Atsižvelgdami į priklausomybę tarp charakteristikų, pirmiausia išryškinkime priklausomybę tarp faktoriaus pokyčio ir gaunamų charakteristikų, kai labai specifinė faktorinės charakteristikos reikšmė atitinka daugelį galimų efektyvios charakteristikos reikšmių. Kitaip tariant, kiekviena vieno kintamojo reikšmė atitinka tam tikrą (sąlyginį) kito kintamojo pasiskirstymą. Ši priklausomybė vadinama stochastinis. Stochastinės priklausomybės sąvokos atsiradimą lemia tai, kad priklausomą kintamąjį įtakoja daugybė nekontroliuojamų ar neatsižvelgtų veiksnių, taip pat tai, kad kintamųjų verčių pokyčius neišvengiamai lydi kai kurios atsitiktinės klaidos. Stochastinio ryšio pavyzdys yra žemės ūkio augalų derliaus priklausomybė Y nuo išbertų trąšų masės X. Tiksliai prognozuoti derliaus negalime, nes tam įtakos turi daug veiksnių (krituliai, dirvožemio sudėtis ir kt.). Tačiau akivaizdu, kad pasikeitus trąšų masei keisis ir derlius.

Statistikoje tiriamos stebimos charakteristikų reikšmės, todėl dažniausiai vadinama stochastine priklausomybe statistinė priklausomybė.

Dėl statistinio ryšio tarp gaunamos charakteristikos Y verčių ir faktoriaus charakteristikos X reikšmių dviprasmiškumo, domina priklausomybės schema, suvidurkinta pagal X, t.y. modelis, išreikštas sąlyginiu matematiniu lūkesčiu M(Y/X = x)(apskaičiuojamas naudojant fiksuotą faktoriaus charakteristikos vertę X = x). Tokio pobūdžio priklausomybės vadinamos regresija, o funkcija ср(х) = M(Y/X = x) – regresijos funkcija Yįjungta X arba prognozė Y Autorius X(pavadinimas y x= f(l)). Tuo pačiu metu efektyvus ženklas Y taip pat vadinama atsako funkcija arba paaiškinamas, išvestis, rezultatas, endogeninis kintamasis ir veiksnio požymis X – regresorius arba aiškinamasis, įvestis, nuspėjamasis, prognozuojantis, egzogeninis kintamasis.

4.7 skyriuje buvo įrodyta, kad sąlyginis matematinis lūkestis M(Y/X) =ср(х) pateikia geriausią Y prognozę iš X kvadratinio vidurkio prasme, t.y. M(Y- f(x)) 2 M(Y-g(x)) 2, kur g(x) – bet kuri kita UPOH prognozė.

Taigi, regresija yra vienpusis statistinis ryšys, nustatantis charakteristikų atitikimą. Priklausomai nuo reiškinį apibūdinančių faktorių charakteristikų skaičiaus, yra garinė pirtis Ir daugkartinis regresija. Pavyzdžiui, porinė regresija – tai regresija tarp gamybos sąnaudų (X faktoriaus charakteristika) ir įmonės pagamintų produktų kiekio (rezultatinė charakteristika Y). Daugiakartinė regresija – tai regresija tarp darbo našumo (rezultatinė charakteristika Y) ir gamybos procesų mechanizavimo lygio, darbo valandų, medžiagų intensyvumo ir darbuotojų kvalifikacijos (veiksnio charakteristikos X t, X 2, X 3, X 4).

Jie išsiskiria forma linijinis Ir netiesinis regresija, t.y. regresijos, išreikštos tiesinėmis ir netiesinėmis funkcijomis.

Pavyzdžiui, f(X) = Oi + Kommersant - porinė tiesinė regresija; f(X) = aX 2 + + bx + Su - kvadratinė regresija; f(X 1? X 2,..., X p) = p 0 4- fi(X(+ p 2 X 2 + ... + p„X w - daugkartinė tiesinė regresija.

Statistinės priklausomybės nustatymo problema turi dvi puses: nustatymą jungties sandarumas (stiprumas). ir apibrėžimas bendravimo formos.

