V tejto lekcii si pripomenieme základy, na ktorých je založená teória opísaných a opísaných kružníc, pripomenieme si charakteristiky opísaných a opísaných štvoruholníkov. Okrem toho odvodíme vzorce na zistenie polomerov kružnice opísanej a vpísanej v rôznych prípadoch.
Téma: Kruh
Lekcia: Vpísané a ohraničené kruhy
V prvom rade hovoríme o vpísaných a opísaných kruhoch vo vzťahu k trojuholníku. Na túto tému sme pripravení, pretože sme študovali vlastnosti osi a odvesničiek trojuholníka.
Kruh môže byť vpísaný do ľubovoľného trojuholníka (pozri obr. 1).
Ryža. 1
dôkaz:
Vieme, že všetky osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - nech je to v bode O. Narysujme osi AO, BO, CO. Ich priesečník O je rovnako vzdialený od strán trojuholníka. Je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla - AC a AB, keďže patrí do osi tohto uhla. Rovnako je v rovnakej vzdialenosti od strán uhlov a teda od troch strán trojuholníka.
Pustime kolmice z bodu O na strany trojuholníka - OM na stranu AC, OL na BC, OK na AB. Tieto kolmice budú vzdialenosti od bodu O k stranám trojuholníka a sú rovnaké:
.
Označme vzdialenosť od bodu O k stranám trojuholníka ako r a uvažujme kružnicu so stredom v bode O a polomerom r.
Kruh sa dotýka priamky AB, pretože má s ním spoločný bod K a polomer OK nakreslený do tohto bodu je kolmý na priamku AB. Podobne sa kruh dotýka čiar AC a BC. Kruh sa teda dotýka všetkých strán trojuholníka, čo znamená, že je vpísaný do trojuholníka.
Takže tri osi trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý je stredom kružnice.
Zoberme si ďalšiu vetu, ktorá sa týka priesečníka odvesníc trojuholníka. Vieme, že sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa zhoduje so stredom kružnice opísanej trojuholníku.
Okolo akéhokoľvek trojuholníka možno nakresliť kruh.
Takže je daný trojuholník. Narysujme os p 1 na stranu trojuholníka BC, p 2 na stranu AB, p 3 na stranu AC (pozri obr. 2).
Podľa vety o vlastnostiach odvesničiek je bod patriaci odvesnici úsečky rovnako vzdialený od koncov úsečky. Preto, pretože bod Q patrí kolmici na úsečku AC. Podobne. Bod Q je teda rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka. Preto QA, QB, QC sú polomery
Ryža. 2
kruh opísaný okolo trojuholníka. Označme polomer R. Bod O priesečníka odvesníc je stredom kružnice opísanej.
Uvažujme kružnicu vpísanú do určitého štvoruholníka a vlastnosti tohto štvoruholníka (pozri obr. 3).
Pripomeňme si vlastnosti bodu ležiaceho na osi uhla.
Je daný uhol, jeho os je AL, bod M leží na osi.
Ak bod M leží na osi uhla, potom je rovnako vzdialený od strán uhla, to znamená, že vzdialenosti strán uhla od bodu M po AC a po BC sú rovnaké.
Ryža. 3
Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice. Z bodu M nakreslíme kolmice MK na stranu AB a MR na stranu AC.
Zvážte trojuholníky a . Toto sú pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože... majú spoločnú preponu AM a uhly sú rovnaké, pretože AL je osou uhla. Pravouhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a ostrom uhle, z toho vyplýva, že , čo je potrebné dokázať. Teda bod na osi uhla je rovnako vzdialený od strán tohto uhla.
Okrem toho nohy. Dotykové segmenty nakreslené ku kružnici z jedného bodu sú teda rovnaké.
Vráťme sa teda k štvoruholníku. Prvým krokom je nakresliť do nej osi.
Všetky osy štvoruholníka sa pretínajú v jednom bode - bode O, stred vpísanej kružnice.
Z bodu O spustíme kolmice na strany štvoruholníka do bodov K, L, M, N a určíme body dotykov (pozri obr. 3).
Dotyčnice nakreslené ku kružnici z jedného bodu sú si navzájom rovné, takže z každého vrcholu vzniká dvojica rovnakých dotyčníc: , , , .
