Ecuații cu module, metode de soluții. Partea 1.

Înainte de a trece la un studiu direct al tehnicilor de rezolvare a unor astfel de ecuații, este important să înțelegem esența modulului, sensul său geometric. În înțelegerea definiției modulului și a semnificației sale geometrice sunt stabilite principalele metode de rezolvare a unor astfel de ecuații. Așa-numita metodă a intervalelor la deschiderea parantezelor modulare este atât de eficientă încât prin utilizarea acesteia este posibil să se rezolve absolut orice ecuație sau inegalitate cu module. În această parte, vom studia în detaliu două metode standard: metoda intervalelor și metoda înlocuirii unei ecuații cu o populație.

Cu toate acestea, după cum vom vedea, aceste metode sunt întotdeauna eficiente, dar nu întotdeauna convenabile și pot duce la calcule lungi și chiar nu foarte convenabile, care necesită în mod natural mai mult timp pentru a le rezolva. Prin urmare, este important să cunoaștem acele metode care simplifică foarte mult rezolvarea anumitor structuri de ecuații. Punerea la pătrat a ambelor părți ale unei ecuații, metoda introducerii unei noi variabile, metoda grafică, rezolvarea ecuațiilor care conțin modulul sub semnul modulului. Vom acoperi aceste metode în secțiunea următoare.

Definirea modulului unui număr. Sensul geometric al modulului.

În primul rând, să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a modulului:

număr modulo a (|a|) apelați distanța pe linia numerică de la origine (punctul 0) până la punct A(a).

Pe baza acestei definiții, luați în considerare câteva exemple:

|7| este distanța de la 0 la punctul 7, desigur că este 7. → | 7 |=7

|-5| este distanta de la 0 la punct -5 si este egal cu: 5. → |-5| = 5

Înțelegem cu toții că distanța nu poate fi negativă! Prin urmare |x| ≥ 0 întotdeauna!

Rezolvați ecuația: |x |=4

Această ecuație poate fi citită astfel: distanța de la punctul 0 la punctul x este 4. Da, se dovedește că de la 0 ne putem deplasa atât la stânga, cât și la dreapta, ceea ce înseamnă deplasarea la stânga cu o distanță egală cu 4 vom ajunge la punctul: -4, iar deplasându-ne spre dreapta vom ajunge la punctul: 4. Într-adevăr, |-4 |=4 și |4 |=4.

Prin urmare, răspunsul este x=±4.

Dacă studiezi cu atenție ecuația anterioară, vei observa că: distanța la dreapta de-a lungul dreptei numerice de la 0 la punct este egală cu punctul însuși, iar distanța la stânga de la 0 la număr este egală cu opusul număr! Dându-și seama că la dreapta lui 0 sunt numere pozitive, iar la stânga lui 0 sunt negative, formulăm definițiile modulului unui număr: modulul (valoarea absolută) a unui număr X(|x|) se numește numărul însuși X, dacă x ≥0, iar numărul este X dacă x<0.

Aici trebuie să găsim un set de puncte pe linia numerică, distanța de la 0 până la care va fi mai mică de 3, să ne imaginăm o dreaptă numerică, punctul 0 pe ea, mergeți la stânga și numărați unu (-1), doi (- 2) și trei (-3), opriți. Vor merge și alte puncte care se află mai departe de 3 sau distanța la care de la 0 este mai mare de 3, acum mergem la dreapta: unu, doi, trei, opriți din nou. Acum selectăm toate punctele noastre și obținem intervalul x: (-3; 3).

Este important să vedeți acest lucru clar, dacă tot nu funcționează, desenați pe hârtie și vedeți că această ilustrație este complet clară pentru dvs., nu fi leneș și încercați să vedeți în mintea voastră soluțiile pentru următoarele sarcini:

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

| x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x|>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2x-x²-3|=?

|x²+2|=? |х²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

Fiți atenți la sarcinile ciudate din a doua coloană? Într-adevăr, distanța nu poate fi negativă, prin urmare: |x|=-5- nu are soluții, desigur, nu poate fi mai mică de 0, deci: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 sunt toate numere.

