Z cesty integrácie.
Uvažujme krivočiary integrál 2. druhu, kde L– krivka spájajúca body M A N. Nechajte funkcie P(x, y) A Q(x, y) majú v nejakej doméne spojité parciálne deriváty D, ktorá obsahuje celú krivku L. Určme podmienky, za ktorých uvažovaný krivočiary integrál nezávisí od tvaru krivky L, ale len na umiestnenie bodov M A N.
Nakreslíme dve ľubovoľné krivky MPN A MQN, ležiace v areáli D a spojovacích bodov M A N(obr. 1).
Q
M N Ryža. 1.
Predstierajme to 
, teda 
Potom kde L– uzavretý obrys tvorený krivkami MPN A N.Q.M.(preto ho možno považovať za ľubovoľný). Podmienka nezávislosti krivočiareho integrálu 2. druhu od integračnej dráhy je teda ekvivalentná podmienke, že takýto integrál na akomkoľvek uzavretom obryse je rovný nule.
Lístok č. 34.Plošný integrál prvého druhu (cez povrch). Aplikácie (hmotnosť povrchu materiálu, súradnice ťažiska, momenty, plocha zakriveného povrchu).
Zvážte otvorený povrch S, obmedzený obrysom L a rozdeľte ho na časti pomocou kriviek S 1, S 2,…, S n. Vyberme bod v každej časti M i a premietnite túto časť na dotykovú rovinu k povrchu prechádzajúcemu týmto bodom. V projekcii získame plochý obrazec s plochou T i. Nazvime ρ najväčšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi na ľubovoľnej časti povrchu S.
Definícia 12.1. Zavolajme oblasť S povrchy limit súčtu plochy T i pri
Plošný integrál prvého druhu.
Zvážte nejaký povrch S, obmedzený obrysom L a rozdeľte ho na časti S 1, S 2,…, S p(označíme aj oblasť každej časti S p). Nech je hodnota funkcie špecifikovaná v každom bode tejto plochy f(x, y, z). Vyberme si v každej časti S i bod Mi (x i, y i, z i) a zostavte integrálny súčet
. (12.2)
Definícia 12.2. Ak existuje konečná hranica pre integrálny súčet (12.2), nezávisle od spôsobu rozdelenia plochy na časti a výberu bodov M i, potom sa volá plošný integrál prvého druhu z funkcie f(M) = f(x, y, z) na povrchu S a je určený
Komentujte. Plošný integrál 1. druhu má obvyklé vlastnosti integrálov (lineárnosť, súčet integrálov danej funkcie nad jednotlivými časťami uvažovanej plochy a pod.).
Geometrický a fyzikálny význam plošného integrálu 1. druhu.
Ak integrand f(M)≡ 1, potom z definície 12.2 vyplýva, že sa rovná ploche posudzovaného povrchu S.
. (12.4)
Aplikácia plošného integrálu 1. druhu.
1. Oblasť zakriveného povrchu, ktorej rovnica je z = f(x, y), nájdete v tvare:
(14.21)
(Ω – projekcia S do roviny O xy).
2. Povrchová hmotnosť
(14.22)
3. Momenty:
Statické momenty povrchu vzhľadom na súradnicové roviny O xy, O xz, O yz;
Momenty zotrvačnosti povrchu vzhľadom na súradnicové osi;
Momenty zotrvačnosti povrchu vzhľadom na súradnicové roviny;
- (14.26)
Moment zotrvačnosti povrchu vzhľadom na pôvod.
4. Súradnice ťažiska povrchu:
. (14.27)
Lístok číslo 35. Výpočet plošného integrálu 1. druhu (redukcia na násobok).
Obmedzme sa na prípad, keď povrch S je daný explicitne, to znamená rovnicou tvaru z = φ(x, y). Navyše z definície plochy to vyplýva
S i =, kde Δ σi – projekčná plocha S i do roviny O xy, A y i– uhol medzi osou O z a normálne k povrchu S v bode M i. To je známe
,
Kde ( x i, y i, z i) – súradnice bodu M i. preto
Dosadením tohto výrazu do vzorca (12.2) dostaneme to
,
Kde sa sčítanie vpravo vykonáva nad oblasťou Ω roviny O xy, čo je priemet na túto rovinu povrchu S(obr. 1).
