Operácie s obyčajnými zlomkami
Pripomeňme si, ako vykonávať jednoduché výpočty s obyčajnými zlomkami. Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a zapísať výsledok do čitateľa a potom vynásobiť menovateľov a zapísať výsledok do menovateľa:
Ak sú čitateľ a menovateľ zlomku deliteľné rovnakým číslom, potom sa ním každý z nich zvyčajne delí a nazýva sa to „zmenšenie zlomku“: 
Niekedy sa redukcia vykonáva pri násobení zlomkov:
Ak sú zlomky zmiešané (so zvýraznenou celočíselnou časťou), je potrebné ich previesť na obyčajné zlomky (pozostávajúce iba z čitateľa a menovateľa). Za týmto účelom sa celá časť vynásobí menovateľom, pridá sa čitateľ a výsledok sa zapíše do čitateľa, ale menovateľ zostane rovnaký: 
Ak chcete previesť nesprávny zlomok (čitateľ je väčší ako menovateľ) na zmiešaný zlomok (vyberte celú časť), musíte rozdeliť čitateľa menovateľom so zvyškom. Potom neúplný kvocient bude celá časť, zvyšok bude čitateľ a menovateľ zostane rovnaký: 
Ak chcete previesť bežný zlomok na desatinné číslo, musíte tento menovateľ priviesť na menovateľ 10, 100, 1 000 atď.:
Alebo vydeľte čitateľa menovateľom: 
Ak chcete vynásobiť bežný zlomok desatinnou čiarkou, musíte buď previesť bežný zlomok na desatinné číslo, alebo desatinné miesto na spoločné: 
Ak chcete rozdeliť číslo spoločným zlomkom, musíte vymeniť čitateľa za menovateľa v tomto zlomku a vynásobiť číslo výsledným zlomkom: 
Ak chcete napísať celé číslo ako zlomok, musíte ho napísať s menovateľom 1: 
Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a napísať čitateľa nového zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ak chcete odčítať zlomky s podobnými menovateľmi, musíte odpočítať ich čitateľov a napísať čitateľa nového zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ak majú zlomky celočíselnú časť, musíte najprv celé číslo pridať alebo odčítať: 
Zlomky s rôznymi menovateľmi môžete pridať nasledujúcim spôsobom:
vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku ďalšími faktormi tak, aby sa nový menovateľ rovnal najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov pôvodných zlomkov. Pridajme výsledné zlomky s rovnakým menovateľom:
Stáva sa, že zlomková časť subtrahendu je menšia ako minuend, potom musíme vziať 1 z celej časti minuendu:
Akcie s desatinnými miestami:
Pravidlo 1 : Na sčítanie (odčítanie) desatinných zlomkov je potrebné: 1) napísať ich pod seba tak, aby bola čiarka pod čiarkou (ak majú zlomky iný počet desatinných miest, tak ich treba vyrovnať pomocou núl; 2) vykonajte sčítanie (odčítanie) , čiarku ignorujte; 3) pod čiarku v odpovedi dajte čiarku (v prípade potreby vyhoďte nuly za desatinnou čiarkou).
4,12
3,78
7,90=7,9
12,76 0
8,674
4,086
Pravidlo 2 : Ak chcete vynásobiť dva desatinné zlomky, musíte 1) vykonať násobenie bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarkam; 2) oddeľte čiarkou toľko číslic vpravo, koľko je za desatinnou čiarkou v oboch faktoroch spolu.
0,671
2,9
6039
1342
1,9459
2,35
1,4
940
235
3,290=3,29
Pravidlo 3 : Ak chcete deliť číslo desatinným zlomkom, musíte: 1) vytvoriť prirodzené číslo z desatinného zlomku posunutím desatinnej čiarky doprava; 2) v dividende presuňte čiarku na rovnaký počet číslic ako v desatinnom zlomku (alebo pridajte 0, ak je to prirodzené číslo); 3) potom vydeľte prirodzeným číslom (nezabudnite vložiť čiarku do podielu, kde končí delenie celej časti).
Pravidlo 4. Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku doprava o toľko číslic, koľko núl je vo faktore za jednotkou.
7,567-10 = 75,67
3,1 100 = 310
23 981 100 = 23 981
Ak chcete deliť desatinný zlomok 10, 100, 1000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku doľava o toľko číslic, koľko je núl vo faktore za jednotkou.
7, 567 : 10 = 0,7567
3,1 : 100 = 0, 031
2,398 : 1000 = 0, 002398
Tento materiál budeme venovať takej dôležitej téme, ako sú desatinné zlomky. Najprv si definujme základné definície, uveďme príklady a zastavme sa pri pravidlách desatinného zápisu, ako aj pri tom, aké sú číslice desatinných zlomkov. Ďalej zdôrazňujeme hlavné typy: konečné a nekonečné, periodické a neperiodické zlomky. V záverečnej časti si ukážeme, ako sú na súradnicovej osi umiestnené body zodpovedajúce zlomkovým číslam.
