Už predtým sme ukázali, že $1\frac25$ je blízko $\sqrt2$. Ak by sa presne rovnalo $\sqrt2$, . Potom je pomer $\frac(1\frac25)(1)$, ktorý možno premeniť na celočíselný pomer $\frac75$ vynásobením hornej a dolnej časti zlomku číslom 5 a bude to požadovaná hodnota.

Ale, žiaľ, $1\frac25$ nie je presná hodnota $\sqrt2$. Presnejšia odpoveď, $1\frac(41)(100)$, nám dáva vzťah $\frac(141)(100)$. Ešte väčšiu presnosť dosiahneme, keď prirovnáme $\sqrt2$ k $1\frac(207)(500)$. V tomto prípade bude pomer v celých číslach rovný $\frac(707)(500)$. Ale $1\frac(207)(500)$ nie je presná hodnota druhej odmocniny z 2. Grécki matematici strávili veľa času a úsilia, aby vypočítali presnú hodnotu $\sqrt2$, no nikdy sa im to nepodarilo. Neboli schopní reprezentovať pomer $\frac(\sqrt2)(1)$ ako pomer celých čísel.

Napokon veľký grécky matematik Euclid dokázal, že bez ohľadu na to, ako veľmi sa zvyšuje presnosť výpočtov, nie je možné získať presnú hodnotu $\sqrt2$. Neexistuje zlomok, ktorý po druhej mocnine dá výsledok 2. Hovorí sa, že Pytagoras bol prvý, kto dospel k tomuto záveru, ale táto nevysvetliteľná skutočnosť vedca ohromila natoľko, že sa zaprisahal a zložil od svojich študentov prísahu, že dodrží toto tajomstvo objavu. Tieto informácie však nemusia byť pravdivé.

Ak však číslo $\frac(\sqrt2)(1)$ nemožno reprezentovať ako pomer celých čísel, potom žiadne číslo obsahujúce $\sqrt2$, napríklad $\frac(\sqrt2)(2)$ alebo $\frac (4)(\sqrt2)$ tiež nemôže byť vyjadrené ako pomer celých čísel, pretože všetky takéto zlomky možno previesť na $\frac(\sqrt2)(1)$ vynásobené nejakým číslom. Takže $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Alebo $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, ktoré možno previesť vynásobením hornej a dolnej časti $\sqrt2$, čím získate $\frac(4) (\sqrt2)$. (Mali by sme si uvedomiť, že bez ohľadu na to, aké je číslo $\sqrt2$, ak ho vynásobíme $\sqrt2$, dostaneme 2.)

Keďže číslo $\sqrt2$ nemožno reprezentovať ako pomer celých čísel, je tzv iracionálne číslo. Na druhej strane sa volajú všetky čísla, ktoré možno znázorniť ako pomer celých čísel racionálny.

Všetky celé a zlomkové čísla, kladné aj záporné, sú racionálne.

Ako sa ukazuje, väčšina odmocnín sú iracionálne čísla. Racionálne odmocniny majú iba čísla v rade odmocnín. Tieto čísla sa tiež nazývajú dokonalé štvorce. Racionálne čísla sú tiež zlomky vytvorené z týchto dokonalých štvorcov. Napríklad $\sqrt(1\frac79)$ je racionálne číslo, pretože $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ alebo $1\frac13$ (4 je koreň druhá odmocnina z 16 a 3 je druhá odmocnina z 9).

Množina iracionálnych čísel sa zvyčajne označuje veľkým písmenom Ja (\displaystyle \mathbb (I) ) v odvážnom štýle bez tieňovania. Takto: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), teda množina iracionálnych čísel je rozdiel medzi množinou reálnych a racionálnych čísel.

Existenciu iracionálnych čísel, presnejšie úsečiek nesúmerateľných s úsečkou jednotkovej dĺžky, poznali už starovekí matematici: poznali napríklad nesúmernosť uhlopriečky a strany štvorca, ktorá je ekvivalentná iracionalite tzv. číslo.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Iracionálne sú:

  Príklady dôkazov iracionality

  Koreň z 2

  Predpokladajme opak: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionálny, teda reprezentovaný zlomkom m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kde m (\displaystyle m) je celé číslo a n (\displaystyle n)- prirodzené číslo .

