:

Rovnakým spôsobom je ľahké to ukázať

C |0 S> situácia je trochu zložitejšia, pretože

Ale každý zo štátov | + - > a | - +> možno vyjadriť prostredníctvom „šrafovaných“ stavov a dosadiť do súčtu:

Vynásobením súčtu (10,50) a (10,51) číslom 1/T2 dostaneme

to znamená

Teraz máme všetky potrebné amplitúdy. Koeficienty v (10,48), (10,49) a (10,52) sú prvky matice

jT| je>. Dajme ich do jednej matice:

Transformáciu spin 1 sme vyjadrili pomocou amplitúd a, b, s a d spin 1/2 transformácie.

Ak je napr T otočený vzhľadom k S pod uhlom a okolo osi pri(pozri obr. 3.6, s. 64), potom amplitúdy v tabuľke. 10.4 sú len maticové prvky R r a) v tabuľke. 4.2:

Ich dosadením do (10.53) dostaneme vzorce (3.38), ktoré sú na strane 80 uvedené bez dôkazu.

Ale čo sa stalo so štátom | IV)?! Toto je systém spin-nula; to znamená, že má len jeden stav – to vo všetkých súradnicových systémoch rovnaký. Môžete skontrolovať, či všetko dopadne takto, ak zoberiete rozdiel (10,50) a (10,51); dostaneme

ale (ad-bc) - toto je determinant matice pre spin 1/2, jednoducho sa rovná jednej. Ukázalo sa

|IV">=|IV> pre akúkoľvek relatívnu orientáciu dvoch súradnicových systémov.

* Pre tých, ktorí preskočili ch. 4, budete musieť preskočiť aj tento odsek.

*Pamätajte, že klasicky U= -m·B, takže energia je najmenšia, keď je krútiaci moment smerovaný pozdĺž poľa. Pre kladne nabité častice je magnetický moment rovnobežný s rotáciou, pre záporné - naopak. To znamená, že v (10,27) m R je kladné číslo a (m e - negatívny.

*Crampton, Kleppner, Ramsey, Physical Review Letters, 11, 338 (1963).

*V skutočnosti je to podmienka

ale ako obyčajne budeme stavy identifikovať konštantnými vektormi, ktoré sa pri t=0 zhodujú s reálnymi vektormi.

* Tento operátor sa teraz nazýva operátor výmeny rotácie.

* U týchto operátorov sa však ukazuje, že nič nezávisí od ich poradia.

, molekuly a ióny a podľa toho aj spektrálne čiary v dôsledku interakcie magnetického momentu jadra s magnetickým poľom elektrónov. Energia tejto interakcie závisí od možných vzájomných orientácií jadrových spinov a spinov elektrónov.

resp. hyperjemné štiepanie- rozdelenie energetických hladín (a spektrálnych čiar) do niekoľkých podúrovní spôsobené takouto interakciou.

Podľa klasických konceptov má elektrón obiehajúci okolo jadra, ako každá nabitá častica pohybujúca sa po kruhovej dráhe, magnetický dipólový moment. Podobne v kvantovej mechanike vytvára orbitálny moment hybnosti elektrónu určitý magnetický moment. Interakcia tohto magnetického momentu s magnetickým momentom jadra (v dôsledku jadrového spinu) vedie k hyperjemnému štiepeniu (to znamená, že vytvára hyperjemnú štruktúru). Elektrón má však aj spin, ktorý prispieva k jeho magnetickému momentu. Preto existuje hyperjemné delenie aj pre členy s nulovou orbitálnou hybnosťou.

Vzdialenosť medzi podúrovňami hyperjemnej štruktúry je rádovo menšia ako medzi úrovňami jemnej štruktúry (táto rádová veľkosť je v podstate určená pomerom hmotnosti elektrónu k hmotnosti jadra).

Abnormálna ultrajemná štruktúra je spôsobená interakciou elektrónov s kvadrupólovým elektrickým momentom jadra.

Príbeh

Hyperjemné štiepenie pozoroval A. A. Michelson v roku 1881, ale bolo vysvetlené až potom, čo W. Pauli v roku 1924 navrhol prítomnosť magnetického momentu v atómových jadrách.

Napíšte recenziu na článok "Ultrafinálna štruktúra"

Literatúra

Landau L.D., Lifshits E.M. Teoretická fyzika. Zväzok 3. Kvantová mechanika (nerelativistická teória).
Shpolsky E.V. Atómová fyzika. - M.: Nauka, 1974.