Ryža. 3
Ak sa dá kruh vpísať do štvoruholníka, potom sú súčty jeho protiľahlých strán rovnaké. Je ľahké dokázať:
Rozšírime zátvorky:
Tak sme dokázali jednoduchú, ale dôležitú vetu.
Ak sa dá kruh vpísať do štvoruholníka, potom sú súčty jeho protiľahlých strán rovnaké.
Opačná veta je pravdivá.
Ak sú súčty protiľahlých strán štvoruholníka rovnaké, potom je možné do neho vpísať kruh.
Uvažujme o kružnici opísanej okolo štvoruholníka.
Daná kružnica so stredom O a ľubovoľný štvoruholník ABCD. Uvažujme o vlastnostiach tohto štvoruholníka. Všetky štyri kolmé osi daného štvoruholníka sa pretínajú v jednom bode: tento bod je stredom kružnice opísanej.
Dokazovať, že všetky štyri kolmé osi sa pretínajú v jednom bode, by bolo únavné. Existuje ďalšie znamenie. Uvažujme uhol ےА, je to vpísaný uhol kružnice, opiera sa o oblúk a meria sa polovicou stupňa tohto oblúka (pozri obr. 4). Označme uhol 20 ako , potom oblúk . Podobne označíme opačný uhol ےС ako , je vpísaný do kruhu a spočíva na oblúku . Preto ten oblúk.
Ryža. 4
Oblúky tvoria úplný kruh. Odtiaľ:
, 
Ak výsledný výraz vydelíme dvoma, dostaneme:
Takže sme dokázali priamu vetu.
Veta
Ak je kruh opísaný okolo štvoruholníka, súčet jeho opačných uhlov je .
Toto je nevyhnutné a dostatočné znamenie, to znamená, že opačná veta je pravdivá.
Ak súčet protiľahlých uhlov štvoruholníka je , okolo tohto štvoruholníka možno nakresliť kružnicu.
Na základe týchto teorém si všimneme, že nie je možné opísať kruh okolo rovnobežníka, pretože jeho opačné uhly sú rovnaké a ich súčet nie je rovnaký (pozri obr. 5).
Ryža. 5
Kruh by sa dal opísať okolo rovnobežníka, ak by jeho opačné uhly boli rovné 90°, teda ak by to bol obdĺžnik, tak by sa dal opísať kruh okolo obdĺžnika (pozri obr. 6).
Ryža. 6
Je tiež nemožné opísať kruh okolo kosoštvorca, ale dá sa vpísať, pretože všetky strany kosoštvorca sú rovnaké, a teda súčty protiľahlých strán kosoštvorca sú rovnaké.
Okrem toho v kosoštvorci je každá uhlopriečka osou; priesečník osí je rovnako vzdialený od všetkých strán kosoštvorca (pozri obr. 7).
Ryža. 7
Takže sme dokázali, že kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka a stred tohto kruhu sa zhoduje s priesečníkom osi trojuholníka. Tiež sme dokázali, že kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek trojuholníka a jeho stred sa bude zhodovať s priesečníkom odvesníc. Okrem toho sme videli, že niektoré štvoruholníky môžu byť vpísané kružnicou, a na to je potrebné, aby súčty protiľahlých strán štvoruholníka boli rovnaké. Ukázali sme tiež, že okolo niektorých štvoruholníkov je možné opísať kružnicu a nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou je na to rovnosť súčtu protiľahlých uhlov.
Bibliografia
- Alexandrov A.D. a iné Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. ročník. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Uztest.ru ().
- Mschool.kubsu.ru ().
- Ege-study.ru ().
Domáca úloha
VETA O KRUŽNICI OPISOVAnom OKOLO LYGÓNU: Okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka je možné opísať kruh, a to iba jeden. VETA O KRUHU ZAPÍSAnom DO PRAVIDELNÉHO LYGÓNU: Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka, a to len do jedného.
