Lineárna funkcia

Lineárna funkcia je funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom y = kx + b,

kde x je nezávislá premenná, k a b sú nejaké čísla.

Graf lineárnej funkcie je priamka.

Volá sa číslo k sklon priamky– graf funkcie y = kx + b.

Ak k > 0, potom uhol sklonu priamky y = kx + b k osi X pikantné; ak k< 0, то этот угол тупой.

Ak sú sklony čiar, ktoré sú grafmi dvoch lineárnych funkcií, rôzne, potom sa tieto čiary pretínajú. A ak sú uhlové koeficienty rovnaké, potom sú čiary rovnobežné.

Graf funkcie y=kx +b, kde k ≠ 0, je priamka rovnobežná s priamkou y = kx.

Priama úmernosť.

Priama úmernosť je funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom y = kx, kde x je nezávislá premenná, k je nenulové číslo. Volá sa číslo k koeficient priamej úmernosti.

Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom súradníc (pozri obrázok).

Priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie.

Vlastnosti funkciey=kx:

Inverzná úmernosť

Inverzná úmernosť sa nazýva funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom:

k
y = -
X

Kde X je nezávislá premenná a k– nenulové číslo.

Grafom nepriamej úmernosti je krivka tzv hyperbola(pozri obrázok).

Pre krivku, ktorá je grafom tejto funkcie, je os X A r pôsobiť ako asymptoty. Asymptota- toto je priamka, ku ktorej sa body krivky približujú, keď sa vzďaľujú do nekonečna.

k
Vlastnosti funkciey = -:
X

S čím sa spája aj jeho názov. Ide o reálnu funkciu jednej reálnej premennej.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Ak všetky premenné x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\bodky ,x_(n)) a kurzy a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\bodky ,a_(n)) sú reálne čísla, potom graf lineárnej funkcie v (n + 1) (\displaystyle (n+1))-rozmerný priestor premenných x 1 , x 2 , … , x n , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y) je n (\displaystyle n)-rozmerná nadrovina

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\bodky +a_ (n)x_(n))

  najmä keď n = 1 (\displaystyle n=1)- priamka na rovine.

  Abstraktná algebra

  Termín "lineárna funkcia" alebo presnejšie "lineárna homogénna funkcia" sa často používa na opis lineárneho znázornenia vektorového priestoru. X (\displaystyle X) cez nejaké pole k (\displaystyle k) do tohto poľa, teda na takéto zobrazenie f: X → k (\displaystyle f:X\to k), ktorý pre akékoľvek prvky x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X) a akékoľvek α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k) rovnosť je pravda

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  Okrem toho sa v tomto prípade namiesto termínu „lineárna funkcia“ používajú aj termíny lineárna funkčná a lineárna forma, čo tiež znamená lineárny homogénne funkcie určitej triedy.

  V 7. ročníku sme sa učili funkcie y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 a nakoniec dospel k záveru, že rovnica s dvoma premennými v tvare y = f(x) (funkcia) je matematický model vhodný na výpočet zodpovedajúcej hodnoty nezávislej premennej x (argument)

  zodpovedajúca hodnota závisle premennej y. Ak je napríklad daná funkcia y = x 2, t.j. f(x) = x 2, potom pre x = 1 dostaneme y = 1 2 = 1; V skratke sa to píše takto: f(1) = 1. Pre x = 2 dostaneme f(2) = 2 2 = 4, teda y = 4; pre x = - 3 dostaneme f(- 3) = (- 3) 2 = 9, teda y = 9 atď.

