În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților folosesc o singură metodă atunci când rezolvă ecuații pătratice complete - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții cu abilități bune de numărare orală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. În opinia mea, atunci când studiem ecuațiile pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție aplicării teoremei Vieta (conform programului lui A.G. Mordkovich Algebra-8, sunt planificate doar două ore pentru a studia subiectul „Teorema Vieta. Descompunerea lui un trinom pătrat în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru o ecuație pătratică redusă și spune că dacă ecuația are rădăcini și , atunci ele satisfac egalitățile , . Apoi, se formulează o afirmație inversă la teorema lui Vieta și sunt oferite o serie de exemple pentru a lucra pe acest subiect.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției pe ele folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume, și . Apoi, după teorema lui Vieta, egalitățile

Rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Deci, rădăcinile ecuației au același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică dată folosind teorema Vieta:

notează afirmația teoremei lui Vieta

(*)

• determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative.Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite.În plus, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv, iar dacă suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
• selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
• din perechile de numere găsite, alegeți perechea care, atunci când este substituită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;
• indicați în răspuns rădăcinile găsite ale ecuației.

Să mai dăm câteva exemple.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta Rețineți că produsul este pozitiv și suma este negativă. Deci ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau produsul lui 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Deci numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: -2; -5.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, după teorema lui Vieta Rețineți că produsul este negativ. Deci rădăcinile sunt de semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Prin urmare, rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Deci numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: 2; -5.

Rețineți că teorema Vieta poate fi formulată în principiu pentru ecuația pătratică completă: dacă ecuaţia pătratică are rădăcini și , atunci ele satisfac egalitățile , . Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece în ecuația pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient Ași scrieți ecuația sub forma . Introducem o nouă variabilă și obținem o ecuație pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă există) pot fi găsite folosind teorema Vieta. Atunci rădăcinile ecuației originale vor fi . Rețineți că este foarte ușor să scrieți ecuația redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient este egal cu produsul as. Cu o anumită abilitate, elevii compun imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația .

Să facem o ecuație auxiliară iar prin teorema lui Vieta îi găsim rădăcinile. Deci rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Exemplul 5. Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . După teorema lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsim rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Este ușor să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema Vieta și este egală cu . Inca o afirmatie: astfel încât numărul -1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru a. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică redusă.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci rădăcinile ecuației .

Răspuns: .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci rădăcinile ecuației .

Răspuns: ..

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă folosind trecerea la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

Există o serie de relații în ecuațiile pătratice. Principalele sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți. De asemenea, o serie de relații funcționează în ecuații pătratice, care sunt date de teorema Vieta.

În acest subiect, prezentăm teorema lui Vieta în sine și demonstrația ei pentru o ecuație pătratică, o teoremă inversă cu teorema lui Vieta și analizăm o serie de exemple de rezolvare a problemelor. Vom acorda o atenție deosebită în material luării în considerare a formulelor Vieta, care definesc relația dintre rădăcinile reale ale ecuației algebrice de grad. nși coeficienții săi.

Afirmație și demonstrație a teoremei lui Vieta

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice a x 2 + b x + c = 0 de forma x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, unde D = b 2 − 4 a c, stabilește raportul x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Acest lucru este confirmat de teorema lui Vieta.

Teorema 1

Într-o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, Unde x 1și x2- rădăcini, suma rădăcinilor va fi egală cu raportul coeficienților bși A, care a fost luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor va fi egal cu raportul coeficienților cși A, adică x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Dovada 1

Vă oferim următoarea schemă pentru efectuarea demonstrației: luăm formula rădăcinilor, compunem suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice și apoi transformăm expresiile rezultate pentru a ne asigura că sunt egale. -b ași c a respectiv.

Compuneți suma rădăcinilor x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Să aducem fracțiile la un numitor comun - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Să deschidem parantezele din numărătorul fracției rezultate și să dăm termeni similari: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Reduceți fracția cu: 2 - b a \u003d - b a.

Deci am demonstrat prima relație a teoremei lui Vieta, care se referă la suma rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Acum să trecem la a doua relație.