Skirta bendravimo artumui (stiprumui) įtvirtinti koreliacinė analizė, kurio tikslas – remiantis turimais statistiniais duomenimis gauti atsakymus į šiuos pagrindinius klausimus:

• kaip pasirinkti tinkamą statistinį ryšio matuoklį (koreliacijos koeficientas, koreliacijos koeficientas, rango koreliacijos koeficientas ir kt.);
• kaip patikrinti hipotezę, kad gauta santykio matuoklio skaitinė reikšmė tikrai rodo statistinio ryšio buvimą.

Nustato bendravimo formą regresinė analizė.Šiuo atveju regresinės analizės tikslas – remiantis turimais statistiniais duomenimis išspręsti šias problemas:

• regresinės funkcijos tipo pasirinkimas (modelio pasirinkimas);
• Pasirinktos regresijos funkcijos nežinomų parametrų radimas;
• regresinės funkcijos kokybės analizė ir lygties adekvatumo empiriniams duomenims patikrinimas;
• nežinomų gaunamos charakteristikos verčių prognozavimas remiantis pateiktomis faktorių charakteristikų reikšmėmis.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad regresijos sąvoka yra panaši į koreliacijos sąvoką, nes abiem atvejais kalbame apie statistinę priklausomybę tarp tiriamų charakteristikų. Tačiau iš tikrųjų tarp jų yra didelių skirtumų. Regresija reiškia priežastinį ryšį, kai sąlyginės efektyvios charakteristikos vidutinės vertės pokytis atsiranda dėl faktorių charakteristikų pasikeitimo. Koreliacija nieko nesako apie priežastinį ryšį tarp savybių, t.y. jei yra koreliacija tarp X ir Y, tada šis faktas nereiškia, kad vertės keičiasi X nustatyti sąlyginės vidutinės Y reikšmės pokytį. Koreliacija tiesiog teigia faktą, kad vienos reikšmės pokyčiai vidutiniškai koreliuoja su kitos reikšmės pokyčiais.

Stochastinė empirinė priklausomybė

Priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių vadinama stochastine priklausomybe. Jis pasireiškia vieno iš jų (priklausomo kintamojo) pasiskirstymo dėsnio pasikeitimu, kai keičiasi kiti (argumentai).

Grafiškai stochastinė empirinė priklausomybė, koordinačių sistemoje priklausomas kintamasis – argumentai, yra atsitiktinai išsidėsčiusių taškų rinkinys, atspindintis bendrą priklausomo kintamojo elgesio tendenciją, kai keičiasi argumentai.

Stochastinė empirinė priklausomybė nuo vieno argumento vadinama priklausomybe nuo poros, o jei argumentų yra daugiau nei vienas, tai vadinama daugiamačia priklausomybe. Suporuoto tiesinio ryšio pavyzdys parodytas Fig. 1.()

Ryžiai. 1.

Skirtingai nuo įprastos funkcinės priklausomybės, kai argumento (ar kelių argumentų) reikšmės pokyčiai atitinka deterministinio priklausomo kintamojo pasikeitimą, stochastinėje priklausomybėje pasikeičia atsitiktinio priklausomo kintamojo statistinis pasiskirstymas, ypač , matematinis lūkestis.

Matematinio modeliavimo (aproksimacijos) uždavinys

Stochastinės priklausomybės konstravimas kitaip vadinamas matematiniu modeliavimu (aproksimacija) arba aproksimacija ir susideda iš jos matematinės išraiškos (formulės) suradimo.

Empiriškai nustatyta formulė (funkcija), atspindinti ne visada žinomą, bet objektyviai egzistuojantį tikrąjį ryšį ir atitinkanti pagrindinį, stabilų, pasikartojantį objektų, reiškinių ar jų savybių ryšį, laikoma matematiniu modeliu.

Stabilus daiktų santykis ir tikroji jų priklausomybė. sumodeliuotas ar ne, jis egzistuoja objektyviai, turi matematinę išraišką ir yra laikomas dėsniu ar jo padariniu.