  Vyrovnajme predpokladanú rovnosť:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\šípka doprava 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\šípka doprava m^(2)=2n^(2)).

  Príbeh

  Antika

  Pojem iracionálnych čísel implicitne prijali indickí matematici v 7. storočí pred Kristom, keď Manava (asi 750 pred Kristom - asi 690 pred Kristom) prišiel na to, že odmocniny niektorých prirodzených čísel, ako sú 2 a 61, nemožno explicitne vyjadriť. [ ] .

  Prvý dôkaz o existencii iracionálnych čísel sa zvyčajne pripisuje Hippasovi z Metapontu (asi 500 pred Kr.), pytagorejcovi. V čase Pytagorejcov sa verilo, že existuje jediná dĺžková jednotka, dostatočne malá a nedeliteľná, ktorá zahŕňa celé číslo, koľkokrát v akomkoľvek segmente [ ] .

  Neexistujú presné údaje o tom, ktoré číslo bolo Hippusom preukázané ako iracionálne. Podľa legendy ho našiel štúdiom dĺžok strán pentagramu. Preto je rozumné predpokladať, že to bol zlatý rez [ ] .

  Grécki matematici nazývali tento pomer nesúmerateľných veličín alogos(nevýslovné), ale podľa legiend nevzdali Hippasovi náležitú úctu. Existuje legenda, že Hippasus objavil objav počas plavby po mori a bol hodený cez palubu inými Pytagorejcami, „za to, že vytvoril prvok vesmíru, ktorý popiera doktrínu, že všetky entity vo vesmíre možno redukovať na celé čísla a ich pomery“. Objav Hippusa predstavoval vážny problém pre pytagorovskú matematiku, pretože zničil základný predpoklad, že čísla a geometrické objekty sú jedno a neoddeliteľné.

  Čo sú to iracionálne čísla? Prečo sa tak volajú? Kde sa používajú a aké sú? Len málo ľudí dokáže odpovedať na tieto otázky bez rozmýšľania. Ale v skutočnosti sú odpovede na ne celkom jednoduché, hoci nie každý ich potrebuje a vo veľmi zriedkavých situáciách

  Esencia a označenie

  Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické čísla Potreba zaviesť tento pojem je spôsobená skutočnosťou, že na riešenie nových problémov, ktoré sa objavia, už predtým existujúce pojmy reálnych alebo reálnych, celých, prirodzených a racionálnych čísel nestačili. Napríklad, ak chcete vypočítať, ktoré množstvo je druhá mocnina 2, musíte použiť neperiodické nekonečné desatinné miesta. Okrem toho mnohé jednoduché rovnice nemajú riešenie bez zavedenia konceptu iracionálneho čísla.

  Táto množina je označená ako I. A ako je už jasné, tieto hodnoty nemožno reprezentovať ako jednoduchý zlomok, ktorého čitateľ bude celé číslo a menovateľ bude

  Prvýkrát, tak či onak, sa indickí matematici s týmto javom stretli v 7. storočí, keď sa zistilo, že odmocniny niektorých veličín nie je možné výslovne uviesť. A prvý dôkaz existencie takýchto čísel sa pripisuje pytagorejskému Hippasovi, ktorý to urobil pri štúdiu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Niektorí ďalší vedci, ktorí žili pred naším letopočtom, vážne prispeli k štúdiu tohto súboru. Zavedenie konceptu iracionálnych čísel si vyžiadalo revíziu existujúceho matematického systému, a preto sú také dôležité.

  pôvod mena

  Ak je pomer preložený z latinčiny „zlomok“, „pomer“, potom predpona „ir“
  dáva tomuto slovu opačný význam. Názov množiny týchto čísel teda naznačuje, že ich nemožno korelovať s celým číslom alebo zlomkom a majú samostatné miesto. Vyplýva to z ich podstaty.

  Miesto vo všeobecnej klasifikácii

  Iracionálne čísla patria spolu s racionálnymi číslami do skupiny reálnych alebo reálnych čísel, ktoré zasa patria do komplexných čísel. Neexistujú žiadne podmnožiny, ale existujú algebraické a transcendentálne odrody, o ktorých sa bude diskutovať nižšie.

