Vzhľadom na závislosť medzi charakteristikami vyzdvihneme predovšetkým závislosť medzi zmenou faktora a výslednými charakteristikami, kedy veľmi špecifická hodnota faktoriálnej charakteristiky zodpovedá mnohým možným hodnotám efektívnej charakteristiky. Inými slovami, každá hodnota jednej premennej zodpovedá určitému (podmienenému) rozdeleniu inej premennej. Táto závislosť sa nazýva stochastické. Vznik konceptu stochastickej závislosti je spôsobený skutočnosťou, že závislá premenná je ovplyvňovaná množstvom nekontrolovaných alebo nezapočítaných faktorov, ako aj skutočnosťou, že zmeny hodnôt premenných sú nevyhnutne sprevádzané niektorými náhodnými chybami. Príkladom stochastického vzťahu je závislosť výnosov poľnohospodárskych plodín Y z hmoty aplikovaných hnojív X.Úrodu nevieme presne predpovedať, pretože je ovplyvnená mnohými faktormi (zrážky, zloženie pôdy atď.). Je však zrejmé, že so zmenou hmotnosti hnojív sa zmení aj úroda.
V štatistike sa študujú pozorované hodnoty charakteristík, preto sa zvyčajne nazýva stochastická závislosť štatistická závislosť.
Vzhľadom na nejednoznačnosť štatistického vzťahu medzi hodnotami výslednej charakteristiky Y a hodnotami faktorovej charakteristiky X je zaujímavá schéma závislosti spriemerovaná cez X, t.j. vzor vyjadrený podmieneným matematickým očakávaním M(Y/X = x)(vypočítané s pevnou hodnotou faktorovej charakteristiky X = x). Závislosti tohto druhu sa nazývajú regresia a funkcia ср(х) = M(Y/X = x) - regresná funkcia Y na X alebo predpoveď Y Autor: X(označenie y x= f(l)). Zároveň účinný znak Y tiež nazývaný funkcia odozvy alebo vysvetlené, výstup, výslednica, endogénna premenná a atribút faktora X - regresor alebo vysvetľujúca, vstupná, prediktívna, prediktorová, exogénna premenná.
V časti 4.7 bolo dokázané, že podmienené matematické očakávanie M(Y/X) =ср(х) dáva najlepšiu predpoveď Y z X v zmysle odmocnina, t.j. M(Y- f(x))2M(Y-g(x))2, kde g(x) - akákoľvek iná predpoveď UPOH.
Regresia je teda jednosmerný štatistický vzťah, ktorý stanovuje súlad medzi charakteristikami. V závislosti od počtu faktorových charakteristík popisujúcich jav existujú parná miestnosť A viacnásobný regresia. Napríklad párová regresia je regresia medzi výrobnými nákladmi (faktorová charakteristika X) a objemom produktov vyrobených podnikom (výsledná charakteristika Y). Viacnásobná regresia je regresia medzi produktivitou práce (výsledná charakteristika Y) a úrovňou mechanizácie výrobných procesov, pracovného času, materiálovej náročnosti a kvalifikácie pracovníkov (faktorové charakteristiky X t, X 2, X 3, X 4).
Rozlišujú sa tvarom lineárne A nelineárne regresia, t.j. regresie vyjadrené lineárnymi a nelineárnymi funkciami.
Napríklad f(X) = Oh + Kommersant - párová lineárna regresia; f(X) = aX 2 + + bx + s - kvadratická regresia; f(X 1? X 2,..., X str) = p 0 4- fi(X(+ p 2 X 2 + ... + p„X w - viacnásobná lineárna regresia.
Problém identifikácie štatistickej závislosti má dve stránky: stanovenie tesnosť (pevnosť) spojenia a definícia formy komunikácie.
Venuje sa vytváraniu blízkosti (sily) komunikácie korelačná analýza, ktorej účelom je získať na základe dostupných štatistických údajov odpovede na tieto základné otázky:
- ako vybrať vhodný štatistický merač spojenia (korelačný koeficient, korelačný pomer, poradový korelačný koeficient atď.);
- ako otestovať hypotézu, že výsledná číselná hodnota merača vzťahu skutočne indikuje prítomnosť štatistického vzťahu.