Úryvok charakterizujúci hyperjemnú štruktúru

"Nemá zmysel baviť sa," odpovedal Bolkonsky.
Zatiaľ čo sa princ Andrej stretol s Nesvitským a Žerkovom, na druhej strane chodby Rauch Strauch, rakúsky generál, ktorý bol v Kutuzovovom veliteľstve monitorovať zásobovanie ruskej armády potravinami, a člen Gofkriegsrat, ktorý prišiel deň predtým. , kráčal smerom k nim. Pozdĺž širokej chodby bolo dosť miesta, aby sa generáli mohli voľne rozptýliť s tromi dôstojníkmi; ale Žerkov, odtláčajúc Nesvitského rukou, povedal zadýchaným hlasom:
- Už idú!... už idú!... uhni nabok! prosím spôsob!
Generáli prechádzali okolo s túžbou zbaviť sa nepríjemných vyznamenaní. Na tvári vtipkára Žerkova sa zrazu objavil hlúpy úsmev radosti, ktorý akoby nedokázal potlačiť.
"Vaša Excelencia," povedal po nemecky, postúpil dopredu a oslovil rakúskeho generála. – Mám tú česť vám zablahoželať.
Sklonil hlavu a nemotorne, ako deti, ktoré sa učia tancovať, začal šúchať najprv jednou a potom druhou nohou.
Generál, člen Gofkriegsrat, sa naňho prísne pozrel; bez toho, aby si všimol vážnosť hlúpeho úsmevu, nemohol odmietnuť chvíľku pozornosti. Prižmúril oči, aby ukázal, že počúva.
„Mám tú česť vám zablahoželať, prišiel generál Mack, je úplne zdravý, len sa tu trochu zranil,“ dodal s úsmevom a ukázal si na hlavu.
Generál sa zamračil, otočil sa a kráčal ďalej.
– Gott, aký naivný! [Bože môj, aké je to jednoduché!] - povedal nahnevane a odišiel pár krokov.
Nesvitskij objal princa Andreja so smiechom, ale Bolkonskij, ešte bledší, s nahnevaným výrazom v tvári ho odstrčil a obrátil sa k Zherkovovi. Nervózne podráždenie, do ktorého ho priviedol pohľad na Macka, správa o jeho porážke a myšlienka na to, čo čaká ruskú armádu, vyústilo do hnevu na Zherkovov nevhodný vtip.
„Ak vy, drahý pane,“ prehovoril prenikavo s miernym chvením spodnej čeľuste, „chcete byť šašom, potom vám v tom nemôžem zabrániť; ale vyhlasujem ti, že ak sa inokedy opovážiš zosmiešniť ma v mojej prítomnosti, tak ťa naučím, ako sa máš správať.
Nesvitskij a Zherkov boli tak prekvapení týmto výbuchom, že mlčky pozerali na Bolkonského s otvorenými očami.
"No, práve som zablahoželal," povedal Zherkov.
– Nerobím si z vás srandu, buďte ticho! - zakričal Bolkonskij a vzal Nesvitského za ruku a odišiel od Zherkova, ktorý nevedel nájsť odpoveď.
"No, o čom to hovoríš, brat," povedal Nesvitský upokojujúco.

Hoci sme dokončili úlohu hľadania energetických hladín základného stavu vodíka, stále budeme pokračovať v štúdiu tohto zaujímavého systému. Povedať o tom niečo iné, napríklad vypočítať rýchlosť, akou atóm vodíka absorbuje alebo vyžaruje rádiové vlny s dĺžkou 21 cm, musíte vedieť, čo sa s ním stane, keď je pobúrený. Musíme urobiť to, čo sme urobili s molekulou amoniaku - potom, čo sme našli energetické hladiny, išli sme ďalej a zistili, čo sa stane, keď je molekula v elektrickom poli. A potom nebolo ťažké predstaviť si vplyv elektrického poľa rádiovej vlny. V prípade atómu vodíka elektrické pole nerobí nič s hladinami, okrem toho, že ich všetky posúva o nejakú konštantnú hodnotu úmernú štvorcu poľa, a to nás nezaujíma, pretože sa nemení. rozdiely energie. Tentoraz je to dôležité magnetNový lúka. To znamená, že ďalším krokom je napísať Hamiltonián pre zložitejší prípad, keď atóm sedí vo vonkajšom magnetickom poli.