  

  Vlastnosti

  Keďže iracionálne čísla sú súčasťou množiny reálnych čísel, vzťahujú sa na ne všetky ich vlastnosti, ktoré sa študujú v aritmetike (nazývajú sa aj základné algebraické zákony).

  a + b = b + a (komutativita);

  (a + b) + c = a + (b + c) (asociatívnosť);

  a + (-a) = 0 (existencia opačného čísla);

  ab = ba (komutatívny zákon);

  (ab)c = a(bc) (distributívnosť);

  a(b+c) = ab + ac (zákon o rozdelení);

  a x 1/a = 1 (existencia recipročného čísla);

  Porovnanie sa vykonáva aj v súlade so všeobecnými zákonmi a zásadami:

  Ak a > b a b > c, potom a > c (tranzitivita vzťahu) a. atď.

  Samozrejme, všetky iracionálne čísla možno previesť pomocou základnej aritmetiky. Neexistujú žiadne špeciálne pravidlá.

  

  Okrem toho platí Archimedova axióma pre iracionálne čísla. Uvádza, že pre ľubovoľné dve veličiny a a b platí, že ak vezmete a ako pojem dostatočne krát, môžete prekročiť b.

  Použitie

  Napriek tomu, že sa s nimi v každodennom živote veľmi často nestretávate, iracionálne čísla sa nedajú spočítať. Je ich obrovské množstvo, no takmer ich nevidno. Iracionálne čísla sú všade okolo nás. Príklady, ktoré sú známe každému, sú číslo pi, ktoré sa rovná 3,1415926..., alebo e, ktoré je v podstate základom prirodzeného logaritmu, 2,718281828... V algebre, trigonometrii a geometrii sa musia používať neustále. Mimochodom, známy význam „zlatého pomeru“, teda pomer väčšej časti k menšej časti a naopak, je tiež

  

  patrí do tejto sady. Aj ten menej známy „strieborný“.

  Na číselnej osi sú umiestnené veľmi husto, takže medzi akýmikoľvek dvoma veličinami klasifikovanými ako racionálne sa určite vyskytne jedna iracionálna.

  S touto súpravou je spojených ešte veľa nevyriešených problémov. Existujú kritériá, ako je miera iracionality a normalita čísla. Matematici pokračujú v štúdiu najvýznamnejších príkladov, aby zistili, či patria do jednej alebo druhej skupiny. Napríklad sa predpokladá, že e je normálne číslo, t.j. pravdepodobnosť výskytu rôznych číslic v jeho zápise je rovnaká. Pokiaľ ide o pí, stále prebiehajú výskumy týkajúce sa toho. Miera iracionality je hodnota, ktorá ukazuje, ako dobre sa dá dané číslo aproximovať racionálnymi číslami.

  Algebraické a transcendentálne

  Ako už bolo spomenuté, iracionálne čísla sa konvenčne delia na algebraické a transcendentálne. Podmienečne, pretože, prísne vzaté, táto klasifikácia sa používa na rozdelenie množiny C.

  Toto označenie skrýva komplexné čísla, ktoré zahŕňajú reálne alebo reálne čísla.

  Algebraické je teda hodnota, ktorá je koreňom polynómu, ktorý nie je identicky rovný nule. Napríklad druhá odmocnina z 2 by bola v tejto kategórii, pretože je riešením rovnice x 2 - 2 = 0.

  Všetky ostatné reálne čísla, ktoré nespĺňajú túto podmienku, sa nazývajú transcendentálne. Táto varieta zahŕňa najznámejšie a už spomínané príklady - číslo pí a základ prirodzeného logaritmu e.

  

  Zaujímavé je, že ani jedno, ani druhé neboli pôvodne vyvinuté matematikmi v tejto funkcii, ich iracionalita a transcendencia boli preukázané mnoho rokov po ich objave. Pre pí bol dôkaz uvedený v roku 1882 a zjednodušený v roku 1894, čím sa skončila 2500-ročná debata o probléme kvadratúry kruhu. Stále to nie je úplne prebádané, takže moderní matematici majú na čom pracovať. Mimochodom, prvý pomerne presný výpočet tejto hodnoty vykonal Archimedes. Pred ním boli všetky výpočty príliš približné.

