Ribų teorija yra viena iš matematinės analizės šakų. Ribų sprendimo klausimas yra gana platus, nes yra daugybė būdų, kaip išspręsti įvairių tipų ribas. Yra dešimtys niuansų ir gudrybių, leidžiančių išspręsti tą ar kitą ribą. Nepaisant to, mes vis tiek stengsimės suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje.
Pradėkime nuo pačios ribos sąvokos. Bet pirmiausia trumpas istorinis fonas. XIX amžiuje gyveno prancūzas Augustinas Louis Cauchy, kuris griežtai apibrėžė daugelį matano sąvokų ir padėjo jos pamatus. Reikia pasakyti, kad šis gerbiamas matematikas buvo, yra ir bus visų fizikos ir matematikos katedrų studentų košmaruose, nes jis įrodė daugybę matematinės analizės teoremų, o viena teorema yra mirtingesnė už kitą. Šiuo atžvilgiu mes dar nesvarstysime Koši ribos nustatymas, bet pabandykime padaryti du dalykus:
1. Supraskite, kas yra riba.
2. Išmokite spręsti pagrindinius ribų tipus.
Atsiprašau už kai kuriuos nemoksliškus paaiškinimus, svarbu, kad medžiaga būtų suprantama net arbatinukui, o tai iš tikrųjų yra projekto užduotis.
Taigi kokia yra riba?
Ir tik pavyzdys, kodėl apšiurusią močiutę...
Bet kokia riba susideda iš trijų dalių:
1) Gerai žinoma ribos piktograma.
2) Įrašai po ribos piktograma, šiuo atveju . Įrašas skelbia „X linkęs į vieną“. Dažniausiai - tiksliai, nors vietoje „X“ praktikoje yra kiti kintamieji. Praktinėse užduotyse vieno vieta gali būti absoliučiai bet koks skaičius, taip pat begalybė ().
3) Funkcijos po ribiniu ženklu, šiuo atveju .
Pats įrašas 
skamba taip: „funkcijos riba kaip x linkusi į vienybę“.
Pažvelkime į kitą svarbų klausimą – ką reiškia posakis „x“? stengiasi vienam"? O ką išvis reiškia „stengtis“?
Ribos sąvoka yra sąvoka, taip sakant, dinamiškas. Sukurkime seką: pirmiausia , tada , , …, 
, ….
Tai reiškia, kad posakis „x stengiasiį vieną“ turėtų būti suprantama taip: „x“ nuosekliai perima vertybes kurios artėja prie vienybės be galo artimos ir praktiškai su ja sutampa.
Kaip išspręsti aukščiau pateiktą pavyzdį? Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, jums tereikia pakeisti vieną į funkciją po ribos ženklu:
Taigi, pirmoji taisyklė: Kai suteikiama kokia nors riba, pirmiausia mes tiesiog bandome prijungti skaičių prie funkcijos.
Mes svarstėme paprasčiausią ribą, tačiau jos pasitaiko ir praktikoje, ir ne taip jau retai!
Pavyzdys su begalybe:
Išsiaiškinkime, kas tai yra? Tai yra atvejis, kai jis didėja neribotai, tai yra: pirma, tada, tada, tada ir taip toliau iki begalybės.
Kas šiuo metu nutinka funkcijai?
, , 
, …
Taigi: jei , tada funkcija linkusi į minus begalybę:
Grubiai tariant, pagal pirmąją mūsų taisyklę vietoj „X“ į funkciją pakeičiame begalybę ir gauname atsakymą.
Kitas pavyzdys su begalybe:
Vėl pradedame didinti iki begalybės ir pažvelgti į funkcijos elgseną: 
Išvada: kai funkcija be apribojimų didėja:
Ir dar viena pavyzdžių serija:
Pabandykite mintyse išanalizuoti šiuos dalykus ir prisiminti paprasčiausius ribų tipus:
, , , , 
, , , , 
,
Jei bet kur kyla abejonių, galite pasiimti skaičiuotuvą ir šiek tiek pasitreniruoti.
Tuo atveju pabandykite sukurti seką , , . Jei tada , , .
! Pastaba: Griežtai kalbant, toks kelių skaičių sekų konstravimo būdas yra neteisingas, tačiau norint suprasti paprasčiausius pavyzdžius, visai tinkamas.
Taip pat atkreipkite dėmesį į toliau pateiktą dalyką. Net jei limitas pateikiamas su dideliu skaičiumi viršuje ar net su milijonu: , tada viskas vienoda 
, nes anksčiau ar vėliau „X“ pradės įgauti tokias milžiniškas vertes, kad palyginus milijonas bus tikras mikrobas.
Ką reikia atsiminti ir suprasti iš aukščiau pateiktų dalykų?
1) Kai suteikiama bet kokia riba, pirmiausia mes tiesiog bandome pakeisti skaičių į funkciją.
2) Turite suprasti ir nedelsiant išspręsti pačias paprasčiausias ribas, pvz 
, ir kt.
Be to, riba turi labai gerą geometrinę reikšmę. Norėdami geriau suprasti temą, rekomenduoju perskaityti mokymo medžiagą Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Perskaitę šį straipsnį ne tik pagaliau suprasite, kas yra riba, bet ir susipažinsite su įdomiais atvejais, kai funkcijos riba apskritai neegzistuoja!
Praktikoje, deja, dovanų yra mažai. Todėl mes pereiname prie sudėtingesnių ribų. Beje, šioje temoje yra intensyvus kursas pdf formatu, o tai ypač naudinga, jei turite LABAI mažai laiko pasiruošti. Tačiau svetainės medžiaga, žinoma, nėra prastesnė:
Dabar apsvarstysime ribų grupę, kai , o funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario
Pavyzdys:
Apskaičiuokite limitą 
Pagal mūsų taisyklę bandysime į funkciją pakeisti begalybę. Ką mes gauname viršuje? Begalybė. O kas vyksta žemiau? Taip pat begalybė. Taigi mes turime tai, kas vadinama rūšies neapibrėžtumu. Galima manyti, kad , ir atsakymas yra paruoštas, tačiau apskritai taip nėra, ir būtina taikyti tam tikrą sprendimo techniką, kurią mes dabar apsvarstysime.