După ce înveți cum să vezi rapid desene cu soluții, citește mai departe.

Instruire

Dacă modulul este reprezentat ca o funcție continuă, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulul este zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este modulul său. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele opusului sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă ordinea termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Argumentul ridicat la putere se află simultan sub semnul rădăcinii de același ordin - se rezolvă cu: √a² = |a| = ±a.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| >

Modulul lui zero este egal cu zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este egal cu el însuși. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele numerelor opuse sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr întreg pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Modulul nu poate fi negativ, deci orice număr negativ este convertit într-unul pozitiv: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă modificarea ordinii termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| > 0, atunci rezultatul este 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Ca element necunoscut, poate fi dat și un anumit număr, care ar trebui luat în considerare, deoarece. va afecta semnul expresiei.

Termenul (modul) în traducere literală din latină înseamnă „măsură”. Acest concept a fost introdus în matematică de omul de știință englez R. Cotes. Și matematicianul german K. Weierstrass a introdus semnul modulului - simbol prin care acest concept este notat la scriere.

In contact cu

Pentru prima dată acest concept este studiat la matematică în cadrul programului clasei a VI-a de liceu. Conform unei definiții, modulul este valoarea absolută a unui număr real. Cu alte cuvinte, pentru a afla modulul unui număr real, trebuie să renunți la semnul acestuia.

Valoarea grafică absolută A notat ca |a|.

Principala trăsătură distinctivă a acestui concept este că este întotdeauna o valoare nenegativă.

Numerele care diferă între ele doar prin semn se numesc numere opuse. Dacă valoarea este pozitivă, atunci opusul său este negativ, iar zero este propriul său opus.

valoare geometrică

Dacă luăm în considerare conceptul de modul din punctul de vedere al geometriei, atunci acesta va desemna distanța care este măsurată în segmente unitare de la origine la un punct dat. Această definiție dezvăluie pe deplin sensul geometric al termenului studiat.

Grafic, aceasta poate fi exprimată astfel: |a| = O.A.

Proprietăți de valoare absolută

Mai jos vom lua în considerare toate proprietățile matematice ale acestui concept și modalitățile de scriere sub formă de expresii literale:

Caracteristici ale rezolvării ecuațiilor cu un modul

Dacă vorbim despre rezolvarea ecuațiilor și inegalităților matematice care conțin modul, atunci trebuie să vă amintiți că, pentru a le rezolva, va trebui să deschideți acest semn.

De exemplu, dacă semnul valorii absolute conține o expresie matematică, atunci înainte de a deschide modulul, este necesar să se țină cont de definițiile matematice curente.

|A + 5| = A + 5 dacă A este mai mare sau egal cu zero.

5-A dacă A este mai mic decât zero.

În unele cazuri, semnul poate fi extins fără ambiguitate pentru orice valoare a variabilei.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să construim o linie de coordonate, pe care marchem toate valorile numerice, a căror valoare absolută va fi 5.

Mai întâi trebuie să desenați o linie de coordonate, să desemnați originea coordonatelor pe ea și să setați dimensiunea unui singur segment. În plus, linia trebuie să aibă o direcție. Acum pe această linie dreaptă este necesar să se aplice marcaje care vor fi egale cu valoarea unui singur segment.

Astfel, putem vedea că pe această linie de coordonate vor exista două puncte de interes pentru noi cu valorile 5 și -5.

În acest articol, vom analiza în detaliu valoarea absolută a unui număr. Vom da diverse definiții ale modulului unui număr, vom introduce notația și vom oferi ilustrații grafice. În acest caz, luăm în considerare diverse exemple de găsire a modulului unui număr prin definiție. După aceea, enumerăm și justificăm principalele proprietăți ale modulului. La sfârșitul articolului, vom vorbi despre modul în care este determinat și găsit modulul unui număr complex.

Navigare în pagină.