Určuje formu komunikácie regresná analýza. V tomto prípade je účelom regresnej analýzy vyriešiť nasledujúce problémy na základe dostupných štatistických údajov:
- výber typu regresnej funkcie (výber modelu);
- zistenie neznámych parametrov vybranej regresnej funkcie;
- analýza kvality regresnej funkcie a overenie primeranosti rovnice k empirickým údajom;
- predpovedanie neznámych hodnôt výslednej charakteristiky na základe daných hodnôt faktorových charakteristík.
Na prvý pohľad sa môže zdať, že pojem regresie je podobný pojmu korelácia, keďže v oboch prípadoch hovoríme o štatistickej závislosti medzi skúmanými charakteristikami. V skutočnosti sú však medzi nimi značné rozdiely. Regresia implikuje kauzálny vzťah, keď k zmene podmienenej priemernej hodnoty efektívnej charakteristiky dôjde v dôsledku zmeny faktorových charakteristík. Korelácia nehovorí nič o kauzálnom vzťahu medzi charakteristikami, t.j. ak medzi nimi existuje korelácia X a Y, potom táto skutočnosť neznamená, že sa menia hodnoty X určiť zmenu podmienenej priemernej hodnoty Y. Korelácia jednoducho uvádza skutočnosť, že zmeny jednej hodnoty v priemere korelujú so zmenami inej.
Stochastická empirická závislosť
Závislosť medzi náhodnými premennými sa nazýva stochastická závislosť. Prejavuje sa zmenou distribučného zákona jedného z nich (závislá premenná), keď sa menia ostatné (argumenty).
Graficky stochastická empirická závislosť v súradnicovom systéme závislá premenná - argumenty, je množina náhodne umiestnených bodov, ktorá odráža všeobecnú tendenciu správania sa závislej premennej pri zmene argumentov.
Stochastická empirická závislosť od jedného argumentu sa nazýva párová závislosť, ak existuje viac ako jeden argument, nazýva sa to viacrozmerná závislosť. Príklad párového lineárneho vzťahu je znázornený na obr. 1.()
Ryža. 1.
Na rozdiel od bežnej funkčnej závislosti, pri ktorej zmeny hodnoty argumentu (alebo viacerých argumentov) zodpovedajú zmene deterministickej závislej premennej, pri stochastickej závislosti dochádza k zmene štatistického rozdelenia náhodnej závislej premennej, najmä , matematické očakávanie.
Úloha matematického modelovania (aproximácia).
Konštrukcia stochastickej závislosti sa inak nazýva matematické modelovanie (aproximácia) alebo aproximácia a spočíva v nájdení jej matematického vyjadrenia (vzorca).
Za matematický model sa považuje empiricky stanovený vzorec (funkcia), ktorý odráža nie vždy známy, ale objektívne existujúci skutočný vzťah a zodpovedá základnému, stabilnému, opakujúcemu sa vzťahu medzi predmetmi, javmi alebo ich vlastnosťami.
Stabilný vzťah vecí a ich skutočná závislosť. či už je modelovaný alebo nie, existuje objektívne, má matematické vyjadrenie a považuje sa za zákon alebo jeho dôsledok.
Ak je z neho známy vhodný zákon alebo dôsledok, potom je prirodzené považovať ich za požadovanú analytickú závislosť. Napríklad empirická závislosť sily prúdu ja v napäťovom obvode U a odolnosťou voči zaťaženiu R vyplýva z Ohmovho zákona:
Žiaľ, skutočná závislosť premenných je v drvivej väčšine prípadov a priori neznáma, preto je potrebné ju odhaliť na základe všeobecných úvah a teoretických konceptov, teda skonštruovaním matematického modelu daného vzoru. Berie sa do úvahy, že dané premenné a ich prírastky na pozadí náhodných fluktuácií odrážajú matematické vlastnosti požadovanej skutočnej závislosti (správanie dotyčníc, extrémov, koreňov, asymptot atď.)
Tak či onak zvolená aproximačná funkcia vyhladzuje (spriemeruje) náhodné fluktuácie v počiatočných empirických hodnotách závislej premennej, a tým potláča náhodnú zložku, je aproximáciou k regulárnej zložke, a teda k požadovanej skutočnej hodnote. závislosť.
Matematický model empirického vzťahu má teoretický a praktický význam:
· vám umožňuje stanoviť primeranosť experimentálnych údajov k jednému alebo druhému známemu zákonu a identifikovať nové vzory;
· rieši pre závislú premennú problém interpolácie v rámci daného intervalu hodnôt argumentov a predikcie (extrapolácie) mimo intervalu.