Kaip išspręsti tokio tipo ribas?
Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir randame didžiausią galią: 
Pirmaujanti galia skaitiklyje yra du.
Dabar žiūrime į vardiklį ir randame jį iki didžiausios galios: 
Didžiausias vardiklio laipsnis yra du.
Tada pasirenkame didžiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį: šiame pavyzdyje jie yra vienodi ir lygūs dviem.
Taigi, sprendimo būdas yra toks: norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš didžiausios laipsnio.
Štai atsakymas ir visai ne begalybė.
Kas iš esmės svarbu priimant sprendimą?
Pirmiausia nurodome neapibrėžtumą, jei toks yra.
Antra, patartina pertraukti sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų. Dažniausiai naudoju ženklą, jis neturi jokios matematinės reikšmės, o reiškia, kad sprendimas pertraukiamas tarpiniam paaiškinimui.
Trečia, limite patartina pažymėti, kas kur vyksta. Kai darbas braižomas ranka, patogiau tai padaryti taip: 
Užrašams geriau naudoti paprastą pieštuką.
Žinoma, jūs neprivalote to daryti, bet galbūt tada mokytojas nurodys sprendimo trūkumus arba pradės užduoti papildomų klausimų apie užduotį. Ar tau to reikia?
2 pavyzdys
Raskite ribą 
Vėlgi skaitiklyje ir vardiklyje randame aukščiausią laipsnį: 
Maksimalus skaitiklio laipsnis: 3
Didžiausias vardiklio laipsnis: 4
Pasirinkite didžiausias vertės, šiuo atveju keturios.
Pagal mūsų algoritmą, kad atskleistume neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį padalijame iš .
Visa užduotis gali atrodyti taip:
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
3 pavyzdys
Raskite ribą 
Didžiausias „X“ laipsnis skaitiklyje: 2
Didžiausias „X“ laipsnis vardiklyje: 1 (gali būti parašytas kaip)
Norint atskleisti neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš . Galutinis sprendimas gali atrodyti taip:
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
Žymėjimas reiškia ne padalijimą iš nulio (negalite dalyti iš nulio), o dalijimą iš begalinio skaičiaus.
Taigi, atskleidę rūšių neapibrėžtumą, mes galime tai padaryti galutinis skaičius, nulis arba begalybė.
Ribos su tipo neapibrėžtumu ir jų sprendimo būdu
Kita ribų grupė yra šiek tiek panaši į ką tik nagrinėtas ribas: skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, bet „x“ nebelinksta į begalybę, o baigtinis skaičius.
4 pavyzdys
Išspręskite limitą 
Pirmiausia pabandykime trupmeną pakeisti -1: 
Tokiu atveju gaunamas vadinamasis neapibrėžtumas.
Pagrindinė taisyklė: jei skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario ir yra formos neapibrėžtumas , tada jį atskleisti reikia apskaičiuoti skaitiklį ir vardiklį.
Norėdami tai padaryti, dažniausiai reikia išspręsti kvadratinę lygtį ir (arba) naudoti sutrumpintas daugybos formules. Jei šie dalykai buvo pamiršti, apsilankykite puslapyje Matematinės formulės ir lentelės ir perskaitykite mokymo medžiagą Karštos formulės mokykliniam matematikos kursui. Beje, geriausia atsispausdinti, to reikia labai dažnai, o iš popieriaus geriau įsisavinama informacija.
Taigi, išspręskime savo limitą 
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį
Norėdami apskaičiuoti skaitiklį, turite išspręsti kvadratinę lygtį: 
Pirmiausia randame diskriminantą:
Ir jo kvadratinė šaknis: .
Jei diskriminantas yra didelis, pavyzdžiui, 361, mes naudojame skaičiuotuvą, kvadratinės šaknies ištraukimo funkcija yra paprasčiausiame skaičiuoklėje.
! Jei šaknis išgaunama ne visa (gaunamas trupmeninis skaičius su kableliu), labai tikėtina, kad diskriminantas buvo apskaičiuotas neteisingai arba užduotyje buvo rašybos klaida.
Toliau randame šaknis: 
Taigi:
Visi. Skaitiklis suskaidytas į koeficientus.
Vardiklis. Vardiklis jau yra pats paprasčiausias veiksnys, ir jo niekaip negalima supaprastinti.
Akivaizdu, kad jis gali būti sutrumpintas iki:
Dabar mes pakeičiame -1 į išraišką, kuri lieka po ribos ženklu:
Natūralu, kad atliekant testą, testą ar egzaminą sprendimas niekada nėra aprašytas taip išsamiai. Galutinėje versijoje dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:
Suskaičiuokime skaitiklį faktoriais. 
5 pavyzdys
Apskaičiuokite limitą 
Pirma, sprendimo „baigti“ versija
Suskaičiuokime skaitiklį ir vardiklį.
Skaitiklis:
Vardiklis: 
, 
Kas svarbu šiame pavyzdyje?
Pirma, jūs turite gerai suprasti, kaip atskleidžiamas skaitiklis, pirmiausia iš skliaustų paėmėme 2, o tada panaudojome kvadratų skirtumo formulę. Tai formulė, kurią reikia žinoti ir pamatyti.
Rekomendacija: Jei limite (beveik bet kokio tipo) galima ištraukti skaičių iš skliaustų, tai mes visada tai darome.
Be to, tokius skaičius patartina perkelti už ribos piktogramos. Kam? Taip, tik tam, kad jie netrukdytų. Svarbiausia neprarasti šių skaičių vėliau sprendimo metu.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame sprendimo etape iš ribinės piktogramos išėmiau du, o tada minusą.
! Svarbu
Sprendimo metu tipo fragmentas pasitaiko labai dažnai. Sumažinkite šią dalįtai uždrausta
. Pirmiausia reikia pakeisti skaitiklio arba vardiklio ženklą (iš skliaustų dėkite -1).
, tai yra atsiranda minuso ženklas, į kurį atsižvelgiama skaičiuojant limitą ir jo visai nereikia prarasti.
Apskritai pastebėjau, kad dažniausiai ieškant tokio tipo ribas tenka išspręsti dvi kvadratines lygtis, tai yra, tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje yra kvadratiniai trinadžiai.
Skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguotos išraiškos metodas
Mes ir toliau svarstome formos neapibrėžtumą
Kitas apribojimų tipas yra panašus į ankstesnį tipą. Vienintelis dalykas, be daugianarių, pridėsime šaknis.
6 pavyzdys
Raskite ribą 
Pradėkime spręsti.
Pirmiausia bandome pakeisti 3 į išraišką po ribos ženklu
Dar kartą pakartosiu – tai pirmas dalykas, kurį reikia padaryti norint BET KOKIĄ limitą. Šis veiksmas paprastai atliekamas mintyse arba juodraščio forma.
Gautas formos neapibrėžtumas, kurį reikia pašalinti. 
Kaip tikriausiai pastebėjote, mūsų skaitiklyje yra šaknų skirtumas. O matematikoje įprasta, jei įmanoma, atsikratyti šaknų. Kam? O be jų gyventi lengviau.
Funkcijos riba taške ir taške
Funkcijos riba yra pagrindinis matematinės analizės aparatas. Su jo pagalba vėliau nustatomas funkcijos tęstinumas, išvestinė, integralas ir serijos suma.
Tegul funkcija y=f(x)apibrėžtas tam tikroje taško kaimynystėje, išskyrus galbūt patį tašką.
Suformuluokime du lygiaverčius funkcijos ribos taške apibrėžimus.
1 apibrėžimas („sekų kalba“ arba pagal Heine). Skaičius b paskambino funkcijos riba y=f(x) taške (arba už ), jei bet kuriai leistinų argumentų reikšmių sekai konverguoja į (t. y. ), atitinkamų funkcijų reikšmių seka susilieja į skaičių b(t.y).
Tokiu atveju jie rašo arba el. Funkcijos ribos geometrinė reikšmė: reiškia, kad visiems taškams X, pakankamai arti taško , atitinkamos funkcijos reikšmės skiriasi nuo skaičiaus tiek, kiek norima b.
2 apibrėžimas („kalba e-d “ arba pagal Koši). Skaičius b paskambino funkcijos riba y=f(x) taške (arba už ), Jei bet kuriam teigiamam skaičiui e yra teigiamas skaičius d, kad visiems, atitinkantiems nelygybę, nelygybė .
Įrašyta.
Šį apibrėžimą galima trumpai parašyti taip:
Atminkite, kad galite parašyti taip.
Funkcijos ribos geometrinė reikšmė: jeigu kuriai nors taško e b yra tokia d-taško kaimynystė , kad visiems iš šios d kaimynystės atitinkamos funkcijos reikšmės f(x) yra taško el. kaimynystėje b. Kitaip tariant, funkcijos grafiko taškai y=f(x) yra 2e pločio juostoje, kurią riboja tiesios linijos adresu = b+e, adresu = b- e (17 pav.). Akivaizdu, kad d reikšmė priklauso nuo e pasirinkimo, todėl rašome d = d(e).
Nustatant funkcijos ribą daroma prielaida, kad X siekia bet kokiu būdu: likę mažiau nei (kairėje nuo ), geresnis negu (į dešinę ) arba svyruoja aplink tašką .
Pasitaiko atvejų, kai argumento aproksimavimo metodas XĮ reikšmingai įtakoja funkcijos ribos reikšmę. Todėl įvedamos vienpusių ribų sąvokos.
Apibrėžimas. Skambina numeriu funkcijos riba y=f(x) paliko taške , jei bet kuriam skaičiui e > 0 yra toks skaičius d = d(e) > 0, kad , nelygybė .
Kairėje esanti riba rašoma taip arba trumpai (Dirichlet žymėjimas) (18 pav.).
Apibrėžiama panašiai funkcijos riba dešinėje , parašykime naudodami simbolius:
Trumpai tariant, dešinėje esanti riba žymima .
Kairioji ir dešinioji funkcijos ribos vadinamos vienpusės ribos . Akivaizdu, kad jei , tada egzistuoja abi vienpusės ribos ir .
Taip pat tiesa: jei abi ribos egzistuoja ir ir jos yra lygios, tada egzistuoja riba ir .
Jei, vadinasi, jo nėra.
Apibrėžimas. Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžtas intervale . Skaičius b paskambino funkcijos riba y=f(x) adresu X® ¥, jei bet kuriam skaičiui e > 0 yra toks skaičius M = M(e) > 0, kuris visiems X, tenkinant nelygybę, nelygybė tenkinama. Trumpai šį apibrėžimą galima parašyti taip:
Jeigu X® +¥, tada parašykite, jei X® -¥, tada jie rašo , jei = , tada jų bendra reikšmė paprastai žymima .
Šio apibrėžimo geometrinė reikšmė yra tokia: for , kad už ir atitinkamos funkcijos reikšmės y=f(x) patenka į taško el. kaimynystę b, t.y. grafiko taškai yra 2e pločio juostoje, kurią riboja tiesios linijos ir (19 pav.).
Be galo didelės funkcijos (b.b.f)
Be galo mažos funkcijos (be galo mažos funkcijos)
Apibrėžimas. Funkcija y=f(x) vadinamas be galo didelis at , jei bet koks skaičius M> 0 yra skaičius d = d( M) > 0, kuris tinka visiems X, tenkinant nelygybę, nelygybė tenkinama Rašykite arba adresu .
Pavyzdžiui, funkcija yra b.b.f. adresu .
Jeigu f(x) linkęs į begalybę ties ir ima tik teigiamas reikšmes, tada parašykite ; jei tik neigiamos reikšmės, tada .
Apibrėžimas. Funkcija y=f(x), apibrėžiamas visoje skaitinėje ašyje, vadinamas be galo didelis at , jei bet koks skaičius M> 0 yra toks skaičius N = N(M) > 0, kuris tinka visiems X tenkinant nelygybę, rašoma nelygybė. Trumpai:
Pavyzdžiui, yra b.b.f. adresu .
