Variačné ukazovatele

Variačné ukazovatele charakterizujú kolísanie jednotlivých hodnôt charakteristiky vo vzťahu k priemernej hodnote, čo nie je o nič menej dôležité ako určenie samotného priemeru. Priemer neukazuje štruktúru obyvateľstva, ako sa v jeho okolí nachádzajú varianty spriemerovanej charakteristiky, či sú sústredené v blízkosti priemeru alebo sa od neho výrazne odchyľujú. Priemerná hodnota charakteristiky v dvoch populáciách môže byť rovnaká, ale v jednom prípade sa od nej všetky jednotlivé hodnoty líšia len málo a v druhom sú tieto rozdiely veľké, t.j. v jednom prípade je variácia znaku malá av druhom prípade veľká.
Dá sa to ukázať na tomto príklade. Predpokladajme, že dva tímy po 3 ľudí vykonávajú rovnakú prácu. Počet dielov vyrobených za zmenu jednotlivými pracovníkmi bol:
v prvej brigáde - 95, 100, 105;
v druhej brigáde - 75, 100, 125.
Priemerný výkon na pracovníka v tímoch bol

, .
Priemerný výkon je rovnaký, ale kolísanie výkonu jednotlivých pracovníkov na prvej brigáde je oveľa menšie ako na druhej.
V dôsledku toho platí, že čím viac sa varianty jednotlivých jednotiek populácie od seba líšia, tým viac sa líšia od svojho priemeru a naopak - varianty, ktoré sa od seba líšia málo, sú hodnotovo bližšie k priemeru, čo bude v tomto prípade reálnejšie reprezentovať celú populáciu.

Preto sa na charakterizáciu a meranie variácie vlastnosti v súhrne okrem priemeru používajú tieto ukazovatele:

• absolútne - variačný rozsah, priemerná lineárna a štandardná odchýlka, disperzia;
• príbuzný - variačné koeficienty.

Rozsah variácií (alebo rozsah variácií) - toto je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami charakteristiky:

V našom príklade je rozsah variácie zmenového výkonu pracovníkov: v prvej brigáde R = 105-95 = 10 detí, v druhej brigáde R = 125-75 = 50 detí. (5 krát viac). To naznačuje, že výkon 1. brigády je „stabilnejší“, ale druhá brigáda má väčšie rezervy na zvýšenie výkonu, pretože Ak všetci pracovníci dosiahnu maximálny výkon pre túto brigádu, môže vyrobiť 3 * 125 = 375 dielov a v 1. brigáde len 105 * 3 = 315 dielov.
Nevýhodou indikátora variačného rozsahu je, že jeho hodnota neodráža všetky výkyvy znaku.
Najjednoduchší všeobecný ukazovateľ odrážajúci všetky výkyvy charakteristiky je priemerná lineárna odchýlka, čo je aritmetický priemer absolútnych odchýlok jednotlivých opcií od ich priemernej hodnoty:
pre nezoskupené údaje
,
pre zoskupené údaje
,
kde xi je hodnota atribútu v diskrétnom rade alebo stred intervalu v intervalovom rozdelení.
Vo vyššie uvedených vzorcoch sa rozdiely v čitateli berú modulo, inak podľa vlastnosti aritmetického priemeru bude čitateľ vždy rovný nule. Preto sa priemerná lineárna odchýlka v štatistickej praxi používa zriedka, iba v prípadoch, keď sčítanie ukazovateľov bez zohľadnenia znamienka dáva ekonomický zmysel. S jeho pomocou sa analyzuje napríklad zloženie pracovnej sily, ziskovosť výroby, obrat zahraničného obchodu.
Rozmanitosť vlastnosti je priemerná štvorec odchýlok od ich priemernej hodnoty:
jednoduchý rozptyl
,
rozptyl vážený
.
Vzorec na výpočet rozptylu možno zjednodušiť:

Rozptyl sa teda rovná rozdielu medzi priemerom druhých mocnín opcie a druhou mocninou priemeru opcie populácie:
.
V dôsledku súčtu štvorcových odchýlok však rozptyl poskytuje skreslenú predstavu o odchýlkach, takže priemer sa vypočítava na základe neho smerodajná odchýlka, ktorý ukazuje, o koľko sa v priemere konkrétne varianty znaku odchyľujú od svojej priemernej hodnoty. Vypočítané ako druhú odmocninu rozptylu:
pre nezoskupené údaje
,
pre variačné série

Čím je hodnota rozptylu a smerodajnej odchýlky menšia, čím je populácia homogénnejšia, tým spoľahlivejšia (typickejšia) bude priemerná hodnota.
Priemerná lineárna a smerodajná odchýlka sú pomenované čísla, t.j. sú vyjadrené v merných jednotkách charakteristiky, sú obsahovo identické a významovo blízke.
Odporúča sa vypočítať absolútne odchýlky pomocou tabuliek.
Tabuľka 3 - Výpočet variačných charakteristík (na príklade obdobia údajov o zmenovom výkone tímových pracovníkov)

Skupiny výrobných pracovníkov, ks.	Počet pracovníkov	Stred intervalu	Vypočítané hodnoty
170-190	10	180	1800	-36	360	1296	12960
190-210	20	200	4000	-16	320	256	5120
210-230	50	220	11000	4	200	16	800
230-250	20	240	4800	24	480	576	11520
Celkom:	100	-	21600	-	1360	-	30400

Priemerný zmenový výkon pracovníkov:

Priemerná lineárna odchýlka:

Výrobný rozptyl:

Smerodajná odchýlka výkonu jednotlivých pracovníkov od priemerného výkonu:
.

Výpočet rozptylov zahŕňa ťažkopádne výpočty (najmä ak je priemer vyjadrený ako veľké číslo s niekoľkými desatinnými miestami). Výpočty je možné zjednodušiť použitím zjednodušeného vzorca a disperzných vlastností.
Disperzia má nasledujúce vlastnosti (preukázateľné v matematickej štatistike):

1. ak sa všetky hodnoty charakteristiky znížia alebo zvýšia o rovnakú hodnotu A, potom sa rozptyl nezníži,

Výpočet rozptylu alternatívnej charakteristiky

Medzi charakteristikami, ktoré študuje štatistika, sú také, ktoré majú iba dva navzájom sa vylučujúce významy. Toto sú alternatívne znaky. Sú uvedené v dvoch kvantitatívnych hodnotách: možnosti 1 a 0. Frekvencia možnosti 1, ktorá je označená p, je podiel jednotiek s touto charakteristikou. Rozdiel 1-р=q je frekvencia možností 0.

xi	wi
1	p
0	q

Aritmetický priemer alternatívneho znamienka
pretože p+q=1.

