Se știe că funcția y= f(x) poate fi specificată implicit folosind o ecuație care conectează variabilele x și y:

F(x,y)=0.

Să formulăm condițiile în care ecuația F(x,y)=0 definește una dintre variabile în funcție de cealaltă. Următoarele sunt adevărate

Teorema (existența unei funcții implicite) Fie funcția F(x,y)=0 indeplineste urmatoarele conditii:

1) există un punct P˳(x˳,y˳) , în care F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) funcțiile F’x (x ,y)și F'y (x,y) continuă într-o vecinătate a punctului

P 0 (X 0 ,y 0).

Apoi există o funcție unică y =f (x), definită pe un interval care conține un punct și care satisface ecuația F(x,y)=0 pentru orice x din acest interval, astfel încât f(x 0)=y0

Dacă y are o funcție implicită de la X, adică se determină din ecuația F ( X, la) = 0, atunci, presupunând că la există o funcție de la X, obținem identitatea F (X, la(X)) = 0, care poate fi considerată ca o funcție constantă. Diferențiând această funcție constantă, obținem:

Dacă în acest raport, atunci puteți găsi.

Diferențiând relația (1) din nou, obținem:

Relația (2) poate fi considerată ca o ecuație pentru determinarea derivatei a doua. Diferențiând relația (2) din nou, obținem o ecuație pentru determinarea derivatei a treia etc.

Derivată direcțională. Vector de direcție pentru cazul a două și trei variabile (cosinus de direcție). Creșterea unei funcții într-o direcție dată. Definiția derivatei direcționale, exprimarea ei prin derivate parțiale. Gradient de funcție. Poziția relativă a gradientului și a liniei de nivel la un punct dat pentru o funcție a două variabile.

Derivata z'I în direcţia I a unei funcţii a două variabile z=f(x;y) se numeşte limita raportului dintre incrementul funcţiei în această direcţie la mărimea deplasării ∆I pe măsură ce aceasta din urmă tinde la 0: z'i=lim∆iz /∆I

Derivata z’ I caracterizează viteza de schimbare a funcției în direcția i.

Dacă funcția z=f(x;y) are derivate parțiale continue în punctul М(x;y), atunci în acest punct există o derivată în orice direcție care emană din punctul М(x;y), care se calculează prin formula z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, unde cosα, cosβ sunt axele direcționale ale vectorului.

Gradientul funcției z=f(x,y) este un vector cu coordonatele f’x, f’y. Notat cu z=(f’x,f’y) sau .

Derivata direcțională este egală cu produsul scalar al gradientului și vectorul unitar care definește direcția I.

Vectorul z în fiecare punct este direcționat normal față de linia de nivel care trece prin acest punct în direcția funcției de creștere.

Derivatele parțiale f’x și f’y sunt derivate ale funcției z=f(x,y) de-a lungul a două direcții parțiale ale axelor Ox și Oy.

Fie z=f(x,y) o funcție diferențiabilă într-un domeniu D, M(x,y) . Fie I o direcție (vector cu originea în punctul M) și =(cosα;cosβ).

Când se deplasează într-o direcție dată I punctul M(x,y) către punctul M1(x+∆x;y+∆y), funcția z va primi un increment ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) numită incrementul funcției z într-o direcție dată I.

Dacă MM1=∆I atunci ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, deci, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Foarte des, la rezolvarea unor probleme practice (de exemplu, în geodezie superioară sau fotogrammetrie analitică), apar funcții complexe ale mai multor variabile, adică argumente x, y, z o singură funcție f(x,y,z) ) sunt ele însele funcții ale unor noi variabile U, V, W ).

Acest lucru se întâmplă, de exemplu, când treceți dintr-un sistem de coordonate fix Oxyz în sistemul mobil O 0 UVW si inapoi. În același timp, este important să cunoaștem toate derivatele parțiale cu privire la variabilele „fixe” - „vechi” și „în mișcare” - „noi”, deoarece aceste derivate parțiale caracterizează de obicei poziția unui obiect în aceste sisteme de coordonate. și, în special, afectează corespondența fotografiilor aeriene cu un obiect real. În astfel de cazuri, se aplică următoarele formule:

Adică este dată o funcție complexă T trei variabile „noi”. U, V, W prin trei variabile „vechi”. x, y, z, Apoi:

Cometariu. Pot exista variații în numărul de variabile. De exemplu: dacă

În special, dacă z = f(xy), y = y(x) , atunci obținem așa-numita formulă „derivată totală”:

Aceeași formulă pentru „derivată totală” în cazul:

va lua forma:

Sunt posibile și alte variante ale formulelor (1.27) - (1.32).