Atkreipkite dėmesį, kad jei argumentas X, linkęs į begalybę, pasiima tik gamtos vertybes, t.y. , tada atitinkamas b.b.f. tampa be galo didele seka. Pavyzdžiui, seka yra be galo didelė seka. Akivaizdu, bet koks b.b.f. apylinkėse taškų yra neribotas šioje apylinkėje. Priešingai: neribota funkcija negali būti b.b.f. (Pavyzdžiui, )
Tačiau jei kur b - galutinis skaičius, tada funkcija f(x ribotas taško apylinkėse.
Iš tikrųjų iš funkcijos ribos apibrėžimo išplaukia, kad kai sąlyga įvykdoma. Todėl , ir tai reiškia, kad funkcija f(x) yra ribotas.
Apibrėžimas. Funkcija y=f(x) vadinamas be galo mažas at , Jei
Pagal funkcijos ribos apibrėžimą ši lygybė reiškia: bet kuriam skaičiui yra toks skaičius, kuris yra visiems X tenkinant nelygybę, nelygybė tenkinama.
Panašiai nustatomas ir b.m.f. adresu
: Visais šiais atvejais.
Be galo mažos funkcijos dažnai vadinamos be galo maži kiekiai arba be galo mažas ; paprastai žymimas graikiškomis raidėmis a, b ir kt.
B.m.f pavyzdžiai. atlikti funkcijas, kai
Kitas pavyzdys: - be galo maža seka.
PavyzdysĮrodyk tai .
Sprendimas . 5+ funkcija X gali būti pavaizduota kaip skaičiaus 7 ir b.m.f suma. X- 2 (prie ), t.y. lygybė patenkinta. Todėl pagal 3.4.6 teoremą gauname .
Pagrindinės teoremos apie ribas
Panagrinėkime teoremas (be įrodymų), kurios padeda lengviau rasti funkcijos ribas. Teoremų formulavimas atvejams, kai ir yra panašūs. Pateiktose teoremose manysime, kad ribos egzistuoja.
5.8 teorema Dviejų funkcijų sumos (skirtumo) riba lygi jų ribų sumai (skirtumui): .
5.9 teorema Dviejų funkcijų sandaugos riba yra lygi jų ribų sandaugai:
Atkreipkite dėmesį, kad teorema galioja bet kokio baigtinio funkcijų skaičiaus sandaugai.
3 išvada Pastovus koeficientas gali būti paimtas už ribinio ženklo: .
4 išvada Laipsnio riba su natūraliuoju rodikliu lygi tam pačiam ribos laipsniui: . Visų pirma,
5.10 teorema Trupmenos riba lygi skaitiklio ribai, padalytai iš vardiklio ribos, nebent vardiklio riba lygi nuliui:
Pavyzdys Apskaičiuoti
Sprendimas .
Pavyzdys Apskaičiuoti
Sprendimas . Čia teorema apie trupmenos ribą negali būti taikoma, nes vardiklio riba, at lygi 0. Be to, skaitiklio riba lygi 0. Tokiais atvejais sakome, kad turime tipo neapibrėžtumas. Norėdami jį išplėsti, trupmenos skaitiklį ir vardiklį suskaidome faktoriais, tada sumažiname jį taip:
Pavyzdys Apskaičiuoti
Sprendimas . Čia mes susiduriame su tipo neapibrėžtumas. Norėdami rasti tam tikros trupmenos ribą, padalykite skaitiklį ir vardiklį iš:
Funkcija yra skaičiaus 2 ir b.m.f suma, todėl
Ribų ženklai
Ne kiekviena funkcija, net ir ribota, turi ribą. Pavyzdžiui, funkcijai nėra jokių apribojimų. Daugeliu analizės klausimų pakanka tik patikrinti, ar egzistuoja funkcijos riba. Tokiais atvejais naudojami ribos buvimo ženklai.
Pirmoji ir antra pastebimos ribos
Apibrėžimas. Skaičiuojant išraiškų, kuriose yra trigonometrinių funkcijų, ribas, dažnai naudojama riba
paskambino pirmoji pastebima riba .
Jame rašoma: sinuso ir jo argumento santykio riba yra lygi vienetui, kai argumentas linkęs į nulį.
Pavyzdys Rasti
Sprendimas . Turime formos neapibrėžtumą. Trupmenų ribos teorema netaikoma. Tada pažymėkime ties ir
Pavyzdys 3 Raskite
Sprendimas.
Apibrėžimas. Lygybės vadinamos antroji nepaprasta riba .
komentuoti. Yra žinoma, kad skaičių sekos riba
Turi ribą, lygią e: . Skaičius e vadinamas Neper skaičiumi. Skaičius e yra neracionalus, jo apytikslė reikšmė yra 2,72 (e = 2, 718281828459045...). Dėl kai kurių skaičiaus e savybių ypač patogu pasirinkti šį skaičių logaritmų pagrindu. Logaritmai iki e bazės vadinami natūraliaisiais logaritmais ir žymimi Atkreipkite dėmesį, kad
Priimkime be įrodymų teiginį, kad funkcija taip pat linkusi į skaičių e
Jei įdėsite, tada taip. Šios lygybės plačiai naudojamos skaičiuojant ribas. Analizės taikymuose svarbų vaidmenį atlieka eksponentinė funkcija su baze e. Funkcija vadinama eksponentine, taip pat naudojamas žymėjimas
Pavyzdys Rasti
Sprendimas . Mes žymime akivaizdžiai, su Mes turime
Ribų skaičiavimas
Norint atskleisti formos neapibrėžtumus, dažnai pravartu pritaikyti begalinių mažųjų skaičių pakeitimo lygiaverčiais principą ir kitas lygiaverčių be galo mažų funkcijų savybes. Kaip žinoma ~ x kada ~ x, nes
Šiame straipsnyje mes jums pasakysime, kokia yra funkcijos riba. Pirmiausia paaiškinkime bendruosius dalykus, kurie yra labai svarbūs norint suprasti šio reiškinio esmę.
Ribos koncepcija
Matematikoje iš esmės svarbi begalybės sąvoka, žymima simboliu ∞. Jis turėtų būti suprantamas kaip be galo didelis + ∞ arba be galo mažas skaičius - ∞. Kai kalbame apie begalybę, dažnai turime omenyje abi šias reikšmes vienu metu, tačiau formos + ∞ arba - ∞ žymėjimas neturėtų būti pakeistas tiesiog ∞.