Pentru a face acest lucru, trebuie să compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Amintiți-vă regula de înmulțire a fracțiilor și scrieți ultimul produs astfel: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Vom efectua înmulțirea parantezei cu paranteza din numărătorul fracției, sau vom folosi formula diferenței de pătrate pentru a transforma mai rapid acest produs: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Să folosim definiția unei rădăcini pătrate pentru a efectua următoarea tranziție: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formulă D = b 2 − 4 a c corespunde discriminantului ecuației pătratice, prin urmare, într-o fracție în loc de D poate fi înlocuit b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Să deschidem parantezele, să dăm termeni similari și să obținem: 4 · a · c 4 · a 2 . Dacă o scurtăm la 4 a, atunci c a rămâne. Deci am demonstrat a doua relație a teoremei Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Înregistrarea demonstrației teoremei lui Vieta poate avea o formă foarte concisă, dacă omitem explicațiile:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Când discriminantul unei ecuații pătratice este zero, ecuația va avea o singură rădăcină. Pentru a putea aplica teorema lui Vieta unei astfel de ecuații, putem presupune că ecuația cu un discriminant egal cu zero are două rădăcini identice. Într-adevăr, la D=0 rădăcina ecuației pătratice este: - b 2 a, apoi x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a și x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, și deoarece D \u003d 0, adică b 2 - 4 a c = 0, de unde b 2 = 4 a c, apoi b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Cel mai adesea în practică, teorema Vieta este aplicată în raport cu ecuația pătratică redusă a formei x 2 + p x + q = 0, unde coeficientul de conducere a este egal cu 1 . În acest sens, teorema lui Vieta este formulată tocmai pentru ecuații de acest tip. Acest lucru nu limitează generalitatea datorită faptului că orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă. Pentru a face acest lucru, este necesar să împărțiți ambele părți la numărul a, care este diferit de zero.

Să mai dăm o formulare a teoremei lui Vieta.

Teorema 2

Suma rădăcinilor din ecuația pătratică dată x 2 + p x + q = 0 va fi egal cu coeficientul de la x, care se ia cu semnul opus, produsul rădăcinilor va fi egal cu termenul liber, adică. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

Dacă te uiți cu atenție la a doua formulare a teoremei lui Vieta, poți vedea că pentru rădăcini x 1și x2 ecuație pătratică redusă x 2 + p x + q = 0 relațiile x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q vor fi valabile. Din aceste relații x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, rezultă că x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p x + q = 0. Astfel ajungem la o afirmație care este inversa teoremei lui Vieta.

Ne propunem acum să formalizăm această afirmație ca o teoremă și să realizăm demonstrația ei.

Teorema 3

Dacă numerele x 1și x2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = − pși x 1 x 2 = q, apoi x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0.

Dovada 2

Modificarea coeficienților pși q la exprimarea lor prin x 1și x2 vă permite să transformați ecuația x 2 + p x + q = 0într-un echivalent .

Dacă înlocuim numărul în ecuația rezultată x 1în loc de X, atunci obținem egalitatea x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate pentru orice x 1și x2 se transformă într-o adevărată egalitate numerică 0 = 0 , deoarece x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Înseamnă că x 1- rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, si ce x 1 este, de asemenea, rădăcina ecuației echivalente x 2 + p x + q = 0.

Substituția ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numerele x2în loc de x vă permite să obțineți egalitate x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate poate fi considerată adevărată, deoarece x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Se pare că x2 este rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, și de aici ecuațiile x 2 + p x + q = 0.

Se demonstrează teorema inversă la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Să trecem acum la analiza celor mai tipice exemple pe această temă. Să începem cu analiza problemelor care necesită aplicarea teoremei, inversul teoremei lui Vieta. Poate fi folosit pentru a verifica numerele obținute în cursul calculelor, dacă sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați suma și diferența lor, apoi verificați validitatea rapoartelor x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Îndeplinirea ambelor relații indică faptul că numerele obținute în cursul calculelor sunt rădăcinile ecuației. Dacă vedem că cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, atunci aceste numere nu pot fi rădăcinile ecuației pătratice date în condiția problemei.