Notă: formula „derivată totală” este utilizată la cursul de fizică, secțiunea „Hidrodinamică” la derivarea sistemului fundamental de ecuații ale mișcării fluidului.

Exemplul 1.10. Dat:

Conform (1.31):

§7 Derivate parţiale ale unei funcţii date implicit a mai multor variabile

După cum se știe, o funcție specificată implicit a unei variabile este definită astfel: funcția variabilei independente X se numeste implicit daca este data de o ecuatie care nu se rezolva fata de y :

Exemplul 1.11.

Ecuația

specifică implicit două funcții:

Și ecuația

nu specifica nicio functie.

Teorema 1.2 (existența unei funcții implicite).

Lasă funcția z =f(x,y) și derivatele sale parțiale f" X Și f" y definită şi continuă într-un cartier U M0 puncte M 0 (X 0 y 0 ) . In afara de asta, f(x 0 ,y 0 )=0 Și f"(x 0 ,y 0 )≠0 , atunci ecuația (1.33) definește în vecinătate U M0 funcţie implicită y=y(x) , continuu si diferentiabil intr-un anumit interval D centrat într-un punct X 0 , și y(x 0 )=y 0 .

Nicio dovadă.

Din teorema 1.2 rezultă că pe acest interval D :

adică există o identitate în

unde derivata „total” se găsește conform (1.31)

Adică, (1.35) oferă o formulă pentru găsirea derivatei unei funcții date implicit a unei variabile X .

O funcție implicită a două sau mai multe variabile este definită în mod similar.

De exemplu, dacă într-o anumită zonă V spaţiu Oxyz este valabilă următoarea ecuație:

apoi in anumite conditii asupra functiei F defineşte implicit o funcţie

Mai mult, prin analogie cu (1.35), derivatele sale parțiale se găsesc după cum urmează:

Exemplul 1.12. Presupunând că ecuația

defineste implicit o functie

găsi z" X , z" y .

prin urmare, conform (1.37), obținem răspunsul.

§8 Derivate parțiale de ordinul doi și superior

Definiție 1.9 Derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții z=z(x,y) sunt definite după cum urmează:

Erau patru. Mai mult, în anumite condiții asupra funcțiilor z(x,y) egalitatea este valabilă:

Cometariu. Derivatele parțiale de ordinul doi pot fi de asemenea notate după cum urmează:

Definiția 1.10 Derivatele parțiale de ordinul trei sunt opt ​​(2 3).

Vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor specificate implicit, adică specificate prin anumite ecuații care leagă variabile XȘi y. Exemple de funcții specificate implicit:

,

Derivatele funcțiilor specificate implicit, sau derivatele funcțiilor implicite, se găsesc destul de simplu. Acum să ne uităm la regula și exemplul corespunzătoare și apoi să aflăm de ce este necesar acest lucru în general.

Pentru a găsi derivata unei funcții specificată implicit, trebuie să diferențiați ambele părți ale ecuației în raport cu x. Acei termeni în care este prezent doar X se vor transforma în derivata obișnuită a funcției din X. Și termenii cu jocul trebuie diferențiați folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe, deoarece jocul este o funcție a lui X. Pentru a spune simplu, derivata rezultată a termenului cu x ar trebui să rezulte: derivata funcției din y înmulțită cu derivata din y. De exemplu, derivata unui termen va fi scrisă ca , derivata unui termen va fi scrisă ca . În continuare, din toate acestea trebuie să exprimați această „lovitură de joc” și se va obține derivata dorită a funcției specificate implicit. Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplul 1.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x, presupunând că i este o funcție a lui x:

De aici obținem derivata care este necesară în sarcină:

Acum ceva despre proprietatea ambiguă a funcțiilor specificate implicit și de ce sunt necesare reguli speciale pentru diferențierea lor. În unele cazuri, vă puteți asigura că înlocuirea expresiei în termeni de x într-o ecuație dată (vezi exemplele de mai sus) în loc de joc, duce la faptul că această ecuație se transformă într-o identitate. Asa de. Ecuația de mai sus definește implicit următoarele funcții:

După înlocuirea expresiei jocului la pătrat prin x în ecuația originală, obținem identitatea:

.

Expresiile pe care le-am substituit au fost obținute prin rezolvarea ecuației pentru joc.