  Pre e (Eulerovo alebo Napierovo číslo) sa v roku 1873 našiel dôkaz o jeho transcendencii. Používa sa pri riešení logaritmických rovníc.

  Ďalšie príklady zahŕňajú hodnoty sínus, kosínus a tangens pre akúkoľvek algebraickú nenulovú hodnotu.

  
  

  Materiál v tomto článku poskytuje počiatočné informácie o iracionálne čísla. Najprv uvedieme definíciu iracionálnych čísel a vysvetlíme ju. Nižšie uvádzame príklady iracionálnych čísel. Nakoniec sa pozrime na niektoré prístupy, ako zistiť, či je dané číslo iracionálne alebo nie.

  Navigácia na stránke.

  Definícia a príklady iracionálnych čísel

  Pri štúdiu desatinných zlomkov sme oddelene zvažovali nekonečné neperiodické desatinné zlomky. Takéto zlomky vznikajú pri meraní desatinných dĺžok segmentov, ktoré sú neporovnateľné s jednotkovým segmentom. Tiež sme si všimli, že nekonečné neperiodické desatinné zlomky nemožno previesť na obyčajné zlomky (pozri prevod obyčajných zlomkov na desatinné miesta a naopak), preto tieto čísla nie sú racionálne čísla, predstavujú takzvané iracionálne čísla.

  Takže prichádzame definícia iracionálnych čísel.

  Definícia.

  Čísla, ktoré predstavujú nekonečné neperiodické desatinné zlomky v desiatkovom zápise, sa nazývajú iracionálne čísla.

  Vyjadrená definícia nám umožňuje dávať príklady iracionálnych čísel. Napríklad nekonečný neperiodický desatinný zlomok 4,10110011100011110000... (počet jednotiek a núl sa zakaždým zvýši o jednotku) je iracionálne číslo. Uveďme ďalší príklad iracionálneho čísla: −22,353335333335... (počet trojiek oddeľujúcich osmičky sa zakaždým zvýši o dve).

  Treba poznamenať, že iracionálne čísla sa pomerne zriedka nachádzajú vo forme nekonečných neperiodických desatinných zlomkov. Zvyčajne sa nachádzajú vo forme atď., Ako aj vo forme špeciálne zadaných písmen. Najznámejšie príklady iracionálnych čísel v tomto zápise sú aritmetická druhá odmocnina z dvoch, číslo „pi“ π=3,141592..., číslo e=2,718281... a zlaté číslo.

  Iracionálne čísla možno definovať aj z hľadiska reálnych čísel, ktoré kombinujú racionálne a iracionálne čísla.

  Definícia.

  Iracionálne čísla sú reálne čísla, ktoré nie sú racionálnymi číslami.

  Je toto číslo iracionálne?

  Keď číslo nie je uvedené vo forme desatinného zlomku, ale vo forme nejakého odmocniny, logaritmu atď., potom je v mnohých prípadoch dosť ťažké odpovedať na otázku, či je to iracionálne.

  Pri odpovedi na položenú otázku je nepochybne veľmi užitočné vedieť, ktoré čísla nie sú iracionálne. Z definície iracionálnych čísel vyplýva, že iracionálne čísla nie sú racionálne čísla. Iracionálne čísla teda NIE SÚ:

  • konečné a nekonečné periodické desatinné zlomky.

  Taktiež akékoľvek zloženie racionálnych čísel spojených znamienkami aritmetických operácií (+, −, ·, :) nie je iracionálnym číslom. Je to preto, že súčet, rozdiel, súčin a kvocient dvoch racionálnych čísel je racionálne číslo. Napríklad hodnoty výrazov a sú racionálne čísla. Tu si všimneme, že ak takéto výrazy obsahujú jedno jediné iracionálne číslo medzi racionálnymi číslami, potom hodnota celého výrazu bude iracionálne číslo. Napríklad vo výraze je číslo iracionálne a ostatné čísla sú racionálne, preto ide o iracionálne číslo. Ak by to bolo racionálne číslo, potom by nasledovala racionalita čísla, ale to nie je racionálne.