Exemplul 1

Care dintre perechile de numere 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 sau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 sau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Soluţie

Aflați coeficienții ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Acesta este a = 4 , b = − 16 , c = 9 . În conformitate cu teorema Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice trebuie să fie egală cu -b a, acesta este, 16 4 = 4 , iar produsul rădăcinilor ar trebui să fie egal cu c a, acesta este, 9 4 .

Să verificăm numerele obținute calculând suma și produsul numerelor din trei perechi date și comparându-le cu valorile obținute.

În primul caz x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Această valoare este diferită de 4, așa că nu trebuie să continuați verificarea. Conform teoremei, inversul teoremei lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

În al doilea caz x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vedem că prima condiție este îndeplinită. Dar a doua condiție nu este: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Valoarea pe care o obținem este diferită de 9 4 . Aceasta înseamnă că a doua pereche de numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Să trecem la a treia pereche. Aici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 și x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

De asemenea, putem folosi inversul teoremei lui Vieta pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Cel mai simplu mod este de a selecta rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi. Pot fi luate în considerare și alte opțiuni. Dar acest lucru poate complica semnificativ calculele.

Pentru a selecta rădăcinile, folosim faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Exemplul 2

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerele x 1și x2 pot fi rădăcinile acestei ecuații dacă cele două egalități sunt îndeplinite x1 + x2 = 5și x 1 x 2 = 6. Să alegem acele numere. Acestea sunt numerele 2 și 3 pentru că 2 + 3 = 5 și 2 3 = 6. Se pare că 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Inversul teoremei lui Vieta poate fi folosit pentru a găsi a doua rădăcină atunci când prima este cunoscută sau evidentă. Pentru aceasta putem folosi rapoartele x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Exemplul 3

Luați în considerare ecuația pătratică 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Trebuie să găsim rădăcinile acestei ecuații.

Soluţie

Prima rădăcină a ecuației este 1 deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Se pare că x 1 = 1.

Acum să găsim a doua rădăcină. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza raportul x 1 x 2 = c a. Se pare că 1 x 2 = − 3 512, Unde x 2 \u003d - 3 512.

Răspuns: rădăcinile ecuației pătratice specificate în condiția problemei 1 și - 3 512 .

Este posibil să selectați rădăcini folosind teorema inversă la teorema lui Vieta numai în cazuri simple. În alte cazuri, este mai bine să căutați folosind formula rădăcinilor ecuației pătratice prin discriminant.

Datorită teoremei inverse a lui Vieta, putem forma și ecuații pătratice având în vedere rădăcinile x 1și x2. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm suma rădăcinilor, care dă coeficientul la X cu semnul opus al ecuației pătratice reduse și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numere − 11 și 23 .

Soluţie

Să acceptăm asta x 1 = − 11și x2 = 23. Suma și produsul acestor numere vor fi egale cu: x1 + x2 = 12și x 1 x 2 = − 253. Aceasta înseamnă că al doilea coeficient este 12, termenul liber − 253.

Facem o ecuație: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Răspuns: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Putem folosi teorema Vieta pentru a rezolva probleme care au legătură cu semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Legătura dintre teorema lui Vieta este legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0 in felul urmator:

• dacă ecuaţia pătratică are rădăcini reale şi dacă termenul liber q este un număr pozitiv, atunci aceste rădăcini vor avea același semn „+” sau „-”;
• dacă ecuaţia pătratică are rădăcini şi dacă termenul liber q este un număr negativ, atunci o rădăcină va fi „+” și a doua „-”.

Ambele afirmații sunt o consecință a formulei x 1 x 2 = qși reguli de înmulțire pentru numere pozitive și negative, precum și pentru numere cu semne diferite.

Exemplul 5

Sunt rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitiv?

Soluţie

După teorema lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații nu pot fi ambele pozitive, deoarece trebuie să satisfacă egalitatea x 1 x 2 = − 21. Acest lucru nu este posibil cu pozitiv x 1și x2.

Răspuns: Nu

Exemplul 6

La ce valori ale parametrului r ecuație pătratică x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 va avea două rădăcini reale cu semne diferite.