Čo je to za hamiltonián? Jednoducho vám povieme odpoveď, pretože nemôžeme poskytnúť žiadny „dôkaz“, okrem toho, že povieme, že presne takto je štruktúrovaný atóm.

Hamiltonián má formu

Teraz sa skladá z troch častí. Prvý člen A(σ e ·σ p) predstavuje magnetickú interakciu medzi elektrónom a protónom; je to to isté, ako keby nebolo magnetické pole. Vplyv vonkajšieho magnetického poľa sa prejavuje vo zvyšných dvoch pojmoch. Druhý termín (- μ e σ e· B) je energia, ktorú by mal elektrón v magnetickom poli, keby tam bol sám. Rovnakým spôsobom by posledný člen (- μ р σ р ·В) bola energia jedného protónu. Podľa klasickej fyziky by energia oboch spolu bola súčtom ich energií; Aj to je podľa kvantovej mechaniky správne. Interakčná energia vznikajúca v dôsledku prítomnosti magnetického poľa je jednoducho súčtom energií interakcie elektrónu s magnetickým poľom a protónu s rovnakým poľom, vyjadrených prostredníctvom sigma operátorov. V kvantovej mechanike tieto pojmy v skutočnosti nie sú energiami, ale odkaz na klasické vzorce pre energiu pomáha zapamätať si pravidlá písania Hamiltoniánu. Nech je to akokoľvek, (10.27) je správny hamiltonián.

Teraz sa musíte vrátiť na začiatok a vyriešiť celý problém znova. Ale väčšina práce už bola vykonaná, len musíme pridať efekty spôsobené novými členmi. Predpokladajme, že magnetické pole B je konštantné a smeruje pozdĺž z. Potom k nášmu starému hamiltonovskému operátorovi N musíte pridať dva nové kusy; označme ich N′:

Pozrite sa, aké je to pohodlné! Operátor H′, pôsobiaci na každý stav, jednoducho dáva číslo vynásobené rovnakým stavom. V matici<¡|H′| j>existuje teda len uhlopriečka prvkov a je možné jednoducho pridať koeficienty z (10.28) k zodpovedajúcim diagonálnym členom v (10.13), takže hamiltonovské rovnice (10.14) sa stanú

Tvar rovníc sa nezmenil, zmenili sa len koeficienty. A dovidenia IN sa časom nemení, všetko môžete robiť tak, ako predtým.
Nahrádzanie S= a l e-(¡/h)Et, dostaneme

Našťastie prvá a štvrtá rovnica sú stále nezávislé od ostatných, takže sa znova použije rovnaká technika. Jedným z riešení je štát |/>, pre ktorý

Ďalšie dve rovnice vyžadujú viac práce, pretože koeficienty a 2 a a 3 už nie sú navzájom rovné. Ale sú veľmi podobné dvojici rovníc, ktoré sme napísali pre molekulu amoniaku. Pri spätnom pohľade na rovnice (7.20) a (7.21) môžeme nakresliť nasledujúcu analógiu (pamätajte, že dolné indexy 1 a 2 tu zodpovedajú dolným indexom 2 a 3):

Predtým boli energie dané vzorcom (7.25), ktorý mal tvar

V kapitole 7 sme tieto energie nazývali E I a E II, teraz ich označíme E III A E IV

Našli sme teda energie štyroch stacionárnych stavov atómu vodíka v konštantnom magnetickom poli. Pozrime sa na naše výpočty, na ktoré sa budeme riadiť IN na nulu a uvidíme, či dostaneme rovnaké energie ako v predchádzajúcom odseku. Vidíte, že je všetko v poriadku. O B = 0 energie E I, E II A E III kontakt +A, a E IV - V - 3A. Aj naše číslovanie štátov je v súlade s predchádzajúcim. Ale keď zapneme magnetické pole, každá energia sa začne meniť vlastným spôsobom. Pozrime sa, ako sa to stane.