Dacă ar fi să diferențiem funcția explicită corespunzătoare

atunci vom obține răspunsul ca în exemplul 1 - de la o funcție specificată implicit:

Dar nu orice funcție specificată implicit poate fi reprezentată în formă y = f(X) . Deci, de exemplu, funcțiile specificate implicit

nu sunt exprimate prin funcții elementare, adică aceste ecuații nu pot fi rezolvate în raport cu jocul. Prin urmare, există o regulă de diferențiere a unei funcții specificată implicit, pe care am studiat-o deja și o vom aplica în continuare în mod consecvent în alte exemple.

Exemplul 2. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Exprimăm primul și - la ieșire - derivata funcției specificate implicit:

Exemplul 3. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x:

.

Exemplul 4. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x:

.

Exprimăm și obținem derivata:

.

Exemplul 5. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

Soluţie. Mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă și lăsăm zero în dreapta. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x.

Lasă funcția continuă la din X este specificat implicit F(X, y) = 0, unde F(X, y), F" x(X, y), F „y(X, y) sunt funcții continue într-un domeniu D care conține punctul ( X, la), ale căror coordonate satisfac relaţiile F (X, y) = 0, F „y(X, y) ≠ 0. Atunci funcția la din X are un derivat

Dovada (vezi poza.). Lăsa F „y(X, y) > 0. Deoarece derivata F „y(X, y) este continuă, atunci putem construi un pătrat [ X 0 - δ" , X 0 + δ" , la 0 - δ" , la 0 + δ" ], astfel încât pentru toate punctele sale există F „y (X, y) > 0, adică F(X, y) este monoton în la la fix X. Astfel, toate condițiile teoremei de existență pentru funcția implicită sunt îndeplinite la = f (X), astfel încât F(X, f (X)) º 0.
Să setăm incrementul Δ X. Sens nou X + Δ X va corespunde la + Δ la = f (X + Δ X), astfel încât aceste valori să satisfacă ecuația F (X + Δ X, y + Δ y) = 0. Este evident că

Δ F = F(X + Δ X, y + Δ y) − F(X, y) = 0

iar în acest caz

.

Din (7) avem

.

Deoarece funcţia implicită la = f (X) va fi continuă, apoi Δ la→ 0 la Δ X→ 0, ceea ce înseamnă α → 0 și β → 0. De unde avem în sfârșit

.

Q.E.D.

Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior.

Fie derivatele parțiale ale funcției z = f (X, y), definite într-o vecinătate a unui punct M, există în fiecare punct din această vecinătate. În acest caz, derivatele parțiale sunt funcții a două variabile XȘi la, definită în vecinătatea indicată a punctului M. Să le numim derivate parțiale de ordinul întâi. La rândul lor, derivate parțiale față de variabile XȘi la a funcțiilor din punctul M, dacă există, se numesc derivate parțiale de ordinul doi ale funcției f (M) în acest moment și sunt indicate prin următoarele simboluri

Derivatele parțiale de ordinul doi de forma , , se numesc derivate parțiale mixte.

Diferențiale de ordin superior

Vom lua în considerare dxîn expresia pentru dy ca factor constant.Apoi functia dy reprezintă o funcție numai cu argumente Xși diferența sa la punct X are forma (când se consideră diferența de la dy vom folosi notații noi pentru diferențiale):

δ ( d y) = δ [ f " (X) d x] = [f " (X) d x] " δ X = f "" (X) d(X) δ X .

Diferenţial δ ( d y) din diferenţial dy la punct X, luată la δ x = dx, se numește diferența de ordinul doi a funcției f (X) la un moment dat X si este desemnat d 2 y, adică

d 2 y = f ""(X)·( dx) 2 .

La rândul său, diferența δ( d 2 y) din diferenţial d 2 y, luată la δ x = dx, se numește diferența de ordinul trei a funcției f(X) și se notează d 3 y etc. Diferenţial δ( d n-1 y) din diferenţial d n -1 f, luată la δ X = dx, se numește diferențial n- ordinul al-lea (sau n- m funcţii diferenţiale f(X) și se notează d n y.
Să demonstrăm că pt n-a diferenţială a funcţiei este valabilă următoarea formulă:

d n y = y (n) ·( dx)n, n = 1, 2, … (3.1)

În demonstrație vom folosi metoda inducției matematice. Pentru n= 1 și n= 2 formula (3.1) este dovedită. Să fie adevărat pentru diferențele de ordine n - 1

d n −1 y=y( n−1) ·( dx)n −1 ,

și funcția y (n-1) (X) este diferențiabilă la un moment dat X. Apoi

Presupunând δ x = dx, primim

Q.E.D.
Pentru oricine n egalitatea este adevărată

sau

acestea. n- i este derivata functiei y= f (X) la un moment dat X egal cu raportul n- diferența a acestei funcție la punctul X La n- gradul al diferenţialului argumentului.