Napriek veľkému teoretickému záujmu o hľadanie matematického vzorca pre závislosť veličín však v praxi často stačí len zistiť, či medzi nimi existuje súvislosť a aká je jej sila.
Úloha korelačnej analýzy
Metódou na štúdium vzťahu medzi meniacimi sa veličinami je korelačná analýza.
Kľúčovým pojmom korelačnej analýzy, ktorý popisuje vzťah medzi premennými, je korelácia (z angl korelácia – koordinácia, spojenie, vzťah, vzťah, vzájomná závislosť).
Korelačná analýza sa používa na zistenie stochastickej závislosti a posúdenie jej sily (významnosti) podľa veľkosti korelačných koeficientov a korelačného pomeru.
Ak sa nájde vzťah medzi premennými, potom sa hovorí, že korelácia je prítomná alebo že premenné sú korelované.
Indikátory blízkosti spojenia (korelačný koeficient, korelačný pomer) modulo sa pohybujú od 0 (pri absencii spojenia) do 1 (v prípade degenerácie stochastickej závislosti na funkčnú).
Stochastický vzťah sa považuje za významný (reálny), ak je absolútny odhad korelačného koeficientu (korelačný vzťah) významný, teda o 2-3 väčší ako smerodajná odchýlka odhadu koeficientu.
Všimnite si, že v niektorých prípadoch možno nájsť súvislosť medzi javmi, ktoré nie sú v zjavnom vzťahu príčina-následok.
Napríklad v niektorých vidieckych oblastiach bol zistený priamy stochastický vzťah medzi počtom hniezdiacich bocianov a narodenými deťmi. Jarné sčítanie bocianov umožňuje predpovedať, koľko detí sa tento rok narodí, ale závislosť, samozrejme, nedokazuje známe presvedčenie a vysvetľuje sa paralelnými procesmi:
· narodeniu detí zvyčajne predchádza zakladanie a zakladanie nových rodín so zakladaním vidieckych domov a usadlostí;
· rozširovanie hniezdnych možností priťahuje vtáky a zvyšuje ich počet.
Takáto korelácia medzi charakteristikami sa nazýva falošná (imaginárna) korelácia, hoci môže mať praktický význam.
Teória pravdepodobnosti je často vnímaná ako odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá „výpočtom pravdepodobností“.
A celý tento výpočet v skutočnosti vychádza z jednoduchého vzorca:
« Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti sa rovná súčtu pravdepodobností elementárnych udalostí, ktoré sú v nej zahrnuté" V praxi tento vzorec opakuje „kúzlo“, ktoré je nám známe už od detstva:
« Hmotnosť objektu sa rovná súčtu hmotností jeho jednotlivých častí».
Tu si rozoberieme nie až tak triviálne fakty z teórie pravdepodobnosti. Budeme hovoriť v prvom rade o závislý A nezávislý diania.
Je dôležité pochopiť, že rovnaké pojmy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať úplne odlišný význam.
Napríklad, keď hovoria, že oblasť kruhu S závisí od jeho polomeru R, potom máme samozrejme na mysli funkčnú závislosť
Pojmy závislosť a nezávislosť majú v teórii pravdepodobnosti úplne iný význam.
Začnime sa s týmito pojmami zoznámiť na jednoduchom príklade.
Predstavte si, že v tejto miestnosti robíte pokus s hádzaním kockou a váš kolega vo vedľajšej miestnosti si tiež hádže mincou. Predpokladajme, že vás zaujíma udalosť A – váš kolega dostane „dvojku“ a udalosť B – váš kolega dostane „na frak“. Zdravý rozum velí: tieto udalosti sú nezávislé!
Hoci sme ešte nezaviedli pojem závislosť/nezávislosť, je intuitívne jasné, že každá rozumná definícia nezávislosti musí byť navrhnutá tak, aby tieto udalosti boli definované ako nezávislé.
Teraz prejdime k ďalšiemu experimentu. Hodí sa kocka, udalosť A je dvojka a udalosť B je nepárny počet bodov. Za predpokladu, že kosť je symetrická, môžeme okamžite povedať, že P(A) = 1/6. Teraz si predstavte, že vám povedia: „V dôsledku experimentu nastala udalosť B, padol nepárny počet bodov.“ Čo môžeme teraz povedať o pravdepodobnosti udalosti A? Je jasné, že teraz je táto pravdepodobnosť nulová.