  Už v 7. ročníku sme začali chápať, že v rovnosti y = f(x) pravá strana, t.j. výraz f(x) nie je obmedzený na štyri prípady uvedené vyššie (C, kx, kx + m, x 2).
  Stretli sme sa už napríklad s funkciami po častiach, teda funkciami definovanými rôznymi vzorcami na rôznych intervaloch. Tu je jedna takáto funkcia:

  y = f(x), kde

  Pamätáte si, ako sa takéto funkcie graficky zobrazujú? Najprv musíte zostrojiť parabolu y = x 2 a vziať jej časť na x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (obr. 2). A nakoniec, obe vybrané časti musia byť spojené do jedného výkresu, t.j. postavené na rovnakej súradnicovej rovine (pozri obr. 3).

  
  

  Teraz je našou úlohou: doplniť zásoby študovaných funkcií. V reálnom živote existujú procesy popísané rôznymi matematickými modelmi tvaru y = f(x), nielen tie, ktoré sme uviedli vyššie. V tejto časti budeme uvažovať o funkcii y = kx 2, kde koeficient k je ľubovoľné nenulové číslo.

  
  V skutočnosti je vám funkcia y = kx 2 v jednom prípade trochu známa. Pozri: ak k = 1, dostaneme y = x 2; Túto funkciu ste študovali v 7. ročníku a pravdepodobne si pamätáte, že jej graf je parabola (obr. 1). Poďme diskutovať o tom, čo sa stane pri iných hodnotách koeficientu k.
  Zvážte dve funkcie: y = 2x 2 a y = 0,5x 2. Urobme tabuľku hodnôt pre prvú funkciu y = 2x 2:

  Zostrojme body (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) na súradnicovej rovine (obr. 4); načrtnú určitú čiaru, nakreslíme ju

  (obr. 5).
  Urobme tabuľku hodnôt pre druhú funkciu y = 0,5x 2:

  Zostrojme body (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) na rovine súradníc (obr. 6); načrtnú určitú čiaru, nakreslíme ju (obr. 7)

  .

  Body znázornené na obr. 4 a 6 sa niekedy nazývajú kontrolné body pre graf zodpovedajúcej funkcie.

  Porovnajte obrázky 1, 5 a 7. Nie je pravda, že nakreslené čiary sú podobné? Každá z nich sa nazýva parabola; v tomto prípade sa bod (0; 0) nazýva vrchol paraboly a os y je osou symetrie paraboly. „Rýchlosť pohybu nahor“ vetiev paraboly závisí od hodnoty koeficientu k, alebo, ako sa tiež hovorí,
  „stupeň strmosti“ paraboly. To je jasne viditeľné na obr. 8, kde všetky tri vyššie skonštruované paraboly sú umiestnené v rovnakej súradnicovej rovine.

  Situácia je úplne rovnaká s akoukoľvek inou funkciou tvaru y = kx 2, kde k > 0. Jej grafom je parabola s vrcholom v počiatku, vetvy paraboly smerujú nahor a čím strmšie, tým vyššie koeficient k. Os y je osou symetrie paraboly. Mimochodom, pre stručnosť matematici často hovoria „parabola y = kx 2“ namiesto dlhého slovného spojenia „parabola slúži ako graf funkcie y = kx 2“ a namiesto pojmu „os symetrie parabola“ používajú termín „os paraboly“.

  Všimli ste si, že existuje analógia s funkciou y = kx? Ak k > 0, potom graf funkcie y = kx je priamka prechádzajúca počiatkom súradníc (zapamätajte si, že sme stručne povedali: priamka y = kx), a tu tiež „stupeň strmosti“ priamka závisí od hodnoty koeficientu k. To je jasne viditeľné na
  ryža. 9, kde sú grafy lineárnych funkcií y = kx zobrazené v jednom súradnicovom systéme pre tri hodnoty koeficientu

  
  

  Vráťme sa k funkcii y = kx 2. Poďme zistiť, ako sa veci majú v prípade záporného koeficientu ft. Zostavme si napríklad graf funkcie

  y = - x 2 (tu k = - 1). Vytvorme si tabuľku hodnôt:

  Označte body (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) na rovine súradníc (obr. 10); načrtnú určitú čiaru, nakreslíme ju (obr. 11). Ide o parabolu s vrcholom v bode (0; 0), os y je osou symetrie, ale na rozdiel od prípadu, keď k > 0, tentokrát smerujú vetvy paraboly nadol. Podobná situácia je aj pri ostatných záporných hodnotách koeficientu k.

