Formule de înmulțire prescurtate.

Studierea formulelor de înmulțire prescurtată: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la o formă standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formule de înmulțire prescurtate pe care trebuie să le cunoașteți pe de rost.

Fie a, b R. Atunci:

1. Pătratul sumei a două expresii este pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Pătratul diferenței a două expresii este pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii și suma lor.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. cub suma a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii ori a doua plus de trei ori produsul primei expresii ori pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. cub de diferență a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul sumei primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Diferența de cuburi a două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1

calculati

a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Folosind formula pentru diferența pătrată a două expresii, obținem

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Exemplul 2

calculati

Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem

Exemplul 3

Simplificați expresia

(x - y) 2 + (x + y) 2

Folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formulele sau regulile de înmulțire redusă sunt folosite în aritmetică, și mai precis în algebră, pentru un proces mai rapid de calculare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt obținute din regulile existente în algebră pentru înmulțirea mai multor polinoame.

Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de rapidă la diferite probleme matematice și, de asemenea, ajută la simplificarea expresiilor. Regulile transformărilor algebrice vă permit să efectuați niște manipulări cu expresii, în urma cărora puteți obține expresia din partea stângă a egalității, care este în partea dreaptă, sau transforma partea dreaptă a egalității (pentru a obține expresia pe partea stângă după semnul egal).

Este convenabil să cunoașteți formulele folosite pentru înmulțirea prescurtată prin memorie, deoarece acestea sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și ecuațiilor. Principalele formule incluse în această listă și numele lor sunt enumerate mai jos.

suma pătratului

Pentru a calcula pătratul sumei, trebuie să găsiți suma constând din pătratul primului termen, de două ori produsul primului termen și al celui de-al doilea și pătratul celui de-al doilea. Sub forma unei expresii, această regulă se scrie după cum urmează: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Pătratul diferenței

Pentru a calcula pătratul diferenței, trebuie să calculați suma constând din pătratul primului număr, de două ori produsul primului număr cu al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Diferența de pătrate

Formula pentru diferența a două numere la pătrat este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

cub suma

Pentru a calcula cubul sumei a doi termeni, trebuie să calculați suma constând din cubul primului termen, produsul triplu al pătratului primului termen și al celui de al doilea, produsul triplu al primului termen și al doilea pătratul, iar cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma de cuburi

Conform formulei, este egal cu produsul dintre suma acestor termeni și pătratul lor incomplet al diferenței. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii, care se formează prin adăugarea a două cuburi. Se cunosc doar mărimile laturilor lor.

Dacă valorile laturilor sunt mici, atunci este ușor să efectuați calcule.

Dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere greoaie, atunci în acest caz este mai ușor să aplicați formula „Suma cuburilor”, care va simplifica foarte mult calculele.

cub de diferență

Expresia pentru diferența cubică sună astfel: ca sumă a treia putere a primului termen, triplă produsul negativ al pătratului primului termen cu al doilea, triplă produsul primului termen cu pătratul celui de-al doilea. , și cubul negativ al celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii matematice, cubul de diferență arată astfel: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Diferența de cuburi

Formula pentru diferența de cuburi diferă de suma cuburilor printr-un singur semn. Astfel, diferența de cuburi este o formulă egală cu produsul diferenței acestor numere prin pătratul lor incomplet al sumei. În formă, diferența de cuburi arată astfel: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii care va rămâne după scăderea cifrei volumetrice galbene, care este tot un cub, din volumul cubului albastru. Se cunoaște doar dimensiunea laturii unui cub mic și mare.

Dacă valorile laturilor sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere semnificative, atunci merită să utilizați o formulă intitulată „Diferența cuburilor” (sau „Cubul diferențelor”), care va simplifica foarte mult calculele.

Diferența de pătrate

Obținem formula pentru diferența de pătrate $a^2-b^2$.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă următoarea regulă:

Dacă orice monom este adăugat expresiei și același monom este scăzut, atunci obținem identitatea corectă.