Najdôležitejšia vec pre nás je, že ona zmenené.
Ak sa vrátime k prvému príkladu, môžeme povedať informácie skutočnosť, že udalosť B sa stala vo vedľajšej miestnosti, neovplyvní vaše predstavy o pravdepodobnosti udalosti A. Táto pravdepodobnosť nezmení sa z toho, že ste sa dozvedeli niečo o udalosti B.
Dospeli sme k prirodzenému a mimoriadne dôležitému záveru -
ak informáciu, že udalosť IN sa stalo mení pravdepodobnosť udalosti A , potom udalosti A A IN treba považovať za závislého a ak sa nezmení, tak za nezávislého.
Tieto úvahy by mali dostať matematickú formu, závislosť a nezávislosť udalostí by sa mala určiť pomocou vzorcov.
Budeme vychádzať z nasledujúcej tézy: „Ak sú A a B závislé udalosti, potom udalosť A obsahuje informáciu o udalosti B a udalosť B obsahuje informáciu o udalosti A.“ Ako môžete zistiť, či je obsiahnutý alebo nie? Odpoveď na túto otázku dáva teória informácie.
Z teórie informácie potrebujeme iba jeden vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať množstvo vzájomnej informácie I(A, B) pre udalosti A a B
Nebudeme kalkulovať množstvo informácií pre rôzne udalosti a ani tento vzorec podrobne rozoberať.
Pre nás je dôležité, že ak
potom sa množstvo vzájomnej informácie medzi udalosťami A a B rovná nule - udalosti A a B nezávislý. Ak
potom množstvo vzájomnej informácie sú udalosti A a B závislý.
Odvolávanie sa na pojem informácie má tu pomocný charakter a, ako sa nám zdá, nám umožňuje uchopiť pojmy závislosti a nezávislosti udalostí.
V teórii pravdepodobnosti je závislosť a nezávislosť udalostí popísaná formálnejšie.
V prvom rade potrebujeme koncept podmienená pravdepodobnosť.
Podmienená pravdepodobnosť udalosti A, za predpokladu, že nastala udalosť B (P(B) ≠0), sa nazýva hodnota P(A|B) vypočítaná podľa vzorca
.
V duchu nášho prístupu k pochopeniu závislosti a nezávislosti udalostí môžeme očakávať, že podmienená pravdepodobnosť bude mať nasledujúcu vlastnosť: ak udalosti A a B nezávislý , To
To znamená, že informácia o tom, že nastala udalosť B, nemá žiadny vplyv na pravdepodobnosť udalosti A.
Ako to je!
Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom
Pre nezávislé udalosti A a B máme
A 
vzťah medzi náhodnými premennými, v ktorom k zmene distribučného zákona jednej z nich dochádza pod vplyvom zmeny druhej.
Zobraziť hodnotu Závislosť Stochastic v iných slovníkoch
Závislosť- otroctvo
podriadenosť
podriadenosti
Slovník synonym
Závislosť J.— 1. Roztržitosť. podstatné meno podľa hodnoty adj.: závislý (1). 2. Podmienenosť niečoho. aký druh okolnosti, dôvody a pod.
Výkladový slovník od Efremovej
Závislosť- -A; a.
1. na Závislý. Politické, ekonomické, materiálne. Z. z čoho ťaží ma, utláča ma. H. teória z praxe. Žiť v závislosti. Pevnosť z. (štát........
Kuznecovov výkladový slovník
Závislosť— - stav ekonomického subjektu, v ktorom jeho existencia a činnosť závisia od materiálnej a finančnej podpory alebo interakcie s inými subjektmi.
Právny slovník
Fisherova závislosť- - vzťah určujúci, že zvýšenie úrovne očakávanej inflácie má tendenciu zvyšovať nominálne úrokové sadzby. V najprísnejšej verzii - závislosť.......
Právny slovník
Lineárna závislosť— - ekonomické a matematické modely vo forme vzorcov, rovníc, v ktorých sú ekonomické hodnoty, parametre (argument a funkcia) vzájomne prepojené lineárnou funkciou. Najjednoduchšie...........
Právny slovník
Drogová závislosť- syndróm pozorovaný pri zneužívaní drog alebo návykových látok a charakterizovaný patologickou potrebou užiť psychofarmaká, aby sa zabránilo rozvoju ......
Veľký lekársky slovník
Drogová závislosť duševná- L. z. bez abstinenčných príznakov, ak prestanete užívať liek.