  
  

  Takže grafom funkcie je parabola s jej vrcholom v počiatku; os y je os paraboly; vetvy paraboly smerujú nahor pri k>0 u nadol pri k<0.

  Všimnime si tiež, že parabola y = kx 2 sa dotýka osi x v bode (0; 0), to znamená, že jedna vetva paraboly plynule prechádza do druhej, akoby sa tlačila na os x.
  Ak vykreslíte grafy funkcií y = x2 a y = - x2 v rovnakom súradnicovom systéme, potom je ľahké si všimnúť, že tieto paraboly sú navzájom symetrické vzhľadom na os x, čo je jasne viditeľné na obr. 12. Rovnakým spôsobom sú paraboly y = 2x 2 a y = - 2x 2 navzájom symetrické vzhľadom na os x (nebuďte leniví, postavte ich
  dve paraboly v rovnakom súradnicovom systéme a uistite sa, že tvrdenie je pravdivé).

  Vo všeobecnosti platí, že graf funkcie y = - f(x) je symetrický ku grafu funkcie y = f(x) vzhľadom na os.

  Vlastnosti funkcie y = kx 2 pre k > 0

  Pri popise vlastností tejto funkcie sa budeme opierať o jej geometrický model – parabolu (obr. 13).

  1. Keďže pre ľubovoľnú hodnotu x možno vypočítať zodpovedajúcu hodnotu y pomocou vzorca y = kx 2, funkcia je definovaná v ľubovoľnom bode x (pre ľubovoľnú hodnotu argumentu x). V skratke sa to píše takto: definičný obor funkcie je (-oo, +oo), teda celá súradnicová čiara.

  
  

  2. y = 0 pri x = 0; y > O pri . To možno vidieť aj z grafu funkcie (je úplne umiestnený nad osou x), ale dá sa to zdôvodniť bez pomoci grafu: ak

  Potom kx 2 > O ako súčin dvoch kladných čísel k a x 2 .

  3. y = kx 2 je spojitá funkcia. Pripomeňme, že tento výraz zatiaľ považujeme za synonymum vety „graf funkcie je plná čiara, ktorú možno nakresliť bez toho, aby sme zdvihli ceruzku z papiera“. Vo vyšších ročníkoch sa bude podávať presnejší matematický výklad pojmu spojitosť funkcie, pričom sa nebude spoliehať na geometrické znázornenie.

  4.y/ naim = 0 (dosiahnuté pri x = 0); nai6 neexistuje.

  Pripomeňme, že (/max je najmenšia hodnota funkcie a Unaib. je najväčšia hodnota funkcie na danom intervale; ak interval nie je špecifikovaný, potom unaim- a y max. sú najmenšia a najväčšia hodnota hodnoty funkcie v doméne definície.

  5. Funkcia y = kx 2 rastie ako x > O a klesá ako x< 0.

  Pripomeňme si, že v kurze algebry 7. ročníka sme sa dohodli, že budeme nazývať funkciu, ktorej graf na uvažovanom intervale ide zľava doprava, akoby „do kopca“, rastúci, a funkciu, ktorej graf na uvažovanom intervale ide zľava doprava doprava, akoby „z kopca“, - klesajúca. Presnejšie, môžeme povedať toto: o funkcii y = f (x) sa hovorí, že je rastúca na intervale X, ak na tomto intervale zodpovedá väčšia hodnota argumentu
  väčšia funkčná hodnota; o funkcii y = f (x) sa hovorí, že je klesajúca na intervale X, ak na tomto intervale väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

  V učebnici Algebra 7 sme proces vypisovania vlastností funkcie nazvali čítaním grafu. Proces čítania grafu bude postupne bohatší a zaujímavejší, keď budeme spoznávať nové vlastnosti funkcií. Diskutovali sme o piatich vlastnostiach uvedených vyššie v 7. ročníku pre funkcie, ktoré sme tam študovali. Pridajme jednu novú vlastnosť.