Alternatívny rozptyl vlastností
, pretože 1-R=q
Rozptyl alternatívnej charakteristiky sa teda rovná súčinu podielu jednotiek s touto charakteristikou a podielu jednotiek, ktoré túto charakteristiku nemajú.
Ak sa hodnoty 1 a 0 vyskytujú rovnako často, t.j. p=q, rozptyl dosiahne svoje maximum pq=0,25.
Rozptyl alternatívneho atribútu sa používa vo výberových prieskumoch, napríklad kvality produktov.

Koncept variácie

Priemer poskytuje zovšeobecňujúcu charakteristiku celého skúmaného javu.

Variácia vlastnosti sa nazýva rozdiel jednotlivých hodnôt charakteristiky v rámci skúmanej populácie.

Priemerná hodnota je abstraktná, zovšeobecňujúca charakteristika charakteristiky skúmanej populácie, ale neukazuje štruktúru populácie.

Priemerná hodnota neposkytuje predstavu o tom, ako sú jednotlivé hodnoty skúmanej charakteristiky zoskupené okolo priemeru, či sú sústredené blízko neho alebo sa od neho výrazne odchyľujú.

Ak sú jednotlivé hodnoty charakteristiky blízko aritmetického priemeru, potom v tomto prípade stredná hodnota reprezentuje celú populáciu. A naopak.

Variabilita jednotlivých hodnôt sa vyznačuje ukazovatele variácie.

Pojem „variácia“ pochádza z latinského variatio – zmena, kolísanie, rozdiel. Nie všetky rozdiely sa však zvyčajne nazývajú variácie.

V časti Variácia v štatistike rozumieme také kvantitatívne zmeny hodnoty sledovanej charakteristiky v rámci homogénnej populácie, ktoré sú spôsobené prelínajúcim sa vplyvom rôznych faktorov. Variácia vlastnosti sa rozlišuje v absolútnych a relatívnych hodnotách. Absolútne – R, L, σ, σ 2.

Variačné ukazovatele

1 sada	2 sada
n=5 80, 100, 120, 200, 300	n=8 145, 150, 155, 160, 160, 162, 168, 180

80 100 120 x 200 300

Preto je v tomto prípade potrebné určiť variáciu znaku, t.j. pomer jednotlivých hodnôt série voči sebe navzájom.

Variačné ukazovatele

1. Rozsah variácie je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami charakteristiky.

R = X max - X min

R1 = 300-80 = 220 R2 = 180-145 = 35

Prax: pre homogénnu populáciu, pre kontrolu kvality produktov.

2. Ukazovatele, ktoré zohľadňujú odchýlky všetkých možností od aritmetického priemeru.

a) Priemerná lineárna odchýlka

b) Smerodajná odchýlka

Priemerná lineárna odchýlka predstavuje aritmetický priemer absolútnych hodnôt odchýlok jednotlivých možností od priemeru.

pre nezoskupené:

;

pre zoskupené:

Prax: používa sa na analýzu:

1. Zloženie zamestnancov

2. Rytmus výroby

3. Jednotná dodávka materiálov

Chyba: tento ukazovateľ komplikuje výpočty pravdepodobného typu a sťažuje použitie metód matematickej štatistiky

Stredná kvadratická odchýlka (štandard)- Toto

pre nezoskupené údaje

pre zoskupené údaje

Pre mierne šikmé rozvody

Smerodajná odchýlka, podobne ako priemerná lineárna odchýlka, je absolútnym ukazovateľom a vyjadruje sa v rovnakých jednotkách ako aritmetický priemer.

Ukazovatele strednej štvorcovej alebo strednej lineárnej odchýlky pre dve populácie sa ukážu ako neporovnateľné, ak samotné charakteristiky týchto populácií nie sú rovnaké. Tieto ukazovatele nie sú porovnateľné pre rôzne charakteristiky tej istej populácie. Tie. keď sú priemery v oboch populáciách vyjadrené v rovnakých meracích jednotkách a sú rovnaké, porovnanie je možné a bude odrážať rozdiely vo variáciách znaku.

Smerodajná odchýlka je mierou spoľahlivosti priemeru. Čím menšie σ, tým lepšie aritmetický priemer odráža celú reprezentovanú populáciu.

3. Disperzia používa sa na meranie variability vlastnosti. Tento ukazovateľ objektívnejšie odráža mieru variácie

za nezoskupené

pre zoskupené

Charakteristickým rysom tohto ukazovateľa je, že pri kvadratúre podiel malých odchýlok klesá a veľké sa zvyšujú na celkovom množstve odchýlok.

Toto je tiež absolútny ukazovateľ

Rozptyl má množstvo vlastností, z ktorých niektoré uľahčujú výpočet:

1. Rozptyl konštantnej hodnoty je 0

2. Ak sú všetky varianty charakteristických hodnôt (x) ↓ o rovnaké číslo, potom sa rozptyl neznižuje

3. Ak sú všetky možnosti ↓ rovnaký počet krát (K-krát), potom je rozptyl ↓ K 2-krát

X	f	X"

x 100 krát

Rozptyl σ je 0,909*10000=9090

Výpočet variačných indexov pre kvantitatívne charakteristiky bol diskutovaný vyššie, ale úloha odhadu variácie môže byť stanovená kvalitatívne znaky. Napríklad pri štúdiu kvality vyrábaných výrobkov ich možno rozdeliť na dobré a chybné.

V tomto prípade hovoríme o alternatívnych charakteristikách.

Alternatívny rozptyl vlastností

Alternatívne znaky sa nazývajú tie, ktoré niektoré jednotky populácie vlastnia a iné nie. Napríklad prítomnosť pracovných skúseností pre uchádzačov, akademický titul pre vysokoškolských učiteľov atď. Prítomnosť charakteristiky v populačných jednotkách sa bežne označuje 1 a neprítomnosť 0. x 1 = 1, x 2 = 0. Podiel jednotiek s charakteristikou (v celkovej populácii) označujeme p a podiel jednotiek, ktoré ju nemajú, označujeme q. Tie. p+q=l, q=l-p.

Vypočítajme priemernú hodnotu alternatívnej charakteristiky

; ;

Tie. priemerná hodnota alternatívnej charakteristiky sa rovná podielu jednotiek, ktoré majú tieto charakteristiky, k podielu jednotiek, ktoré tieto charakteristiky nemajú.