Čo je desiatkový zápis zlomkových čísel
Takzvaný desiatkový zápis zlomkových čísel možno použiť pre prirodzené aj zlomkové čísla. Vyzerá to ako množina dvoch alebo viacerých čísel s čiarkou medzi nimi.
Desatinná čiarka je potrebná na oddelenie celej časti od zlomkovej časti. Spravidla posledná číslica desatinného zlomku nie je nula, pokiaľ sa desatinná čiarka neobjaví hneď za prvou nulou.
Aké sú príklady zlomkových čísel v desiatkovom zápise? Môže to byť 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9 atď.
V niektorých učebniciach je možné nájsť použitie bodky namiesto čiarky (5. 67, 6789. 1011 atď.).
Definícia desatinných miest
Na základe vyššie uvedeného konceptu desatinného zápisu môžeme sformulovať nasledujúcu definíciu desatinných zlomkov:
Definícia 1
Desatinné čísla predstavujú zlomkové čísla v desiatkovom zápise.
Prečo potrebujeme písať zlomky v tomto tvare? Poskytuje nám to určité výhody oproti bežným, napríklad kompaktnejší zápis, najmä v prípadoch, keď menovateľ obsahuje 1000, 100, 10 atď., alebo zmiešané číslo. Napríklad namiesto 6 10 môžeme zadať 0,6, namiesto 25 10 000 - 0,0023, namiesto 512 3 100 - 512,03.
Ako správne reprezentovať obyčajné zlomky s desiatkami, stovkami, tisíckami v menovateli v desatinnej forme, sa bude diskutovať v samostatnom materiáli.
Ako správne čítať desatinné miesta
Existujú určité pravidlá pre čítanie desatinných zápisov. Tie desatinné zlomky, ktorým zodpovedajú ich bežné bežné ekvivalenty, sa teda čítajú takmer rovnako, ale s pridaním slov „nula desatín“ na začiatku. Záznam 0, 14, ktorý zodpovedá 14 100, sa teda číta ako „nulový bod štrnásť stotín“.
Ak možno desatinný zlomok priradiť k zmiešanému číslu, potom sa číta rovnakým spôsobom ako toto číslo. Ak teda máme zlomok 56 002, čo zodpovedá 56 2 1000, čítame tento záznam ako „päťdesiatšesť desatinných čiarok“.
Význam číslice v desatinnom zlomku závisí od toho, kde sa nachádza (rovnako ako v prípade prirodzených čísel). Takže v desatinnom zlomku 0,7 je sedem desatiny, v 0,0007 desaťtisíciny a v zlomku 70 000,345 sedem desiatok tisíc celých jednotiek. V desatinných zlomkoch teda existuje aj pojem hodnoty miesta.
Názvy číslic umiestnených pred desatinnou čiarkou sú podobné tým, ktoré existujú v prirodzených číslach. Mená tých, ktorí sa nachádzajú po, sú jasne uvedené v tabuľke:
Pozrime sa na príklad.
Príklad 1
Máme desatinný zlomok 43 098. Na desiatkach má štvorku, na jednotky trojku, na desiatku nulu, na stotinku 9 a na tisícku 8.
Je zvykom rozlišovať poradie desatinných zlomkov podľa priority. Ak sa pohybujeme po číslach zľava doprava, potom prejdeme od najvýznamnejších k najmenej významným. Ukazuje sa, že stovky sú staršie ako desiatky a časti na milión sú mladšie ako stotiny. Ak vezmeme posledný desatinný zlomok, ktorý sme uviedli ako príklad vyššie, potom najvyššie alebo najvyššie miesto v ňom bude miesto stoviek a najnižšie alebo najnižšie miesto bude 10-tisíc.
Akýkoľvek desatinný zlomok môže byť rozšírený na jednotlivé číslice, teda prezentované ako súčet. Táto akcia sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pri prirodzených číslach.
Príklad 2
Skúsme zlomok 56, 0455 rozšíriť na číslice.
Dostaneme:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Ak si pamätáme vlastnosti sčítania, môžeme tento zlomok znázorniť v iných tvaroch, napríklad ako súčet 56 + 0, 0455, alebo 56, 0055 + 0, 4 atď.
Čo sú koncové desatinné miesta?
Všetky zlomky, o ktorých sme hovorili vyššie, sú konečné desatinné miesta. To znamená, že počet číslic za desatinnou čiarkou je konečný. Poďme odvodiť definíciu:
Definícia 1
Koncové desatinné miesta sú typom desatinného zlomku, ktorý má za desatinnou čiarkou konečný počet desatinných miest.
Príklady takýchto zlomkov môžu byť 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 atď.
Ktorýkoľvek z týchto zlomkov možno previesť buď na zmiešané číslo (ak je hodnota ich zlomkovej časti iná ako nula), alebo na obyčajný zlomok (ak je celočíselná časť nula). Ako sa to robí, sme venovali samostatný článok. Tu poukážeme len na niekoľko príkladov: napríklad konečný desatinný zlomok 5, 63 môžeme zredukovať na tvar 5 63 100 a 0, 2 zodpovedá 2 10 (alebo akémukoľvek inému rovnakému zlomku, napr. napríklad 4 20 alebo 1 5.)
