Funcție ciudată. Proprietățile funcției. Schema generală de reprezentare a funcțiilor

Zerourile funcției
Zero al funcției este valoarea X, la care funcția devine 0, adică f(x)=0.

Zerourile sunt punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa Oh.

Paritatea funcției
O funcție este apelată chiar dacă pentru oricare X din domeniul definiției, egalitatea f(-x) = f(x)

O funcție pară este simetrică față de axă OU

Funcție ciudată
O funcție se numește impar dacă pentru oricare X din domeniul definiției se satisface egalitatea f(-x) = -f(x).

O funcție impară este simetrică față de origine.
O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție generală.

Funcție de creștere
Funcția f(x) se numește crescător dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției, i.e. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funcția descrescătoare
Funcția f(x) se numește descrescătoare dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției, adică. x 2 >x 1 → f(x 2)
Se numesc intervalele la care funcția fie doar scade, fie doar crește intervale de monotonie. Funcția f(x) are 3 intervale de monotonitate:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Găsiți intervale de monotonitate folosind serviciul Intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare

Maxim local
Punct x 0 se numește punct maxim local dacă există X dintr-o vecinătate a unui punct x 0 următoarea inegalitate este valabilă: f(x 0) > f(x)

Minimum local
Punct x 0 se numește un punct minim local dacă există X dintr-o vecinătate a unui punct x 0 următoarea inegalitate este valabilă: f(x 0)< f(x).

Punctele maxime locale și punctele minime locale sunt numite puncte extreme locale.

x 1 , x 2 - puncte extreme locale.

Periodicitatea funcției
Funcția f(x) se numește periodică, cu perioadă T, dacă pentru vreunul X f(x+T) = f(x) .

Intervalele de constanță
Intervalele în care funcția este fie numai pozitivă, fie numai negativă se numesc intervale de semn constant.

f(x)>0 pentru x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Continuitatea funcției
Funcția f(x) se numește continuă în punctul x 0 dacă limita funcției ca x → x 0 este egală cu valoarea funcției în acest punct, adică. .

puncte de pauză
Punctele în care condiția de continuitate este încălcată se numesc puncte de discontinuitate ale funcției.

x0- punctul limita.

Schema generală de reprezentare a funcțiilor

1. Găsiți domeniul funcției D(y).
2. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcțiilor cu axele de coordonate.
3. Investigați funcția pentru par sau impar.
4. Investigați funcția pentru periodicitate.
5. Găsiți intervale de monotonitate și puncte extreme ale funcției.
6. Aflați intervale de convexitate și puncte de inflexiune ale funcției.
7. Găsiți asimptotele funcției.
8. Pe baza rezultatelor studiului, construiți un grafic.

Exemplu: Explorează funcția și construiește graficul acesteia: y = x 3 - 3x
8) Pe baza rezultatelor studiului, vom construi un grafic al funcției:

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de nea pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie, există un articol interesant în care există exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici vom lua în considerare exemple mai complexe de fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat (descris) vizual ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei figuri geometrice obișnuite (nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care cu fiecare creștere se va repeta din nou și din nou.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, în articolul său Fractals and Art for Science a scris: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii, precum sunt în forma lor generală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca întregul, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.

- (Math.) O funcție y \u003d f (x) este numită chiar dacă nu se schimbă atunci când variabila independentă își schimbă doar semnul, adică dacă f (x) \u003d f (x). Dacă f (x) = f (x), atunci funcția f (x) se numește impară. De exemplu, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

O funcție care satisface egalitatea f (x) = f (x). Vedeți funcțiile pare și impare... Marea Enciclopedie Sovietică

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funcții speciale introduse de matematicianul francez E. Mathieu în 1868 la rezolvarea problemelor privind oscilația unei membrane eliptice. M. f. sunt de asemenea utilizate în studiul propagării undelor electromagnetice într-un cilindru eliptic... Marea Enciclopedie Sovietică

Solicitarea „păcat” este redirecționată aici; vezi și alte sensuri. Solicitarea „sec” este redirecționată aici; vezi și alte sensuri. „Sine” redirecționează aici; vezi și alte sensuri... Wikipedia

Uniformitatea și ciudățenia unei funcții sunt una dintre principalele sale proprietăți, iar uniformitatea ocupă o parte impresionantă a cursului școlar de matematică. Determină în mare măsură natura comportamentului funcției și facilitează foarte mult construcția graficului corespunzător.

Să definim paritatea funcției. În general, funcția studiată este considerată chiar dacă pentru valori opuse ale variabilei independente (x) situate în domeniul acesteia, valorile corespunzătoare ale lui y (funcție) sunt egale.

Să dăm o definiție mai riguroasă. Luați în considerare o funcție f (x), care este definită în domeniul D. Va fi chiar dacă pentru orice punct x situat în domeniul definiției:

-x (punctul opus) se află, de asemenea, în domeniul dat,

f(-x) = f(x).