Veľký lekársky slovník
Fyzikálna drogová závislosť- L. z. s abstinenčnými príznakmi pri vysadení lieku alebo po zavedení jeho antagonistov.
Veľký lekársky slovník
Závislosť na nevoľníctve- osobná, pozemková a administratívna závislosť roľníkov od vlastníkov pôdy v Rusku (11. storočie - 1861).Právne formalizovaná v zákone. 15. - 17. storočie poddanstvo.
Lineárna závislosť- vzťah tvaru С1u1+С2u2+... +Сnun?0, kde С1, С2,..., Сn sú čísla, z ktorých aspoň jedno? 0, a u1, u2, ..., un sú napríklad nejaké matematické objekty. vektory alebo funkcie.
Veľký encyklopedický slovník
Závislosť na nevoľníctve— - osobná, pozemková a administratívna závislosť roľníkov od feudálov v Rusku v 11. storočí. -1861 Právne formalizované koncom 15.-17. poddanstvo.
Historický slovník
Závislosť na nevoľníctve- osobná závislosť roľníkov v spore. spoločnosti od feudálov. Viď Nevoľníctvo.
Sovietska historická encyklopédia
Lineárna závislosť— - pozri článok Lineárna nezávislosť.
Matematická encyklopédia
Ljapunovova stochastická funkcia je nezáporná funkcia V(t, x), pre ktorú dvojica (V(t, X(t)), Ft) je supermartingal pre nejaký náhodný proces X(t), Ft je s-algebra udalostí generované procesom toku Xdo.......
Matematická encyklopédia
Stochastická aproximácia- metóda na riešenie triedy štatistických problémov. posudok, v ktorom je nová posudková hodnota zmenou existujúceho posudku na základe nového pozorovania.........
Matematická encyklopédia
Stochastická geometria je matematická disciplína, ktorá študuje vzťah medzi geometriou a teóriou pravdepodobnosti. S. g. sa vyvinul z klasického. integrálna geometria a geometrické problémy.......
Matematická encyklopédia
Stochastická závislosť- (pravdepodobnostná, štatistická) - závislosť medzi náhodnými premennými, ktorá je vyjadrená zmenou v podmienených rozdeleniach ktorejkoľvek z hodnôt pri zmene hodnôt....
Matematická encyklopédia
Stochastická hra- - dynamická hra, v ktorej funkcia rozloženia prechodu nezávisí od prehistórie hry, t.j. S. a. boli prvýkrát definované L. Shapleyom, ktorý považoval za antagonistické.........
Matematická encyklopédia
Stochastická matica- štvorcová (možno nekonečná) matica s nezápornými prvkami taká, že pre ľubovoľné i. Množina všetkých systémov symetrie n-tého rádu je konvexný trup......
Matematická encyklopédia
Stochastická kontinuita— vlastnosť vzorových funkcií náhodného procesu. Náhodný proces X(t), definovaný na určitej množine, tzv. stochasticky kontinuálne na tejto množine, ak existuje.......
Matematická encyklopédia
Stochastická nerozoznateľnosť- vlastnosť dvoch náhodných procesov a znamená, že náhodná množina je zanedbateľná, t.j. pravdepodobnosť množiny je nulová. Ak sú X a Y stochastické......
Matematická encyklopédia
Stochastická ohraničenosť— ohraničenosť v pravdepodobnosti, je vlastnosťou náhodného procesu X(t), ktorý je vyjadrený podmienkou: pre ľubovoľný existuje C>0 také, že pre všetkých A. V. Prochorov.
Matematická encyklopédia
Stochastická sekvencia- postupnosť náhodných premenných definovaných v merateľnom priestore s neklesajúcou rodinou -algebry alokovanými na ňom, ktoré majú vlastnosť konzistencie.......
Matematická encyklopédia
Stochastická konvergencia- to isté ako konvergencia v pravdepodobnosti.
Matematická encyklopédia
Stochastická ekvivalencia— vzťah ekvivalencie medzi náhodnými premennými, ktoré sa líšia iba v množine nulovej pravdepodobnosti. Presnejšie náhodné premenné X 1 a X 2. špecifikované na jednom.......
Matematická encyklopédia
Závislosť od alkoholu— Alkohol je omamná látka, diskusiu nájdete v článku drogová závislosť.
Psychologická encyklopédia
Halucinogénna závislosť- Drogová závislosť, pri ktorej sú drogy halucinogény.