  Funkcia y = f(x) sa nazýva ohraničená nižšie, ak sú všetky hodnoty funkcie väčšie ako určité číslo. Geometricky to znamená, že graf funkcie sa nachádza nad určitou priamkou rovnobežnou s osou x.

  Teraz sa pozrite: graf funkcie y = kx 2 sa nachádza nad priamkou y = - 1 (alebo y = - 2, na tom nezáleží) - je znázornený na obr. 13. Preto y - kx2 (k > 0) je funkcia ohraničená zdola.

  Spolu s funkciami ohraničenými nižšie sa berú do úvahy aj funkcie ohraničené vyššie. O funkcii y - f(x) sa hovorí, že je ohraničená zhora, ak sú všetky hodnoty funkcie menšie ako určité číslo. Geometricky to znamená, že graf funkcie sa nachádza pod nejakou priamkou rovnobežnou s osou x.
  Existuje taká priamka pre parabolu y = kx 2, kde k > 0? Nie To znamená, že funkcia nie je ohraničená hornou hranicou.

  Takže máme ešte jednu vlastnosť, pridajme ju k piatim uvedeným vyššie.

  6. Funkcia y = kx 2 (k > 0) je ohraničená dole a nie je ohraničená hore.

  Vlastnosti funkcie y = kx 2 pre k< 0

  Pri popise vlastností tejto funkcie vychádzame z jej geometrického modelu – paraboly (obr. 14).

  

  1. Definičný obor funkcie je (—oo, +oo).

  2. y = 0 pri x = 0; pri< 0 при .

  Z.у = kx 2 je spojitá funkcia.
  4. y nai6 = 0 (dosiahnuté pri x = 0), unaim neexistuje.

  5. Funkcia sa zvyšuje ako x< 0, убывает при х > 0.

  6.Funkcia je obmedzená zhora a nie je obmedzená zdola.

  Vysvetlime si poslednú vlastnosť: existuje priamka rovnobežná s osou x (napríklad y = 1, je nakreslená na obr. 14), takže celá parabola leží pod touto priamkou; to znamená, že funkcia je ohraničená vyššie. Na druhej strane nie je možné nakresliť priamku rovnobežnú s osou x tak, aby sa celá parabola nachádzala nad touto priamkou; to znamená, že funkcia nie je nižšie ohraničená.

  Poradie ťahov použité vyššie pri uvádzaní vlastností funkcie nie je zákonom, pokiaľ sa takto chronologicky vyvíjalo.

  Viac-menej určité poradie ťahov si postupne vypracujeme a zjednotíme v kurze algebry 9. ročníka.

  Príklad 1 Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie y = 2x 2 na segmente: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

  Riešenie.
  a) Zostrojme graf funkcie y = 2x2 a zvýrazníme jej časť na úsečke (obr. 15). Podotýkame, že 1/meno. = 0 (dosiahnuté pri x = 0) a y max = 8 (dosiahnuté pri x = 2).

  b) Zostrojme graf funkcie y = 2x2 a zvýrazníme jeho časť na úsečke [- 2, - 1] (obr. 16). Poznamenávame, že 2/max = 2 (dosiahnuté pri x = - 1) a y max = 8 (dosiahnuté pri x = - 2).

  c) Zostrojme graf funkcie y = 2x2 a zvýrazníme jeho časť na úsečke [- 1, 1,5] (obr. 17). Poznamenávame, že unanm = 0 (dosiahnuté v x = 0) a y sa najviac dosiahne v bode x = 1,5; Vypočítajme túto hodnotu: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Takže y max = 4,5.