Jei žinomas tinkamas dėsnis ar jo pasekmė, natūralu juos laikyti norima analitine priklausomybe. Pavyzdžiui, srovės stiprumo empirinė priklausomybė ašįtampos grandinėje U ir atsparumas apkrovai R išplaukia iš Ohmo dėsnio:

Deja, tikroji kintamųjų priklausomybė daugeliu atvejų yra a priori nežinoma, todėl reikia ją aptikti, remiantis bendrais samprotavimais ir teorinėmis koncepcijomis, tai yra, sukuriant matematinį nagrinėjamo modelio modelį. Atsižvelgiama į tai, kad pateikti kintamieji ir jų prieaugiai atsitiktinių svyravimų fone atspindi norimos tikrosios priklausomybės matematines savybes (liestinių, ekstremalių, šaknų, asimptotų ir kt. elgseną).

Vienaip ar kitaip pasirinkta aproksimacinė funkcija išlygina (vidutiniškai) atsitiktinius priklausomo kintamojo pradinių empirinių reikšmių svyravimus ir taip slopindama atsitiktinį komponentą yra aproksimacija įprastam komponentui, taigi ir norimai tiesai. priklausomybę.

Empirinio ryšio matematinis modelis turi teorinę ir praktinę reikšmę:

· leidžia nustatyti eksperimentinių duomenų adekvatumą vienam ar kitam žinomam dėsniui ir nustatyti naujus modelius;

· išsprendžia priklausomo kintamojo interpoliavimo tam tikrame argumentų reikšmių intervale ir numatymo (ekstrapoliacijos) už intervalo ribų problemą.

Tačiau nepaisant didelio teorinio susidomėjimo rasti matematinę dydžių priklausomybės formulę, praktikoje dažnai pakanka tik nustatyti, ar tarp jų yra ryšys ir koks jo stiprumas.

Koreliacinės analizės užduotis

Ryšio tarp kintančių dydžių tyrimo metodas yra koreliacinė analizė.

Pagrindinė koreliacinės analizės sąvoka, apibūdinanti ryšį tarp kintamųjų, yra koreliacija (iš anglų k koreliacija – koordinacija, ryšys, santykiai, santykiai, tarpusavio priklausomybė).

Koreliacinė analizė naudojama stochastinei priklausomybei nustatyti ir jos stiprumui (reikšmybei) įvertinti pagal koreliacijos koeficientų dydį ir koreliacijos santykį.

Jei randamas ryšys tarp kintamųjų, sakoma, kad koreliacija yra arba kad kintamieji yra koreliuojami.

Ryšio glaudumo rodikliai (koreliacijos koeficientas, koreliacijos santykis) modulo svyruoja nuo 0 (nesant ryšio) iki 1 (stochastinės priklausomybės išsigimimo į funkcinę atveju).

Stochastinis ryšys laikomas reikšmingu (realiu), jei absoliutus koreliacijos koeficiento įvertis (koreliacijos ryšys) yra reikšmingas, tai yra 2-3 didesnis už koeficiento įverčio standartinį nuokrypį.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais galima rasti ryšį tarp reiškinių, kurie nėra akivaizdūs priežasties ir pasekmės ryšiai.

Pavyzdžiui, kai kuriose kaimo vietovėse nustatytas tiesioginis stochastinis ryšys tarp lizdus perkančių gandrų skaičiaus ir gimusių vaikų. Pavasarinis gandrų skaičiavimas leidžia nuspėti, kiek vaikų gims šiais metais, tačiau priklausomybė, žinoma, neįrodo visiems žinomo įsitikinimo, o paaiškinama lygiagrečiais procesais:

· prieš vaikų gimimą dažniausiai sukuriamos ir įkuriamos naujos šeimos, įkuriant kaimo namus ir sodybas;

· besiplečiančios lizdų sukūrimo galimybės pritraukia paukščius ir gausina jų skaičių.

Tokia charakteristikų koreliacija vadinama klaidinga (įsivaizduojama) koreliacija, nors ji gali turėti praktinės reikšmės.

Tikimybių teorija dažnai suvokiama kaip matematikos šaka, nagrinėjanti „tikimybių skaičiavimą“.

Ir visas šis skaičiavimas iš tikrųjų susideda iš paprastos formulės:

« Bet kurio įvykio tikimybė yra lygi į jį įtrauktų elementariųjų įvykių tikimybių sumai“ Praktiškai ši formulė pakartoja mums nuo vaikystės pažįstamą „burtą“:

« Objekto masė lygi jį sudarančių dalių masių sumai».