Din definiția de mai sus rezultă condiția necesară domeniului de definire a unei astfel de funcții și anume simetria față de punctul O, care este originea coordonatelor, întrucât dacă un punct b este conținut în domeniul de definire al unei funcția pară, atunci punctul corespunzător - b se află și el în acest domeniu. Din cele de mai sus, deci, rezultă concluzia: o funcție pară are o formă care este simetrică față de axa ordonatelor (Oy).

Cum se determină paritatea unei funcții în practică?

Fie dat folosind formula h(x)=11^x+11^(-x). Urmând algoritmul care decurge direct din definiție, studiem în primul rând domeniul său de definire. Evident, este definit pentru toate valorile argumentului, adică prima condiție este îndeplinită.

Următorul pas este înlocuirea argumentului (x) cu valoarea sa opusă (-x).
Primim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Deoarece adunarea satisface legea comutativă (deplasare), este evident că h(-x) = h(x) și dependența funcțională dată este pară.

Să verificăm uniformitatea funcției h(x)=11^x-11^(-x). Urmând același algoritm, obținem h(-x) = 11^(-x) -11^x. Scotând minusul, ca urmare, avem
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prin urmare, h(x) este impar.

Apropo, trebuie amintit că există funcții care nu pot fi clasificate după aceste criterii, ele nu se numesc nici pare, nici impare.

Chiar și funcțiile au o serie de proprietăți interesante:

ca urmare a adunării unor funcții similare, se obține una pară;
ca urmare a scăderii unor astfel de funcții, se obține una par;
chiar, de asemenea chiar;
ca urmare a înmulțirii a două astfel de funcții se obține una par;
ca urmare a înmulțirii funcțiilor pare și impare, se obține una impar;
ca urmare a împărțirii funcțiilor pare și impare se obține una impar;
derivata unei astfel de funcții este impară;
Dacă pătram o funcție impară, obținem una par.

Paritatea unei funcții poate fi utilizată în rezolvarea ecuațiilor.

Pentru a rezolva o ecuație de genul g(x) = 0, în care partea stângă a ecuației este o funcție pară, va fi suficient să-i găsiți soluțiile pentru valorile nenegative ale variabilei. Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie combinate cu numere opuse. Una dintre ele este supusă verificării.

Același lucru este folosit cu succes pentru a rezolva probleme non-standard cu un parametru.

De exemplu, există vreo valoare pentru parametrul a care ar face ca ecuația 2x^6-x^4-ax^2=1 să aibă trei rădăcini?

Dacă luăm în considerare că variabila intră în ecuație în puteri pare, atunci este clar că înlocuirea x cu -x nu va schimba ecuația dată. Rezultă că, dacă un anumit număr este rădăcina lui, atunci este și numărul opus. Concluzia este evidentă: rădăcinile ecuației, altele decât zero, sunt incluse în mulțimea soluțiilor sale în „perechi”.

Este clar că numărul 0 în sine nu este, adică numărul de rădăcini ale unei astfel de ecuații poate fi doar par și, firește, pentru orice valoare a parametrului nu poate avea trei rădăcini.

Dar numărul de rădăcini ale ecuației 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 poate fi impar și pentru orice valoare a parametrului. Într-adevăr, este ușor de verificat că mulțimea rădăcinilor unei ecuații date conține soluții în „perechi”. Să verificăm dacă 0 este o rădăcină. Când o înlocuim în ecuație, obținem 2=2. Astfel, pe lângă „pereche” 0 este și o rădăcină, ceea ce dovedește numărul lor impar.

Care, într-o măsură sau alta, vă erau familiare. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.

Definiția 1.

Funcția y \u003d f (x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X, egalitatea f (-x) \u003d f (x) este adevărată.

Definiția 2.

Funcția y \u003d f (x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X, egalitatea f (-x) \u003d -f (x) este adevărată.

Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.

Soluţie. Avem: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Dar (-x) 4 = x 4 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) = f (x), i.e. funcția este egală.

În mod similar, se poate demonstra că funcțiile y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sunt pare.

Demonstrați că y = x 3 este o funcție impară.

Soluţie. Avem: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) \u003d -f (x), adică. functia este impara.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt impare.

Tu și cu mine ne-am convins în mod repetat că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. ele pot fi explicate într-un fel. Acesta este cazul atât pentru funcțiile pare, cât și pentru cele impare. Vezi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt funcții impare, în timp ce y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y \u003d x "(mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n este un număr impar, atunci funcția y \u003d x " este ciudat; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este pară.

Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y \u003d 2x + 3. Într-adevăr, f (1) \u003d 5 și f (-1) \u003d 1. După cum puteți vedea, aici, prin urmare, nici identitatea f (-x ) \u003d f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).

Deci, o funcție poate fi pară, impară sau niciuna.

Studiul întrebării dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul funcției pentru paritate.

Definițiile 1 și 2 se referă la valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului funcției în același timp cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )

Schema generală de reprezentare a funcțiilor

Citeste si