S: z=φ(x,y)
ΔσiΩ
V tomto prípade na pravej strane sa získa integrálny súčet pre funkciu dvoch premenných nad plochou oblasťou, čo v limite at dáva dvojitý integrál. Získali sme teda vzorec, ktorý nám umožňuje zredukovať výpočet plošný integrál 1. druhu na výpočet dvojitého integrálu:
Komentujte. Ujasnime si ešte raz, že na ľavej strane vzorca (12.5) je povrch integrál a vpravo - dvojitý.
Číslo lístka 36.Plošný integrál druhého druhu. Vektorový tok poľa. Vzťah medzi plošnými integrálmi prvého a druhého druhu.
Vektorový tok poľa.
Zvážte vektorové pole A (M), definované v priestorovej doméne G, orientovaný hladký povrch S G a pole jednotkových normálov P (M) na zvolenej strane povrchu S.
Definícia 13.3. Plošný integrál 1. druhu
,
(13.1)
Kde An je skalárny súčin zodpovedajúcich vektorov a A p– vektorová projekcia A do normálneho smeru sa nazýva vektorový tok poľa A(M) cez zvolenú stranu povrchu S .
Poznámka 1. Ak zvolíte druhú stranu plochy, potom normálna a následne aj tok zmení znamienko.
Poznámka 2. Ak je vektor A špecifikuje rýchlosť prúdenia tekutiny v danom bode, potom integrál (13.1) určuje množstvo tekutiny prúdiacej za jednotku času cez povrch S v pozitívnom smere (odtiaľ zaužívaný výraz „tok“).
Nech je dané ploché vektorové pole. V nasledujúcom budeme predpokladať, že funkcie P a Q sú spojité, spolu s ich deriváciami, v niektorej oblasti O roviny
Uvažujme dva ľubovoľné body v oblasti G. Tieto body môžu byť spojené rôznymi čiarami ležiacimi v oblasti, pozdĺž ktorých sú hodnoty krivočiareho integrálu vo všeobecnosti odlišné.
Zvážte napríklad krivočiary integrál
a dve bodky. Vypočítajme tento integrál po prvé pozdĺž priamky spájajúcej body A a B a po druhé pozdĺž oblúka paraboly spájajúcej tieto isté body. Aplikovaním pravidiel na výpočet krivočiareho integrálu zistíme
a) pozdĺž segmentu
b) pozdĺž oblúka paraboly:
Vidíme teda, že hodnoty krivočiareho integrálu závisia od cesty integrácie, to znamená, že závisia od typu čiary spájajúcej body A a B. Naopak, ako je ľahké skontrolovať, krivočiary integrál pozdĺž rovnaké čiary spájajúce body dávajú tej istej veci hodnotu rovnajúcu sa .
Analyzované príklady ukazujú, že krivočiare integrály vypočítané pozdĺž rôznych dráh spájajúcich dva dané body sa v niektorých prípadoch navzájom líšia, inokedy nadobúdajú rovnakú hodnotu.
Nech A a B sú dva ľubovoľné body oblasti G. Uvažujme rôzne krivky ležiace v oblasti G a spájajúce body A a B.
Ak má integrál pozdĺž ktorejkoľvek z týchto ciest rovnakú hodnotu, potom sa hovorí, že je nezávislý od cesty integrácie.
Nasledujúce dve vety dávajú podmienky, za ktorých je priamkový integrál nezávislý od cesty integrácie.
Veta 1. Aby bol krivočiary integrál v niektorej oblasti G nezávislý od cesty integrácie, je potrebné a postačujúce, aby sa integrál na akomkoľvek uzavretom obryse ležiacom v tejto oblasti rovnal nule.
Dôkaz. Primeranosť.
Nech je integrál na akomkoľvek uzavretom obryse nakreslenom v oblasti G rovný nule. Ukážme, že tento integrál nezávisí od cesty integrácie. V skutočnosti nech A a B sú dva body patriace do oblasti G. Spojme tieto body dvoma rôznymi, ľubovoľne zvolenými krivkami ležiacimi v oblasti G (obr. 257).
Ukážme, že oblúky tvoria uzavretý obrys. Berúc do úvahy vlastnosti krivočiarych integrálov, dostaneme
pretože . Ale podľa podmienky je to ako integrál s uzavretou slučkou.
Čiarový integrál teda alebo Čiarový integrál nezávisí od cesty integrácie.