  Ak výraz, ktorý číslo udáva, obsahuje viacero iracionálnych čísel, koreňových znakov, logaritmov, goniometrických funkcií, čísel π, e atď., potom je potrebné v každom konkrétnom prípade dokázať iracionalitu alebo racionalitu daného čísla. Existuje však množstvo už získaných výsledkov, ktoré sa dajú použiť. Uveďme si tie hlavné.

  Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod odmocninou je k-tou mocninou iného celého čísla, v iných prípadoch takýto odmocnina určuje iracionálne číslo. Napríklad čísla a sú iracionálne, pretože neexistuje celé číslo, ktorého druhá mocnina je 7, a neexistuje celé číslo, ktorého umocnenie na piatu mocninu dáva číslu 15. A čísla nie sú iracionálne, keďže a .

  Pokiaľ ide o logaritmy, niekedy je možné dokázať ich iracionalitu pomocou metódy protirečenia. Ako príklad dokážme, že log 2 3 je iracionálne číslo.

  Predpokladajme, že log 2 3 je racionálne číslo, nie iracionálne, to znamená, že ho možno reprezentovať ako obyčajný zlomok m/n. a dovoľte nám napísať nasledujúci reťazec rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na jej ľavej strane nepárne číslo a na pravej strane – párne. Došli sme teda k rozporu, čo znamená, že náš predpoklad sa ukázal ako nesprávny, a to dokázalo, že log 2 3 je iracionálne číslo.

  Všimnite si, že lna pre každé kladné a nejedno racionálne a je iracionálne číslo. Napríklad a sú iracionálne čísla.

  Je tiež dokázané, že číslo e a pre akékoľvek nenulové racionálne a je iracionálne a že číslo π z pre akékoľvek nenulové celé číslo z je iracionálne. Napríklad čísla sú iracionálne.

  Iracionálne čísla sú tiež goniometrické funkcie sin, cos, tg a ctg pre akúkoľvek racionálnu a nenulovú hodnotu argumentu. Napríklad sin1 , tan(−4) , cos5,7 sú iracionálne čísla.

  Existujú aj ďalšie overené výsledky, ale obmedzíme sa na tie, ktoré už boli uvedené. Treba tiež povedať, že pri dokazovaní vyššie uvedených výsledkov sa teória spojená s algebraické čísla A transcendentálne čísla.

  Na záver poznamenávame, že by sme nemali robiť unáhlené závery týkajúce sa iracionality daných čísel. Napríklad sa zdá zrejmé, že iracionálne číslo do iracionálnej miery je iracionálne číslo. Nie je to však vždy tak. Na potvrdenie uvedenej skutočnosti uvádzame stupeň. Je známe, že - je iracionálne číslo, a bolo tiež dokázané, že - je iracionálne číslo, ale je racionálne číslo. Môžete uviesť aj príklady iracionálnych čísel, ktorých súčet, rozdiel, súčin a podiel sú racionálne čísla. Navyše racionalita či iracionalita čísel π+e, π−e, π·e, π π, π e a mnohých ďalších ešte nebola dokázaná.

  Bibliografia.

  • Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya. Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

  Porozumenie číslam, najmä prirodzeným, je jednou z najstarších matematických „zručností“. Mnohé civilizácie, dokonca aj tie moderné, pripisovali číslam určité mystické vlastnosti kvôli ich obrovskému významu pri opise prírody. Hoci moderná veda a matematika nepotvrdzujú tieto „magické“ vlastnosti, dôležitosť teórie čísel je nepopierateľná.

  Historicky sa najskôr objavili rôzne prirodzené čísla, potom sa k nim pomerne rýchlo pridali zlomky a kladné iracionálne čísla. Po týchto podmnožinách množiny reálnych čísel boli zavedené nulové a záporné čísla. Posledná množina, množina komplexných čísel, sa objavila až s rozvojom modernej vedy.

  V modernej matematike sa čísla nezavádzajú v historickom poradí, hoci sa k nemu dosť približujú.

  Prirodzené čísla $\mathbb(N)$

  Množina prirodzených čísel sa často označuje ako $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ a často je doplnená nulou na označenie $\mathbb(N)_0$.