Funkcijos riba užrašoma kaip lim x → x 0 f (x) . Apačioje rašome pagrindinį argumentą x, o rodyklės pagalba nurodome į kokią reikšmę x0 jis linkęs. Jei reikšmė x 0 yra konkretus realusis skaičius, tai mes turime reikalą su funkcijos riba taške. Jei reikšmė x 0 yra linkusi į begalybę (nesvarbu, ar ∞, + ∞ ar - ∞), tada turėtume kalbėti apie funkcijos ribą begalybėje.
Riba gali būti baigtinė arba begalinė. Jeigu jis lygus konkrečiam realiajam skaičiui, t.y. lim x → x 0 f (x) = A, tada ji vadinama baigtine riba, bet jei lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ arba lim x → x 0 f (x) = - ∞ , tada begalinis.
Jei negalime nustatyti nei baigtinės, nei begalinės reikšmės, tai reiškia, kad tokios ribos nėra. Tokio atvejo pavyzdys būtų sinuso riba begalybėje.
Šioje pastraipoje paaiškinsime, kaip rasti funkcijos ribos reikšmę taške ir begalybėje. Norėdami tai padaryti, turime įvesti pagrindinius apibrėžimus ir prisiminti, kas yra skaičių sekos, taip pat jų konvergenciją ir skirtumą.
1 apibrėžimas
Skaičius A yra funkcijos f (x) riba kaip x → ∞, jei jos reikšmių seka konverguoja į A bet kuriai be galo didelei argumentų sekai (neigiamai arba teigiamai).
Funkcijos ribos užrašymas atrodo taip: lim x → ∞ f (x) = A.
2 apibrėžimas
Kaip x → ∞, funkcijos f(x) riba yra begalinė, jei bet kurios be galo didelės argumentų sekos reikšmių seka taip pat yra be galo didelė (teigiama arba neigiama).
Įrašas atrodo taip lim x → ∞ f (x) = ∞ .
1 pavyzdys
Įrodykite lygybę lim x → ∞ 1 x 2 = 0 naudodami pagrindinį x → ∞ ribos apibrėžimą.
Sprendimas
Pradėkime parašydami funkcijos 1 x 2 reikšmių seką be galo didelei teigiamai argumento x = 1, 2, 3, reikšmių sekai. . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Matome, kad vertės palaipsniui mažės, link 0. Žiūrėkite paveikslėlyje:
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Čia taip pat matome monotonišką mažėjimą link nulio, o tai patvirtina to pagrįstumą lygybės sąlygoje:
Atsakymas: To teisingumas lygybės sąlygoje patvirtinamas.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite ribą lim x → ∞ e 1 10 x .
Sprendimas
Pradėkime, kaip ir anksčiau, užrašydami reikšmių sekas f (x) = e 1 10 x be galo didelei teigiamai argumentų sekai. Pavyzdžiui, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .
Matome, kad ši seka yra be galo teigiama, o tai reiškia f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Pereikime prie be galo didelės neigiamos sekos reikšmių rašymo, pavyzdžiui, x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞
Kadangi jis taip pat linkęs į nulį, tai f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Problemos sprendimas aiškiai parodytas iliustracijoje. Mėlyni taškai rodo teigiamų reikšmių seką, žali taškai rodo neigiamų reikšmių seką.
Atsakymas: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr ir x → + ∞ 0 , pr ir x → - ∞ .
Pereikime prie funkcijos ribos taške apskaičiavimo metodo. Norėdami tai padaryti, turime žinoti, kaip teisingai apibrėžti vienpusę ribą. Tai taip pat bus naudinga, norint rasti funkcijos grafiko vertikaliąsias asimptotes.
3 apibrėžimas
Skaičius B yra funkcijos f (x) riba kairėje kaip x → a tuo atveju, kai jos reikšmių seka konverguoja į duotą skaičių bet kuriai funkcijos x n argumentų sekai, konverguojančiai į a, jei jo reikšmės išlieka mažesnės nei a (x n< a).
Tokia riba raštu žymima kaip lim x → a - 0 f (x) = B.
Dabar suformuluokime, kokia yra dešinėje esančios funkcijos riba.
4 apibrėžimas
Skaičius B yra funkcijos f (x) riba dešinėje kaip x → a tuo atveju, kai jos reikšmių seka konverguoja į duotą skaičių bet kuriai funkcijos x n argumentų sekai, konverguojančiai į a, jei jo reikšmės išlieka didesnės už a (x n > a) .
Šią ribą užrašome kaip lim x → a + 0 f (x) = B .
Funkcijos f (x) ribą galime rasti tam tikrame taške, kai ji turi vienodas ribas kairėje ir dešinėje pusėse, t.y. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Jei abi ribos yra begalinės, funkcijos riba pradiniame taške taip pat bus begalinė.
Dabar mes paaiškinsime šiuos apibrėžimus užrašydami konkrečios problemos sprendimą.
3 pavyzdys
Įrodykite, kad taške x 0 = 2 yra baigtinė funkcijos f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 riba ir apskaičiuokite jos reikšmę.
Sprendimas
Norėdami išspręsti problemą, turime prisiminti funkcijos ribos taške apibrėžimą. Pirma, įrodykime, kad pradinė funkcija turi ribą kairėje. Užrašykime funkcijų reikšmių seką, kuri konverguotų į x 0 = 2, jei x n< 2:
f(-2); f (0); f (1); f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8 667; 2 667; 0, 167; - 0 958; - 1 489; - 1 747; - 1 874; . . . ; - 1 998; . . . → - 2
Kadangi aukščiau pateikta seka sumažinama iki -2, galime parašyti, kad lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Funkcijos reikšmės šioje sekoje atrodys taip:
f (6); f (4); f (3); f 2 1 2; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7 333; - 5 333; - 3 833; - 2 958; - 2 489; - 2 247; - 2 124; . . . , - 2 001, . . . → - 2
Ši seka taip pat konverguoja į – 2, o tai reiškia, kad lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Mes nustatėme, kad ribos dešinėje ir kairėje šios funkcijos pusėse bus lygios, o tai reiškia, kad funkcijos f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 riba taške x 0 = 2 egzistuoja, ir lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Sprendimo eigą galite pamatyti iliustracijoje (žalieji taškai yra reikšmių seka, konverguojanti į x n< 2 , синие – к x n > 2).