Čia aptarsime ne tokius trivialius faktus iš tikimybių teorijos. Pirmiausia kalbėsime apie priklausomas Ir nepriklausomasįvykius.

Svarbu suprasti, kad tie patys terminai skirtingose ​​matematikos šakose gali turėti visiškai skirtingas reikšmes.

Pavyzdžiui, kai jie sako, kad apskritimo plotas S priklauso nuo jo spindulio R, tada, žinoma, turime omenyje funkcinę priklausomybę

Priklausomybės ir nepriklausomybės sąvokos tikimybių teorijoje turi visiškai skirtingą reikšmę.

Pradėkime susipažinti su šiomis sąvokomis nuo paprasto pavyzdžio.

Įsivaizduokite, kad šiame kambaryje atliekate kauliukų mėtymo eksperimentą, o jūsų kolega kitame kambaryje taip pat meta monetą. Tarkime, kad jus domina įvykis A – jūsų kolega gauna „du“, o įvykis B – jūsų kolega gauna „uodegą“. Sveikas protas diktuoja: šie įvykiai yra nepriklausomi!

Nors dar neįvedėme priklausomybės/nepriklausomybės sąvokos, intuityviai aišku, kad bet koks pagrįstas nepriklausomybės apibrėžimas turi būti sukurtas taip, kad šie įvykiai būtų apibrėžti kaip nepriklausomi.

Dabar pereikime prie kito eksperimento. Metamas kauliukas, įvykis A yra du, o įvykis B – nelyginis taškų skaičius. Darant prielaidą, kad kaulas yra simetriškas, iš karto galime pasakyti, kad P(A) = 1/6. Dabar įsivaizduokite, kad jie jums pasakys: „Dėl eksperimento įvyko įvykis B ir sumažėjo nelyginis taškų skaičius. Ką dabar galime pasakyti apie įvykio A tikimybę? Akivaizdu, kad dabar ši tikimybė tapo lygi nuliui.

Mums svarbiausia, kad ji pasikeitė.

Grįžtant prie pirmojo pavyzdžio, galime pasakyti informacija faktas, kad įvykis B įvyko kitame kambaryje, nepaveiks jūsų idėjų apie įvykio A tikimybę. Ši tikimybė Nepakeis iš to, kad ką nors sužinojote apie įvykį B.

Mes darome natūralią ir nepaprastai svarbią išvadą -

jei informacija, kad įvykis IN atsitikimas keičia įvykio tikimybę A , tada įvykiai A Ir IN turėtų būti laikomas priklausomu, o jei nesikeičia, tada nepriklausomu.

Šiems svarstymams turėtų būti suteikta matematinė forma, įvykių priklausomybė ir nepriklausomumas turėtų būti nustatomi naudojant formules.

Mes tęsime šią tezę: „Jei A ir B yra priklausomi įvykiai, tai įvykyje A yra informacija apie įvykį B, o įvykyje B yra informacija apie įvykį A. Kaip sužinoti, ar jis yra, ar ne? Atsakymą į šį klausimą pateikia teorija informacija.

Iš informacijos teorijos mums reikia tik vienos formulės, leidžiančios apskaičiuoti abipusės informacijos kiekį I(A, B) įvykiams A ir B

Informacijos kiekio įvairiems renginiams neskaičiuosime ir šios formulės išsamiai neaptarsime.

Mums svarbu, kad jei

tada įvykių A ir B tarpusavio informacijos kiekis lygus nuliui – įvykiai A ir B nepriklausomas. Jeigu

tada abipusės informacijos kiekis yra įvykiai A ir B priklausomas.

Kreipimasis į informacijos sampratą čia yra pagalbinio pobūdžio ir, kaip mums atrodo, leidžia apčiuopiamesnes įvykių priklausomybės ir nepriklausomybės sąvokas.

Tikimybių teorijoje įvykių priklausomybė ir nepriklausomybė aprašoma formaliau.

Visų pirma, mums reikia koncepcijos sąlyginė tikimybė.

Sąlyginė įvykio A tikimybė, jei įvykis B (P(B) ≠0), vadinama reikšme P(A|B), apskaičiuota pagal formulę

.