Smerodajná odchýlka sa rovná B p =

Kvalita je kontrolovaná: 1000 hotových výrobkov, 20 chybných.

Nájdite percento chýb: (20/1000)*100%=0,02%

Disperzia má množstvo vlastností, ktoré zjednodušujú výpočet.

1. Ak od všetkých hodnôt odčítate nejaké konštantné číslo A, štandardná odchýlka sa od toho nezmení.

Variácia— ide o rozdiely v individuálnych hodnotách charakteristiky medzi jednotkami skúmanej populácie. Štúdium variácií má veľký praktický význam a je nevyhnutným článkom v ekonomickej analýze. Potreba študovať variácie je spôsobená skutočnosťou, že priemer, ktorý je výsledkom, plní svoju hlavnú úlohu s rôznym stupňom presnosti: čím menšie sú rozdiely v jednotlivých hodnotách atribútu, ktoré sú predmetom spriemerovania, tým homogénnejšie. súbor, a teda tým presnejší a spoľahlivejší je priemer a naopak. Preto podľa stupňa variácie možno posudzovať hranice variácie charakteristiky, homogenitu populácie pre danú charakteristiku, typickosť priemeru, vzťah faktorov, ktoré určujú variáciu.

Zmena variácie charakteristiky v agregáte sa vykonáva pomocou absolútne a relatívne ukazovatele.

Absolútne miery variácie zahŕňajú:

Rozsah variácií (R)

Rozsah variácií je rozdiel medzi maximálnou a minimálnou hodnotou atribútu

Ukazuje hranice, v ktorých sa mení hodnota charakteristiky v skúmanej premennej.

Príklad. Pracovné skúsenosti piatich uchádzačov v predchádzajúcej práci sú: 2, 3, 4, 7 a 9 rokov.
Riešenie: rozsah variácie = 9 - 2 = 7 rokov.

Pre všeobecný popis rozdielov v hodnotách atribútov sa priemerné variačné ukazovatele vypočítajú na základe zohľadnenia odchýlok od aritmetického priemeru. Rozdiel sa berie ako odchýlka od priemeru.

V tomto prípade, aby sme sa vyhli tomu, že súčet odchýlok variantov charakteristiky od priemeru sa zmení na nulu (nulová vlastnosť priemeru), musíme buď ignorovať znamienka odchýlky, to znamená vziať tento súčet modulo , alebo odmocni hodnoty odchýlok

Priemerná lineárna a štvorcová odchýlka

Priemerná lineárna odchýlka- to je z absolútnych odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od priemeru.

Priemerná lineárna odchýlka je jednoduchá:

Pracovné skúsenosti piatich uchádzačov v predchádzajúcej práci sú: 2, 3, 4, 7 a 9 rokov.

V našom príklade: roky;

Odpoveď: 2,4 roka.

Priemerná vážená lineárna odchýlka platí pre zoskupené údaje:

Priemerná lineárna odchýlka sa vzhľadom na svoju konvenciu v praxi používa pomerne zriedkavo (najmä na charakterizáciu plnenia zmluvných záväzkov týkajúcich sa jednotnosti dodávky; pri analýze kvality výrobkov s prihliadnutím na technologické vlastnosti výroby).

Smerodajná odchýlka

Najdokonalejšou charakteristikou variácie je stredná kvadratická odchýlka, ktorá sa nazýva štandard (alebo štandardná odchýlka). () sa rovná druhej odmocnine priemernej štvorcovej odchýlky jednotlivých hodnôt charakteristiky od:

Štandardná odchýlka je jednoduchá:

Vážená štandardná odchýlka sa použije na zoskupené údaje:

Medzi strednou kvadratickou hodnotou a strednou lineárnou odchýlkou ​​za normálnych distribučných podmienok platí nasledujúci pomer: ~ 1,25.

Štandardná odchýlka, ktorá je hlavnou absolútnou mierou variácie, sa používa pri určovaní hodnôt ordinátov normálnej distribučnej krivky, vo výpočtoch súvisiacich s organizáciou pozorovania vzorky a stanovením presnosti charakteristík vzorky, ako aj pri hodnotení hranice variácie charakteristiky v homogénnej populácii.

Disperzia

Disperzia- predstavuje priemernú druhú mocninu odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od ich priemernej hodnoty.

Rozdiel je jednoduchý:

V našom príklade:

Vážený rozptyl:

Je pohodlnejšie vypočítať rozptyl pomocou vzorca:

ktorý sa získava z hlavného jednoduchými transformáciami. V tomto prípade sa priemerný štvorec odchýlok rovná priemeru druhých mocnín hodnôt atribútu mínus štvorec priemeru.

Pre nezoskupené údaje:

Pre zoskupené údaje:

Alternatívna variácia vlastností spočíva v prítomnosti alebo neprítomnosti skúmanej vlastnosti v jednotkách populácie. Kvantitatívne je variácia alternatívneho atribútu vyjadrená dvoma hodnotami: prítomnosť jednotky skúmanej vlastnosti je označená jednotkou (1) a jej absencia je označená nulou (0). Podiel jednotiek, ktoré majú skúmanú charakteristiku, sa označí písmenom a podiel jednotiek, ktoré túto charakteristiku nemajú, sa označí. Berúc do úvahy, že p + q = 1 (teda q = 1 - p) a priemerná hodnota alternatívnej charakteristiky sa rovná

,

stredná kvadratická odchýlka

Rozptyl alternatívneho atribútu sa teda rovná súčinu podielu jednotiek, ktoré majú túto vlastnosť () a podielu jednotiek, ktoré túto vlastnosť nemajú ().

Maximálna hodnota priemernej štvorcovej odchýlky (disperzie) nadobúda pri rovnosti podielov, t.j. keď t.j. . Spodná hranica tohto ukazovateľa je nula, čo zodpovedá situácii, v ktorej nedochádza k žiadnej odchýlke v agregáte. Smerodajná odchýlka alternatívnej charakteristiky:

Ak sa teda vo vyrobenej dávke 3 % výrobkov ukázalo ako neštandardných, potom rozptyl podielu neštandardných výrobkov je , a smerodajná odchýlka alebo 17,1 %.

Smerodajná odchýlka sa rovná druhej odmocnine priemernej štvorcovej odchýlky jednotlivých hodnôt atribútu od aritmetického priemeru.