  
  

  Príklad 2 Vyriešte rovnicu - x 2 = 2x - 3.

  Riešenie. V učebnici „Algebra-7“ sme vyvinuli algoritmus na grafické riešenie rovníc, pripomeňme si ho.

  Ak chcete graficky vyriešiť rovnicu f(x) = g (x), potrebujete:

  1) uvažujme dve funkcie y = -x 2 a y = 2x -3;
  2) zostrojte graf funkcie i/ = / (x);
  3) zostrojte graf funkcie y = g (x);
  4) nájsť priesečníky zostrojených grafov; abscis-
  Sys týchto bodov sú korene rovnice f(x) = g (x).
  Aplikujme tento algoritmus na danú rovnicu.
  1) Zvážte dve funkcie: y = - x2 a y = 2x - 3.
  2) Zostrojme parabolu - graf funkcie y = - x 2 (obr. 18).

  3) Zostrojme graf funkcie y = 2x - 3. Toto je priamka, aby sme ju zostavili, stačí nájsť dva ľubovoľné body na grafe. Ak x = 0, potom y = - 3; ak x = 1,

  potom y = -1. Našli sme teda dva body (0; -3) a (1; -1). Priamka prechádzajúca týmito dvoma bodmi (graf funkcie y = 2x - 3) je znázornená rovnako

  výkres (pozri obr. 18).

  4) Podľa nákresu zistíme, že priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch A(1; -1) a B(-3; -9). To znamená, že táto rovnica má dva korene: 1 a - 3 - to sú úsečky bodov A a B.

  Odpoveď: 1,-3.

  
  

  Komentujte. Samozrejme, nemôžete slepo dôverovať grafickým ilustráciám. Možno sa nám len zdá, že bod A má súradnice (1; - 1) a ďalej
  Sú skutočne odlišné, napríklad (0,98; - 1,01)?

  Preto je vždy užitočné skontrolovať sa. Takže v uvažovanom príklade sa musíte uistiť, že bod A(1; -1) patrí do paraboly y = - x 2 (to je jednoduché - stačí dosadiť súradnice bodu A do vzorca y = - x 2 dostaneme - 1 = - 1 2 - správna číselná rovnosť) a priamku y = 2x - 3 (a to je jednoduché - stačí dosadiť súradnice bodu A do vzorca y = 2x - 3; dostaneme - 1 = 2-3 - správna číselná rovnosť). To isté treba urobiť pre
  body 8. Táto kontrola ukazuje, že v uvažovanej rovnici viedli grafické pozorovania k správnemu výsledku.

  Príklad 3 Riešiť sústavu rovníc

  

  Riešenie. Transformujme prvú rovnicu sústavy do tvaru y = - x 2. Grafom tejto funkcie je parabola znázornená na obr. 18.
  Transformujme druhú rovnicu sústavy do tvaru y = 2x - 3. Grafom tejto funkcie je priamka znázornená na obr. 18.

  Parabola a priamka sa pretínajú v bodoch A (1; -1) a B (- 3; - 9). Súradnice týchto bodov slúžia ako riešenia daného systému rovníc.

  Odpoveď: (1; -1), (-3; -9).

  Príklad 4. Daná funkcia y - f (x), kde

  

  Požadovaný:

  a) vypočítajte f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

  b) zostrojte graf funkcie;

  c) pomocou grafu vypíšte vlastnosti funkcie.