SPa4a4 rRN Výpočet plochy pravidelného mnohouholníka, jeho strany a polomeru vpísanej kružnice a polomeru vpísanej kružnice
Oblasti pravidelných mnohouholníkov Oblasti pravidelných mnohouholníkov NÁZVY A PLOCHA POLYGÓNOV Počet strán Názov mnohouholníkaPlocha pravidelného mnohouholníka 3Trojuholník0,433a 2 4Štvoruholník1,000a 2 5Päťuholník1,720a 2 6Ošesťuholník2,588a 2,598a 26uholník 3,66 9Octagon6.182a 2 10Desetagon7.694a 2 nn- štvorcový
0 vpísaných uhlov. Hippokrates z Chiosu Dôkaz prezentovaný v moderných učebniciach, že vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, na ktorom spočíva, je daný v Euklidových Prvkoch. Na tento návrh sa však odvoláva aj Hippokrates z Chiosu (5. storočie pred Kristom) vo svojej práci o „dierach“. Diela Hippokrata naznačujú, že už v druhej polovici 5. stor. BC e. bolo známe veľké množstvo teorémov uvedených v Euklidových prvkoch a geometria dosiahla vysoký stupeň rozvoja. Skutočnosť, že vpísaný uhol založený na priemere je pravý uhol, poznali Babylončania už pred 4000 rokmi. Jeho prvý dôkaz pripisuje Pamfýlia, rímska spisovateľka z čias Nera, Thalesovi z Milétu.
0 pravidelné mnohouholníky Pravidelné štvoruholníky, šesťuholníky a osemuholníky sa nachádzajú v egyptských a babylonských starovekých pamiatkach vo forme obrazov na stenách a dekorácií vytesaných z kameňa. Starovekí grécki vedci začali prejavovať veľký záujem o pravidelné postavy už od čias Pytagorasa. Rozdelenie kruhu na niekoľko rovnakých častí na vytvorenie pravidelných mnohouholníkov bolo dôležité pre Pytagorejcov, ktorí tvrdili, že čísla sú základom všetkých javov na svete. Náuka o pravidelných mnohouholníkoch, ktorá sa začala v Pytagoriovej škole, pokračovala a rozvíjala sa v 7. storočí. BC e., bola systematizovaná Euklidom a uvedená v knihe IV prvkov. Okrem zostrojenia pravidelného trojuholníka, štvoruholníka, päťuholníka a šesťuholníka rieši Euclid aj problém zostrojenia pravidelného pätnásťstranného trojuholníka len pomocou kružidla a pravítka. Tento obrazec priťahoval pozornosť staroveku, pretože si všimli, že oblúk uhla sklonu ekliptiky k rovníku predstavuje celý kruh, to znamená, že je ohraničený stranou pravidelného pätnásťstranného trojuholníka.
A B C O1 O2 O1 je stred opísanej kružnice, O2 je stred opísanej kružnice Nevyhnutnosť: Dostatok: D AB + CD = BC + AD a teda AB = CD = ZLÉ = ADC, ale ZLÉ + ABC = 180 Preto ADC + ABC = 180 a kruh môže byť vpísaný okolo lichobežníka ABCD Okrem toho AB + CD = BC + AD, a preto môže byť kruh vpísaný do ABCD. Je potrebné a postačujúce, aby bol lichobežník rovnostranný a bočná strana sa rovnala polovici súčtu základov.
Definícia 2
Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku definície 1, sa nazýva opísaný okolo kruhu.
Obrázok 1. Vpísaný kruh
Veta 1 (o kruhu vpísanom do trojuholníka)
Veta 1
Kruh môžete vpísať do akéhokoľvek trojuholníka a iba do jedného.
Dôkaz.
Zvážte trojuholník $ABC$. Narysujme si do nej osi, ktoré sa pretínajú v bode $O$ a nakreslime z nej kolmice na strany trojuholníka (obr. 2)
Obrázok 2. Ilustrácia 1. vety
Existencia: Narysujme kružnicu so stredom v bode $O$ a polomerom $OK.\ $Keďže bod $O$ leží na troch osiach, je rovnako vzdialený od strán trojuholníka $ABC$. To znamená $OM=OK=OL$. Následne zostrojená kružnica prechádza aj bodmi $M\ a\ L$. Pretože $OM,OK\ a\ OL$ sú kolmice na strany trojuholníka, potom podľa vety o dotyčnici kružnice sa zostrojená kružnica dotýka všetkých troch strán trojuholníka. Preto v dôsledku svojvoľnosti trojuholníka môže byť kruh vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka.