Ale opačný proces, t.j. zápis bežného zlomku v desatinnom tvare nemusí byť vždy možný. Čiže 5 13 nemožno nahradiť rovnakým zlomkom s menovateľom 100, 10 atď., čo znamená, že z neho nemožno získať konečný desatinný zlomok.
Hlavné typy nekonečných desatinných zlomkov: periodické a neperiodické zlomky
Vyššie sme naznačili, že konečné zlomky sa tak nazývajú, pretože majú za desatinnou čiarkou konečný počet číslic. Môže však byť aj nekonečný, v takom prípade sa samotné zlomky budú nazývať nekonečné.
Definícia 2
Nekonečné desatinné zlomky sú tie, ktoré majú za desatinnou čiarkou nekonečný počet číslic.
Je zrejmé, že takéto čísla sa jednoducho nedajú zapísať celé, preto uvádzame iba časť z nich a potom pridáme elipsu. Tento znak označuje nekonečné pokračovanie postupnosti desatinných miest. Príklady nekonečných desatinných zlomkov zahŕňajú 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. atď.
„Chvost“ takéhoto zlomku môže obsahovať nielen zdanlivo náhodné sekvencie čísel, ale aj neustále sa opakujúce rovnaké znaky alebo skupiny znakov. Zlomky so striedajúcimi sa číslami za desatinnou čiarkou sa nazývajú periodické.
Definícia 3
Periodické desatinné zlomky sú tie nekonečné desatinné zlomky, v ktorých sa za desatinnou čiarkou opakuje jedna číslica alebo skupina niekoľkých číslic. Opakujúca sa časť sa nazýva perióda zlomku.
Napríklad pre zlomok 3, 444444.... bodka bude číslo 4 a pre 76, 134134134134... - skupina 134.
Aký je minimálny počet znakov, ktoré možno ponechať v zápise periodického zlomku? Pri periodických zlomkoch bude stačiť napísať celú periódu raz do zátvorky. Takže zlomok 3, 444444…. Správne by bolo napísať to ako 3, (4) a 76, 134134134134... – ako 76, (134).
Vo všeobecnosti budú mať položky s niekoľkými bodkami v zátvorkách presne rovnaký význam: napríklad periodický zlomok 0,677777 je rovnaký ako 0,6 (7) a 0,6 (77) atď. Prijateľné sú aj záznamy v tvare 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) atď.
Aby sme sa vyhli chybám, zavádzame jednotnosť zápisu. Dohodnime sa, že si zapíšeme len jednu bodku (čo najkratšiu postupnosť čísel), ktorá je najbližšie k desatinnej čiarke, a dáme ju do zátvoriek.
To znamená, že pre uvedený zlomok budeme považovať hlavný údaj za 0, 6 (7) a napríklad v prípade zlomku 8, 9134343434 napíšeme 8, 91 (34).
Ak menovateľ obyčajného zlomku obsahuje prvočísla, ktoré sa nerovnajú 5 a 2, potom pri prevode na desatinný zápis budú výsledkom nekonečné zlomky.
V princípe môžeme zapísať akýkoľvek konečný zlomok ako periodický. Aby sme to urobili, stačí pridať nekonečný počet núl doprava. Ako to vyzerá pri nahrávaní? Povedzme, že máme konečný zlomok 45, 32. V periodickej forme to bude vyzerať ako 45, 32 (0). Táto akcia je možná, pretože pripočítaním núl napravo od ľubovoľného desatinného zlomku dostaneme výsledok zlomku, ktorý sa mu rovná.
Osobitná pozornosť by sa mala venovať periodickým zlomkom s periódou 9, napríklad 4, 89 (9), 31, 6 (9). Sú alternatívnym zápisom podobných zlomkov s bodkou 0, preto sa často nahrádzajú pri zápise zlomkami s nulovou bodkou. V tomto prípade sa k hodnote nasledujúcej číslice pripočíta jedna a v zátvorkách je uvedená (0). Rovnosť výsledných čísel sa dá ľahko overiť ich reprezentáciou ako obyčajné zlomky.
Napríklad frakcia 8, 31 (9) môže byť nahradená zodpovedajúcou frakciou 8, 32 (0). Alebo 4, (9) = 5, (0) = 5.
Nekonečné desatinné periodické zlomky sú klasifikované ako racionálne čísla. Inými slovami, každý periodický zlomok môže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok a naopak.
Existujú aj zlomky, ktoré nemajú nekonečne sa opakujúcu postupnosť za desatinnou čiarkou. V tomto prípade sa nazývajú neperiodické zlomky.
Definícia 4
Neperiodické desatinné zlomky zahŕňajú tie nekonečné desatinné zlomky, ktoré neobsahujú bodku za desatinnou čiarkou, t.j. opakujúca sa skupina čísel.