  $\mathbb(N)$ definuje operácie sčítania (+) a násobenia ($\cdot$) s nasledujúcimi vlastnosťami pre ľubovoľné $a,b,c\v \mathbb(N)$:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ je množina $\mathbb(N)$ uzavretá operáciami sčítania a násobenia
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativita
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativita
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivita
  5. $a\cdot 1=a$ je neutrálny prvok pre násobenie

  Keďže množina $\mathbb(N)$ obsahuje neutrálny prvok na násobenie, ale nie na sčítanie, pridanie nuly k tejto množine zabezpečí, že bude obsahovať neutrálny prvok na sčítanie.

  Okrem týchto dvoch operácií, vzťahy „menej ako“ ($

  1. $a b$ trichotómia
  2. ak $a\leq b$ a $b\leq a$, potom $a=b$ antisymetria
  3. ak $a\leq b$ a $b\leq c$, potom $a\leq c$ je tranzitívne
  4. ak $a\leq b$, potom $a+c\leq b+c$
  5. ak $a\leq b$ potom $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Celé čísla $\mathbb(Z)$

  Príklady celých čísel:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Riešenie rovnice $a+x=b$, kde $a$ a $b$ sú známe prirodzené čísla a $x$ je neznáme prirodzené číslo, si vyžaduje zavedenie novej operácie – odčítanie(-). Ak existuje prirodzené číslo $x$ spĺňajúce túto rovnicu, potom $x=b-a$. Táto konkrétna rovnica však nemusí mať nevyhnutne riešenie na množine $\mathbb(N)$, takže praktické úvahy vyžadujú rozšírenie množiny prirodzených čísel tak, aby zahŕňala riešenia takejto rovnice. To vedie k zavedeniu množiny celých čísel: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  Keďže $\mathbb(N)\podmnožina \mathbb(Z)$, je logické predpokladať, že predtým zavedené operácie $+$ a $\cdot$ a vzťahy $ 1. $0+a=a+0=a$ existuje neutrálny prvok na pridanie
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ pre $a$ je opačné číslo $-a$
  

  Nehnuteľnosť 5.:
  5. ak $0\leq a$ a $0\leq b$, potom $0\leq a\cdot b$

  Množina $\mathbb(Z)$ je tiež uzavretá operáciou odčítania, teda $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Racionálne čísla $\mathbb(Q)$

  Príklady racionálnych čísel:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Teraz zvážte rovnice v tvare $a\cdot x=b$, kde $a$ a $b$ sú známe celé čísla a $x$ je neznáma. Aby bolo riešenie možné, je potrebné zaviesť operáciu delenia ($:$), pričom riešenie má tvar $x=b:a$, teda $x=\frac(b)(a)$ . Opäť vyvstáva problém, že $x$ nie vždy patrí do $\mathbb(Z)$, takže množinu celých čísel je potrebné rozšíriť. Toto zavádza množinu racionálnych čísel $\mathbb(Q)$ s prvkami $\frac(p)(q)$, kde $p\in \mathbb(Z)$ a $q\in \mathbb(N)$. Množina $\mathbb(Z)$ je podmnožina, v ktorej každý prvok $q=1$, teda $\mathbb(Z)\podmnožina \mathbb(Q)$ a operácie sčítania a násobenia sa rozširujú na túto množinu podľa nasledujúce pravidlá, ktoré zachovávajú všetky vyššie uvedené vlastnosti na množine $\mathbb(Q)$:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Rozdelenie sa zavádza takto:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  Na množine $\mathbb(Q)$ má rovnica $a\cdot x=b$ jedinečné riešenie pre každé $a\neq 0$ (delenie nulou nie je definované). To znamená, že existuje inverzný prvok $\frac(1)(a)$ alebo $a^(-1)$:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\existuje \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  Poradie množiny $\mathbb(Q)$ možno rozšíriť takto:
  $\frac(p_1)(q_1)

  Množina $\mathbb(Q)$ má jednu dôležitú vlastnosť: medzi akýmikoľvek dvoma racionálnymi číslami je nekonečne veľa ďalších racionálnych čísel, preto neexistujú dve susediace racionálne čísla, na rozdiel od množín prirodzených čísel a celých čísel.