Nevyhnutnosť. Nech je krivočiary integrál v oblasti G nezávislý od cesty integrácie. Ukážme, že integrál na akomkoľvek uzavretom obryse ležiacom v tejto oblasti je rovný nule. V skutočnosti uvažujme ľubovoľný uzavretý obrys ležiaci v oblasti G a zoberme na ňom dva ľubovoľné body A a B (pozri obr. 257). Potom
lebo podľa stavu . Integrál na akomkoľvek uzavretom obryse L ležiacom v oblasti G je teda rovný nule.
Nasledujúca veta dáva podmienky vhodné na praktické použitie, pri ktorých krivočiary integrál nezávisí od cesty integrácie.
Veta 2.
Aby bol krivočiary integrál nezávislý od cesty integrácie v jednoducho prepojenej oblasti, je potrebné a postačujúce, aby podmienka bola splnená v každom bode tejto oblasti.
Dôkaz. Primeranosť. Ukážme v oblasti, že krivočiary integrál nad ľubovoľným uzavretým obrysom L ležiacim v oblasti G sa rovná nule. Uvažujme oblasť a ohraničenú vrstevnicou L. Vzhľadom na jednoducho súvisiaci charakter oblasti G oblasť a celá patrí do tejto oblasti. Na základe vzorca Ostrogradsky-Green, najmä na stránke Preto a preto, . Integrál na akomkoľvek uzavretom obryse L v oblasti G je teda rovný nule. Na základe vety 1 sme dospeli k záveru, že krivočiary integrál nezávisí od cesty integrácie.
Nevyhnutnosť. Nech je krivočiary integrál nezávislý od cesty integrácie v nejakej oblasti Q. Ukážme, že vo všetkých bodoch oblasti
Predpokladajme opak, t.j., že v určitom bode oblasti Nech, pre definitívnosť, . Vzhľadom na predpoklad spojitosti parciálnych derivácií bude rozdiel zároveň spojitou funkciou. V dôsledku toho je možné okolo bodu opísať kružnicu a (ležiacu v oblasti G), ktorej vo všetkých bodoch, rovnako ako v bode, bude rozdiel kladný. Aplikujme na kruh Ostrogradského-Greenov vzorec.
Oblasť sa nazýva jednoducho spojená, ak jej hranicou je spojená množina. Oblasť sa nazýva n-spojená, ak sa jej hranica rozdelí na n-súvisiace množiny.
Komentujte. Greenov vzorec platí aj pre viacnásobne prepojené regióny.
Aby integrál (A, B – ľubovoľné body z D) nezávisel od dráhy integrácie (ale len od počiatočného a koncového bodu A, B), je potrebné a postačujúce, aby pozdĺž akejkoľvek uzavretej krivky (pozdĺž ľubovoľnej obrys) ležiaci v D sa integrál rovnal nule =0
Dôkaz (nevyhnutnosť). Nech (4) je nezávislý od integračnej cesty. Uvažujme ľubovoľný obrys C ležiaci v oblasti D a vyberte dva ľubovoľné body A, B na tomto obryse. Potom môže byť krivka C znázornená ako spojenie dvoch kriviek AB=G2, AB=G1, C=Г - 1 + G2.
Veta 1. Aby bol krivočiary integrál nezávislý od dráhy integrácie v D, je potrebné a postačujúce, aby
v oblasti D. Dostatok. Ak je to pravda, potom bude Greenov vzorec pre akýkoľvek obrys C 
odkiaľ za lemou nasleduje požadovaný výrok. Nevyhnutnosť. Podľa lemy pre ľubovoľný obrys = 0. Potom podľa Greenovho vzorca pre oblasť D ohraničenú týmto obrysom = 0. Podľa vety o strednej hodnote = mD alebo = = 0. Prejdením k limitu, stiahnutím obrysu do bodu, to dostaneme v tomto bode.
Veta 2. Aby bol krivočiary integrál (4) nezávislý od dráhy integrácie v D, je potrebné a postačujúce, aby výraz integrandu Pdx+Qdy bol celkovým diferenciálom nejakej funkcie u v obore D. du = Pdx+Qdy. Primeranosť. Nech sa naplní, potom Nevyhnutnosť. Nech je integrál nezávislý od cesty integrácie. Zafixujeme nejaký bod A0 v oblasti D a definujeme funkciu u(A) = u(x,y)=
V tomto prípade
XО (xО). Existuje teda derivát =P. Podobne sa overí, že =Q. Za predpokladu, že funkcia u sa ukáže ako spojito diferencovateľná a du = Pdx+Qdy.