Jedinečnosť: Predpokladajme, že ďalší kruh so stredom v bode $O"$ môže byť vpísaný do trojuholníka $ABC$. Jeho stred je rovnako vzdialený od strán trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $O$ a má polomer rovný dĺžka $OK$ Ale potom sa tento kruh bude zhodovať s prvým.
Veta bola dokázaná.
Dôsledok 1: Stred kruhu vpísaného do trojuholníka leží v priesečníku jeho priesečníkov.
Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom vpísaného kruhu:
Nie každý štvoruholník sa zmestí do kruhu.
V každom opísanom štvoruholníku sú súčty protiľahlých strán rovnaké.
Ak sú súčty protiľahlých strán konvexného štvoruholníka rovnaké, potom je možné do neho vpísať kruh.
Definícia 3
Ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici, potom sa kružnica nazýva opísaná okolo mnohouholníka (obr. 3).
Definícia 4
Mnohouholník, ktorý spĺňa definíciu 2, je vpísaný do kruhu.
Obrázok 3. Opísaná kružnica
Veta 2 (o kružnici opísanej v trojuholníku)
Veta 2
Okolo akéhokoľvek trojuholníka môžete opísať kruh a iba jeden.
Dôkaz.
Zvážte trojuholník $ABC$. Narysujme do nej odvesny pretínajúce sa v bode $O$ a spojíme s vrcholmi trojuholníka (obr. 4)
Obrázok 4. Ilustrácia 2. vety
Existencia: Zostrojme kružnicu so stredom v bode $O$ a polomerom $OC$. Bod $O$ je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, teda $OA=OB=OC$. Následne zostrojená kružnica prechádza všetkými vrcholmi daného trojuholníka, čo znamená, že je okolo tohto trojuholníka opísaná.
Jedinečnosť: Predpokladajme, že okolo trojuholníka $ABC$ možno opísať ďalší kruh so stredom v bode $O"$. Jeho stred je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $O$ a má polomer rovný dĺžke $OC $ Ale potom sa tento kruh zhoduje s prvým.
Veta bola dokázaná.
Dôsledok 1: Stred kružnice opísanej trojuholníku sa zhoduje s priesečníkom jeho odvesníc.
Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s pojmom opísaný kruh:
Nie vždy je možné opísať kruh okolo štvoruholníka.
V každom cyklickom štvoruholníku je súčet opačných uhlov $(180)^0$.
Ak je súčet opačných uhlov štvoruholníka $(180)^0$, potom je možné okolo neho nakresliť kružnicu.
Príklad problému o pojmoch vpísaných a opísaných kružníc
Príklad 1
V rovnoramennom trojuholníku je základňa 8 cm a strana 5 cm Nájdite polomer vpísanej kružnice.
Riešenie.
Zvážte trojuholník $ABC$. Dôsledkom 1 vieme, že stred kružnice leží v priesečníku priesečníkov. Nakreslíme osi $AK$ a $BM$, ktoré sa pretínajú v bode $O$. Nakreslíme kolmicu $OH$ z bodu $O$ na stranu $BC$. Nakreslíme obrázok:
Obrázok 5.
Keďže trojuholník je rovnoramenný, potom $BM$ je stred aj nadmorská výška. Podľa Pytagorovej vety $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3 doláre. $OM=OH=r$ -- požadovaný polomer vpísanej kružnice. Pretože $MC$ a $CH$ sú segmenty pretínajúcich sa dotyčníc, potom podľa vety o pretínajúcich sa dotyčniciach máme $CH=MC=4\cm$. Preto $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Z trojuholníka $OHB$ podľa Pytagorovej vety dostaneme:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
odpoveď:$\frac(4)(3)$.
Kolmica na úsečku
Definícia 1. Kolmica na úsečku nazývaná priamka kolmá na tento segment a prechádzajúca jeho stredom (obr. 1).
Veta 1. Každý bod kolmice na úsečku je umiestnený v rovnakej vzdialenosti od koncov tento segment.
Dôkaz . Uvažujme ľubovoľný bod D ležiaci na kolmici na úsečku AB (obr. 2) a dokážme, že trojuholníky ADC a BDC sú rovnaké.