Atsakymas:Šios funkcijos ribos dešinėje ir kairėje bus lygios, o tai reiškia, kad funkcijos riba egzistuoja, o lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Norėdami giliau išstudijuoti ribų teoriją, patariame perskaityti straipsnį apie funkcijos tęstinumą taške ir pagrindinius nepertraukiamumo taškų tipus.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Apsvarstykite funkciją %%f(x)%%, apibrėžtą bent jau tam tikroje pradūrtoje kaimynystėje %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% taško %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% išplėstinė skaičių eilutė.
Koši ribos samprata
Iškviečiamas skaičius %%A \in \mathbb(R)%% funkcijos riba%%f(x)%% taške %%a \in \mathbb(R)%% (arba %%x%% link %%a \in \mathbb(R)%%), jei, ką Kad ir koks būtų teigiamas skaičius %%\varepsilon%%, yra teigiamas skaičius %%\delta%%, kad visuose taško %%\delta%% taško %%a%% kaimynystėje esančių taškų funkcijos reikšmės priklauso %%\varepsilon %%-taško %%A%% kaimynystei arba
$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Rodyklė į kairę \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rodyklė dešinėn f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$
Šis apibrėžimas vadinamas %%\varepsilon%% ir %%\delta%% apibrėžimu, kurį pasiūlė prancūzų matematikas Augustinas Koši ir vartojamas nuo XIX amžiaus pradžios iki šių dienų, nes turi būtiną matematinį griežtumą ir tikslumą.
Sujungiant įvairias taško %%a%% apylinkes formoje %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ tekstas (U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) %% su aplinka %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, gauname 24 Koši ribos apibrėžimus.
Geometrinė reikšmė
Funkcijos ribos geometrinė reikšmė
Išsiaiškinkime, kokia geometrinė funkcijos ribos taške reikšmė. Sukurkime funkcijos %%y = f(x)%% grafiką ir pažymėkime jame taškus %%x = a%% ir %%y = A%%.
Funkcijos %%y = f(x)%% riba taške %%x \iki a%% egzistuoja ir yra lygi A, jei bet kuriai %%\varepsilon%% taško %%A%% kaimynystėje galima nurodyti tokią %%\ delta%%- taško %%a%% apylinkę taip, kad bet kuriai %%x%% iš šios %%\delta%%- kaimynystės reikšmė %%f(x)% % bus %%\varepsilon%% kaimynystės taškuose %%A%%.
Atkreipkite dėmesį, kad pagal funkcijos ribos apibrėžimą pagal Cauchy, norint, kad riba būtų %%x \iki a%%, nesvarbu, kokią reikšmę funkcija įgauna taške %%a%%. Galima pateikti pavyzdžius, kai funkcija neapibrėžta, kai %%x = a%% arba įgauna kitą reikšmę nei %%A%%. Tačiau riba gali būti %%A%%.
Heine ribos nustatymas
Elementas %%A \in \overline(\mathbb(R))%% vadinamas funkcijos %%f(x)%% riba %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , jei bet kuriai sekai %%\(x_n\) \iki a%% nuo apibrėžimo srities, atitinkamų reikšmių seka %%\big\(f(x_n)\big\)% % linkęs į %%A%%.
Ribos apibrėžimą pagal Heine patogu naudoti, kai kyla abejonių dėl funkcijos ribos buvimo tam tikrame taške. Jei įmanoma sukurti bent vieną seką %%\(x_n\)%% su riba taške %%a%%, kad seka %%\big\(f(x_n)\big\)%% neturi ribų, galime daryti išvadą, kad funkcija %%f(x)%% šiuo metu neturi jokių apribojimų. Jei dviems įvairių sekos %%\(x"_n\)%% ir %%\(x""_n\)%% turinčios tas pats riba %%a%%, sekos %%\big\(f(x"_n)\big\)%% ir %%\big\(f(x""_n)\big\)%% turi įvairių ribos, tai šiuo atveju taip pat nėra funkcijos %%f(x)%% ribos.
Pavyzdys
Tegul %%f(x) = \sin(1/x)%%. Patikrinkime, ar taške %%a = 0%% yra šios funkcijos riba.
Pirmiausia parinkkime seką $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\), konverguojančią į šį tašką. $$
Akivaizdu, kad %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% ir %%\lim (x_n) = 0%%. Tada %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% ir %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.
Tada paimkite seką, konverguojančią į tą patį tašką $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$
kuriam %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% ir %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Panašiai sekai $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \right\), $$
taip pat konverguoja į tašką %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.
Visos trys sekos davė skirtingus rezultatus, o tai prieštarauja Heine apibrėžimo sąlygai, t.y. ši funkcija neturi ribų taške %%x = 0%%.
Teorema
Cauchy ir Heine ribos apibrėžimai yra lygiaverčiai.
Pateikiamos pagrindinės funkcijos ribos teoremos ir savybės. Pateikiamos baigtinių ir begalinių ribų apibrėžimai baigtiniuose taškuose ir begalybėje (dvipusės ir vienpusės) pagal Koši ir Heine. Atsižvelgiama į aritmetines savybes; su nelygybėmis susijusios teoremos; Koši konvergencijos kriterijus; sudėtingos funkcijos riba; be galo mažų, be galo didelių ir monotoniškų funkcijų savybės. Pateikiamas funkcijos apibrėžimas.
TurinysAntrasis apibrėžimas pagal Cauchy
Funkcijos riba (pagal Koši), kaip jos argumentas x, yra linkusi x 0 yra baigtinis skaičius arba taškas begalybėje a, kuriam tenkinamos šios sąlygos:1) yra tokia pradurta taško x kaimynystė 0 , ant kurio funkcija f (x) Atkaklus;
2) bet kurioje taško a kaimynystėje, kuriai priklauso , yra tokia pradurta taško x kaimynystė 0 , kurioje funkcijos reikšmės priklauso pasirinktai taško a kaimynystei:
adresu .
Čia a ir x 0
taip pat gali būti baigtiniai skaičiai arba taškai begalybėje. Naudojant loginius egzistavimo ir universalumo simbolius, šis apibrėžimas gali būti parašytas taip:
.