Vadovaudamiesi mūsų požiūrio į įvykių priklausomybės ir nepriklausomybės supratimo dvasią, galime tikėtis, kad sąlyginė tikimybė turės tokią savybę: jei įvykiai A ir B nepriklausomas , Tai

Tai reiškia, kad informacija apie įvykį B neturi įtakos įvykio A tikimybei.

Taip kaip yra!

Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai

Turime nepriklausomiems renginiams A ir B

Ir

atsitiktinių dydžių ryšys, kuriame vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis pasikeičia veikiant kito pokyčiui.

Žiūrėti vertę Stochastinė priklausomybė kituose žodynuose

Priklausomybė- nelaisvė
pavaldumas
pavaldumas
Sinonimų žodynas

Priklausomybė J.— 1. Išsiblaškymas. daiktavardis pagal vertę adj.: priklausomas (1). 2. Kažko sąlygiškumas. kokios rūšies aplinkybės, priežastys ir pan.
Efremovos aiškinamasis žodynas

Priklausomybė--Ir; ir.
1. Priklausomai. Politinė, ekonominė, materialinė. Z. nuo ko mane slegia, slegia. H. teorija iš praktikos. Gyvenimas priklausomybėje. Tvirtovė z. (valstybė......
Kuznecovo aiškinamasis žodynas

Priklausomybė- - ūkio subjekto būklė, kurioje jo egzistavimas ir veikla priklauso nuo materialinės ir finansinės paramos arba sąveikos su kitais subjektais.
Teisės žodynas

Fišerio priklausomybė- - ryšys, nustatantis, kad tikėtinos infliacijos lygio padidėjimas linkęs didinti nominaliąsias palūkanų normas. Griežčiausioje versijoje - priklausomybė.......
Teisės žodynas

Linijinė priklausomybė- - ekonominiai ir matematiniai modeliai formulių, lygčių pavidalu, kuriose ekonominės reikšmės, parametrai (argumentas ir funkcija) yra tarpusavyje sujungti tiesine funkcija. Paprasčiausias........
Teisės žodynas

Priklausomybė nuo narkotikų- sindromas, pastebėtas piktnaudžiaujant narkotikais ar narkotinėmis medžiagomis ir kuriam būdingas patologinis poreikis vartoti psichotropinius vaistus, kad būtų išvengta...
Didelis medicinos žodynas

Psichinė priklausomybė nuo narkotikų- L. z. be abstinencijos simptomų, jei nustosite vartoti vaistą.
Didelis medicinos žodynas

Fizinė priklausomybė nuo narkotikų- L. z. su abstinencijos simptomais nutraukus vaisto vartojimą arba pradėjus vartoti jo antagonistus.
Didelis medicinos žodynas

Priklausomybė nuo baudžiavos- valstiečių asmeninė, žemės ir administracinė priklausomybė nuo žemvaldžių Rusijoje (XI a. - 1861).Teisiškai įforminta įstatymu. XV – XVII a baudžiava.

Linijinė priklausomybė- С1u1+С2u2+... +Сnun?0 formos santykis, kur С1, С2,..., Сn yra skaičiai, iš kurių bent vienas? 0 ir u1, u2, ..., un yra, pavyzdžiui, kai kurie matematiniai objektai. vektoriai arba funkcijos.
Didelis enciklopedinis žodynas

Priklausomybė nuo baudžiavos— - valstiečių asmeninė, žemės ir administracinė priklausomybė nuo feodalų Rusijoje XI a. -1861 Teisiškai įformintas XV–XVII a. pabaigoje. baudžiava.
Istorijos žodynas

Priklausomybė nuo baudžiavos- asmeninė valstiečių priklausomybė ginče. visuomenė iš feodalų. Žiūrėkite baudžiavą.
Sovietinė istorinė enciklopedija

Linijinė priklausomybė— - žr. straipsnį Linijinė nepriklausomybė.
Matematinė enciklopedija

Lyapunov stochastinė funkcija yra neneigiama funkcija V(t, x), kuriai pora (V(t, X(t)), Ft) yra kažkokio atsitiktinio proceso supermartingalas X(t), Ft yra įvykių s-algebra sukurtas srauto proceso Xdo.......
Matematinė enciklopedija

