Pri odvodení úplne prvého vzorca tabuľky budeme vychádzať z definície derivačnej funkcie v bode. Vezmime kam X– akékoľvek reálne číslo, tj. X– ľubovoľné číslo z oblasti definície funkcie. Zapíšme si limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu na :

Treba poznamenať, že pod medzným znamienkom sa získa výraz, ktorým nie je neistota nuly delená nulou, keďže v čitateli nie je nekonečne malá hodnota, ale práve nula. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.

teda derivácia konštantnej funkciesa rovná nule v celej oblasti definície.

Derivácia mocninovej funkcie.

Vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie má tvar , kde exponent p– akékoľvek reálne číslo.

Dokážme najprv vzorec pre prirodzený exponent, teda pre p = 1, 2, 3, …

Použijeme definíciu derivátu. Zapíšme si limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

Na zjednodušenie výrazu v čitateli sa obraciame na Newtonov binomický vzorec:

teda

To dokazuje vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie pre prirodzený exponent.

Derivácia exponenciálnej funkcie.

Uvádzame odvodenie derivačného vzorca na základe definície:

Dostali sme sa do neistoty. Na jej rozšírenie uvádzame novú premennú a na adrese . Potom . Pri poslednom prechode sme použili vzorec na prechod na nový logaritmický základ.

Dosadíme do pôvodného limitu:

Ak si spomenieme na druhú pozoruhodnú limitu, dostaneme sa k vzorcu pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

Derivácia logaritmickej funkcie.

Dokážme vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie pre všetkých X z domény definície a všetkých platných hodnôt bázy a logaritmus Podľa definície derivátu máme:

Ako ste si všimli, počas dôkazu boli transformácie vykonané pomocou vlastností logaritmu. Rovnosť je pravda vďaka druhej pozoruhodnej hranici.

Derivácie goniometrických funkcií.

Aby sme odvodili vzorce pre derivácie goniometrických funkcií, budeme si musieť pripomenúť niektoré trigonometrické vzorce, ako aj prvú pozoruhodnú limitu.

Podľa definície derivácie pre funkciu sínus máme .

Použime vzorec rozdielu sínusov:

Zostáva sa obrátiť na prvý pozoruhodný limit:

Teda derivácia funkcie hriech x Existuje cos x.

Vzorec pre deriváciu kosínusu je dokázaný presne rovnakým spôsobom.

Preto derivácia funkcie cos x Existuje - hriech x.

Vzorce pre tabuľku derivácií pre tangens a kotangens odvodíme pomocou osvedčených pravidiel diferenciácie (derivácia zlomku).

Deriváty hyperbolických funkcií.

Pravidlá diferenciácie a vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie z tabuľky derivácií nám umožňujú odvodiť vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Derivácia inverznej funkcie.

Aby sme predišli zmätkom pri prezentácii, označme argument funkcie, ktorou sa derivácia vykonáva, dolným indexom, to znamená, že ide o deriváciu funkcie. f(x) Autor: X.

Teraz poďme formulovať pravidlo na nájdenie derivácie inverznej funkcie.

Nechajte funkcie y = f(x) A x = g(y) vzájomne inverzné, definované na intervaloch resp. Ak v určitom bode existuje konečná nenulová derivácia funkcie f(x), potom v bode existuje konečná derivácia inverznej funkcie g(y) a . V inom príspevku .

Toto pravidlo je možné preformulovať pre kohokoľvek X z intervalu , potom dostaneme .

Overme si platnosť týchto vzorcov.

Nájdite inverznú funkciu pre prirodzený logaritmus (Tu r je funkcia a X- argument). Po vyriešení tejto rovnice pre X, dostaneme (tu X je funkcia a r– jej argument). teda a vzájomne inverzné funkcie.

Z tabuľky derivátov to vidíme A .

Uistime sa, že vzorce na nájdenie derivátov inverznej funkcie nás vedú k rovnakým výsledkom:

Ako vidíte, dostali sme rovnaké výsledky ako v tabuľke derivátov.