Miery relatívnych variácií

Relatívne miery variácie zahŕňajú:

Porovnanie variácií niekoľkých populácií pre tú istú charakteristiku a ešte viac pre rôzne charakteristiky pomocou absolútnych ukazovateľov nie je možné. V týchto prípadoch sa na porovnávacie posúdenie miery rozdielu skonštruujú relatívne ukazovatele variácie. Vypočítajú sa ako pomer absolútnych variácií k priemeru:

Vypočítajú sa aj ďalšie relatívne charakteristiky. Napríklad na posúdenie variácie v prípade šikmého rozdelenia vypočítajte pomer priemernej lineárnej odchýlky k mediánu

keďže vďaka vlastnosti mediánu je súčet absolútnych odchýlok charakteristiky od jej hodnoty vždy menší ako od ktorejkoľvek inej.

Ako relatívna miera rozptylu, ktorá hodnotí variáciu v centrálnej časti populácie, sa vypočíta relatívna kvartilová odchýlka, kde je priemerný kvartil polovičného súčtu rozdielu medzi tretím (alebo horným) kvartilom () a prvý (alebo nižší) kvartil ().

V praxi sa najčastejšie počíta variačný koeficient. Spodná hranica tohto ukazovateľa je nula, nemá hornú hranicu, ale je známe, že so zväčšujúcou sa variáciou charakteristiky rastie aj jej hodnota. Variačný koeficient je v určitom zmysle kritériom homogenity populácie (v prípade normálneho rozdelenia).

Vypočítajme variačný koeficient na základe štandardnej odchýlky pre nasledujúci príklad. Spotreba surovín na jednotku produkcie bola (kg): podľa jednej technológie pri , a podľa druhej pri. Priame porovnanie hodnoty štandardných odchýlok by mohlo viesť k mylnej predstave, že kolísanie spotreby surovín pri prvej technológii je intenzívnejšie ako pri druhej (. Relatívna miera odchýlky ( nám umožňuje vyvodiť opačný záver

Príklad výpočtu variačných indexov

V štádiu výberu kandidátov na účasť na realizácii komplexného projektu spoločnosť vyhlásila súťaž pre profesionálov. Rozdelenie uchádzačov podľa pracovných skúseností ukázalo tieto výsledky:

Vypočítajme priemerné výrobné skúsenosti, roky

Vypočítajme rozptyl podľa dĺžky praxe

Rovnaký výsledok získame, ak na výpočet použijeme iný vzorec na výpočet rozptylu

Vypočítajme smerodajnú odchýlku, roky:

Určme variačný koeficient, %:

Pravidlo sčítania odchýlky

Na posúdenie vplyvu faktorov, ktoré určujú variáciu, sa používa technika zoskupovania: populácia je rozdelená do skupín, pričom sa ako charakteristika zoskupenia vyberie jeden z určujúcich faktorov. Potom sa spolu s celkovým rozptylom vypočítaným pre celú populáciu vypočítajú rozptyl v rámci skupiny (alebo priemer skupiny) a rozptyl medzi skupinami (alebo rozptyl priemerov skupiny).

Celkový rozptyl charakterizuje variáciu znaku v jeho celistvosti, vytvorenú pod vplyvom všetkých faktorov a podmienok.

Medziskupinový rozptyl meria systematickú odchýlku v dôsledku vplyvu faktora, ktorým sa zoskupenie uskutočňuje:

Rozptyl v rámci skupiny hodnotí variáciu vlastnosti, ktorá sa vyvinula pod vplyvom iných faktorov, ktoré sa v tejto štúdii nezohľadňujú, a je nezávislá od faktora zoskupenia. Je definovaný ako priemer skupinových rozptylov.

Všetky tri odchýlky () sú navzájom spojené nasledujúcou rovnosťou, ktorá je známa ako pravidlo pre pridávanie odchýlok:

Na tomto pomere sú postavené ukazovatele, ktoré hodnotia vplyv zoskupovacej charakteristiky na vznik všeobecnej variácie. Patria sem empirický koeficient determinácie () a empirický korelačný pomer ()

() charakterizuje podiel medziskupinového rozptylu na celkovom rozptyle:

a ukazuje, do akej miery je variácia vlastnosti v súhrne spôsobená faktorom zoskupenia.

Empirický korelačný vzťah(!!\eta = \sqrt( \frac(\delta^2)(\sigma^2) )

hodnotí tesnosť súvislosti medzi skúmanými a zoskupovacími charakteristikami. Hraničné hodnoty sú nula a jedna. Čím bližšie k jednému, tým bližšie je spojenie.

Príklad. Náklady na 1 m2 celkovej plochy (konvenčné jednotky) na trhu s bývaním pre desať 17. domov s vylepšenou dispozíciou boli:

Je známe, že prvých päť domov bolo postavených v blízkosti obchodného centra a zvyšok bol postavený v značnej vzdialenosti od neho.

Na výpočet celkového rozptylu vypočítajme priemerné náklady na 1 m2. celková plocha: Celkový rozptyl je určený vzorcom :

Vypočítajme priemerné náklady na 1 m2. a rozptyl pre tento ukazovateľ pre každú skupinu domov, ktoré sa líšia polohou vzhľadom na centrum mesta:

A) pre domy postavené blízko centra:

b) pre domy postavené ďaleko od centra:

Rozdiel v cene 1 m2. zisťuje sa celková plocha spôsobená zmenou polohy domov veľkosť medziskupinového rozptylu:

Rozdiel v cene 1 m2. meria sa celková plocha v dôsledku zmien iných ukazovateľov, ktoré neberieme do úvahy hodnota rozptylu v rámci skupiny

Nájdené odchýlky sa sčítajú k celkovému rozptylu

Empirický koeficient determinácie:

ukazuje, že rozptyl nákladov 1.m2. z celkovej plochy na trhu s bývaním je 81,8 % vysvetlených rozdielmi v umiestnení novostavieb vo vzťahu k biznis centru a 18,2 % inými faktormi.

Empirický korelačný vzťah naznačuje významný vplyv na náklady na bývanie polohou domov.

Pravidlo pre pridávanie odchýlok pre podiel znak je napísaný takto:

a tri typy pomerných odchýlok pre zoskupené údaje sú určené nasledujúcimi vzorcami:

celkový rozptyl:

Vzorce pre medziskupinové a vnútroskupinové odchýlky:

Charakteristika distribučného tvaru

Na získanie predstavy o tvare distribúcie sa používajú ukazovatele priemernej úrovne (,), ukazovatele variácie, asymetrie a špičatosti.

V symetrických rozdeleniach sa aritmetický priemer, modus a medián zhodujú (. Ak je táto rovnosť porušená, rozdelenie je asymetrické.

Najjednoduchším ukazovateľom asymetrie je rozdiel, ktorý je pozitívny v prípade pravostrannej asymetrie a negatívny v prípade ľavostrannej asymetrie.