Soluţie

Să începem prin a găsi valorile a ceea ce r, pentru care ecuația are două rădăcini. Să găsim discriminantul și să vedem pentru ce r va lua valori pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valoarea expresiei r2 + 8 pozitiv pentru orice real r, prin urmare, discriminantul va fi mai mare decât zero pentru orice real r. Aceasta înseamnă că ecuația pătratică originală va avea două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să vedem când rădăcinile vor avea semne diferite. Acest lucru este posibil dacă produsul lor este negativ. Conform teoremei Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Deci soluția corectă sunt acele valori r, pentru care termenul liber r − 1 este negativ. Rezolvăm inegalitatea liniară r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Răspuns: la r< 1 .

formule Vieta

Există o serie de formule care sunt aplicabile pentru efectuarea de operații cu rădăcini și coeficienți nu numai pătrați, ci și cubici și alte tipuri de ecuații. Se numesc formule Vieta.

Pentru o ecuație algebrică a gradului n de forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se consideră că are ecuația n rădăcini adevărate x 1 , x 2 , … , x n, care poate include următoarele:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Definiția 1

Obțineți formulele Vieta ajută-ne:

• teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari;
• definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători.

Deci, polinomul a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n și extinderea lui în factori liniari de forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sunt egale.

Dacă deschidem parantezele din ultimul produs și echivalăm coeficienții corespunzători, atunci obținem formulele Vieta. Luând n \u003d 2, putem obține formula Vieta pentru ecuația pătratică: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Definiția 2

Formula lui Vieta pentru o ecuație cubică:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Partea stângă a formulelor Vieta conține așa-numitele polinoame simetrice elementare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

François Vieta (1540-1603) - matematician, creatorul celebrelor formule Vieta

teorema lui Vieta necesare pentru a rezolva rapid ecuații pătratice (în termeni simpli).

Mai detaliat, t Teorema lui Vieta - aceasta este suma rădăcinilor acestei ecuații pătratice este egală cu al doilea coeficient, care este luat cu semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber. Această proprietate are orice ecuație pătratică dată care are rădăcini.

Folosind teorema Vieta, puteți rezolva cu ușurință ecuații patratice prin selecție, așa că să-i spunem „mulțumesc” acestui matematician cu o sabie în mână pentru fericita noastră clasă a VII-a.

Dovada teoremei lui Vieta

Pentru a demonstra teorema, puteți folosi formulele rădăcinilor binecunoscute, datorită cărora vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice. Abia după aceea ne putem asigura că sunt egale și, în consecință, .

Să presupunem că avem o ecuație: . Această ecuație are următoarele rădăcini: și . Să demonstrăm că , .

Conform formulelor rădăcinilor ecuației pătratice:

1. Aflați suma rădăcinilor:

Să analizăm această ecuație, deoarece am obținut-o exact așa:

= .

Pasul 1. Reducem fracțiile la un numitor comun, rezultă:

= = .

Pasul 2. Avem o fracțiune în care trebuie să deschideți paranteze:

Reducem fracția cu 2 și obținem:

Am demonstrat relația pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta.

2. Găsiți produsul rădăcinilor:

= = = = = .

Să demonstrăm această ecuație:

Pasul 1. Există o regulă pentru înmulțirea fracțiilor, conform căreia înmulțim această ecuație:

Acum ne amintim definiția rădăcinii pătrate și luăm în considerare:

= .

Pasul 3. Reamintim discriminantul ecuației pătratice: . Prin urmare, în loc de D (discriminant), substituim în ultima fracție, apoi obținem:

= .

Pasul 4. Deschideți parantezele și adăugați termeni similari la fracții:

Pasul 5. Reducem „4a” și obținem.

Deci am demonstrat relația pentru produsul rădăcinilor conform teoremei lui Vieta.

IMPORTANT!Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o singură rădăcină.

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

Conform teoremei, inversul teoremei lui Vieta, putem verifica dacă ecuația noastră este rezolvată corect. Pentru a înțelege teorema în sine, trebuie să o luăm în considerare mai detaliat.

Dacă numerele sunt:

Și apoi sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Pasul 1.Să substituim expresii pentru coeficienții săi în ecuație:

Pasul 2Să transformăm partea stângă a ecuației:

Pasul 3. Să găsim rădăcinile ecuației și pentru aceasta folosim proprietatea că produsul este egal cu zero:

Sau . De unde vine: sau.