Psychologická encyklopédia
Závislosť- (Závislosť). Pozitívna vlastnosť, ktorá podporuje zdravý psychický vývoj a ľudský rast.
Psychologická encyklopédia
Závislosť, drogová závislosť— (drogová závislosť) – fyzické a/alebo psychické účinky vyplývajúce zo závislosti od určitých liečivých látok; charakterizované nutkavými impulzmi......
Psychologická encyklopédia
Nech je potrebné študovať závislosť a obe veličiny sa merajú v rovnakých experimentoch. Na tento účel sa vykonáva séria experimentov pri rôznych hodnotách, pričom sa snažia zachovať ostatné experimentálne podmienky nezmenené.
Meranie každej veličiny obsahuje náhodné chyby (nebudeme tu uvažovať o systematických chybách); preto sú tieto hodnoty náhodné.
Prirodzený vzťah náhodných premenných sa nazýva stochastický. Budeme brať do úvahy dva problémy:
a) zistiť, či existuje (s určitou pravdepodobnosťou) závislosť alebo či hodnota nezávisí od;
b) ak závislosť existuje, popíšte ju kvantitatívne.
Prvá úloha sa nazýva analýza rozptylu a ak sa uvažuje o funkcii mnohých premenných, potom viacrozmerná analýza rozptylu. Druhá úloha sa nazýva regresná analýza. Ak sú náhodné chyby veľké, môžu maskovať požadovanú závislosť a nemusí byť ľahké ju identifikovať.
Stačí teda uvažovať náhodnú premennú v závislosti od ako parameter. Matematické očakávanie tejto hodnoty závisí od požadovanej závislosti a nazýva sa regresný zákon.
Analýza rozptylu. Urobme malú sériu meraní pre každú hodnotu a určme Zvážte dva spôsoby spracovania týchto údajov, čo nám umožní preskúmať, či existuje významná (t. j. s akceptovanou pravdepodobnosťou spoľahlivosti) závislosť z na
V prvej metóde sa štandardy odberu vzoriek jedného merania vypočítajú pre každú sériu samostatne a pre celý súbor meraní:
kde je celkový počet meraní a
sú priemerné hodnoty pre každú sériu a pre celý súbor meraní.
Porovnajme rozptyl súboru meraní s rozptylmi jednotlivých sérií. Ak sa ukáže, že na zvolenej úrovni spoľahlivosti je možné počítať pre všetky i, potom existuje závislosť z na.
Ak neexistuje žiadny spoľahlivý prebytok, závislosť sa nedá zistiť (vzhľadom na presnosť experimentu a prijatú metódu spracovania).
Odchýlky sa porovnávajú pomocou Fisherovho testu (30). Keďže štandard s je určený celkovým počtom meraní N, ktorý je zvyčajne dosť veľký, takmer vždy môžete použiť Fisherove koeficienty uvedené v tabuľke 25.
Druhou metódou analýzy je porovnanie priemerov pri rôznych hodnotách navzájom. Hodnoty sú náhodné a nezávislé a ich vlastné vzorkovacie štandardy sa rovnajú
Preto sa porovnávajú podľa schémy nezávislých meraní opísanej v odseku 3. Ak sú rozdiely významné, t. j. presahujú interval spoľahlivosti, potom sa zistila skutočnosť závislosti od; ak sú rozdiely medzi všetkými 2 nevýznamné, tak závislosť nemožno zistiť.
Viacrozmerná analýza má niektoré funkcie. Odporúča sa zmerať hodnotu v uzloch obdĺžnikovej mriežky, aby bolo pohodlnejšie študovať závislosť na jednom argumente a opraviť ďalší argument. Vykonanie série meraní v každom uzle viacrozmernej siete je príliš náročné na prácu. Na odhad rozptylu jedného merania stačí vykonať sériu meraní v niekoľkých bodoch siete; v iných uzloch sa môžeme obmedziť na jednotlivé merania. Analýza rozptylu sa uskutočňuje podľa prvej metódy.
Poznámka 1. Ak existuje veľa meraní, potom sa pri oboch metódach jednotlivé merania alebo série môžu s značnou pravdepodobnosťou značne odchyľovať od ich matematického očakávania. Toto sa musí vziať do úvahy pri výbere pravdepodobnosti spoľahlivosti dostatočne blízkej 1 (ako sa to urobilo pri stanovení limitov oddeľujúcich prípustné náhodné chyby od hrubých).