Asymetrická distribúcia

Na porovnanie asymetrie niekoľkých riadkov sa vypočíta relatívny ukazovateľ

Variácie sa používajú ako zovšeobecňujúce charakteristiky centrálne momenty distribúcie rádu, ktorý zodpovedá výkonu, na ktorý sa zvýšia odchýlky jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru:

Pre nezoskupené údaje:

Pre zoskupené údaje:

Moment prvého rádu sa podľa vlastnosti aritmetického priemeru rovná nule.

Momentom druhého rádu je disperzia.

Momenty tretieho a štvrtého rádu sa využívajú na konštrukciu ukazovateľov, ktoré hodnotia znaky tvaru empirických rozdelení.

Moment tretieho rádu sa používa na meranie stupňa šikmosti alebo šikmosti rozloženia.

— koeficient asymetrie

V symetrických rozdeleniach, ako všetky centrálne momenty nepárneho rádu, nerovnosť centrálneho momentu tretieho rádu k nule indikuje asymetriu rozdelenia. Navyše, ak , potom je asymetria pravostranná a pravá vetva je predĺžená vzhľadom na maximálnu ordinátu; ak , potom je asymetria ľavostranná (na grafe to zodpovedá predĺženiu ľavej vetvy).

Na charakterizáciu vrcholovosti alebo plochosti distribúcie sa vypočíta pomer momentu štvrtého rádu () k štandardnej odchýlke k štvrtej mocnine (). Pre normálne rozdelenie sa preto špičatosť nachádza pomocou vzorca:

Pre normálne rozdelenie zmizne. Pre špičkové distribúcie, pre ploché.

Kurtóza distribúcie

Okrem vyššie diskutovaných ukazovateľov je všeobecnou charakteristikou variácie v homogénnej populácii určité poradie v zmene distribučných frekvencií v súlade so zmenami v hodnote sledovanej charakteristiky, tzv. distribučný vzor.

Povaha (typ) distribučného vzoru môže byť odhalená zostrojením variačného radu na základe veľkého množstva pozorovaní, ako aj výberom počtu skupín a hodnoty integrálov, v ktorých by sa vzor mohol najzreteľnejšie objaviť.

Analýza variačných radov zahŕňa identifikáciu povahy rozdelenia (ako výsledok pôsobenia variačného mechanizmu), stanovenie distribučnej funkcie a kontrolu súladu empirického rozdelenia s teoretickým.

Empirická distribúcia, získaný z pozorovacích údajov, je graficky znázornený empirickou distribučnou krivkou pomocou mnohouholníka.

V praxi existujú rôzne typy rozdelení, medzi ktorými môžeme rozlíšiť symetrické a asymetrické, jednovrcholové a viacvrcholové.

Stanovenie typu distribúcie znamená vyjadrenie mechanizmu tvorby vzoru v analytickej forme. Mnohé javy a ich charakteristiky sú charakterizované charakteristickými distribučnými formami, ktoré sú aproximované príslušnými krivkami. Pri všetkej rozmanitosti distribučných foriem sú najpoužívanejšími teoretickými formami normálne rozdelenie, Paussonovo rozdelenie, binomické rozdelenie atď.

Osobitné miesto v štúdiu variácie patrí normálnemu zákonu, kvôli jeho matematickým vlastnostiam. Pre normálny zákon je splnené pravidlo troch sigma, podľa ktorého je variácia jednotlivých hodnôt charakteristiky v rozmedzí priemernej hodnoty. Zároveň je asi 70 % všetkých jednotiek v rámci hraníc a 95 % je v rámci hraníc.

Posúdenie zhody medzi empirickým a teoretickým rozdelením sa vykonáva pomocou kritérií dobrej zhody, medzi ktorými sú všeobecne známe Pearsonove, Romanovského, Yastremského a Kolmogorovove kritériá.

σ p 2 =

Dosadzovanie do vzorca rozptylu q = 1 - R, dostaneme

σ p 2 =

Teda , σ p 2 = pq- rozptyl alternatívnej charakteristiky sa rovná súčinu podielu jednotiek s charakteristikou a podielu jednotiek, ktoré túto charakteristiku nemajú.

Smerodajná odchýlka(σ ) rovná druhej odmocnine rozptylu. Jednoduchá štandardná odchýlka:

σ =

vážený

σ =

Smerodajná odchýlka je všeobecná charakteristika veľkosti variácie charakteristiky v súhrne; ukazuje, o koľko sa v priemere konkrétne možnosti líšia od svojej priemernej hodnoty; je absolútnou mierou variability charakteristiky a vyjadruje sa v rovnakých jednotkách ako varianty, preto sa ekonomicky dobre interpretuje.

Smerodajná odchýlka alternatívnej charakteristiky

σ p =

V štatistickej praxi je často potrebné porovnávať variácie rôznych charakteristík. Napríklad je veľmi zaujímavé porovnať rozdiely vo veku pracovníkov a ich kvalifikáciu, dĺžku služby a mzdy, náklady a zisk, dĺžku služby a produktivitu práce atď. Pre takéto porovnania sú ukazovatele absolútnej variability charakteristík nevhodné: nemožno porovnávať variabilitu pracovných skúseností vyjadrenú v rokoch s variáciou miezd vyjadrenou v rubľoch.

Na uskutočnenie tohto druhu porovnaní, ako aj na porovnanie variability tej istej charakteristiky v niekoľkých populáciách s rôznymi aritmetickými priemermi sa používajú relatívne ukazovatele variácie.

Miery relatívnych variácií sú definované ako pomer absolútnych variačných ukazovateľov k aritmetickému priemeru.

Toto oscilačný koeficient, definovaný ako pomer rozsahu variácie k aritmetickému priemeru v percentách
.

Lineárny variačný koeficient určená podobne, ale priemernou lineárnou odchýlkou
.

Najbežnejším z nich je variačný koeficient.

Variačný koeficient predstavuje pomer štandardnej odchýlky k aritmetickému priemeru, vyjadrený v percentách:

Relatívne ukazovatele variácie charakterizujú mieru kolísania charakteristiky v rámci priemernej hodnoty. Na základe hodnoty napríklad variačného koeficientu možno určiť stupeň homogenity skúmanej populácie. Populácia sa považuje za dostatočne homogénnu, ak variačný koeficient nepresiahne 33 %. Na posúdenie kvality a stability priemernej hodnoty boli stanovené limity. Najlepšie hodnoty pre variačný koeficient sú
; Hodnoty do 50% sa považujú za prijateľné.