Să adăugăm la expresia noastră și să scădem din ea monomiul $ab$:

În total, obținem:

Adică, diferența pătratelor a două monomii este egală cu produsul dintre diferența lor și suma lor.

Exemplul 1

Exprimați ca produs de $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Suma de cuburi

Obținem formula pentru suma cuburilor $a^3+b^3$.

Să luăm factorii comuni din paranteze:

Să scoatem $\left(a+b\right)$ din paranteze:

În total, obținem:

Adică, suma cuburilor a două monomii este egală cu produsul sumei lor cu pătratul incomplet al diferenței lor.

Exemplul 2

Exprimați ca produs $(8x)^3+y^3$

Această expresie poate fi rescrisă în următoarea formă:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Folosind formula diferenței pătratelor, obținem:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Diferența de cuburi

Obținem formula pentru diferența de cuburi $a^3-b^3$.

Pentru a face acest lucru, vom folosi aceeași regulă ca mai sus.

Să adăugăm la expresia noastră și să scădem din ea monomiile $a^2b\ și\ (ab)^2$:

Să luăm factorii comuni din paranteze:

Să scoatem $\left(a-b\right)$ din paranteze:

În total, obținem:

Adică, diferența cuburilor a două monomii este egală cu produsul diferenței lor cu pătratul incomplet al sumei lor.

Exemplul 3

Exprimați ca produs de $(8x)^3-y^3$

Această expresie poate fi rescrisă în următoarea formă:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Folosind formula diferenței pătratelor, obținem:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Un exemplu de sarcini pentru utilizarea formulelor pentru diferența de pătrate și suma și diferența de cuburi

Exemplul 4

Multiplica.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Soluţie:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Aplicând formula diferenței pătratelor, obținem:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Să scriem această expresie sub forma:

Să aplicăm formula cuburilor de cuburi:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Să scriem această expresie sub forma:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Să aplicăm formula cuburilor de cuburi:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\dreapta)\]

În lecțiile anterioare, am analizat două moduri de factorizare a unui polinom: scoaterea din paranteze a factorului comun și metoda grupării.

În această lecție, vom analiza o altă modalitate de a factoriza un polinom folosind formule de înmulțire prescurtate.

Vă recomandăm să scrieți fiecare formulă de cel puțin 12 ori. Pentru o memorare mai bună, notează-ți toate formulele de înmulțire abreviate pe o mică foaie de cheat.

Amintiți-vă cum arată formula pentru diferența de cuburi.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Formula pentru diferența de cuburi nu este foarte ușor de reținut, așa că vă recomandăm să folosiți un mod special de a o aminti.

Este important să înțelegeți că orice formulă de înmulțire prescurtată funcționează și în reversul.

(a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Luați în considerare un exemplu. Este necesar să se factorizeze diferența de cuburi.

Rețineți că „27a 3” este „(3a) 3”, ceea ce înseamnă că pentru formula pentru diferența de cuburi, în loc de „a”, folosim „3a”.

Folosim formula pentru diferența de cuburi. În locul „a 3”, avem „27a 3”, iar în locul „b 3”, ca în formulă, există „b 3”.

Aplicarea diferenței de cub în sens invers

Să luăm în considerare un alt exemplu. Este necesar să convertiți produsul polinoamelor în diferența de cuburi folosind formula de înmulțire abreviată.

Vă rugăm să rețineți că produsul polinoamelor „(x − 1) (x 2 + x + 1)” Seamănă cu partea dreaptă a formulei pentru diferența de cuburi „”, numai în loc de „a” este „x”, Și în locul lui „b” este „1”.

Pentru „(x − 1)(x 2 + x + 1)”, folosim formula pentru diferența de cuburi în direcția opusă.

Să luăm în considerare un exemplu mai dificil. Este necesar să se simplifice produsul polinoamelor.

Dacă comparăm „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” cu partea dreaptă a formulei pentru diferența de cuburi
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, atunci putem înțelege că în locul lui „a” din prima paranteză este „y 2, iar în loc de „b” este „1”.