Teraz máme znalosti na to, aby sme dokázali vzorce pre derivácie inverzných goniometrických funkcií.

Začnime derivátom arcsínusu.

. Potom pomocou vzorca pre deriváciu inverznej funkcie dostaneme

Zostáva už len vykonať premeny.

Pretože rozsah arcsínus je interval , To (pozri časť o základných elementárnych funkciách, ich vlastnostiach a grafoch). Preto o tom neuvažujeme.

teda . Definičnou doménou arczínového derivátu je interval (-1; 1) .

Pre arc cosinus sa všetko robí presne rovnakým spôsobom:

Poďme nájsť deriváciu arkustangens.

Pretože inverzná funkcia je .

Vyjadrime arkustangens v arkkozíne, aby sme zjednodušili výsledný výraz.

Nechaj arctgx = z, Potom

teda

Derivát oblúkového kotangens sa nachádza podobným spôsobom:

Proces hľadania derivácie funkcie sa nazýva diferenciácie. Deriváciu je potrebné nájsť v množstve problémov v priebehu matematickej analýzy. Napríklad pri hľadaní extrémnych bodov a inflexných bodov grafu funkcií.

Ako nájsť?

Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, musíte poznať tabuľku derivácií elementárnych funkcií a použiť základné pravidlá diferenciácie:

1. Presun konštanty za znamienko derivácie: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivácia súčtu/rozdielu funkcií: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivácia súčinu dvoch funkcií: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivácia zlomku: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Derivácia komplexnej funkcie: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Príklady riešení

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Riešenie

Derivácia súčtu/rozdielu funkcií sa rovná súčtu/rozdielu derivácií: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Použitím pravidla pre deriváciu mocninovej funkcie $ (x^p)" = px^(p-1) $ máme: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Bolo tiež brané do úvahy, že derivácia konštanty sa rovná nule. Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete si môcť pozrieť priebeh výpočtu a získať informácie. Pomôže vám to získať známku od učiteľa včas!

Odpoveď

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

S úprava materiálov na tému „derivát“. Úroveň základnej školy.
Teoretické informácie pre študentov, učiteľov a tútorov matematiky. Na pomoc pri vedení tried.

Definícia: derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie k prírastku premennej, tj.

Tabuľka derivácií základných matematických funkcií:

Pravidlá pre výpočet derivátov

Derivát sumy akékoľvek dva výrazy sa rovnajú súčtu derivátov týchto výrazov (derivát súčtu sa rovná súčtu derivátov)

Derivácia rozdieluľubovoľné dva výrazy sa rovná rozdielu derivátov týchto pojmov (derivát rozdielu sa rovná rozdielu derivátov).

Derivát produktu dva faktory sa rovná súčinu derivácie prvého faktora a druhého plus súčinu prvého faktora a derivácie druhého (súčet derivácií faktorov, ktoré sa vezmú postupne).
Komentár učiteľa matematiky: Keď študentovi v krátkosti pripomeniem pravidlo na výpočet derivácie súčinu, poviem toto: derivácia prvého faktora druhým plusom vymeňte ťahy!

Derivácia kvocientu dva výrazy sa rovná kvocientu rozdielu medzi deriváciami činiteľov v poradí a druhou mocninou menovateľa.

Derivácia súčinu čísla a funkcie. Ak chcete nájsť deriváciu súčinu čísla a doslovného výrazu (funkcie), musíte toto číslo vynásobiť deriváciou tohto doslovného výrazu.

Derivácia komplexnej funkcie:

Ak chcete vypočítať deriváciu komplexnej funkcie, musíte nájsť deriváciu vonkajšej funkcie a vynásobiť ju deriváciou vnútornej funkcie.