Niekedy neperiodické zlomky vyzerajú veľmi podobne ako tie periodické. Napríklad 9, 03003000300003 ... na prvý pohľad sa zdá, že má bodku, ale podrobný rozbor desatinných miest potvrdzuje, že ide stále o neperiodický zlomok. S takýmito číslami musíte byť veľmi opatrní.
Neperiodické zlomky sú klasifikované ako iracionálne čísla. Neprevádzajú sa na bežné zlomky.
Základné operácie s desatinnými miestami
S desatinnými zlomkami možno vykonávať nasledujúce operácie: porovnávanie, odčítanie, sčítanie, delenie a násobenie. Pozrime sa na každú z nich samostatne.
Porovnávanie desatinných miest možno zredukovať na porovnávanie zlomkov, ktoré zodpovedajú pôvodným desatinným miestam. Nekonečné neperiodické zlomky sa však nedajú zredukovať na túto formu a prevod desatinných zlomkov na obyčajné zlomky je často náročná úloha. Ako môžeme rýchlo vykonať porovnávaciu akciu, ak to potrebujeme urobiť pri riešení problému? Je vhodné porovnávať desatinné zlomky po číslici rovnakým spôsobom, ako porovnávame prirodzené čísla. Tejto metóde budeme venovať samostatný článok.
Na sčítanie niektorých desatinných zlomkov s inými je vhodné použiť metódu sčítania stĺpcov, ako pri prirodzených číslach. Ak chcete pridať periodické desatinné zlomky, musíte ich najskôr nahradiť bežnými a počítať podľa štandardnej schémy. Ak podľa podmienok úlohy potrebujeme sčítať nekonečné neperiodické zlomky, musíme ich najskôr zaokrúhliť na určitú číslicu a potom ich sčítať. Čím menšiu číslicu, na ktorú zaokrúhľujeme, tým vyššia bude presnosť výpočtu. Na odčítanie, násobenie a delenie nekonečných zlomkov je potrebné aj predokrúhlenie.
Nájdenie rozdielu medzi desatinnými zlomkami je inverzná hodnota sčítania. V podstate pomocou odčítania môžeme nájsť číslo, ktorého súčet so zlomkom, ktorý odčítavame, nám dá zlomok, ktorý minimalizujeme. Podrobnejšie o tom budeme hovoriť v samostatnom článku.
Násobenie desatinných zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pri prirodzených číslach. Na to je vhodná aj metóda výpočtu stĺpcov. Toto pôsobenie s periodickými zlomkami opäť znížime na násobenie obyčajných zlomkov podľa už preštudovaných pravidiel. Nekonečné zlomky, ako si pamätáme, musia byť pred výpočtami zaokrúhlené.
Proces delenia desatinných miest je opakom násobenia. Pri riešení úloh využívame aj stĺpcové výpočty.
Môžete určiť presnú zhodu medzi konečným desatinným zlomkom a bodom na súradnicovej osi. Poďme zistiť, ako označiť bod na osi, ktorý bude presne zodpovedať požadovanému desatinnému zlomku.
Už sme študovali, ako zostrojiť body zodpovedajúce obyčajným zlomkom, ale desatinné zlomky je možné zredukovať na tento tvar. Napríklad spoločný zlomok 14 10 je rovnaký ako 1, 4, takže zodpovedajúci bod bude odstránený z počiatku v kladnom smere presne o rovnakú vzdialenosť:
Môžete to urobiť bez nahradenia desatinného zlomku obyčajným, ale ako základ použite metódu rozšírenia o číslice. Ak teda potrebujeme označiť bod, ktorého súradnica sa bude rovnať 15, 4008, potom toto číslo najprv uvedieme ako súčet 15 + 0, 4 +, 0008. Na začiatok si odložme 15 celých segmentov jednotky v kladnom smere od začiatku odpočítavania, potom 4 desatiny jedného segmentu a potom 8 desaťtisícín jedného segmentu. Výsledkom je, že dostaneme súradnicový bod, ktorý zodpovedá zlomku 15, 4008.
Pre nekonečný desatinný zlomok je lepšie použiť túto metódu, pretože vám umožňuje priblížiť sa k požadovanému bodu tak blízko, ako chcete. V niektorých prípadoch je možné zostrojiť presnú zhodu s nekonečným zlomkom na súradnicovej osi: napríklad 2 = 1, 41421. . . a tento zlomok môže byť spojený s bodom na súradnicovom lúči, vzdialeným od 0 o dĺžku uhlopriečky štvorca, ktorého strana sa bude rovnať jednému segmentu jednotky.
Ak nenájdeme bod na osi, ale jemu zodpovedajúci desatinný zlomok, potom sa táto akcia nazýva desatinné meranie segmentu. Pozrime sa, ako to urobiť správne.
Povedzme, že sa potrebujeme dostať z nuly do daného bodu na súradnicovej osi (alebo sa čo najviac priblížiť v prípade nekonečného zlomku). Aby sme to dosiahli, postupne odkladáme segmenty jednotiek z počiatku, kým sa nedostaneme do požadovaného bodu. Po celých segmentoch v prípade potreby meriame desatiny, stotiny a menšie zlomky, aby bola zhoda čo najpresnejšia. V dôsledku toho sme dostali desatinný zlomok, ktorý zodpovedá danému bodu na súradnicovej osi.