6.3. Vlastnosti disperzie a zjednodušené metódy jej výpočtu.

Technika výpočtu disperzie pomocou vzorcov je pomerne zložitá a pre veľké hodnoty možností a frekvencií môže byť ťažkopádna. Výpočet je možné zjednodušiť pomocou vlastností disperzie (preukázateľné v matematickej štatistike):

Prvá nehnuteľnosť - ak sa všetky hodnoty charakteristiky znížia o rovnakú konštantnú hodnotu A, potom sa rozptyl nezmení;

σ 2 (Ha) =σ X 2

Po druhénehnuteľnosť- ak sa všetky hodnoty charakteristiky znížia na rovnaké číslo i krát, potom sa rozptyl zodpovedajúcim spôsobom zníži o i 2 raz.

σ 2 (X/ i ) = σ X 2 : i 2

Tretia vlastnosť (vlastnosť minimalizmu) - stredná kvadratická odchýlka

z akejkoľvek hodnoty A(odlišné od aritmetického priemeru) viac

rozptyl vlastnosti na druhú mocninu rozdielu medzi aritmetickým priemerom a hodnotou A

σ A 2 = σ X 2 +(X- A) 2

Pomocou vlastností disperzie získame nasledovné zjednodušený vzorec výpočet rozptylu vo variačných sériách s rovnakými intervalmi podľa momentovej metódy:

σ 2=∙ (

- moment druhého rádu

- štvorec momentu prvého rádu

Na základe poslednej vlastnosti disperzie, zjednodušeného disperzného vzorca pre akýkoľvek rad (diskrétny, intervalový s rovnakými a nerovnakými intervalmi), bude mať disperzný vzorec tvar:

6.4. Typy disperzií.

Variácia charakteristiky je spôsobená rôznymi faktormi, niektoré z týchto faktorov možno identifikovať, ak sa štatistická populácia rozdelí do skupín podľa akejkoľvek charakteristiky. Potom, spolu so štúdiom variácií vlastnosti v celej populácii ako celku, je možné študovať variácie pre každú z jej základných skupín, ako aj medzi týmito skupinami. V najjednoduchšom prípade, keď je populácia rozdelená do skupín podľa jedného faktora, štúdium variácií sa dosiahne výpočtom a analýzou troch typov rozptylov: všeobecné, medziskupinové a vnútroskupinové.

Celkový rozptyl σ 2 meria variáciu vlastnosti v celej populácii pod vplyvom všetkých faktorov, ktoré túto variáciu spôsobili. Rovná sa strednej štvorcovej odchýlke jednotlivých hodnôt atribútu X z celkového priemeru a dá sa vypočítať ako jednoduchý rozptyl alebo rozptyl vážený.

Medziskupinový rozptyl δ 2 charakterizuje systematickú variáciu výsledného poradia v dôsledku vplyvu faktora-atribútu, ktorý tvorí základ skupiny. Rovná sa strednej štvorcovej odchýlke skupinových (čiastočných) priemerov
, z celkového priemeru

a dá sa vypočítať ako jednoduchý rozptyl alebo ako rozptyl vážený podľa vzorcov, resp.

Medziskupinová disperzia odráža variácie v charakteristike, ktorá tvorí základ zoskupenia.

Vnútroskupinový (súkromný) rozptyl (v každej skupine) σ i 2 , odráža náhodné variácie, t.j. súčasťou variácie v dôsledku vplyvu nezapočítaných faktorov a nezávisle od faktora-atribútu, ktorý tvorí základ skupiny. Rovná sa strednej štvorci odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky v rámci skupiny X z aritmetického priemeru tejto skupiny , (priemer skupiny) a možno vypočítať ako jednoduchý rozptyl alebo ako rozptyl vážený podľa vzorcov, resp.

Na základe odchýlok v rámci skupiny pre každú skupinu, t.j. založené σ i 2 možno určiť priemer odchýlok v rámci skupiny:

Podľa pravidlo pre pridávanie odchýlok celkový rozptyl sa rovná súčtu priemeru rozptylov v rámci skupiny a medzi skupinami:

Pomocou pravidla sčítania rozptylov môžete vždy určiť tretí, neznámy, rozptyl z dvoch známych rozptylov a tiež posúdiť silu vplyvu charakteristiky zoskupenia.

Podiel variácie charakteristiky zoskupenia v súhrne charakterizuje empirický koeficient determinácie
.

23. Rozptyl alternatív. Podpísať

Alternatívny rozptyl vlastností (ak sa v štatistickej populácii charakteristika zmení tak, že existujú iba dve vzájomne sa vylučujúce možnosti, potom sa takáto variabilita nazýva alternatívna) možno vypočítať pomocou vzorca:

Dosadením q = 1- p do tohto disperzného vzorca dostaneme:

Koeficient rastu K i je definovaný ako pomer danej úrovne k predchádzajúcej alebo základnej úrovni, vyjadruje relatívnu rýchlosť zmeny v rade; Ak je miera rastu vyjadrená v percentách, nazýva sa miera rastu.

Základná miera rastu

Reťazový rastový faktor

24. Štúdia hlavného vývojového trendu

Jednou z najdôležitejších úloh štatistiky je určiť v dynamike všeobecný trend vývoja javu. Vývoj javu v čase ovplyvňujú rôzne faktory. Preto pri analýze dynamiky hovoríme o hlavnom trende, ktorý je pomerne stabilný (udržateľný) počas celého skúmaného štádia vývoja. Hlavný vývojový trend (TREND) nazývaná plynulá a stabilná zmena úrovne javu v čase, bez náhodných výkyvov. Na tento účel sú časové rady spracované pomocou metód zväčšovania intervalov, kĺzavého priemeru a analytického zarovnania. Najjednoduchšia metóda na štúdium hlavného trendu v časových radoch je zväčšenie intervalov. Táto metóda je založená na zväčšovaní časových úsekov, ktoré zahŕňajú úrovne dynamických radov (zároveň sa znižuje počet intervalov). Môže sa tiež vykonať identifikácia hlavného trendu pomocou metódy kĺzavého priemeru. Jeho podstata spočíva v tom, že priemerná úroveň sa počíta z určitého počtu, zvyčajne nepárneho (3, 5, 7 atď.), prvých úrovní série, potom z rovnakého počtu úrovní, ale počnúc od druhý, ďalej – začínajúci od stredného atď. Priemer sa teda „posúva“ pozdĺž série dynamiky a posúva sa o jeden člen. Nevýhodou vyhladzovania sérií je, že vyhladená séria je „skrátená“ v porovnaní so skutočnou sériou, a preto sa strácajú informácie. Na poskytnutie kvantitatívneho modelu vyjadrujúceho hlavný trend zmien úrovní časového radu v čase sa používa analytické zosúladenie časového radu. Hlavný obsah analytická metóda zarovnania v časových radoch je, že všeobecný vývojový trend sa počíta ako funkcia času:, pričom úrovne časových radov sú vypočítané pomocou zodpovedajúcej analytickej rovnice v určitom časovom bode.