Modulul numărului - definiție, notație și exemple

Mai întâi vă prezentăm desemnarea modulului. Modulul numărului a se va scrie ca , adică în stânga și în dreapta numărului vom pune linii verticale care formează semnul modulului. Să dăm câteva exemple. De exemplu, modulo -7 poate fi scris ca ; modulul 4.125 este scris ca , iar modulul este scris ca .

Următoarea definiție a modulului se referă la, și prin urmare, la, și la numere întregi și la numere raționale și iraționale, în ceea ce privește părțile constitutive ale mulțimii numerelor reale. Vom vorbi despre modulul unui număr complex în.

Definiție.

Modulul de a este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul −a, opusul numărului a, dacă a este un număr negativ, fie 0, dacă a=0 .

Definiția vocală a modulului unui număr este adesea scrisă în forma următoare , această notație înseamnă că dacă a>0 , dacă a=0 și dacă a<0 .

Înregistrarea poate fi reprezentată într-o formă mai compactă . Această notație înseamnă că dacă (a este mai mare sau egal cu 0) și dacă a<0 .

Există și un record . Aici, cazul când a=0 ar trebui explicat separat. În acest caz, avem , dar −0=0 , deoarece zero este considerat un număr care este opus lui însuși.

Să aducem exemple de găsire a modulului unui număr cu o definitie data. De exemplu, să găsim module cu numerele 15 și . Să începem cu găsirea. Deoarece numărul 15 este pozitiv, modulul său este, prin definiție, egal cu acest număr însuși, adică . Care este modulul unui număr? Deoarece este un număr negativ, atunci modulul său este egal cu numărul opus numărului, adică numărul . Prin urmare, .

În încheierea acestui paragraf, dăm o concluzie, care este foarte convenabilă de aplicat în practică atunci când găsim modulul unui număr. Din definirea modulului unui număr rezultă că modulul unui număr este egal cu numărul de sub semnul modulului, indiferent de semnul acestuia, iar din exemplele discutate mai sus, acest lucru este foarte clar vizibil. Declarația vocală explică de ce se numește și modulul unui număr valoarea absolută a numărului. Deci modulul unui număr și valoarea absolută a unui număr sunt unul și același.

Modulul unui număr ca distanță

Geometric, modulul unui număr poate fi interpretat ca distanţă. Să aducem determinarea modulului unui număr în termeni de distanță.

Definiție.

Modulul de a este distanța de la origine pe linia de coordonate până la punctul corespunzător numărului a.

Această definiție este în concordanță cu definiția modulului unui număr dată în primul paragraf. Să explicăm acest punct. Distanța de la origine până la punctul corespunzător unui număr pozitiv este egală cu acest număr. Zero corespunde punctului de referință, prin urmare distanța de la punctul de referință la punctul cu coordonata 0 este egală cu zero (nici un singur segment și niciun segment care constituie o fracțiune dintr-un singur segment nu trebuie să fie lăsat deoparte pentru a ajunge din punctul O la un punct cu coordonata 0). Distanța de la origine la un punct cu coordonată negativă este egală cu numărul opus coordonatei punctului dat, deoarece este egală cu distanța de la origine până la punctul a cărui coordonată este numărul opus.

De exemplu, modulul numărului 9 este 9, deoarece distanța de la origine până la punctul cu coordonata 9 este nouă. Să luăm un alt exemplu. Punctul cu coordonata −3,25 se află la o distanță de 3,25 de punctul O, deci .

Definiția sonoră a modulului unui număr este un caz special de definire a modulului diferenței a două numere.

Definiție.

Modulul de diferență a două numere a și b este egală cu distanța dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonatele a și b .

Adică, dacă sunt date puncte de pe linia de coordonate A(a) și B(b), atunci distanța de la punctul A la punctul B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b. Dacă luăm punctul O (punctul de referință) drept punct B, atunci vom obține definiția modulului numărului dat la începutul acestui paragraf.