Vyššie sme ukázali nákres s bodom M. Pozrite sa na to znova: aby ste sa dostali do tohto bodu, musíte zmerať jeden jednotkový segment a jeho štyri desatiny od nuly, pretože tento bod zodpovedá desatinnému zlomku 1, 4.
Ak sa nemôžeme dostať do bodu v procese desatinného merania, potom to znamená, že zodpovedá nekonečnému desatinnému zlomku.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Pri sčítavaní desatinných zlomkov ich musíte písať pod sebou tak, aby boli pod sebou rovnaké číslice a pod čiarkou bola čiarka a zlomky sčítajte rovnakým spôsobom ako prirodzené čísla. Pridajme napríklad zlomky 12,7 a 3,442. Prvý zlomok obsahuje jedno desatinné miesto a druhý obsahuje tri. Ak chcete vykonať sčítanie, transformujeme prvý zlomok tak, aby za desatinnou čiarkou boli tri číslice: , potom
Odčítanie desatinných zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom. Nájdite rozdiel medzi číslami 13,1 a 0,37:
Pri násobení desatinných zlomkov stačí vynásobiť dané čísla bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarkam (ako prirodzené čísla), a následne v dôsledku toho oddeliť čiarkou toľko číslic sprava, koľko je za desatinnou čiarkou v oba faktory spolu.
Napríklad vynásobme 2,7 číslom 1,3. Máme. Čiarkou oddeľujeme dve číslice vpravo (súčet číslic faktorov za desatinnou čiarkou sú dve). V dôsledku toho dostaneme 2,7 1,3 = 3,51.
Ak súčin obsahuje menej číslic, než je potrebné oddeliť čiarkou, chýbajúce nuly sa napíšu dopredu, napríklad:
Uvažujme vynásobenie desatinného zlomku číslom 10, 100, 1000 atď. Povedzme, že potrebujeme vynásobiť zlomok 12,733 číslom 10. Máme . Oddelením troch číslic vpravo čiarkou dostaneme But. znamená,
12 733 10 = 127,33. Vynásobenie desatinného zlomku 10 sa teda zredukuje na posunutie desatinnej čiarky o jednu číslicu doprava.
Vo všeobecnosti, ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000, musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku o 1, 2, 3 číslice doprava a v prípade potreby pridať určitý počet núl k zlomku na správny). Napríklad,
Delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom sa vykonáva rovnakým spôsobom ako delenie prirodzeného čísla prirodzeným číslom a čiarka v kvociente sa umiestni po dokončení delenia celej časti. Rozdeľme 22,1 číslom 13:
Ak je celočíselná časť dividendy menšia ako deliteľ, odpoveď je nula celých čísel, napríklad:
Uvažujme teraz o delení desatinného miesta desatinným číslom. Povedzme, že potrebujeme deliť 2,576 číslom 1,12. Ak to chcete urobiť, v deliteľovi aj v deliteľovi posuňte čiarku doprava o toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi (v tomto príklade o dve). Inými slovami, ak vynásobíme dividendu a deliteľa 100, kvocient sa nezmení. Potom musíte zlomok 257,6 vydeliť prirodzeným číslom 112, t.j. problém sa zredukuje na už uvažovaný prípad:
Ak chcete deliť desatinný zlomok, musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku doľava (a v prípade potreby pridať požadovaný počet núl doľava). Napríklad, .
Rovnako ako delenie nie je vždy možné pre prirodzené čísla, nie je to vždy možné pre desatinné zlomky. Napríklad vydeľme 2,8 číslom 0,09.
Farafonová Natália Igorevna
Po dokončení témy „Akcie s desatinnými zlomkami“, aby ste si precvičili počítacie zručnosti a skontrolovali zvládnutie materiálu, môžete so študentmi vykonávať individuálnu prácu pomocou kariet. Každý žiak musí splniť úlohy pre všetky aktivity bezchybne. Pre každú akciu je veľa možností, to dáva každému študentovi možnosť vyriešiť úlohu pre každú akciu s desatinnými miestami niekoľkokrát a dosiahnuť bezchybný výsledok alebo dokončiť úlohu s minimálnym počtom chýb. Keďže každý žiak plní individuálnu úlohu, učiteľ má možnosť tak, ako sú mu predložené splnené úlohy, s každým žiakom o nich osobne diskutovať. Ak študent urobí chyby, učiteľ ich opraví a ponúkne vykonanie úlohy z inej možnosti. Teda, kým študent nesplní celú úlohu alebo jej väčšinu bez chýb. Je lepšie robiť karty na farebnom papieri.
V poslednej fáze práce môžete navrhnúť riešenie príkladu obsahujúceho niekoľko akcií.
Za každú bezchybnú možnosť, bez ohľadu na to, ktorý pokus bola úloha splnená správne, môžu študenti podľa uváženia učiteľa dostať známku výborná alebo priemernú známku po dokončení celej práce.