^ Zarovnanie dynamického riadku na priamku:
. Parametre a 0, a 1 podľa metódy najmenších štvorcov nájdeme riešením nasledujúceho systému normálnych rovníc:
, kde y sú skutočné (empirické) úrovne radu; t– čas (poradové číslo obdobia alebo okamihu). Výpočet parametrov sa značne zjednoduší, ak za začiatok času (t = 0) berieme centrálny interval (moment). Systém teda nadobúda formu
. Tak dostaneme:
;
.
25.Zarovnanie.analyt metódou mena Námestie

Metóda najmenších štvorcov slúži na presnejšie kvantitatívne posúdenie dynamiky skúmaného javu. Najjednoduchší a v praxi najčastejšie sa vyskytujúci je lineárny vzťah opísaný rovnicou:

Y x = a + bX alebo Y teoretické. = Y priemer + vX,

kde Y x - teoretické (vypočítané) úrovne série pre každé obdobie;
a je aritmetický priemer úrovne radu vypočítaný podľa vzorca:
а=ΣУ skutočnosť. /n;
в - priamy parameter, koeficient znázorňujúci rozdiel medzi teoretickými úrovňami série za susedné obdobia, sa určí výpočtom podľa vzorca: в = Σ(ХУ fakt)/ΣХ 2
kde n je počet úrovní dynamického radu;
X - dočasné body, prirodzené čísla, zadávané od stredu (stredu) série na oba konce.

Ak existuje nepárny riadok, úroveň zaberajúca strednú pozíciu sa považuje za 0. Napríklad s 9 úrovňami riadku: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 , +4.

Pri párnom počte úrovní v sérii sú dve hodnoty, ktoré zaberajú strednú pozíciu, označené ako -1 a +1 a všetky ostatné - 2 intervaly. Napríklad so 6 úrovňami riadkov: -5, -3, -1, +1, +3, +5.

Výpočty sa vykonávajú v nasledujúcom poradí:

1. 
   Predstavujú aktuálne úrovne časového radu (U f) (pozri tabuľku).
2. 
   Skutočné úrovne série sa spočítajú a získa sa súčet Y fakt.
3. 
   Nájdite podmienené (teoretické) časové body radu X tak, aby ich súčet (ΣХ) bol rovný 0.
4. 
   Teoretické časové body sa umocnia na druhú a sčítajú sa, čím sa získa EX2.
5. 
   Súčin X a Y sa vypočíta a sčíta, čím sa získa ΣXY.
6. 
   Vypočítajte parametre priamky:
   а = ΣУ fakt / n в = Σ(Х У fakt) / ΣX 2
7. 
   Postupným dosadením hodnôt X do rovnice Y x = a + aY sa nájdu zarovnané úrovne Y x.

26.Analýza sezónnych výkyvov

Pri porovnávaní štvrťročných a mesačných údajov pre mnohé sociálno-ekonomické javy sa často objavujú periodické výkyvy, ktoré vznikajú pod vplyvom striedania ročných období. V štatistike sa nazývajú periodické fluktuácie, ktoré majú určitú a konštantnú periódu rovnajúcu sa ročnému intervalu sezónne variácie alebo sezónne vlny, časové rady sa nazývajú sezónne časové rady. V štatistike existujú metódy na štúdium a meranie sezónnych výkyvov. Najjednoduchšia je konštrukcia špeciálnych ukazovateľov nazývaných indexy sezónnosti (Is). Kombinácia týchto ukazovateľov odráža sezónnu vlnu. Indexy sezónnosti - % pomeru skutočných (empirických) vnútroskupinových úrovní k teoretickým (vypočítaným) úrovniam, slúžia ako základ pre porovnanie. Aby bolo možné identifikovať stabilnú sezónnu vlnu, počítajú sa s použitím údajov za niekoľko rokov (najmenej 3) rozdelených do mesiacov. Pre každý mesiac sa vypočíta priemerná hodnota úrovne ( ), potom sa vypočíta priemerná mesačná úroveň pre celý rad y¯. Potom sa určí ukazovateľ sezónnej vlny - index sezónnosti Je ako percento priemeru za každý mesiac k celkovej priemernej mesačnej úrovni série, %. Priemerný index sezónnosti za 12 mesiacov by sa mal rovnať 100 %, potom by súčet indexov mal byť 1200. Keď úroveň vykazuje stúpajúci alebo klesajúci trend, odchýlky od konštantnej priemernej úrovne môžu byť skreslené sezónnymi výkyvmi. V tomto prípade sa skutočné údaje porovnávajú so zoradenými údajmi, t. j. získanými analytickým porovnávaním. Vzorec:
.

27.I. interpolácia a extrapolácia

Pri štúdiu dlhodobej dynamiky je niekedy potrebné určiť neznáme úrovne v rámci série dynamiky.

Interpolácia je približný výpočet chýbajúcich úrovní v homogénnom období, keď sú známe susediace úrovne na oboch stranách.

Extrapolácia je výpočet chýbajúcej úrovne, keď je známa úroveň len na jednej strane. Ak sa úroveň počíta do budúcnosti, nazýva sa to dopredná extrapolácia, ak sa počíta do minulosti, nazýva sa to retrospektívna extrapolácia.

Interpolácia aj extrapolácia sa musia vykonať počas doby platnosti jedného vzoru. Predpokladá sa, že vzor vývoja nájdený v rámci série je zachovaný.

Metódy na výpočet neznámej úrovne závisia od povahy zmeny skúmaného javu. Ak sú zmeny hladín plynulé, chýbajúcu úroveň možno určiť polovičným súčtom dvoch susedných úrovní, priemerným absolútnym prírastkom, priemernou rýchlosťou rastu.

Pri zachovaní post-x absolútnych nárastov chýbajúcich úrovní dynamickej série s výpočtom: = +

Prvá úroveň

Ak sa predpokladá konštantná miera rastu, chýbajúca úroveň série sa vypočíta pomocou vzorca:

Ak sa v sérii dynamiky pozorujú prudké výkyvy, potom je lepšie použiť priemerný absolútny nárast alebo priemernú mieru rastu za celé obdobie štúdia, ako je uvedené vo vzorcoch.