32-33. Definícia krivočiarych integrálov 1. a 2. druhu
Krivkový integrál cez dĺžku oblúka (1. druh)
Nech je funkcia f(x,y) definovaná a spojitá v bodoch oblúka AB hladkej krivky K. Ľubovoľne rozdeľte oblúk na n elementárnych oblúkov bodmi t0..tn nech lk je dĺžka k konkrétneho oblúk. Zoberme si ľubovoľný bod N(k,k) na každom elementárnom oblúku a vynásobme tento bod príslušným bodom. dĺžka oblúka sa bude skladať z troch integrálnych súčtov:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
Р(k,k)хk 3 = 
Q(k,k)yk, kde хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1
Krivkový integrál 1. druhu po dĺžke oblúka sa bude nazývať limita integrálneho súčtu 1 za predpokladu, že max(lk) 0 
Ak je limita integrálneho súčtu 2 alebo 3 pri 0, potom sa táto limita nazýva. krivočiary integrál 2. druhu, funkcia P(x,y) alebo Q(x,y) pozdĺž krivky l = AB a označuje sa: 
alebo 
suma: 
+
Je zvykom nazývať ho všeobecným krivočiarym integrálom 2. druhu a označovať ho symbolom: 
v tomto prípade sa funkcie f(x,y), P(x,y), Q(x,y) nazývajú integrovateľné pozdĺž krivky l = AB. Samotná krivka l sa nazýva obrys alebo integráciou je A počiatočný bod, B je konečný integračný bod, dl je diferenciál dĺžky oblúka, preto sa nazýva krivočiary integrál 1. druhu. krivočiary integrál nad oblúkom krivky a druhého druhu – nad funkciou.
Z definície krivočiarych integrálov vyplýva, že integrály 1. druhu nezávisia od smeru, v ktorom je krivka l vedená z A a B alebo z B a A. Krivkový integrál 1. druhu pozdĺž AB:
, pre krivočiare integrály 2. druhu vedie zmena smeru krivky k zmene znamienka:
V prípade, že l je uzavretá krivka, t. j. bod B sa zhoduje s bodom A, potom z dvoch možných smerov prechodu uzavretého obrysu sa l nazýva kladný smer, v ktorom oblasť ležiaca vo vnútri obrysu zostáva vľavo s rešpekt k??? robiť kolo, t.j. smer pohybu je proti smeru hodinových ručičiek. Opačný smer prechodu sa nazýva negatívny. Krivkový integrál AB pozdĺž uzavretého obrysu l prechádzajúceho v kladnom smere bude označený symbolom:
Pre priestorovú krivku sa podobne zavedie jeden integrál 1. druhu:
a tri integrály 2. druhu:
súčet posledných troch integrálov sa nazýva. všeobecný krivočiary integrál 2. druhu.
Niektoré aplikácie krivočiarych integrálov 1. druhu.
1.Integrálne 
- dĺžka oblúka AB
2.Mechanický význam integrálu 1. druhu.
Ak f(x,y) = (x,y) je lineárna hustota oblúka materiálu, potom jeho hmotnosť: 
3.Súradnice ťažiska materiálového oblúka:
4. Moment zotrvačnosti oblúka ležiaceho v rovine oxy vzhľadom na začiatok súradníc a osí otáčania ox, oy:
5. Geometrický význam integrálu 1. druhu
Nech funkcia z = f(x,y) – má rozmer dĺžky f(x,y)>=0 vo všetkých bodoch materiálového oblúka ležiaceho v kyslíkovej rovine, potom:
, kde S je plocha valcového povrchu, mačka pozostáva z kolmíc na rovinu oka, východ. v bodoch M(x,y) krivky AB.
Niektoré aplikácie krivočiarych integrálov 2. druhu.
Výpočet plochy plochej oblasti D s hranicou L
2. Dielo sily. Nech sa hmotný bod pod vplyvom sily pohybuje pozdĺž súvislej plochej krivky BC smerujúcej z B do C, práca tejto sily je:
2. druh z cesty integrácie
Uvažujme krivočiary integrál 2. druhu, kde L je krivka spájajúca body M a N. Nech funkcie P(x, y) a Q(x, y) majú spojité parciálne derivácie v nejakej oblasti D, v ktorej krivka L lží úplne.Určime podmienky, za ktorých uvažovaný krivočiary integrál nezávisí od tvaru krivky L, ale iba od polohy bodov M a N.
Nakreslíme dve ľubovoľné krivky MSN a MTN, ležiace v oblasti D a spájajúce body M a N (obr. 14).