Regresná analýza. Nech analýza rozptylu naznačuje, že závislosť z na je. Ako to vyčísliť?
Aby sme to dosiahli, aproximujeme požadovanú závislosť pomocou určitej funkcie. Nájdeme optimálne hodnoty parametrov pomocou metódy najmenších štvorcov, čím sa problém vyrieši
kde sú váhy merania, zvolené v nepriamom pomere k druhej mocnine chyby merania v danom bode (t.j. ). Tento problém bol analyzovaný v kapitole II, § 2. Tu sa budeme venovať iba tým vlastnostiam, ktoré sú spôsobené prítomnosťou veľkých náhodných chýb.
Typ sa vyberá buď z teoretických úvah o povahe závislosti alebo formálne, porovnaním grafu s grafmi známych funkcií. Ak je vzorec vybraný z teoretických úvah a správne (z teoretického hľadiska) vyjadruje asymptotiku, potom zvyčajne umožňuje nielen dobre aproximovať súbor experimentálnych údajov, ale aj extrapolovať zistenú závislosť na iné rozsahy hodnôt. Formálne vybraná funkcia môže uspokojivo opísať experiment, ale zriedka je vhodná na extrapoláciu.
Úlohu (34) je najjednoduchšie vyriešiť, ak ide o algebraický polynóm, avšak takýto formálny výber funkcie sa málokedy ukáže ako uspokojivý. Dobré vzorce zvyčajne závisia nelineárne od parametrov (transcendentálna regresia). Najvhodnejšie je zostrojiť transcendentálnu regresiu tak, že sa vyberie taká nivelačná náhrada premenných, aby závislosť bola takmer lineárna (pozri kapitolu II § 1 ods. 8). Potom je ľahké ho aproximovať algebraickým polynómom: .
Pomocou teoretických úvah a s prihliadnutím na asymptotiku sa hľadá nivelačná zmena premenných, ďalej budeme predpokladať, že takáto zmena už bola vykonaná.
Poznámka 2. Pri prechode na nové premenné má problém metódy najmenších štvorcov (34) podobu
kde nové váhy súvisia s pôvodnými vzťahmi
Preto aj keby v pôvodnej formulácii (34) mali všetky merania rovnakú presnosť, váhy pre nivelačné premenné nebudú rovnaké.
Korelačná analýza. Je potrebné skontrolovať, či nahradenie premenných bolo skutočne nivelačné, teda či je závislosť blízka lineárnej. Dá sa to urobiť výpočtom párového korelačného koeficientu
Je ľahké ukázať, že vzťah je vždy spokojný
Ak je závislosť striktne lineárna (a neobsahuje náhodné chyby), potom alebo v závislosti od znamienka sklonu priamky. Čím je menšia, tým menej sa závislosť podobá lineárnej. Preto, ak je , a počet meraní N dostatočne veľký, potom sú nivelačné premenné zvolené uspokojivo.
Takéto závery o povahe závislosti na základe korelačných koeficientov sa nazývajú korelačná analýza.
Korelačná analýza nevyžaduje vykonanie série meraní v každom bode. Stačí urobiť jedno meranie v každom bode, ale potom zobrať viac bodov na skúmanej krivke, čo sa často robí pri fyzikálnych experimentoch.
Poznámka 3. Existujú kritériá blízkosti, ktoré vám umožňujú určiť, či je závislosť prakticky lineárna. Nebudeme sa nimi zaoberať, pretože výber stupňa aproximačného polynómu bude zvážený nižšie.
Poznámka 4. Pomer označuje absenciu lineárnej závislosti, ale neznamená absenciu akejkoľvek závislosti. Takže, ak na segmente - potom
Polynóm optimálneho stupňa a. Dosaďte do problému (35) aproximačný polynóm stupňa:
Potom optimálne hodnoty parametrov spĺňajú systém lineárnych rovníc (2.43):
a nie je ťažké ich nájsť. Ale ako zvoliť stupeň polynómu?
Aby sme na túto otázku odpovedali, vráťme sa k pôvodným premenným a vypočítajme rozptyl aproximačného vzorca s nájdenými koeficientmi. Nestranný odhad tohto rozptylu je
Je zrejmé, že so zvyšujúcim sa stupňom polynómu sa bude disperzia (40) znižovať: čím viac koeficientov sa vezme, tým presnejšie je možné aproximovať experimentálne body.