Stochastinė aproksimacija- statistinių problemų klasės sprendimo metodas. vertinimas, kuriame nauja vertinimo vertė yra esamo vertinimo pakeitimas, pagrįstas nauju pastebėjimu.......
Matematinė enciklopedija

Stochastinė geometrija yra matematinė disciplina, tirianti ryšį tarp geometrijos ir tikimybių teorijos. S. g. išsivystė iš klasikos. integralioji geometrija ir geometrijos problemos.......
Matematinė enciklopedija

Stochastinė priklausomybė- (tikimybinė, statistinė) - atsitiktinių dydžių priklausomybė, kuri išreiškiama bet kurios reikšmės sąlyginio pasiskirstymo pasikeitimu, kai reikšmės keičiasi.......
Matematinė enciklopedija

Stochastinis žaidimas- - dinamiškas žaidimas, kuriame perėjimo paskirstymo funkcija nepriklauso nuo žaidimo priešistorės, t.y. S. ir. pirmasis apibrėžė L. Shapley, kuris laikė antagonistiniais.........
Matematinė enciklopedija

Stochastinė matrica- kvadratinė (galbūt begalinė) matrica su neneigiamais elementais, kad bet kuriai i. Visų n-osios eilės simetrijos sistemų rinkinys yra išgaubtas korpusas.......
Matematinė enciklopedija

Stochastinis tęstinumas— atsitiktinio proceso imties funkcijų savybė. Atsitiktinis procesas X(t), apibrėžtas tam tikroje vadinamoje aibėje. stochastiškai tęstinis šiame rinkinyje, jei toks yra......
Matematinė enciklopedija

Stochastinis neapibrėžtumas- dviejų atsitiktinių procesų savybė ir reiškia, kad atsitiktinė aibė yra nereikšminga, ty aibės tikimybė lygi nuliui. Jei X ir Y yra stochastiniai......
Matematinė enciklopedija

Stochastinis ribojimas— tikimybės ribojimas, yra atsitiktinio proceso X(t) savybė, kuri išreiškiama sąlyga: savavališkam egzistuoja C>0 toks, kad visiems A. V. Prochorovui.
Matematinė enciklopedija

Stochastinė seka- atsitiktinių dydžių seka, apibrėžta išmatuojamoje erdvėje su jai priskirta nemažėjančia algebrų šeima, turinčia nuoseklumo savybę......
Matematinė enciklopedija

Stochastinė konvergencija- tas pats, kas tikimybės konvergencija.
Matematinė enciklopedija

Stochastinis ekvivalentiškumas— lygiavertiškumo ryšys tarp atsitiktinių dydžių, kurie skiriasi tik nulinės tikimybės aibėje. Tiksliau, atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2. nurodyti viename.......
Matematinė enciklopedija

Priklausomybė nuo alkoholio— Alkoholis yra narkotinė medžiaga; diskusiją žr. straipsnyje Priklausomybė nuo narkotikų.
Psichologinė enciklopedija

Haliucinogeninė priklausomybė- Priklausomybė nuo narkotikų, kai vaistai yra haliucinogenai.
Psichologinė enciklopedija

Priklausomybė- (Priklausomybė). Teigiama savybė, skatinanti sveiką psichologinį vystymąsi ir žmogaus augimą.
Psichologinė enciklopedija

Priklausomybė, priklausomybė nuo narkotikų— (priklausomybė nuo narkotikų) – fizinis ir (arba) psichologinis poveikis, atsirandantis dėl priklausomybės nuo tam tikrų vaistinių medžiagų; būdingi kompulsiniai impulsai......
Psichologinė enciklopedija

Tegu reikia tirti priklausomybę ir abu dydžiai matuojami tais pačiais eksperimentais. Norėdami tai padaryti, atliekama eksperimentų serija skirtingomis vertėmis, stengiantis, kad kitos eksperimentinės sąlygos nepakeistų.

Kiekvieno dydžio matavime yra atsitiktinių klaidų (sisteminių klaidų čia nenagrinėsime); todėl šios reikšmės yra atsitiktinės.