Exemple cu soluții după teorema lui Vieta

Exemplul 1

Exercițiu

Aflați suma, produsul și suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice fără a găsi rădăcinile ecuației.

Soluţie

Pasul 1. Amintiți-vă formula discriminantă. Înlocuim numerele noastre sub litere. Adică , este un substitut pentru , și . Asta implică:

Se dovedește:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin suma și produsul lor:

Răspuns

7; 12; 25.

Exemplul 2

Exercițiu

Rezolvați ecuația. În acest caz, nu utilizați formulele ecuației pătratice.

Soluţie

Această ecuație are rădăcini care sunt mai mari decât zero în ceea ce privește discriminantul (D). În consecință, conform teoremei Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este 4, iar produsul este 5. În primul rând, determinăm divizorii numărului, a căror sumă este 4. Acestea sunt numerele „5” și „-1”. Produsul lor este egal cu - 5, iar suma - 4. Prin urmare, conform teoremei, inversul teoremei lui Vieta, ele sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns

Și Exemplul 4

Exercițiu

Scrieți o ecuație în care fiecare rădăcină este de două ori rădăcina corespunzătoare a ecuației:

Soluţie

După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este 12, iar produsul = 7. Prin urmare, cele două rădăcini sunt pozitive.

Suma rădăcinilor noii ecuații va fi egală cu:

Și munca.

Printr-o teoremă inversă cu teorema lui Vieta, noua ecuație are forma:

Răspuns

Rezultatul a fost o ecuație, fiecare rădăcină a cărei rădăcină este de două ori mai mare:

Deci, ne-am uitat la cum să rezolvăm o ecuație folosind teorema lui Vieta. Este foarte convenabil să folosiți această teoremă dacă sunt rezolvate sarcini care sunt asociate cu semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Adică, dacă termenul liber din formulă este un număr pozitiv și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele pot fi fie negative, fie pozitive.

Și dacă termenul liber este un număr negativ și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele semne vor fi diferite. Adică, dacă o rădăcină este pozitivă, atunci cealaltă rădăcină va fi doar negativă.

Surse utile:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovici E. A. Algebră Clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2016 – 318 p.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - manual Algebră Clasa 8: Moscova „Balass”, 2015 - 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebră clasa a 8-a: Moscova „Iluminismul”, 2014 – 300

Teorema lui Vieta, formula Vieta inversă și exemple cu soluție pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) ne permite să reducem timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații patratice folosind teorema lui Vieta? Este ușor dacă te gândești puțin.

Acum vom vorbi doar despre soluția ecuației pătratice reduse folosind teorema Vieta.Ecuația pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul în fața lui x², este egal cu unu. Ecuațiile pătratice care nu sunt date pot fi rezolvate și folosind teorema Vieta, dar deja cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.

Teorema inversă la teorema lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât

atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice

Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți cursul raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.

I. Dacă q este un număr pozitiv,

asta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (pentru că numai la înmulțirea numerelor cu aceleași semne se obține un număr pozitiv).

In absenta. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (au adăugat numere de același semn, au primit un număr negativ).

II. Dacă q este un număr negativ,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, atunci când adunăm numere cu semne diferite, le scădem pe cel mai mic din modul mai mare). Prin urmare, x1 + x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mult decât cealaltă (modulo).

II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.

Luați în considerare soluția ecuațiilor pătratice conform teoremei lui Vieta folosind exemple.

Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:

Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Prin urmare, 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.

În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date de teorema lui Vieta. În acest articol, vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare, considerăm o teoremă inversă cu teorema lui Vieta. După aceea, vom analiza soluțiile celor mai caracteristice exemple. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc legătura dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele rădăcinilor ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0 de forma , unde D=b 2 −4 a c , relațiile x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

În cazul în care un x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul lui rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom demonstra teorema Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formulele rădăcinilor cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate și ne vom asigura că sunt egale cu −b /a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor, să o compunem. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem. În numărătorul fracţiei rezultate , după care : . În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice:. Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs se poate scrie ca. Acum înmulțim paranteza cu paranteza din numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței de pătrate, Asa de . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât formula D=b 2 −4 a·c corespunde discriminantului ecuației pătratice, atunci b 2 −4·a·c poate fi înlocuit în ultima fracție în loc de D, obținem . După deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, atunci demonstrația teoremei lui Vieta va lua o formă concisă:
,
.