  Iracionálne čísla $\mathbb(I)$

  Príklady iracionálnych čísel:
  $\sqrt(2) \približne 1,41422135...$
  $\pi\približne 3,1415926535...$

  Keďže medzi akýmikoľvek dvoma racionálnymi číslami je nekonečne veľa iných racionálnych čísel, je ľahké mylne dospieť k záveru, že množina racionálnych čísel je taká hustá, že nie je potrebné ju ďalej rozširovať. Takúto chybu urobil svojho času aj Pytagoras. Tento záver však už jeho súčasníci vyvrátili pri štúdiu riešení rovnice $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na množine racionálnych čísel. Na vyriešenie takejto rovnice je potrebné zaviesť pojem odmocniny a potom má riešenie tejto rovnice tvar $x=\sqrt(2)$. Rovnica ako $x^2=a$, kde $a$ je známe racionálne číslo a $x$ je neznáme, nemá vždy riešenie na množine racionálnych čísel a opäť vzniká potreba rozšíriť nastaviť. Vzniká množina iracionálnych čísel a čísla ako $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... patria do tejto množiny.

  Reálne čísla $\mathbb(R)$

  Spojenie množín racionálnych a iracionálnych čísel je množinou reálnych čísel. Keďže $\mathbb(Q)\podmnožina \mathbb(R)$, je opäť logické predpokladať, že zavedené aritmetické operácie a vzťahy si zachovajú svoje vlastnosti na novej množine. Formálne dokazovanie je veľmi ťažké, preto sa vyššie uvedené vlastnosti aritmetických operácií a vzťahov na množine reálnych čísel uvádzajú ako axiómy. V algebre sa takýto objekt nazýva pole, takže množina reálnych čísel sa nazýva usporiadané pole.

  Aby bola definícia množiny reálnych čísel úplná, je potrebné zaviesť dodatočnú axiómu, ktorá rozlišuje množiny $\mathbb(Q)$ a $\mathbb(R)$. Predpokladajme, že $S$ je neprázdna podmnožina množiny reálnych čísel. Prvok $b\in \mathbb(R)$ sa nazýva horná hranica množiny $S$, ak $\forall x\in S$ obsahuje $x\leq b$. Potom povieme, že množina $S$ je ohraničená vyššie. Najmenšia horná hranica množiny $S$ sa nazýva supremum a označuje sa $\sup S$. Pojmy dolná hranica, množina ohraničená nižšie a infinum $\inf S$ sú zavedené podobne. Teraz je chýbajúca axióma formulovaná takto:

  Akákoľvek neprázdna a horne ohraničená podmnožina množiny reálnych čísel má supremum.
  Dá sa tiež dokázať, že pole reálnych čísel definované vyššie uvedeným spôsobom je jedinečné.

  Komplexné čísla$\mathbb(C)$

  Príklady komplexných čísel:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kde $i = \sqrt(-1)$ alebo $i^2 = -1$

  Množina komplexných čísel predstavuje všetky usporiadané dvojice reálnych čísel, teda $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na ktorých sú operácie sčítanie a násobenie sú definované takto:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Existuje niekoľko foriem zápisu komplexných čísel, z ktorých najbežnejšia je $z=a+ib$, kde $(a,b)$ je pár reálnych čísel a číslo $i=(0,1)$ sa nazýva imaginárna jednotka.

  Je ľahké ukázať, že $i^2=-1$. Rozšírenie množiny $\mathbb(R)$ na množinu $\mathbb(C)$ nám umožňuje určiť druhú odmocninu záporných čísel, čo bolo dôvodom na zavedenie množiny komplexných čísel. Je tiež ľahké ukázať, že podmnožina množiny $\mathbb(C)$, daná ako $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, spĺňa všetky axiómy pre reálne čísla, preto $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, alebo $R\subset\mathbb(C)$.

  Algebraická štruktúra množiny $\mathbb(C)$ s ohľadom na operácie sčítania a násobenia má nasledujúce vlastnosti:
  1. komutivita sčítania a násobenia
  2. asociativita sčítania a násobenia
  3. $0+i0$ - neutrálny prvok na sčítanie
  4. $1+i0$ - neutrálny prvok pre násobenie
  5. Násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie
  6. Pre sčítanie aj násobenie existuje jedna inverzia.