Pridávanie desatinných miest.
1 možnosť
7,468 + 2,85
9,6 + 0,837
38,64 + 8,4
3,9 + 26,117
Možnosť 2
19,45 + 34,8
4,9 + 0,716
75,86 + 4,2
5,6 + 44,408
Možnosť 3
24,38 + 7,9
6,5 + 0,952
48,59 + 1,8
35,906 + 2,8
Možnosť 4
7,6 + 319,75
888,99 + 4,5
64,15 + 18,9
4,5 + 0,738
Možnosť 5
7,62 + 8,9
25,38 + 0,09
12,842 + 8,6
412 + 78,83
Možnosť 6
70,7 + 3,8645
3,65 + 0,89
61,22 + 31.719
12,842 + 8,6
Odpovede: Možnosť 1: 10,318; 10,437; 47,04; 30,017;
Možnosť 2: 54,25; 5,616; 80,06; 50,008;
Možnosť 3: 32,28; 7,452; 50,19; 38,706;
Možnosť 4: 327,35; 893,49; 83,05; 5,238;
Možnosť 5: 16,52; 25,47; 21,442; 490,83;
Možnosť 6: 74,5645; 4,54; 92,939; 21,442;
Odčítanie desatinných miest.
1 možnosť
26,38 - 9,69
41,12 - 8,6
5,2 - 3,445
7 - 0,346
Možnosť 2
47,62 - 8,78
54,06 - 9,1
7,1 - 6,346
3 - 1,551
Možnosť 3
50,41 - 9,62
72,03 - 6,3
9,2 - 5,453
4 - 2,662
Možnosť 4
60,01 - 8,364
123,61 - 69,8
8,7 - 4,915
10 - 3,817
Možnosť 5
6,52 - 3,8
7,41 - 0,758
67,351 - 9,7
22 - 0,618
Možnosť 6
4,5 - 0,496
61,3 - 20,3268
24,7 - 15,276
50 - 2,38
Odpovede: Možnosť 1: 16,69; 32,52; 1,755; 6,654;
Možnosť 2: 38,84; 44,96; 0,754; 1,449;
Možnosť 3: 40,79; 65,73; 3,747; 1,338;
Možnosť 4: 51,646; 53,81; 3,785; 6,183;
Možnosť 5: 2,72; 6,652; 57,651; 21,382;
Možnosť 6: 4,004; 40,9732; 9,424; 47,62;
Násobenie desatinných miest.
1 možnosť
7,4 3,5
20.2 3.04
0,68 0,65
2,5 840
Možnosť 2
2,8 9,7
6.05 7.08
0,024 0,35
560 3.4
Možnosť 3
6,8 5,9
6.06 8.05
0,65 0,014
720 4.6
Možnosť 4
34,7 8,4
9.06 7.08
0,038 0,29
3,6 540
Možnosť 5
62,4 2,5
0,038 9
1,8 0,009
4,125 0,16
Možnosť 6
0,28 45
20.6 30.5
2,3 0,0024
0,0012 0,73
Možnosť 7
68 0,15
0,08 0,012
1,4 1,04
0,32 2,125
Možnosť 8
4,125 0,16
0,0012 0,73
1,4 1,04
720 4.6
Odpovede: Možnosť 1: 25,9; 61,408; 0,442; 2100;
Možnosť 2: 27,16; 42,834; 0,0084; 1904;
Možnosť 3: 40,12; 48,783; 0,0091; 3312;
Možnosť 4: 291,48; 64,1448; 0,01102; 1944;
Možnosť 5: 156; 0,342; 0,0162; 0,66;
Možnosť 6: 12,6; 628,3; 0,00552; 0,000876;
Možnosť 7: 10,2; 0,00096; 1,456; 0,68;
Možnosť 8: 0,66; 0,000876; 1,456; 3312;
Delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom.
1 možnosť
62,5: 25
0,5: 25
9,6: 12
1,08: 8
Možnosť 2
0,28: 7
0,2: 4
16,9: 13
22,5: 15
Možnosť 3
0,75: 15
0,7: 35
1,6: 8
0,72: 6
Možnosť 4
2,4: 6
1,5: 75
0,12: 4
1,69: 13
Možnosť 5
3,5: 175
1,8: 24
10,125: 9
0,48: 16
Možnosť 6
0,35: 7
1,2: 3
0,2: 5
7,2: 144
Možnosť 7
151,2: 63
4,8: 32
0,7: 25
2,3: 40
Možnosť 8
397,8: 78
5,2: 65
0,9: 750
3,4: 80
Možnosť 9
478,8: 84
7,3: 4
0,6: 750
5,7: 80
Možnosť 10
699,2: 92
1,8: 144
0,7: 875
6,3: 24
Odpovede: Možnosť 1: 2,5; 0,02; 0,8; 0,135;
Možnosť 2: 0,04; 0,05; 1,3; 1,5;
Možnosť 3: 0,05; 0,02; 0,2; 0,12;
Možnosť 4: 0,4; 0,02; 0,03; 0,13;
Možnosť 5: 0,02; 0,075; 1,125; 0,03;
Možnosť 6: 0,05; 0,4; 0,04; 0,05;
Možnosť 7: 2,4; 0,15; 0,28; 0,0575;
Možnosť 8: 5,1; 0,08; 0,0012; 0,0425;
Možnosť 9: 5,7; 1,825; 0,0008; 0,07125;
Možnosť 10: 7,6; 0,0125; 0,0008; 0,2625;
Delenie desatinným zlomkom.