Indexy sú porovnávacie relatívne hodnoty, ktoré charakterizujú zmeny v komplexných sociálno-ekonomických ukazovateľoch (ukazovatele pozostávajúce z nesčítateľných prvkov) v čase, priestore v porovnaní s plánom.

Index je výsledkom porovnania dvoch ukazovateľov rovnakého mena, pri výpočte ktorých je potrebné rozlišovať medzi čitateľom pomeru indexu (porovnávaná alebo vykazovacia úroveň) a menovateľom pomeru indexu (základná úroveň, s ktorou sa porovnáva). Výber základne závisí od účelu štúdie. Ak sa skúma dynamika, za základnú hodnotu možno považovať veľkosť ukazovateľa v období pred vykazovaným obdobím. Ak je potrebné vykonať územné porovnanie, za základ sa môžu brať údaje z iného územia. Plánované ukazovatele možno brať ako základ pre porovnanie, ak je potrebné použiť ukazovatele ako ukazovatele plnenia plánu.

Indexy tvoria najdôležitejšie ekonomické ukazovatele národného hospodárstva a jeho jednotlivých odvetví. Indexové ukazovatele umožňujú analyzovať výkonnosť podnikov a organizácií, ktoré vyrábajú širokú škálu produktov alebo sa zaoberajú rôznymi druhmi činností. Pomocou indexov môžete sledovať úlohu jednotlivých faktorov pri tvorbe najdôležitejších ekonomických ukazovateľov a identifikovať hlavné výrobné rezervy. Indexy sú široko používané pri porovnávaní medzinárodných ekonomických ukazovateľov pri určovaní životnej úrovne, obchodnej aktivity, cenovej politiky atď.

Existujú dva prístupy k interpretácii schopností indexových indikátorov: zovšeobecňujúce (syntetické) a analytické, ktoré sú zasa určené rôznymi úlohami.

29.Agregačné indexy

Všeobecný index odráža zmeny vo všetkých prvkoch komplexného javu. Ak indexy nepokrývajú všetky prvky, nazývajú sa skupinové alebo podindexy. Existujú súhrnné a priemerné indexy, ktorých výpočet predstavuje špeciálnu výskumnú techniku ​​nazývanú indexová metóda. Pri vytváraní všeobecných indexov: 1. musíte vybrať prvky, ktoré by sa mali kombinovať do jedného indexu; 2. vybrať si správneho spolumerača alebo váhu, t.j. konštantný atribút Výber váhy závisí od toho, ktorý atribút sa indexuje - kvantitatívny alebo kvalitatívny. Hlavnou formou všeobecných indexov je súhrnná forma. Index agregovanej formy je konštruovaný pomocou súčtovej metódy. Súhrnná forma sa používa, ak máme údaje po jednotlivých prvkoch vo vykazovaných a základných obdobiach . Komoditný index:
; in-s fyzický objem prod
; ^ Index spotrebiteľských cien je všeobecným meradlom inflácie. Indexovaná hodnota v ňom bude cenou produktu. Pri konštrukcii cenového indexu sa ako váhy indexu zvyčajne berie počet predaných tovarov v aktuálnom (vykazovacom) období. Súhrnný cenový index s vykazovacími váhami prvýkrát navrhol Paasche a nesie jeho meno: Paasche vzorec agregovaného cenového indexu
, Kde
- skutočné náklady na produkty (obrat) za vykazované obdobie;
- podmienené náklady na tovar predaný vo vykazovanom období v základných cenách.

vzorec pre Laspeyresov agregovaný cenový index:

30. Priemerný aritmus. a harmon.ind., spojenie s jednotkou.

Hlavnou formou všeobecných indexov je súhrnná forma. Index agregovanej formy je konštruovaný pomocou súčtovej metódy. Súhrnná forma sa používa, ak máme údaje po jednotlivých prvkoch vo vykazovaných a základných obdobiach . Mnohé štatistické ukazovatele charakterizujúce rôzne aspekty spoločenských javov sú v určitej vzájomnej súvislosti (často vo forme produktu). Štatistika tieto vzťahy kvantitatívne charakterizuje. Mnohé ekonomické ukazovatele spolu úzko súvisia a tvoria indexové systémy. Prijíma sa nasledovné prax faktorovej analýzy: ak efektívny ukazovateľ = súčin objemových a kvalitatívnych faktorov, potom je kvalitatívny faktor fixovaný na úrovni základného obdobia; ak sa určí vplyv kvalitatívneho ukazovateľa, potom sa objemový faktor zafixuje na úrovni vykazovaného obdobia. Zoberme si konštrukciu vzájomne súvisiacich indexov na príklade cenových indexov, fyzického objemu produktov (ak hovoríme o predajných cenách) alebo fyzického objemu obchodného obratu (ak hovoríme o maloobchodných cenách) a indexu nákladov produktu ( obrat v skutočných cenách). Fyzický objem a cenové indexy sú faktoriálne vo vzťahu k index nákladov produktu(obrat v skutočných cenách):
, alebo
. Súčin cenového indexu a indexu fyzického objemu produkcie teda dáva index hodnoty produktu (obrat v skutočných cenách). Indexový systém vám umožňuje použiť dve známe hodnoty indexu na nájdenie hodnoty tretej neznámej. Index fyzického objemu výroby: ;Okrem súhrnnej metódy výpočtu všeobecných indexov existuje ešte jedna metóda, ktorá spočíva vo výpočte všeobecných indexov ako priemeru zodpovedajúcich individuálnych indexov. K výpočtu takých vážený priemer indexov použiť, keď dostupné informácie neumožňujú výpočet súhrnného indexu. Ak teda nie sú známe množstvá jednotlivých produktov vyrobených v prirodzených metroch, ale známe sú jednotlivé indexy
a výrobné náklady základného obdobia ( p 0 q 0 ), môžeme určiť aritmetický priemer indexu fyzického objemu produkcie. Východiskovým základom pre výstavbu je súhrnná forma. Z dostupných údajov možno získať iba menovateľa tohto vzorca. Na nájdenie čitateľa sa používa vzorec pre individuálny index objemu výroby, z ktorého to vyplýva q 1 = q 0 i q. Nahradením tohto výrazu do čitateľa súhrnnej formy dostaneme všeobecný index fyzického objemu vo forme aritmetický priemer index fyzického objemu produkcie , kde váhami sú náklady na jednotlivé druhy produktov v základnom období ( q 0 p 0 ):
.