Najprv si pripomeňte, že elektrón μ e negatívny a takmer 1000-krát väčší μ p, čo je pozitívne. To znamená, že μ e + μ р a μ e -μ р sú negatívne a takmer rovnaké. Označme ich -μ a -μ′:

(A μ , a μ′ sú kladné a takmer sa zhodujú v hodnote s μ e, čo sa približne rovná jednému Bohrovmu magnetónu.) Naše kvarteto energií sa potom zmení na

Energia E ja spočiatku rovný A a zvyšuje sa lineárne s rastom IN s rýchlosťou μ. Energia E II je tiež spočiatku rovnaký A, ale s rastom IN lineárne klesá sklon jeho krivky je - μ . Zmena týchto úrovní z IN znázornené na obr. 10.3. Na obrázku sú zobrazené aj energetické grafy E III A E IV. Ich závislosť na IN rôzne. Pri malom IN závisia od IN kvadratický; Najprv je ich sklon nulový a potom sa začnú ohýbať a kedy veľké B priblížiť sa k priamkam so sklonom ± μ “ blízko svahu E I A E II.

Posun hladín atómovej energie spôsobený pôsobením magnetického poľa sa nazýva tzv Zeemanov efekt. Hovoríme, že krivky na obr. predstavenie 10.3 Zeemanovo štiepenie základný stav vodíka. Keď neexistuje magnetické pole, jednoducho sa získa jedna spektrálna čiara z hyperjemnej štruktúry vodíka. Prechody stavov | IV> a ktorýkoľvek z ostatných troch sa vyskytuje s absorpciou alebo emisiou fotónu, ktorého frekvencia je 1420 MHz:1/h, vynásobené energetickým rozdielom 4A. Ale keď je atóm v magnetickom poli B, potom je tam oveľa viac čiar. Prechody sa môžu vyskytnúť medzi ľubovoľnými dvoma zo štyroch stavov. To znamená, že ak máme atómy vo všetkých štyroch stavoch, potom energia môže byť absorbovaná (alebo emitovaná) v ktoromkoľvek zo šiestich prechodov znázornených na obr. 10.4 so zvislými šípkami. Mnohé z týchto prechodov možno pozorovať pomocou techniky molekulárneho lúča Rabi, ktorú sme opísali v kap. 35, § 3 (vydanie 7).

Čo spôsobuje prechody? Vznikajú, ak spolu so silným konštantným poľom IN aplikujte malé rušivé magnetické pole, ktoré sa mení s časom. To isté sme pozorovali pri pôsobení striedavého elektrického poľa na molekulu amoniaku. Len tu je vinníkom prechodov magnetické pole pôsobiace na magnetické momenty. Ale teoretické výpočty sú rovnaké ako v prípade amoniaku. Najjednoduchší spôsob, ako ich získať, je zobrať rušivé magnetické pole rotujúce v rovine hu, hoci to isté sa stane z akéhokoľvek oscilujúceho horizontálneho poľa. Ak vložíte toto rušivé pole ako dodatočný člen do hamiltoniánu, dostanete riešenia, v ktorých sa amplitúdy menia s časom, ako to bolo v prípade molekuly amoniaku. To znamená, že môžete ľahko a presne vypočítať pravdepodobnosť prechodu z jedného stavu do druhého. A zistíte, že to všetko je v súlade so skúsenosťami.

9. Získanú hodnotu porovnajte s teoretickou vypočítanou cez univerzálne konštanty.

Správa musí obsahovať:

1. Optická konštrukcia spektrometra s hranolom a otočným hranolom;

2. Tabuľka meraní uhlov odchýlky čiar - referenčné body ortuti a ich priemerné hodnoty;

3. Tabuľka meraní uhlov odchýlky vodíkových čiar a ich priemerných hodnôt;

4. Hodnoty zistených frekvencií vodíkových čiar a interpolačné vzorce použité na výpočty;

5. Systémy rovníc používané na určenie Rydbergovej konštanty metódou najmenších štvorcov;

6. Získaná hodnota Rydbergovej konštanty a jej hodnota vypočítaná z univerzálnych konštánt.

3.5.2. Spektroskopické stanovenie jadrových momentov

3.5.2.1. Experimentálne stanovenie parametrov hyperjemného štiepenia spektrálnych čiar.

Na meranie ultrajemnej štruktúry spektrálnych čiar je potrebné použiť spektrálne prístroje s vysokou rozlišovacou schopnosťou, preto v tejto práci používame spektrálny prístroj so skríženou disperziou, v ktorom je vo vnútri hranolového spektrografu umiestnený Fabry-Perotov interferometer (pozri obr. 3.5.1 a oddiel 2.4.3.2,

ryža. 2.4.11).