V skutočnosti sú tieto trojuholníky pravouhlé trojuholníky, v ktorých sú vetvy AC a BC rovnaké a vetva DC je spoločná. Rovnosť trojuholníkov ADC a BDC znamená rovnosť segmentov AD a DB. Veta 1 je dokázaná.
Veta 2 (premeniť sa na vetu 1). Ak je bod v rovnakej vzdialenosti od koncov segmentu, potom leží na kolmici na tento segment.
Dôkaz . Dokážme vetu 2 protirečením. Na tento účel predpokladajme, že nejaký bod E je v rovnakej vzdialenosti od koncov úsečky, ale neleží na kolmici na túto úsečku. Dostaňme tento predpoklad do rozporu. Uvažujme najprv prípad, keď body E a A ležia na opačných stranách odvesny (obr. 3). V tomto prípade úsečka EA v určitom bode pretína odvesnicu, ktorú označíme písmenom D.
Dokážme, že segment AE je dlhší ako segment EB. naozaj,
Teda v prípade, keď body E a A ležia na opačných stranách odvesny, máme rozpor.
Teraz zvážte prípad, keď body E a A ležia na rovnakej strane odvesny (obr. 4). Dokážme, že segment EB je dlhší ako segment AE. naozaj,
Výsledný rozpor dopĺňa dôkaz vety 2
Kružnica opísaná trojuholníku
Definícia 2. Kruh opísaný okolo trojuholníka, sa nazýva kružnica prechádzajúca všetkými tromi vrcholmi trojuholníka (obr. 5). V tomto prípade sa nazýva trojuholník trojuholník vpísaný do kruhu alebo vpísaný trojuholník.
Vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku. Sínusová veta
| Obrázok | Kreslenie | Nehnuteľnosť |
| Kolmé osi do strán trojuholníka |  |
pretínajú v jednom bode
. |
 |
|
|
| centrum kružnica opísaná okolo ostrého trojuholníka | Centrum popísané o ostrého uhla vnútri trojuholník. | |
| centrum kružnica opísaná okolo pravouhlého trojuholníka |  | Stred popísal o pravouhlý
stred prepony
. |
| centrum kruh opísaný okolo tupého trojuholníka |  | Centrum popísané o tupo-uhlové trojuholník kruh leží vonku trojuholník. |
 |
|
|
| Námestie trojuholník |  | S= 2R 2 hriech A hriech B hriech C , |
| Circumradius | Pre každý trojuholník platí rovnosť: |
,| Kolmice na strany trojuholníka |
Všetky kolmé osi , nakreslený na strany ľubovoľného trojuholníka, pretínajú v jednom bode . |
| Kružnica opísaná trojuholníku |
Akýkoľvek trojuholník môže byť obklopený kruhom . Stred kružnice opísanej trojuholníku je bod, v ktorom sa pretínajú všetky odvesny nakreslené na strany trojuholníka. |
| Stred kružnice opísanej v ostrom trojuholníku |
Centrum popísané o ostrého uhla trojuholník kruh leží vnútri trojuholník. |
| Stred kružnice opísanej pravouhlého trojuholníka |
Stred popísal o pravouhlý trojuholníkový kruh je stred prepony . |
| Stred opísanej kružnice tupého trojuholníka |
Centrum popísané o tupo-uhlové trojuholník kruh leží vonku trojuholník. |
Pre každý trojuholník platia nasledujúce rovnosti (sínusová veta):
kde a, b, c sú strany trojuholníka, A, B, C sú uhly trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej. |
| Oblasť trojuholníka |
Pre každý trojuholník platí rovnosť: S= 2R 2 hriech A hriech B hriech C , kde A, B, C sú uhly trojuholníka, S je plocha trojuholníka, R je polomer opísanej kružnice. |
| Circumradius |
Pre každý trojuholník platí rovnosť: kde a, b, c sú strany trojuholníka, S je plocha trojuholníka, R je polomer opísanej kružnice. |
Dôkazy viet o vlastnostiach kružnice opísanej trojuholníku
Veta 3. Všetky kolmice nakreslené na strany ľubovoľného trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.
Dôkaz . Uvažujme dve odvesny nakreslené na strany AC a AB trojuholníka ABC a označme ich priesečník písmenom O (obr. 6).
Keďže bod O leží na kolmici na úsečku AC, potom na základe vety 1 platí rovnosť.