Jei kairę arba dešinę galinio taško kaimynystę laikysime rinkiniu, gausime Koši ribos apibrėžimą kairėje arba dešinėje.
Teorema
Funkcijos ribos Cauchy ir Heine apibrėžimai yra lygiaverčiai.
Įrodymas
Taikomos taškų apylinkės
Tada iš tikrųjų Cauchy apibrėžimas reiškia štai ką.
Bet kokiems teigiamiems skaičiams yra skaičiai , todėl visiems x, priklausantiems taško : punkto kaimynystėje, funkcijos reikšmės priklauso taško a kaimynystėje: ,
Kur,.
Su šiuo apibrėžimu nėra labai patogu dirbti, nes apylinkės apibrėžiamos naudojant keturis skaičius. Tačiau tai gali būti supaprastinta įvedant kvartalus su vienodais galais. Tai yra, galite įdėti ,. Tada gausime apibrėžimą, kurį lengviau naudoti įrodant teoremas. Be to, jis atitinka apibrėžimą, kuriame naudojami savavališki rajonai. Šio fakto įrodymas pateiktas skyriuje „Funkcijos ribos Koši apibrėžimų lygiavertiškumas“.
Tada galime pateikti vieningą funkcijos ribos apibrėžimą baigtiniuose ir be galo nutolusiuose taškuose:
.
Čia dėl galutinių taškų
;
;
.
Bet kuri begalybės taškų kaimynystė yra pradurta:
;
;
.
Baigtinės funkcijos ribos galutiniuose taškuose
Skaičius a vadinamas funkcijos f riba (x) taške x 0 , Jei1) funkcija apibrėžta tam tikroje pradūrtoje galutinio taško kaimynystėje;
2) už bet kurį egzistuoja taip, kad , priklausomai nuo , Taip, kad visiems x, kuriems , galioja nelygybė
.
Naudojant loginius egzistavimo ir universalumo simbolius, funkcijos ribos apibrėžimą galima parašyti taip:
.
Vienpusės ribos.
Kairioji riba taške (kairioji riba):
.
Dešinioji riba taške (dešinės pusės riba):
.
Kairė ir dešinė ribos dažnai žymimos taip:
;
.
Baigtinės funkcijos ribos begalybės taškuose
Ribos taškuose begalybėje nustatomos panašiai.
.
.
.
Begalinės funkcijų ribos
Taip pat galite pateikti tam tikrų ženklų, lygių ir , begalinių ribų apibrėžimus:
.
.
Funkcijos ribos savybės ir teoremos
Be to, darome prielaidą, kad nagrinėjamos funkcijos yra apibrėžtos atitinkamoje taško, kuris yra baigtinis skaičius arba vienas iš simbolių: punktyrinėje kaimynystėje. Tai taip pat gali būti vienpusis ribinis taškas, ty turėti formą arba . Kaimynystė yra dvipusė dvipusei ribai ir vienpusė vienpusei ribai.
Pagrindinės savybės
Jei funkcijos f reikšmės (x) pakeisti (arba padaryti neapibrėžtu) baigtinį taškų skaičių x 1, x 2, x 3, ... x n, tada šis pokytis neturės įtakos funkcijos ribos egzistavimui ir reikšmei savavališkame taške x 0 .
Jei yra baigtinė riba, tai taško x kaimynystė yra pradurta 0
, ant kurio funkcija f (x) ribotas:
.
Tegul funkcija turi tašką x 0
baigtinė ne nulis riba:
.
Tada bet kuriam skaičiui c iš intervalo yra tokia pradurta taško x kaimynystė 0
, kam ,
, Jei ;
, Jei.
Jei dėl kai kurių pradurtų taško kaimynystėje, , yra konstanta, tada .
Jei yra baigtinės ribos ir ir tam tikroje taško x apylinkėje 0
,
kad .
Jei , ir kai kuriose taško apylinkėse
,
kad .
Ypač jei taško kaimynystėje
,
tada jei , tada ir ;
jei , tada ir .
Jei kurioje nors pradurtoje taško x apylinkėje 0
:
,
ir yra baigtinės (arba tam tikro ženklo begalinės) lygios ribos:
, Tai
.
Pagrindinių savybių įrodymai pateikiami puslapyje
"Pagrindinės funkcijos ribos savybės."
Tegul funkcijos ir yra apibrėžtos tam tikroje pertrauktoje taško kaimynystėje. Ir tegul būna ribotos ribos:
Ir .
Ir tegul C yra konstanta, tai yra duotas skaičius. Tada
;
;
;
, Jei.
Jei tada.
Aritmetinių savybių įrodymai pateikti puslapyje
„Funkcijos ribos aritmetinės savybės“.
Košinis funkcijos ribos egzistavimo kriterijus
Teorema
Tam, kad funkcija, apibrėžta tam tikroje baigtinio ar begalybės taško x punktuotoje kaimynystėje 0
, šiuo metu turėjo baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad bet kuriam ε > 0
buvo tokia pradurta taško x kaimynystė 0
, kad bet kokiems taškams ir iš šios kaimynystės galioja ši nelygybė:
.
Sudėtingos funkcijos riba
Teorema apie kompleksinės funkcijos ribą
Leiskite funkcijai turėti ribą ir priskirti pradurtą taško apylinkę į pradurtą taško apylinkę. Tegul funkcija yra apibrėžta šioje kaimynystėje ir apribota.
Štai galutiniai arba be galo nutolę taškai: . Kaimynystės ir atitinkamos ribos gali būti dvipusės arba vienpusės.
Tada yra sudėtingos funkcijos riba ir ji lygi:
.
Sudėtinės funkcijos ribinė teorema taikoma, kai funkcija taške neapibrėžta arba jos reikšmė skiriasi nuo ribos. Norint pritaikyti šią teoremą, turi būti taško, kuriame funkcijos reikšmių rinkinyje nėra taško, pertraukta kaimynystė:
.
Jei funkcija yra ištisinė taške , tai ribinis ženklas gali būti pritaikytas tolydžios funkcijos argumentui:
.
Toliau pateikiama teorema, atitinkanti šį atvejį.