  Riešenie,

  a) Hodnota x = - 4 spĺňa podmienku - preto treba f(-4) vypočítať pomocou prvého riadku definície funkcie Máme f(x) = - 0,5x2, čo znamená
  f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
  Podobne nájdeme:

  f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
  f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

  Hodnota spĺňa podmienku, preto ju treba vypočítať pomocou druhého riadku špecifikácie funkcie. Máme f(x) = x + 1, čo znamená

  Hodnota x = 1,5 spĺňa podmienku 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
  f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
  Podobne dostaneme
  f(2)= 2 . 2 2 =8.
  Hodnota x = 3 nespĺňa žiadnu z troch podmienok pre špecifikáciu funkcie, a preto f(3) nemožno v tomto prípade vypočítať, bod x = 3 nepatrí do definičného oboru funkcie. Úloha výpočtu f(3) je nesprávna.

  b) Zostavíme graf „kus po kuse“. Najprv zostrojme parabolu y = -0,5x 2 a vyberieme jej časť na úsečke [-4, 0] (obr. 19). Potom zostrojíme priamku y = x + 1 u. Vyberieme jej časť na polovičnom intervale (0, 1] (obr. 20). Ďalej zostrojíme parabolu y = 2x2 a vyberieme jej časť na polovičnom intervale.

  (1, 2] (obr. 21).

  Nakoniec znázorníme všetky tri „kusy“ v jednom súradnicovom systéme; získame graf funkcie y = f(x) (obr. 22).

  c) Vymenujme vlastnosti funkcie alebo, ako sme sa dohodli, prečítajme si graf.

  

  1. Definičný obor funkcie je segment [—4, 2].

  2. y = 0 pri x = 0; y > 0 pri 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

  3. Funkcia podlieha diskontinuite pri x = 0.

  4. Funkcia sa zvýši na segmente [-4, 2].

  5. Funkcia je obmedzená zdola aj zhora.

  6. y max = -8 (dosiahnuté pri x = -4); y najviac6 . = 8 (dosiahnuté pri x = 2).

  Príklad 5. Je daná funkcia y = f(x), kde f(x) = 3x 2. Nájsť:

  f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
  f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

  Riešenie. Pretože f (x) = 3x 2, konzistentne dostávame:

  f(1) = 3 .1 2 = 3;
  f(a) = pre 2;
  f(a+1) = 3(a + 1)2;
  f(3x) = 3.(3x)2 = 27x2;
  f(x + a) = 3 (x + a)2;

  f(x 2) + b = 3 x 2 + b
  f(x 2) = 3 . (x 2) 2

  F(-2) = Z . (-2) 2 = 12
  f(2a) = З . (2a)2 = 12a 2

  F(x) = З . (-x)2 = 3x2

  F(-x)+5=3x2+5
  f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
  f(2x3) = 3 . (2x3)2

  Uvažujme funkciu y=k/y. Grafom tejto funkcie je priamka, ktorá sa v matematike nazýva hyperbola. Celkový pohľad na hyperbolu je znázornený na obrázku nižšie. (V grafe je znázornená funkcia y sa rovná k delená x, pre ktorú sa k rovná jednej.)

  Je vidieť, že graf pozostáva z dvoch častí. Tieto časti sa nazývajú vetvy hyperboly. Za zmienku tiež stojí, že každá vetva hyperboly sa približuje jedným zo smerov bližšie a bližšie k súradnicovým osám. Súradnicové osi sa v tomto prípade nazývajú asymptoty.

  Vo všeobecnosti sa akékoľvek priame čiary, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nedosahuje, nazývajú asymptoty. Hyperbola, podobne ako parabola, má osi symetrie. Pre hyperbolu znázornenú na obrázku vyššie je to priamka y=x.

  Teraz sa pozrime na dva bežné prípady hyperboly. Grafom funkcie y = k/x pre k ≠0 bude hyperbola, ktorej vetvy sa nachádzajú buď v prvom a treťom súradnicovom uhle, pre k>0, alebo v druhom a štvrtom súradnicovom uhle, vidlička<0.

  Základné vlastnosti funkcie y = k/x, pre k>0

  

  Graf funkcie y = k/x, pre k>0

  5. y>0 pri x>0; y6. Funkcia klesá na intervale (-∞;0) aj na intervale (0;+∞).