Determinarea modulului unui număr prin rădăcina pătrată aritmetică

Uneori găsit determinarea modulului prin rădăcina pătrată aritmetică.

De exemplu, să calculăm modulele numerelor -30 și pe baza acestei definiții. Avem . În mod similar, calculăm modulul de două treimi: .

Definiția modulului unui număr în termeni de rădăcină pătrată aritmetică este, de asemenea, în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Să o arătăm. Fie a un număr pozitiv, iar −a negativ. Apoi Și , dacă a=0 , atunci .

Proprietăți modul

Modulul are o serie de rezultate caracteristice - proprietățile modulului. Acum vom prezenta principalele și cele mai frecvent utilizate dintre ele. La fundamentarea acestor proprietăți, ne vom baza pe definiția modulului unui număr în termeni de distanță.

Să începem cu cea mai evidentă proprietate a modulului − modulul unui număr nu poate fi un număr negativ. În formă literală, această proprietate are forma pentru orice număr a . Această proprietate este foarte ușor de justificat: modulul unui număr este distanța, iar distanța nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Să trecem la următoarea proprietate a modulului. Modulul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă acest număr este zero. Modulul lui zero este zero prin definiție. Zero corespunde originii, niciun alt punct de pe linia de coordonate nu corespunde cu zero, deoarece fiecare număr real este asociat cu un singur punct de pe linia de coordonate. Din același motiv, orice număr altul decât zero corespunde unui alt punct decât originea. Și distanța de la origine până la orice alt punct decât punctul O nu este egală cu zero, deoarece distanța dintre două puncte este egală cu zero dacă și numai dacă aceste puncte coincid. Raționamentul de mai sus demonstrează că numai modulul lui zero este egal cu zero.

Daţi-i drumul. Numerele opuse au module egale, adică pentru orice număr a . Într-adevăr, două puncte de pe linia de coordonate, ale căror coordonate sunt numere opuse, sunt la aceeași distanță de origine, ceea ce înseamnă că modulele numerelor opuse sunt egale.

Următoarea proprietate a modulului este: modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere, acesta este, . Prin definiție, modulul produsului numerelor a și b este fie a b dacă , fie −(a b) dacă . Din regulile înmulțirii numerelor reale rezultă că produsul modulelor numerelor a și b este egal fie cu a b , , fie cu −(a b) , dacă , ceea ce demonstrează proprietatea considerată.

Modulul coeficientului lui a împărțit la b este egal cu câtul împărțirii modulului lui a la modulul lui b, acesta este, . Să justificăm această proprietate a modulului. Deoarece coeficientul este egal cu produsul, atunci . În virtutea proprietății anterioare, avem . Rămâne doar să folosim egalitatea , care este valabilă în virtutea definiției modulului numărului.

Următoarea proprietate a modulului este scrisă ca o inegalitate: , a , b și c sunt numere reale arbitrare. Inegalitatea scrisă nu este altceva decât inegalitatea triunghiulară. Pentru a clarifica acest lucru, să luăm punctele A(a), B(b) , C(c) de pe dreapta de coordonate și să considerăm triunghiul degenerat ABC, ale cărui vârfuri se află pe aceeași dreaptă. Prin definiție, modulul diferenței este egal cu lungimea segmentului AB, - lungimea segmentului AC și - lungimea segmentului CB. Deoarece lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi, inegalitatea , prin urmare, este valabilă și inegalitatea.

Inegalitatea tocmai dovedită este mult mai comună în formă . Inegalitatea scrisă este de obicei considerată ca o proprietate separată a modulului cu formularea: „ Modulul sumei a două numere nu depășește suma modulelor acestor numere". Dar inegalitatea rezultă direct din inegalitatea , dacă punem −b în loc de b în ea și luăm c=0 .

Modulul numărului complex

Să dăm determinarea modulului unui număr complex. Să ni se dea număr complex, scris sub formă algebrică , unde x și y sunt niște numere reale, reprezentând, respectiv, părțile reale și imaginare ale unui număr complex dat z, și este o unitate imaginară.