Rămâne doar de observat că atunci când discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Totuși, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema Vieta. Într-adevăr, pentru D=0 rădăcina ecuației pătratice este , atunci și , iar din moment ce D=0 , adică b 2 −4 a c=0 , de unde b 2 =4 a c , atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai des în raport cu ecuația pătratică redusă (cu cel mai mare coeficient a egal cu 1 ) de forma x 2 +p·x+q=0 . Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Iată formula corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q \u003d 0 este egală cu coeficientul de la x, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber, adică x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

A doua formulare a teoremei Vieta, dată în paragraful anterior, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, afirmația inversă la teorema lui Vieta este adevărată. O formulăm sub forma unei teoreme și o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 .

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q în ecuația x 2 +p x+q=0 ai expresiei lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Inlocuim numarul x 1 in loc de x in ecuatia rezultata, avem egalitatea x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 este egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p x+q=0 .

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, apoi obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Aceasta este ecuația corectă deoarece x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 2 este și rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, și de aici ecuațiile x 2 +p x+q=0 .

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această subsecțiune, vom analiza soluțiile mai multor dintre cele mai tipice exemple.

Începem prin a aplica o teoremă inversă teoremei lui Vieta. Este convenabil să îl utilizați pentru a verifica dacă cele două numere date sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei inverse teoremei lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4 , b=−16 , c=9 . Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice trebuie să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile tocmai obținute.

În primul caz, avem x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Valoarea rezultată este diferită de 4, prin urmare, verificarea ulterioară nu poate fi efectuată, dar prin teoremă, inversul teoremei lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice date. .

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: , valoarea rezultată este diferită de 9/4 . Prin urmare, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice.

Ultimul caz rămâne. Aici și . Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Teorema, reversul teoremei lui Vieta, poate fi folosită în practică pentru a selecta rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În același timp, folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să ne ocupăm de asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0 . Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități x 1 +x 2 \u003d 5 și x 1 x 2 \u003d 6. Rămâne de ales astfel de numere. În acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2 3=6 . Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema inversă la teorema lui Vieta este deosebit de convenabilă pentru găsirea celei de-a doua rădăcini a ecuației pătratice reduse atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină se găsește din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x−3=0 . Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Deci x 1 =1 . A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512 , de unde x 2 =−3/512 . Deci am definit ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selectarea rădăcinilor este oportună numai în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcinile, puteți aplica formulele rădăcinilor ecuației pătratice prin discriminant.

O altă aplicație practică a teoremei, inversa teoremei lui Vieta, este compilarea ecuațiilor pătratice pentru rădăcinile date x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numerele -11 și 23.

Soluţie.

Notăm x 1 =−11 și x 2 =23 . Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 + x 2 \u003d 12 și x 1 x 2 \u003d −253. Prin urmare, aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătratice date cu al doilea coeficient -12 și termenul liber -253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația dorită.

Răspuns:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită în rezolvarea sarcinilor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0? Iată două afirmații relevante:

• Dacă termenul liber q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele sunt negative.
• Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă este negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Luați în considerare exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Conform formulei discriminante, găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , valoarea expresiei r 2 +8 este pozitiv pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. Prin urmare, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ, iar după teorema Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice date este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, trebuie rezolva o inegalitate liniara r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus, am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai ai ecuațiilor pătratice, ci și ai ecuațiilor cubice, ecuațiilor cvadruple și, în general, ecuații algebrice gradul n. Ei sunt numiti, cunoscuti formule Vieta.

Scriem formulele Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei, în timp ce presupunem că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi aceleași):

Obține formule Vieta permite teorema de factorizare polinomială, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele Vieta.

În special, pentru n=2 avem deja familiare formule Vieta pentru ecuația pătratică .

Pentru o ecuație cubică, formulele Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.