Derivată direcțională a funcțiilor mai multor variabile.

Sunt luate în considerare funcția și vectorul unitar. Direct l prin t. M 0 cu vector de ghidare

Definiția 1. Derivată a unei funcții u = u(X, y, z) după variabilă t numit derivată în direcția l

De vreme ce pe această linie dreaptă u este o funcție complexă a unei variabile, apoi derivata în raport cu t egală cu derivata totală în raport cu t(§ 12).

Este notat și egal cu

Formula pentru derivata unei funcții specificată implicit. Dovada și exemple de aplicare a acestei formule. Exemple de calculare a derivatelor de ordinul I, II și III.

Conţinut

Derivată de ordinul întâi

Fie specificată implicit funcția folosind ecuația
(1) .
Și lasă această ecuație, pentru o anumită valoare, să aibă o soluție unică. Fie funcția o funcție diferențiabilă în punctul , și
.
Apoi, la această valoare, există o derivată, care este determinată de formula:
(2) .

Dovada

Pentru a o demonstra, considerați funcția ca o funcție complexă a variabilei:
.
Să aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe și să găsim derivata față de o variabilă din partea stângă și dreaptă a ecuației
(3) :
.
Deoarece derivata unei constante este zero și , atunci
(4) ;
.

Formula este dovedită.

Derivate de ordin superior

Să rescriem ecuația (4) folosind diferite notații:
(4) .
În același timp, și sunt funcții complexe ale variabilei:
;
.
Dependența este determinată de ecuația (1):
(1) .

Găsim derivata față de o variabilă din partea stângă și dreaptă a ecuației (4).
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:
;
.
Conform formulei derivate ale produsului:

.
Folosind formula sumei derivate:


.

Deoarece derivata părții drepte a ecuației (4) este egală cu zero, atunci
(5) .
Înlocuind aici derivata, obținem valoarea derivatei de ordinul doi în formă implicită.

Diferențiând ecuația (5) într-un mod similar, obținem o ecuație care conține o derivată de ordinul trei:
.
Înlocuind aici valorile găsite ale derivatelor de ordinul întâi și al doilea, găsim valoarea derivatei de ordinul trei.

Continuând diferențierea, se poate găsi o derivată de orice ordin.

Exemple

Exemplul 1

Găsiți derivata de ordinul întâi a funcției dată implicit de ecuația:
(P1) .

Rezolvare prin formula 2

Găsim derivata folosind formula (2):
(2) .

Să mutăm toate variabilele în partea stângă, astfel încât ecuația să ia forma .
.
De aici.

Găsim derivata față de , considerând-o constantă.
;
;
;
.

Găsim derivata față de variabilă, considerând constanta variabilă.
;
;
;
.

Folosind formula (2) găsim:
.

Putem simplifica rezultatul dacă observăm că conform ecuației inițiale (A.1), . Să înlocuim:
.
Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:
.

Soluție a doua cale

Să rezolvăm acest exemplu în al doilea mod. Pentru a face acest lucru, vom găsi derivata față de variabila laturilor stângi și drepte ale ecuației inițiale (A1).

Aplicam:
.
Aplicam formula fractiei derivate:
;
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
.
Să diferențiem ecuația inițială (A1).
(P1) ;
;
.
Înmulțim cu și grupăm termenii.
;
.

Să înlocuim (din ecuația (A1)):
.
Înmulțit cu:
.

Exemplul 2

Găsiți derivata de ordinul doi a funcției dată implicit folosind ecuația:
(A2.1) .

Diferențiam ecuația inițială față de variabilă, considerând că este o funcție de:
;
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
.

Să diferențiem ecuația inițială (A2.1):
;
.
Din ecuația inițială (A2.1) rezultă că . Să înlocuim:
.
Deschideți parantezele și grupați membrii:
;
(A2.2) .
Găsim derivata de ordinul întâi:
(A2.3) .

Pentru a găsi derivata de ordinul doi, diferențiem ecuația (A2.2).
;
;
;
.
Să substituim expresia derivatei de ordinul întâi (A2.3):
.
Înmulțit cu:

;
.
De aici găsim derivata de ordinul doi.

Exemplul 3

Găsiți derivata de ordinul trei a funcției dată implicit folosind ecuația:
(A3.1) .

Diferențiam ecuația inițială față de variabilă, presupunând că este o funcție a .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Să diferențiem ecuația (A3.2) în raport cu variabila .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Să diferențiem ecuația (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Din ecuațiile (A3.2), (A3.3) și (A3.4) găsim valorile derivatelor la .
;
;
.