Natūralus atsitiktinių dydžių ryšys vadinamas stochastiniu. Mes apsvarstysime dvi problemas:

a) nustatyti, ar yra (su tam tikra tikimybe) priklausomybė, ar vertė nepriklauso;

b) jei priklausomybė egzistuoja, apibūdinkite ją kiekybiškai.

Pirmoji užduotis vadinama dispersine analize, o jei nagrinėjama daugelio kintamųjų funkcija, tada daugiamatė dispersinė analizė. Antroji užduotis vadinama regresine analize. Jei atsitiktinės paklaidos yra didelės, jos gali užmaskuoti norimą priklausomybę ir ją nustatyti gali būti nelengva.

Taigi, kaip parametrą pakanka laikyti atsitiktinį kintamąjį, priklausantį nuo. Šios reikšmės matematinis lūkestis priklauso nuo to, ar ši priklausomybė yra norima, ir vadinama regresijos dėsniu.

Dispersijos analizė. Atlikime nedidelę kiekvienos vertės matavimų seriją ir nustatykime. Apsvarstykite du šių duomenų apdorojimo būdus, kad galėtume ištirti, ar yra reikšminga (t. y. su priimta pasitikėjimo tikimybe) z priklausomybė nuo

Pirmuoju metodu vieno matavimo atrankos standartai apskaičiuojami kiekvienai serijai atskirai ir visam matavimų rinkiniui:

kur yra bendras matavimų skaičius ir

yra atitinkamai kiekvienos serijos ir viso matavimų rinkinio vidutinės vertės.

Palyginkime matavimų aibės dispersiją su atskirų eilučių dispersijomis. Jeigu paaiškėja, kad esant pasirinktam pasikliovimo lygiui galima skaičiuoti visiems i, tai yra z priklausomybė nuo.

Jei nėra patikimo pertekliaus, tada priklausomybės aptikti negalima (atsižvelgiant į eksperimento tikslumą ir priimtą apdorojimo metodą).

Nuokrypiai lyginami naudojant Fišerio testą (30). Kadangi standartas s nustatomas pagal bendrą matavimų skaičių N, kuris paprastai yra gana didelis, beveik visada galite naudoti Fišerio koeficientus, pateiktus 25 lentelėje.

Antrasis analizės metodas yra skirtingų verčių vidurkių palyginimas tarpusavyje. Vertės yra atsitiktinės ir nepriklausomos, o jų pačių atrankos standartai yra lygūs

Todėl jie lyginami pagal 3 punkte aprašytą nepriklausomų matavimų schemą. Jeigu skirtumai yra reikšmingi, t.y. viršija pasikliautinąjį intervalą, tai priklausomybės faktas nustatytas; jei skirtumai tarp visų 2 yra nereikšmingi, tai priklausomybės aptikti nepavyks.

Daugiamatė analizė turi tam tikrų savybių. Vertę patartina matuoti stačiakampio tinklelio mazguose, kad būtų patogiau tirti priklausomybę nuo vieno argumento, fiksuojant kitą argumentą. Matavimų serijos atlikimas kiekviename daugiamačio tinklelio mazge yra per daug darbo jėgos. Norint įvertinti vieno matavimo sklaidą, pakanka atlikti matavimų seriją keliuose tinklelio taškuose; kituose mazguose galime apsiriboti pavieniais matavimais. Dispersijos analizė atliekama pagal pirmąjį metodą.

Pastaba 1. Jei matavimų yra daug, tai abiejuose metoduose atskiri matavimai arba serijos su pastebima tikimybe gali gana stipriai nukrypti nuo savo matematinio lūkesčio. Į tai reikia atsižvelgti renkantis pakankamai artimą 1 pasikliovimo tikimybę (kaip buvo padaryta nustatant ribas, skiriančias leistinas atsitiktines paklaidas nuo didelių).

Regresinė analizė. Tegul dispersinė analizė rodo, kad z priklausomybė nuo yra. Kaip jį kiekybiškai įvertinti?

Norėdami tai padaryti, apytiksliai apskaičiuojame norimą priklausomybę su tam tikra funkcija. Surandame optimalias parametrų reikšmes naudodami mažiausiųjų kvadratų metodą, išspręsdami problemą

kur yra matavimo svoriai, parinkti atvirkščiai proporcingai matavimo paklaidos kvadratui tam tikrame taške (t. y. ). Ši problema buvo išnagrinėta II skyriaus 2 paragrafe. Čia apsistosime tik prie tų savybių, kurios atsiranda dėl didelių atsitiktinių klaidų.