1 možnosť
32: 1,25
54: 12,5
6: 125
Možnosť 2
50,02: 6,1
34,2: 9,5
67,6: 6,5
Možnosť 3
2,8036: 0,4
3,1: 0,025
0,0008: 0,16
Možnosť 4
4: 32
303: 75
687,4: 10
1,59: 100
Možnosť 5
5: 16
336: 35
412,5: 10
24,3: 100
Možnosť 6
41,82: 6,8
73,44: 3,6
7,2: 0,045
32,89: 4,6
Odpovede: Možnosť 1: 25,6; 4,32; 0,048;
Možnosť 2: 8,2; 3,6; 10,4;
Možnosť 3: 7,009; 124; 0,005;
Možnosť 4: 0,125; 4,04; 68,74; 0,0159;
Možnosť 5: 0,3125; 9,6; 41,25; 0,243;
Možnosť 6: 6,15; 20,4; 160; 7,15;
Spoločné operácie s desatinnými miestami.
824,72 - 475: (0,071 + 0,929) + 13,8
(7 351 + 12 649) 105 – 95,48 – 4,52
(3,82 – 1,084 + 12,264) (4,27 + 1,083 – 3,353) + 83
278 - 16,7 - (15,75 + 24,328 + 39,2)
57,18 42 – 74,1: 13 + 21,35: 7
(18,8: 16 + 9,86 3) 40 - 12,73
(2 – 0,25 0,8) : (0,16: 0,5 – 0,02)
(3,625 + 0,25 + 2,75) : (28,75 + 92,25 - 15) : 0,0625
Odpovede: 1) 363,52; 2) 2000; 3) 113; 4) 182,022; 5) 2398,91; 6) 1217,47; 7) 6; 8) 1.
V matematike sa od svojho vzniku skúmali rôzne typy čísel. Existuje veľké množstvo množín a podmnožín čísel. Medzi nimi sú celé čísla, racionálne, iracionálne, prirodzené, párne, nepárne, komplexné a zlomkové. Dnes budeme analyzovať informácie o poslednej množine - zlomkové čísla.
Definícia zlomkov
Zlomky sú čísla pozostávajúce z celej časti a zlomkov jednotky. Rovnako ako celé čísla, medzi dvoma celými číslami je nekonečný počet zlomkov. V matematike sa operácie so zlomkami vykonávajú rovnako ako s celými a prirodzenými číslami. Je to celkom jednoduché a dá sa to naučiť za pár lekcií.
Článok predstavuje dva typy
Bežné zlomky
Obyčajné zlomky sú celá časť a a dve čísla zapísané cez zlomkovú čiaru b/c. Spoločné zlomky môžu byť mimoriadne vhodné, ak zlomkovú časť nemožno reprezentovať v racionálnej desatinnej forme. Okrem toho je pohodlnejšie vykonávať aritmetické operácie cez zlomkovú čiaru. Horná časť sa nazýva čitateľ, spodná časť je menovateľ.
Operácie s obyčajnými zlomkami: príklady
Hlavná vlastnosť zlomku. o ak vynásobíte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom, ktoré nie je nula, výsledkom je číslo, ktoré sa rovná danému. Táto vlastnosť zlomku je vynikajúci spôsob, ako poskytnúť menovateľa na sčítanie (o tom sa bude diskutovať nižšie) alebo ako skrátiť zlomok a urobiť ho pohodlnejším na počítanie. a/b = a*c/b*c. Napríklad 36/24 = 6/4 alebo 9/13 = 18/26
Redukcia na spoločného menovateľa. Ak chcete získať menovateľa zlomku, musíte menovateľa uviesť vo forme faktorov a potom vynásobiť chýbajúcimi číslami. Napríklad 7/15 a 12/30; 7/5*3 a 12/5*3*2. Vidíme, že menovatelia sa líšia dvomi, preto čitateľa a menovateľa prvého zlomku vynásobíme 2. Dostaneme: 14/30 a 12/30.
Zložené frakcie- obyčajné zlomky so zvýraznenou celou časťou. (A b/c) Ak chcete zložený zlomok reprezentovať ako spoločný zlomok, musíte číslo pred zlomkom vynásobiť menovateľom a potom ho pridať v čitateli: (A*c + b)/c.
Aritmetické operácie so zlomkami
Dobre známe aritmetické operácie by bolo dobré brať do úvahy len pri práci so zlomkovými číslami.