Disperzia hranolového spektrografu je dostatočná na oddelenie spektrálnych emisných čiar spôsobených prechodmi valenčného elektrónu v atóme alkalického kovu, ale je úplne nedostatočná na rozlíšenie hyperjemnej štruktúry každej z týchto čiar. Ak by sme teda použili len hranolový spektrograf, na fotografickej platni by sme získali bežné emisné spektrum, v ktorom by sa zložky hyperjemnej štruktúry spojili do jednej čiary, ktorej spektrálna šírka je určená len rozlíšením ICP51. .

Fabry-Perotov interferometer umožňuje získať interferenčný obrazec v rámci každej spektrálnej čiary, čo je sekvencia interferenčných prstencov. Uhlový priemer týchto prstencov θ, ako je známy z teórie Fabryho-Perotovho interferometra, je určený pomerom hrúbky štandardnej vzduchovej vrstvy t a vlnovej dĺžky λ:

		θ k = k

kde k je poradie interferencií pre daný kruh.

Každá spektrálna čiara teda nie je len geometrickým obrazom vstupnej štrbiny, skonštruovaným optickým systémom spektrografu v rovine fotografickej platne, každý z týchto obrazov sa teraz ukazuje ako pretínaný segmentmi interferenčných prstencov. Ak nedôjde k hyperjemnému rozdeleniu, potom v rámci danej spektrálnej čiary bude pozorovaný jeden systém prstencov zodpovedajúci rôznym rádom interferencie.

Ak sú v rámci danej spektrálnej čiary dve zložky s rôznymi vlnovými dĺžkami (hyperjemné delenie), potom interferenčný obrazec budú dva systémy prstencov pre vlnové dĺžky λ a λ", znázornené na obr. 3.5.2 s plnými a bodkovanými čiarami.

Ryža. 3.5.2. Interferenčná štruktúra spektrálnej čiary pozostávajúca z dvoch blízkych zložiek.

Lineárny priemer interferenčných krúžkov d v aproximácii malého uhla súvisí s uhlovým priemerom θ vzťahom:

d = θ×F 2,

kde F 2 je ohnisková vzdialenosť šošovky spektrografickej kamery.

Získame výrazy týkajúce sa uhlových a lineárnych priemerov interferenčných prstencov s vlnovou dĺžkou žiarenia, ktoré tvorí interferenčný obrazec vo Fabryho-Perotovom interferometri.

V malom uhlovom priblížení cos θ 2 k ≈ 1− θ 8 k a pre dve dĺžky

vlny λ a λ "podmienky pre interferenčné maximum k-tého rádu budú napísané podľa:

				4λ"
θk = 8	−k	θ" k = 8	−k

Odtiaľ, pre rozdiel medzi vlnovými dĺžkami dvoch zložiek, získame:

d λ = λ" −λ =		(θ k 2	− θ" k 2)
d λ = λ" −λ =		(θ k 2	− θ" k 2)

Uhlový priemer (k +1) 1. rádu vlnovej dĺžky je určený
pomer:
	8 − (k +1)
	8 − (k +1)
k+ 1

Z (3.5.9) a (3.5.11) dostaneme:

	= 02			− θ2

				k+ 1

Okrem t					z (3.5.10)-(3.5.12) dostaneme:
d λ =			θk 2 − θ" k 2

		k θ2 − θ2
					k+ 1

Pri malých uhloch je poradie interferencie dané vzťahom

k = 2 λ t (pozri (3.5.8)), takže rovnosť (3.5.13) má tvar:

d λ =			θk 2 − θ" k 2
d λ =
	2 t 6 2			− θ2
				k+ 1

Prejdeme na vlnové čísla ν =					Dostaneme:
Prejdeme na vlnové čísla ν =					Dostaneme:
		1 d k 2 − d "k 2
d ν =
d ν =			− d 2
			k+ 1

Teraz, aby sme určili d ~ ν, musíme zmerať lineárne priemery dvoch systémov interferenčných krúžkov pre dve zložky hyperjemnej štruktúry vo vnútri skúmanej spektrálnej čiary. Na zvýšenie presnosti určenia d ~ ν má zmysel merať priemery krúžkov, počnúc druhým a končiac piatym. Ďalšie krúžky sú umiestnené blízko seba a chyba pri určovaní rozdielu v štvorcoch priemerov krúžkov veľmi rýchlo narastá. Môžete spriemerovať celú pravú stranu (3.5.16) alebo oddelene čitateľa a menovateľa.