Predpokladajme, že napr.
kde L je uzavretá slučka vytvorená z kriviek MSN a NTM (preto ju možno považovať za ľubovoľnú). Podmienka nezávislosti krivočiareho integrálu 2. druhu od integračnej dráhy je teda ekvivalentná podmienke, že takýto integrál na akomkoľvek uzavretom obryse je rovný nule.
Veta 5 (Greenova veta). Nech funkcie P(x, y) a Q(x, y) a ich parciálne derivácie sú spojité vo všetkých bodoch nejakej oblasti D. Potom, aby akýkoľvek uzavretý obrys L ležiaci v oblasti D splnil podmienku
je potrebné a postačujúce, aby = vo všetkých bodoch oblasti D.
Dôkaz.
1) Dostatok: nech je podmienka = splnená. Uvažujme ľubovoľný uzavretý obrys L v oblasti D, ohraničujúci oblasť S, a napíšme pre ňu Greenov vzorec:
Dokázala sa teda dostatočnosť.
2) Nevyhnutnosť: predpokladajme, že podmienka je splnená v každom bode oblasti D, ale existuje aspoň jeden bod tejto oblasti, v ktorom -? 0. Nech napríklad v bode P(x0, y0) máme: - > 0. Keďže ľavá strana nerovnosti obsahuje spojitú funkciu, bude kladná a väčšia ako niektoré? > 0 v nejakej malej oblasti D` obsahujúcej bod P. V dôsledku toho,
Odtiaľ to získame pomocou Greenovho vzorca
kde L` je obrys ohraničujúci oblasť D`. Tento výsledok je v rozpore s podmienkou. V dôsledku toho = vo všetkých bodoch oblasti D, čo bolo potrebné dokázať.
Poznámka 1. Podobne pre trojrozmerný priestor možno preukázať, že nevyhnutné a postačujúce podmienky pre nezávislosť krivočiareho integrálu
z integračnej cesty sú:
Poznámka 2. Ak sú splnené podmienky (52), výraz Pdx + Qdy + Rdz je celkovým diferenciálom nejakej funkcie u. To nám umožňuje znížiť výpočet krivočiareho integrálu na určenie rozdielu medzi hodnotami v konečných aj počiatočných bodoch integračného obrysu, pretože
V tomto prípade funkciu a možno nájsť pomocou vzorca
kde (x0, y0, z0) je bod z oblasti D a C je ľubovoľná konštanta. V skutočnosti je ľahké overiť, že parciálne derivácie funkcie a, dané vzorcom (53), sa rovnajú P, Q a R.
Príklad 10.
Vypočítajte čiarový integrál 2. druhu
pozdĺž ľubovoľnej krivky spájajúcej body (1, 1, 1) a (2, 3, 4).
Uistite sa, že sú splnené podmienky (52):
Preto funkcia existuje. Nájdite to pomocou vzorca (53), pričom x0 = y0 = z0 = 0. Potom
Funkcia je teda určená až do ľubovoľného konštantného člena. Vezmime C = 0, potom u = xyz. teda
30. Greenov vzorec. Podmienky nezávislosti krivočiareho integrálu od cesty integrácie.
Greenov vzorec: Ak C je uzavretá hranica definičného oboru D a funkcie P(x,y) a Q(x,y) spolu s ich parciálnymi deriváciami prvého rádu sú spojité v uzavretej oblasti D (vrátane hranice C ), potom platí Greenov vzorec: a obtok okolo obrysu C sa vyberie tak, že oblasť D zostane vľavo.
Z prednášok: Nech sú dané funkcie P(x,y) a Q(x,y), ktoré sú spojité v oblasti D spolu s parciálnymi deriváciami prvého rádu. Integrál cez hranicu (L), celý obsiahnutý v oblasti D a obsahujúci všetky body v oblasti D: . Kladný smer obrysu je, keď je obmedzená časť obrysu vľavo.
Podmienka nezávislosti krivočiareho integrálu 2. druhu od integračnej dráhy. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou toho, že krivočiary integrál prvého druhu spájajúci body M1 a M2 nezávisí od dráhy integrácie, ale závisí len od začiatočného a koncového bodu, je rovnosť:.
.
31. Plošné integrály prvého a druhého druhu, ich základné vlastnosti a výpočet.
– špecifikácia povrchu.