Sčítanie a odčítanie. Sčítanie a odčítanie zlomkov je rovnako jednoduché ako sčítanie a odčítanie celých čísel, až na jednu ťažkosť – prítomnosť zlomkovej čiary. Pri pridávaní zlomkov s rovnakým menovateľom stačí pridať čitateľov oboch zlomkov, menovatelia zostanú nezmenené. Napríklad: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Ak sú menovateľmi dvoch zlomkov rôzne čísla, najprv ich musíte priviesť k spoločnému číslu (ako to urobiť, bolo diskutované vyššie). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Odčítanie sa riadi presne rovnakým princípom: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
Násobenie a delenie. Akcie Násobenie zlomkami prebieha podľa nasledujúceho princípu: čitatelia a menovatelia sa násobia oddelene. Vo všeobecnosti vzorec násobenia vyzerá takto: a/b *c/d = a*c/b*d. Okrem toho pri násobení môžete zlomok zmenšiť odstránením podobných faktorov z čitateľa a menovateľa. Inými slovami, čitateľ a menovateľ sa delia rovnakým číslom: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Ak chcete rozdeliť jeden obyčajný zlomok druhým, musíte zmeniť čitateľa a menovateľa deliteľa a vynásobiť dva zlomky podľa princípu uvedeného vyššie: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11 x 25 = 1/5
Desatinné čísla
Desatinné čísla sú populárnejšou a často používanou verziou zlomkov. Je jednoduchšie ich napísať na riadok alebo prezentovať na počítači. Štruktúra desatinnej čiarky je nasledovná: najprv sa zapíše celé číslo a potom za desatinnou čiarkou sa zapíše zlomková časť. Desatinné čísla sú vo svojej podstate zložené zlomky, no ich zlomkovú časť predstavuje číslo delené násobkom 10. Odtiaľ pochádza aj ich názov. Operácie s desatinnými zlomkami sú podobné operáciám s celými číslami, pretože sú tiež zapísané v desiatkovej číselnej sústave. Na rozdiel od bežných zlomkov môžu byť desatinné čísla iracionálne. To znamená, že môžu byť nekonečné. Píšu sa takto: 7, (3). Nasledujúci záznam znie: sedem bodov tri, tri desatiny v období.
Základné operácie s desatinnými číslami
Sčítanie a odčítanie desatinných miest. Práca so zlomkami nie je o nič náročnejšia ako práca s celými prirodzenými číslami. Pravidlá sú úplne podobné tým, ktoré sa používajú pri sčítaní alebo odčítaní prirodzených čísel. Môžu sa počítať ako stĺpec rovnakým spôsobom, ale v prípade potreby nahraďte chýbajúce miesta nulami. Napríklad: 5,5697 – 1,12. Ak chcete vykonať odčítanie stĺpcov, musíte vyrovnať počet čísel za desatinnou čiarkou: (5,5697 - 1,1200). Číselná hodnota sa teda nezmení a môže sa počítať v stĺpci.
Operácie s desatinnými zlomkami nemožno vykonať, ak má jedna z nich iracionálnu formu. Aby ste to dosiahli, musíte obe čísla previesť na bežné zlomky a potom použiť techniky opísané vyššie.
Násobenie a delenie. Násobenie desatinných miest je podobné ako násobenie prirodzených zlomkov. Môžu sa tiež vynásobiť v stĺpci, jednoducho bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarke, a potom oddeliť čiarkou v konečnej hodnote rovnaký počet číslic, ako bol súčet za desatinnou čiarkou v dvoch desatinných zlomkoch. Napríklad 1,5 * 2,23 = 3,345. Všetko je veľmi jednoduché a nemalo by spôsobovať ťažkosti, ak ste už zvládli násobenie prirodzených čísel.
Delenie je tiež rovnaké ako delenie prirodzených čísel, ale s miernou odchýlkou. Ak chcete deliť desatinným číslom pomocou stĺpca, musíte zahodiť desatinnú čiarku v deliteľovi a vynásobiť delenec počtom číslic za desatinnou čiarkou v deliteľovi. Potom vykonajte delenie ako pri prirodzených číslach. Pri neúplnom delení môžete k dividende napravo pridať nuly a tiež pridať nulu k odpovedi za desatinnou čiarkou.
Príklady operácií s desatinnými miestami. Desatinné čísla sú veľmi pohodlným nástrojom na aritmetické výpočty. Spájajú pohodlie prirodzených čísel, celých čísel a presnosť zlomkov. Okrem toho je celkom jednoduché previesť niektoré zlomky na iné. Operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s prirodzenými číslami.
- Sčítanie: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Odčítanie: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Násobenie: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Delenie: 3,6: 0,6 = 6
Na vyjadrenie percent sú vhodné aj desatinné miesta. Takže 100 % = 1; 60 % = 0,6; a naopak: 0,659 = 65,9 %.
To je všetko, čo potrebujete vedieť o zlomkoch. Článok skúmal dva typy zlomkov – obyčajné a desatinné. Obe sú na výpočet celkom jednoduché a ak máte úplne zvládnuté prirodzené čísla a operácie s nimi, pokojne sa môžete pustiť do učenia zlomkov.