Vaše komentáre a spätná väzba na stránke s derivátmi:
Alexander S.
Naozaj som potreboval stôl. Jeden z najviac na internete. Ďakujem veľmi pekne za vysvetlenie a pravidlá. Ešte aspoň jeden príklad by sa im hodil. este raz velmi pekne dakujem.

Kolpakov A.N., učiteľ matematiky: ok, v blízkej budúcnosti sa pokúsim pridať na stránku príklady.

Virtuálna matematická príručka.
Kolpakov Alexander Nikolaevič, učiteľ matematiky.

Výpočet derivácie- jedna z najdôležitejších operácií v diferenciálnom počte. Nižšie je uvedená tabuľka na nájdenie derivátov jednoduchých funkcií. Pre komplexnejšie pravidlá diferenciácie si pozrite ďalšie lekcie:

• Tabuľka derivácií exponenciálnych a logaritmických funkcií

Uvedené vzorce použite ako referenčné hodnoty. Pomôžu pri riešení diferenciálnych rovníc a úloh. Na obrázku v tabuľke derivátov jednoduchých funkcií je „cheat sheet“ hlavných prípadov nájdenia derivátu vo forme, ktorá je zrozumiteľná pre použitie, vedľa neho sú vysvetlenia pre každý prípad.

Deriváty jednoduchých funkcií

1. Derivácia čísla je nula
с' = 0
Príklad:
5' = 0

Vysvetlenie:
Derivácia ukazuje rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie, keď sa mení jej argument. Keďže sa číslo za žiadnych podmienok nijako nemení, rýchlosť jeho zmeny je vždy nulová.

2. Derivát premennej rovný jednej
x' = 1

Vysvetlenie:
S každým prírastkom argumentu (x) o jeden sa hodnota funkcie (výsledok výpočtov) zvýši o rovnakú hodnotu. Rýchlosť zmeny hodnoty funkcie y = x sa teda presne rovná rýchlosti zmeny hodnoty argumentu.

3. Derivácia premennej a faktora sa rovná tomuto faktoru
сx´ = с
Príklad:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Vysvetlenie:
V tomto prípade zakaždým, keď sa argument funkcie zmení ( X) jeho hodnota (y) rastie v s raz. Rýchlosť zmeny funkčnej hodnoty vo vzťahu k rýchlosti zmeny argumentu sa teda presne rovná hodnote s.

Odkiaľ z toho vyplýva
(cx + b)" = c
to znamená, že diferenciál lineárnej funkcie y=kx+b sa rovná sklonu priamky (k).

4. Modulová derivácia premennej rovný podielu tejto premennej k jej modulu
|x|"= x / |x| za predpokladu, že x ≠ 0
Vysvetlenie:
Keďže derivácia premennej (pozri vzorec 2) sa rovná jednej, derivácia modulu sa líši len tým, že hodnota rýchlosti zmeny funkcie sa pri prekročení bodu vzniku mení na opačnú (skúste nakresliť graf funkcie y = |x| a presvedčte sa sami, akú hodnotu a vráti výraz x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedna. To znamená, že pre záporné hodnoty premennej x sa s každým zvýšením argumentu hodnota funkcie znižuje presne o rovnakú hodnotu a pre kladné hodnoty sa naopak zvyšuje, ale presne o rovnakú hodnotu. .

5. Derivácia premennej k mocnine rovný súčinu počtu tohto výkonu a premennej výkonu zníženého o jednu
(x c)"= cx c-1 za predpokladu, že x c ​​a cx c-1 sú definované a c ≠ 0
Príklad:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Aby som si zapamätal vzorec:
Posuňte stupeň premennej nadol ako faktor a potom znížte samotný stupeň o jeden. Napríklad pre x 2 - dvojka bola pred x a potom nám znížený výkon (2-1 = 1) jednoducho dal 2x. To isté sa stalo pre x 3 - trojku „posunieme nadol“, zmenšíme ju o jednu a namiesto kocky máme štvorec, teda 3x 2. Trochu "nevedecké", ale veľmi ľahko zapamätateľné.

6.Derivácia zlomku 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Príklad:
Pretože zlomok môže byť reprezentovaný ako zvýšenie na zápornú mocninu
(1/x)" = (x -1)", potom môžete použiť vzorec z pravidla 5 tabuľky derivátov
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Derivácia zlomku s premennou ľubovoľného stupňa v menovateli
(1 / x c)" = - c / x c + 1
Príklad:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivát koreňa(derivát premennej pod druhou odmocninou)
(√x)" = 1 / (2√x) alebo 1/2 x -1/2
Príklad:
(√x)" = (x 1/2)" znamená, že môžete použiť vzorec z pravidla 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivácia premennej pod koreňom ľubovoľného stupňa
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Dátum: 05.10.2015

Ako nájsť derivát?

Pravidlá diferenciácie.

Ak chcete nájsť derivát akejkoľvek funkcie, musíte ovládať iba tri koncepty:

2. Pravidlá diferenciácie.

3. Derivácia komplexnej funkcie.

Presne v tomto poradí. Je to náznak.)

Samozrejme, bolo by pekné mať predstavu o derivátoch vo všeobecnosti). Čo je to derivácia a ako pracovať s tabuľkou derivácií je jasne vysvetlené v predchádzajúcej lekcii. Tu sa budeme zaoberať pravidlami diferenciácie.

Diferenciácia je operácia hľadania derivátu. Za týmto pojmom sa už nič viac neskrýva. Tie. výrazov "nájdi deriváciu funkcie" A "rozlíšiť funkciu"- To je to isté.

Výraz "pravidlá diferenciácie" sa týka nájdenia derivátu z aritmetických operácií. Toto pochopenie veľmi pomáha vyhnúť sa zmätku vo vašej hlave.

Sústreďme sa a zapamätajme si všetky, všetky, všetky aritmetické operácie. Sú štyri). Sčítanie (súčet), odčítanie (rozdiel), násobenie (súčin) a delenie (kvocient). Tu sú pravidlá diferenciácie:

Doska ukazuje päť pravidlá na štyri aritmetické operácie. Neprišiel som do skratky.) Ide len o to, že pravidlo 4 je elementárnym dôsledkom pravidla 3. Je však také populárne, že má zmysel písať ho (a pamätať si!) ako nezávislý vzorec.

Pod označeniami U A V niektoré (absolútne akékoľvek!) funkcie sú implikované U(x) A V(x).

Pozrime sa na pár príkladov. Po prvé - tie najjednoduchšie.

Nájdite deriváciu funkcie y=sinx - x 2

Tu máme rozdiel dve základné funkcie. Aplikujeme pravidlo 2. Budeme predpokladať, že sinx je funkcia U a x 2 je funkcia V. Máme plné právo napísať:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

To je lepšie, však?) Zostáva len nájsť derivácie sínusu a druhej mocniny x. Na tento účel existuje tabuľka derivátov. Len hľadáme funkcie, ktoré potrebujeme v tabuľke ( sinx A x 2), pozrite sa, aké deriváty majú, a napíšte odpoveď:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

To je všetko. Pravidlo 1 súčtovej diferenciácie funguje úplne rovnako.

Čo ak máme viacero výrazov? Žiadny problém.) Funkciu rozdelíme na členy a hľadáme deriváciu každého člena nezávisle od ostatných. Napríklad:

Nájdite deriváciu funkcie y=sinx - x 2 + cosx - x +3

Smelo píšeme:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Na konci lekcie dám tipy, ako si uľahčiť život pri rozlišovaní.)

Praktické rady:

1. Pred diferenciáciou skontrolujte, či je možné pôvodnú funkciu zjednodušiť.

2. V zložitých príkladoch podrobne popíšeme riešenie so všetkými zátvorkami a pomlčkami.

3. Pri delení zlomkov s konštantným číslom v menovateli zmeníme delenie na násobenie a použijeme pravidlo 4.