Premietnime S na rovinu xy a získame oblasť D. Oblasť D s mriežkou čiar rozdelíme na časti nazývané Di. Z každého bodu každej priamky nakreslíme priamky rovnobežné so z, potom sa S rozdelí na Si. Urobme integrálny súčet: . Nasmerujme maximálny priemer Di na nulu:, dostaneme:
Toto je povrchový integrál prvého druhu
Takto sa vypočíta plošný integrál prvého druhu.
Definícia v skratke. Ak existuje konečná limita integrálneho súčtu, nezávisle od spôsobu rozdelenia S na elementárne úseky Si a výberu bodov, potom sa nazýva plošný integrál prvého druhu.
Pri prechode z premenných x a y na u a v:
P 
plošný integrál má všetky vlastnosti obyčajného integrálu. Pozri otázky vyššie.
Definícia plošného integrálu druhého druhu, jeho základné vlastnosti a výpočet. Spojenie s integrálom prvého druhu.
Nech je daná plocha S ohraničená priamkou L (obr. 3.10). Zoberme si nejaký obrys L na ploche S, ktorý nemá spoločné body s hranicou L. V bode M obrysu L môžeme obnoviť dve normály na plochu S. Zvoľme si jeden z týchto smerov. Nakreslíme bod M pozdĺž obrysu L so zvoleným normálovým smerom.
Ak sa bod M vráti do svojej pôvodnej polohy s rovnakým smerom normály (a nie opačným), potom sa plocha S nazýva obojstranná. Budeme brať do úvahy iba obojstranné povrchy. Obojstranný povrch je akýkoľvek hladký povrch s rovnicou .
Nech S je obojstranná otvorená plocha ohraničená priamkou L, ktorá nemá žiadne vlastné priesečníky. Vyberme si určitú stranu povrchu. Kladný smer prechodu obrysu L budeme nazývať taký smer, v ktorom pri pohybe po zvolenej strane plochy samotná plocha zostáva vľavo. Obojstranná plocha s kladným smerom na prechádzanie obrysov na nej vytvorených týmto spôsobom sa nazýva orientovaná plocha.
Prejdime ku konštrukcii plošného integrálu druhého druhu. Zoberme si obojstrannú plochu S v priestore, pozostávajúcu z konečného počtu kusov, z ktorých každý je daný rovnicou tvaru alebo je valcovou plochou s generátormi rovnobežnými s osou Oz.
Nech R(x,y,z) je funkcia definovaná a spojitá na ploche S. Pomocou siete priamok rozdelíme S ľubovoľne na n „elementárnych“ úsekov ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, ktoré nemajú spoločné vnútorné body. Na každom úseku ΔSi ľubovoľne vyberieme bod Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Nech (ΔSi)xy je plocha priemetu rezu ΔSi na súradnicovú rovinu Oxy, braná so znamienkom „+“, ak je kolmica na plochu S v bode Mi(xi,yi,zi) ( i=1,...,n) tvorí s osou Oz ostrý uhol a so znamienkom „–“, ak je tento uhol tupý. Zostavme integrálny súčet pre funkciu R(x,y,z) nad plochou S v premenných x,y: . Nech λ je najväčší z priemerov ΔSi (i = 1, ..., n).
Ak existuje konečná limita, ktorá nezávisí od spôsobu rozdelenia plochy S na „elementárne“ úseky ΔSi a od výberu bodov, potom sa nazýva plošný integrál nad vybranou stranou plochy S funkcie R. (x,y,z) pozdĺž súradníc x, y (alebo plošného integrálu druhého druhu) a označuje sa 
.
Podobne môžete zostrojiť integrály povrchu nad súradnicami x, z alebo y, z pozdĺž zodpovedajúcej strany povrchu, t.j. 
A 
.
Ak všetky tieto integrály existujú, potom môžeme zaviesť „všeobecný“ integrál nad zvolenou stranou plochy: .
Plošný integrál druhého druhu má obvyklé vlastnosti integrálu. Poznamenávame len, že akýkoľvek plošný integrál druhého druhu zmení znamienko, keď sa zmení strana plochy.
Vzťah medzi plošnými integrálmi prvého a druhého druhu.
Nech je plocha S daná rovnicou: z = f(x,y) a f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) sú spojité funkcie v uzavretom doména τ (priemety plochy S do roviny súradníc Oxy), a funkcia R(x,y,z) je spojitá na ploche S. Normála na plochu S, ktorá má smerové kosíny cos α, cos β, cos γ, sa vyberie na hornú stranu plochy S. Potom .
Pre všeobecný prípad máme:
= 
| " |