  10. Rozsah hodnôt funkcie sú dva otvorené intervaly (-∞;0) a (0;+∞).

  Základné vlastnosti funkcie y = k/x, pre k<0

  

  Graf funkcie y = k/x, pri k<0

  1. Bod (0;0) je stredom symetrie hyperboly.

  2. Súradnicové osi - asymptoty hyperboly.

  4. Definičný obor funkcie sú všetky x okrem x=0.

  5. y>0 pri x0.

  6. Funkcia sa zvyšuje na intervale (-∞;0) aj na intervale (0;+∞).

  7. Funkcia nie je obmedzená ani zdola, ani zhora.

  8. Funkcia nemá maximálnu ani minimálnu hodnotu.

  9. Funkcia je spojitá na intervale (-∞;0) a na intervale (0;+∞). Má medzeru pri x=0.

  V tomto článku sa pozrieme na lineárna funkcia, graf lineárnej funkcie a jej vlastnosti. A ako inak, na túto tému vyriešime niekoľko problémov.

  Lineárna funkcia nazývaná funkcia formulára

  Vo funkčnej rovnici sa číslo, ktorým vynásobíme, nazýva sklonový koeficient.

  Napríklad vo funkčnej rovnici ;

  v rovnici funkcie;

  v rovnici funkcie;

  vo funkčnej rovnici.

  Graf lineárnej funkcie je priamka.

  1. Na vykreslenie funkcie, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Ak ich chcete nájsť, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich do rovnice funkcie a použiť ich na výpočet zodpovedajúcich hodnôt y.

  Napríklad na vykreslenie funkčného grafu je vhodné vziať a , potom sa súradnice týchto bodov budú rovnať a .

  Získame body A(0;2) a B(3;3). Spojme ich a získame graf funkcie:

  
  

  2 . Vo funkčnej rovnici je koeficient zodpovedný za sklon funkčného grafu:

  Title="k>0">!}

  Koeficient je zodpovedný za posun grafu pozdĺž osi:

  Title="b>0">!}

  Obrázok nižšie zobrazuje grafy funkcií; ;

  
  

  Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách koeficient Nad nulou správny. Navyše, čím je hodnota vyššia, tým je priamka strmšia.

  Vo všetkých funkciách - a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0;3)

  Teraz sa pozrime na grafy funkcií; ;

  
  

  Tentoraz vo všetkých funkciách koeficient menej ako nula a všetky grafy funkcií sú naklonené vľavo.

  Všimnite si, že čím väčšie |k|, tým je priamka strmšia. Koeficient b je rovnaký, b=3 a grafy ako v predchádzajúcom prípade pretínajú os OY v bode (0;3)

  Pozrime sa na grafy funkcií; ;

  

  Teraz sú koeficienty vo všetkých funkčných rovniciach rovnaké. A dostali sme tri rovnobežné čiary.

  Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:

  Graf funkcie (b=3) pretína os OY v bode (0;3)

  Graf funkcie (b=0) pretína os OY v bode (0;0) - počiatok.

  Graf funkcie (b=-2) pretína os OY v bode (0;-2)

  Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, tak si vieme hneď predstaviť, ako vyzerá graf funkcie.

  Ak k<0 и b>0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

  

  Ak k>0 a b>0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

  

  Ak k>0 a b<0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

  

  Ak k<0 и b<0 , potom graf funkcie vyzerá takto:

  

  Ak k=0, potom sa funkcia zmení na funkciu a jej graf vyzerá takto:

  

  Súradnice všetkých bodov na grafe funkcie sú rovnaké

  Ak b = 0, potom graf funkcie prechádza počiatkom:

  

  Toto graf priamej úmernosti.

  3. Chcel by som osobitne poznamenať graf rovnice. Graf tejto rovnice je priamka rovnobežná s osou, ktorej všetky body majú úsečku.