Funkcijos tolydžios funkcijos ribos teorema
Tebūnie funkcijos g riba (x) kaip x → x 0
, ir jis lygus t 0
:
.
Čia yra taškas x 0
gali būti baigtinis arba be galo tolimas: .
Ir tegul funkcija f (t) ištisinis taške t 0
.
Tada yra kompleksinės funkcijos f riba (g(x)), ir jis lygus f (t 0):
.
Teoremų įrodymai pateikti puslapyje
„Sudėtingos funkcijos riba ir tęstinumas“.
Be galo mažos ir be galo didelės funkcijos
Be galo mažos funkcijos
Apibrėžimas
Sakoma, kad funkcija yra be galo maža, jei
.
Suma, skirtumas ir produktas iš baigtinio skaičiaus be galo mažų funkcijų at yra be galo maža funkcija esant .
Apribotos funkcijos sandauga apie kai pradurta kaimynystėje taško , Kad begalinis ne yra begalinis funkcija ne .
Tam, kad funkcija turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka to
,
kur yra be galo maža funkcija ties .
„Begalinių mažų funkcijų savybės“.
Be galo didelės funkcijos
Apibrėžimas
Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė, jei
.
Apribotos funkcijos suma arba skirtumas, kai kuriose taško apylinkėse ir be galo didelė funkcija yra be galo didelė funkcija.
Jei funkcija yra be galo didelė , o funkcija yra apribota tam tikra taško pradurta kaimynyste, tada
.
Jei funkcija , kurioje nors pradurtoje taško kaimynystėje, tenkina nelygybę:
,
ir funkcija yra be galo maža:
, ir (tam tikroje pradurtoje taško kaimynystėje), tada
.
Savybių įrodymai pateikti skyriuje
„Be galo didelių funkcijų savybės“.
Ryšys tarp be galo didelių ir be galo mažų funkcijų
Iš dviejų ankstesnių savybių išplaukia ryšys tarp be galo didelių ir be galo mažų funkcijų.
Jei funkcija yra be galo didelė , tada funkcija yra be galo maža.
Jei funkcija yra be galo maža , ir , tada funkcija yra be galo didelė .
Santykį tarp be galo mažos ir be galo didelės funkcijos galima išreikšti simboliškai:
,
.
Jei begalinė funkcija turi tam tikrą ženklą ties , tai yra, ji yra teigiama (arba neigiama) tam tikroje pradurtoje taško kaimynystėje, tada šį faktą galima išreikšti taip:
.
Lygiai taip pat, jei be galo didelė funkcija turi tam tikrą ženklą , tada jie rašo:
.
Tada simbolinį ryšį tarp be galo mažų ir be galo didelių funkcijų galima papildyti tokiais ryšiais:
,
,
,
.
Puslapyje galite rasti papildomų formulių, susijusių su begalybės simboliais
„Taškai begalybėje ir jų savybės“.
Monotoninių funkcijų ribos
Apibrėžimas
Iškviečiama funkcija, apibrėžta tam tikroje realiųjų skaičių X aibėje griežtai didėja, jei visiems tokiems, kuriems galioja ši nelygybė:
.
Atitinkamai, už griežtai mažėja funkcija galioja ši nelygybė:
.
Dėl nemažėjantis:
.
Dėl nedidėjantis:
.
Iš to išplaukia, kad griežtai didėjanti funkcija taip pat nemažėja. Griežtai mažėjanti funkcija taip pat yra nedidėjanti.
Funkcija vadinama monotoniškas, jei jis nemažėja arba nedidėja.
Teorema
Tegul funkcija nemažėja intervale, kur .
Jei aukščiau jį riboja skaičius M: tada yra baigtinė riba. Jei neribojama iš viršaus, tada .
Jei jis iš apačios ribojamas skaičiumi m: tada yra baigtinė riba. Jei neapsiriboja iš apačios, tai .
Jei taškai a ir b yra begalybėje, tada išraiškose ribiniai ženklai reiškia, kad .
Šią teoremą galima suformuluoti kompaktiškiau.
Tegul funkcija nemažėja intervale, kur . Tada taškuose a ir b yra vienpusės ribos:
;
.
Panaši teorema nedidėjančiai funkcijai.
Tegul funkcija nepadidėja intervale, kur . Tada yra vienpusės ribos:
;
.
Teoremos įrodymas pateiktas puslapyje
„Monotoninių funkcijų ribos“.
Funkcijos apibrėžimas
Funkcija y = f (x) yra dėsnis (taisyklė), pagal kurį kiekvienas aibės X elementas x yra susietas su vienu ir tik vienu aibės Y elementu y.
Elementas x ∈ X paskambino funkcijos argumentas arba nepriklausomas kintamasis.
Elementas y ∈ Y paskambino funkcijos reikšmė arba priklausomas kintamasis.
Aibė X vadinama funkcijos sritis.
Elementų rinkinys y ∈ Y, kurių pirminiai vaizdai aibėje X, vadinami sritis arba funkcijų reikšmių rinkinys.
Tikroji funkcija vadinama apribota iš viršaus (iš apačios), jei yra toks skaičius M, kad nelygybė galiotų visiems:
.
Iškviečiama skaičių funkcija ribotas, jei yra toks skaičius M, kad visiems:
.
Viršutinis kraštas arba tiksli viršutinė riba Tikroji funkcija vadinama mažiausiu skaičiumi, kuris riboja jos verčių diapazoną iš viršaus. Tai yra, tai yra skaičius s, kuriam visiems ir bet kuriam yra argumentas, kurio funkcijos reikšmė viršija s′: .
Viršutinė funkcijos riba gali būti pažymėta taip:
.
Atitinkamai apatinis kraštas arba tiksli apatinė riba Tikra funkcija vadinama didžiausiu skaičiumi, kuris riboja jos verčių diapazoną iš apačios. Tai yra, tai yra skaičius i, kuriam visiems ir bet kuriam yra argumentas, kurio funkcijos reikšmė yra mažesnė už i′: .
Funkcijos infimumą galima žymėti taip:
.
Nuorodos:
L.D. Kudrjavcevas. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 2003 m.
CM. Nikolskis. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 1983 m.