Tipas parenkamas arba iš teorinių svarstymų apie priklausomybės prigimtį, arba formaliai, lyginant grafiką su žinomų funkcijų grafikais. Jei formulė parinkta iš teorinių svarstymų ir teisingai (teoriniu požiūriu) perteikia asimptotiką, tai dažniausiai leidžia ne tik gerai aproksimuoti eksperimentinių duomenų rinkinį, bet ir ekstrapoliuoti rastą priklausomybę į kitus reikšmių diapazonus. Formaliai pasirinkta funkcija gali patenkinamai apibūdinti eksperimentą, tačiau retai tinka ekstrapoliacijai.

Lengviausia išspręsti uždavinį (34), jei tai algebrinis daugianomas, tačiau toks formalus funkcijos pasirinkimas retai būna patenkinamas. Paprastai geros formulės netiesiškai priklauso nuo parametrų (transcendentinė regresija). Transcendentinę regresiją patogiausia konstruoti parenkant tokį niveliuojantį kintamųjų pakeitimą, kad priklausomybė būtų beveik tiesinė (žr. II skyriaus 1 paragrafą, 8 pastraipą). Tada jį lengva aproksimuoti algebriniu daugianario: .

Išlyginamojo kintamųjų pokyčio ieškoma remiantis teoriniais samprotavimais ir atsižvelgiant į asimptotiką.Toliau darysime prielaidą, kad toks pakeitimas jau buvo atliktas.

2 pastaba. Pereinant prie naujų kintamųjų, mažiausių kvadratų metodo uždavinys (34) įgauna formą

kur nauji svoriai yra susiję su pradiniais santykiais

Todėl, net jei pirminėje formulėje (34) visi matavimai buvo vienodi, niveliavimo kintamųjų svoriai nebus vienodi.

Koreliacinė analizė. Reikia patikrinti, ar kintamųjų keitimas tikrai buvo niveliuojantis, tai yra, ar priklausomybė artima tiesinei. Tai galima padaryti apskaičiuojant poros koreliacijos koeficientą

Nesunku parodyti, kad santykiai visada patenkinti

Jei priklausomybė yra griežtai tiesinė (ir joje nėra atsitiktinių klaidų), tada arba priklausomai nuo tiesės nuolydžio ženklo. Kuo mažesnė, tuo mažiau priklausomybė primena tiesinę. Todėl, jei , o matavimų skaičius N yra pakankamai didelis, tai niveliavimo kintamieji parenkami patenkinamai.

Tokios išvados apie priklausomybės pobūdį, pagrįstos koreliacijos koeficientais, vadinamos koreliacijos analize.

Koreliacinė analizė nereikalauja matavimų serijos kiekviename taške. Kiekviename taške pakanka atlikti vieną matavimą, bet tada tiriamoje kreivėje paimti daugiau taškų, o tai dažnai daroma atliekant fizikinius eksperimentus.

3 pastaba. Yra artumo kriterijai, leidžiantys nurodyti, ar priklausomybė praktiškai tiesinė. Prie jų nesigiliname, nes toliau bus svarstomas apytikslio daugianario laipsnio pasirinkimas.

4 pastaba. Santykis rodo tiesinės priklausomybės nebuvimą, bet nereiškia, kad nėra jokios priklausomybės. Taigi, jei segmente - tada

Optimalaus laipsnio daugianario a. Užduotį (35) pakeisime apytiksliu laipsnio polinomu:

Tada optimalios parametrų reikšmės tenkina tiesinių lygčių sistemą (2.43):

ir juos nesunku rasti. Bet kaip pasirinkti daugianario laipsnį?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, grįžkime prie pradinių kintamųjų ir apskaičiuokime aproksimacijos formulės dispersiją su rastais koeficientais. Nešališkas šios dispersijos įvertinimas yra

Akivaizdu, kad didėjant daugianario laipsniui, dispersija (40) mažės: kuo daugiau imama koeficientų, tuo tiksliau galima aproksimuoti eksperimentinius taškus.