  Napríklad graf rovnice vyzerá takto:

  Pozor! Rovnica nie je funkcia, pretože rôzne hodnoty argumentu zodpovedajú rovnakej hodnote funkcie, ktorá nezodpovedá.

  

  4 . Podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar:

  Graf funkcie rovnobežne s grafom funkcie, Ak

  5. Podmienka pre kolmosť dvoch priamok:

  Graf funkcie kolmo na graf funkcie, ak alebo

  6. Priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.

  S osou OY. Abscisa ľubovoľného bodu, ktorý patrí k osi OY, sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte v rovnici funkcie namiesto x nahradiť nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0; b).

  S osou OX: Ordináta ktoréhokoľvek bodu prislúchajúceho k osi OX sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte v rovnici funkcie namiesto y nahradiť nulu. Dostaneme 0=kx+b. Odtiaľ. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (;0):

  
  

  Pozrime sa na riešenie problémov.

  1. Zostrojte graf funkcie, ak je známe, že prechádza bodom A(-3;2) a je rovnobežná s priamkou y=-4x.

  Funkčná rovnica má dva neznáme parametre: k a b. Preto text úlohy musí obsahovať dve podmienky charakterizujúce graf funkcie.

  a) Z toho, že graf funkcie je rovnobežný s priamkou y=-4x, vyplýva, že k=-4. To znamená, že funkčná rovnica má tvar

  b) Musíme len nájsť b. Je známe, že graf funkcie prechádza bodom A(-3;2). Ak bod patrí do grafu funkcie, potom pri dosadení jeho súradníc do rovnice funkcie dostaneme správnu rovnosť:

  teda b = -10

  Preto musíme funkciu vykresliť

  Poznáme bod A(-3;2), zoberme si bod B(0;-10)

  Umiestnime tieto body do súradnicovej roviny a spojíme ich priamkou:

  

  2. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1;1); B(2;4).

  Ak teda priamka prechádza bodmi s danými súradnicami, súradnice bodov vyhovujú rovnici priamky. To znamená, že ak do rovnice priamky dosadíme súradnice bodov, dostaneme správnu rovnosť.

  Dosadíme súradnice každého bodu do rovnice a získame sústavu lineárnych rovníc.

  Odčítajte prvú od druhej rovnice systému a získajte . Dosadíme hodnotu k do prvej rovnice sústavy a dostaneme b=-2.

  Takže rovnica priamky.

  3. Graf rovnice

  Ak chcete zistiť, pri akých hodnotách neznáma sa súčin niekoľkých faktorov rovná nule, musíte každý faktor prirovnať k nule a vziať do úvahy každý multiplikátor.

  Táto rovnica nemá žiadne obmedzenia na ODZ. Rozložme druhú zátvorku na faktor a každý faktor nastavíme na nulu. Získame súbor rovníc:

  Zostrojme grafy všetkých rovníc množiny v jednej súradnicovej rovine. Toto je graf rovnice :

  
  4. Zostrojte graf funkcie, ak je kolmý na priamku a prechádza bodom M(-1;2)

  Nebudeme zostavovať graf, nájdeme len rovnicu priamky.

  a) Keďže graf funkcie, ak je kolmý na priamku, teda. To znamená, že funkčná rovnica má tvar

  b) Vieme, že graf funkcie prechádza bodom M(-1;2). Dosadíme jej súradnice do rovnice funkcie. Dostaneme:

  Odtiaľ.

  Naša funkcia teda vyzerá takto: .

  5. Graf funkcie

  Zjednodušme výraz na pravej strane rovnice funkcie.

  Dôležité! Pred zjednodušením výrazu nájdime jeho ODZ.

  Menovateľ zlomku nemôže byť nula, takže title="x1">, title="x-1">.!}

  

  Potom má naša funkcia tvar:

  Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

  To znamená, že musíme vytvoriť graf funkcie a vyrezať na ňom dva body: s x=1 a x=-1: