Formulės ir logikos dėsniai

Per įvadinę pamoką apie matematinės logikos pagrindai, susipažinome su pagrindinėmis šios matematikos šakos sąvokomis, o dabar tema įgauna natūralų tęsinį. Be naujos teorinės, o tiksliau net ne teorinės, o bendrosios mokomosios medžiagos, mūsų laukia ir praktinės užduotys, todėl, jei atėjote į šį puslapį iš paieškos sistemos ir/ar prastai išmanote medžiagą, sekite aukščiau esančią nuorodą ir pradėkite nuo ankstesnio straipsnio. Be to, praktikai mums reikės 5 tiesos lenteles loginės operacijos kurį aš labai rekomenduojama perrašyti ranka.

NEPRISIMINK, NEspausdink, o dar kartą suprask ir savo ranka perrašyk ant popieriaus – kad jie būtų prieš akis:

– stalo NE;
– I lentelė;
– ARBA stalas;
– implikacijų lentelė;
– atitikmenų lentelė.

Tai labai svarbu. Iš principo būtų patogu juos sunumeruoti „1 lentelė“, „2 lentelė“ ir kt., bet ne kartą akcentavau šio požiūrio ydą – kaip sakoma, viename šaltinyje lentelė bus pirma, o kitame – šimtas pirma. Todėl naudosime „natūralius“ pavadinimus. Tęskime:

Tiesą sakant, jūs jau esate susipažinę su loginės formulės sąvoka. Pateiksiu standartą, bet gana šmaikštų apibrėžimas: formules teiginių algebros vadinamos:

1) bet kokie elementarūs (paprasti) teiginiai;

2) jei ir yra formulės, tai formulės taip pat yra formos išraiškos
.

Kitų formulių nėra.

Visų pirma, formulė yra bet kokia loginė operacija, pavyzdžiui, loginis dauginimas. Atkreipkite dėmesį į antrą tašką – tai leidžia rekursyvus būdas „sukurti“ savavališkai ilgą formulę. Nes - formulės, tada - taip pat formulė; kadangi ir yra formulės, tada – taip pat formulė ir kt. Bet koks elementarus teiginys (vėlgi pagal apibrėžimą) gali būti įtraukta į formulę daugiau nei vieną kartą.

Formulė Ne yra, pavyzdžiui, užrašas - ir čia yra akivaizdi analogija su „algebrinėmis šiukšlėmis“, iš kurios neaišku, ar skaičius reikia pridėti, ar dauginti.

Loginę formulę galima įsivaizduoti kaip loginė funkcija. Parašykime tą patį jungtuką funkcine forma:

Elementarieji teiginiai šiuo atveju taip pat atlieka argumentų (nepriklausomų kintamųjų) vaidmenį, kurie klasikinėje logikoje gali turėti 2 reikšmes: tiesa arba meluoti. Žemiau, patogumo dėlei, kartais pavadinsiu paprastus teiginius kintamieji.

Lentelė, aprašanti loginę formulę (funkciją), vadinama, kaip jau buvo skelbta, tiesos lentelė. Prašau – pažįstamas paveikslėlis:

Tiesos lentelės sudarymo principas yra toks: „prie įvesties“ reikia surašyti visi galimi deriniai tiesos ir melas, kurios gali imti elementarius teiginius (argumentus). Šiuo atveju formulėje yra du teiginiai, ir nesunku sužinoti, kad tokių derinių yra keturi. „Išvestyje“ gauname atitinkamas visos formulės (funkcijos) logines reikšmes.

Reikia pasakyti, kad „išėjimas“ čia pasirodė „vienu žingsniu“, tačiau apskritai loginė formulė yra sudėtingesnė. Ir tokiais „sunkiais atvejais“ reikia laikytis loginių operacijų vykdymo tvarka:

– pirmiausia atliekamas neigimas;
– antra – jungtukas;
– tada – disjunkcija;
– tada implikacija;
– ir galiausiai lygiavertiškumas turi žemiausią prioritetą.

Taigi, pavyzdžiui, įrašas reiškia, kad pirmiausia turite atlikti loginį dauginimą, o tada loginį sudėjimą: . Kaip ir „įprastoje“ algebroje – „pirmiausia padauginame, o tada pridedame“.

Veiksmų eiliškumą galima keisti įprastu būdu – skliausteliuose:
– čia visų pirma atliekama disjunkcija ir tik po to „tvirtesnė“ operacija.

Turbūt visi supranta, bet tik tuo atveju, gaisrininkas: ir šis du skirtingi formules! (tiek formaliai, tiek iš esmės)

Sukurkime formulės tiesos lentelę. Ši formulė apima du elementarius teiginius, o „įvestyje“ turime išvardyti visus galimus vienetų ir nulių derinius. Norėdami išvengti painiavos ir neatitikimų, sutiksime išvardyti derinius griežtai tokia tvarka (kurį de facto naudoju nuo pat pradžių):

Formulė apima dvi logines operacijas ir pagal jų prioritetą pirmiausia reikia atlikti neigimas pareiškimus. Na, paneigkime stulpelį „pe“ – vienetus paverčiame nuliais, o nulius – vienetais:

Antrame žingsnyje mes žiūrime į stulpelius ir taikome juos ARBA operacija. Žvelgdamas į priekį, pasakysiu, kad disjunkcija yra komutacinė (ir yra tas pats dalykas), todėl stulpelius galima analizuoti įprasta tvarka – iš kairės į dešinę. Atliekant loginį papildymą, patogu naudoti šiuos taikomus samprotavimus: „Jei yra du nuliai, dedame nulį, jei yra bent vienas, dedame vieną.:

Tiesos lentelė buvo sudaryta. Dabar prisiminkime seną gerą potekstę:

...atsargiai, atsargiai... žiūrint į bendrą stulpelių skaičių.... Teiginių algebroje tokios formulės vadinamos lygiavertis arba identiški:

(trys horizontalios linijos yra tapatybės piktograma)

1-oje pamokos dalyje pažadėjau implikaciją išreikšti elementariomis loginėmis operacijomis ir pažado įvykdymo netruko! Tie, kurie nori, gali suteikti prasmę potekstei (pvz., „Jei lyja, lauke drėgna“) ir savarankiškai analizuoti lygiavertį teiginį.

Suformuluokime bendras apibrėžimas: vadinamos dvi formulės lygiavertis (identiškas), jei jie naudoja tas pačias reikšmes bet kuriam verčių rinkiniui, įtrauktam į šias kintamųjų formules (paprasti teiginiai). Taip pat sakoma "Formulės yra lygiavertės, jei jų tiesos lentelės sutampa", bet man ši frazė nelabai patinka.

1 pratimas

Sukurkite formulės tiesos lentelę ir įsitikinkite, kad jums žinoma tapatybė yra teisinga.

Dar kartą pakartokime problemos sprendimo tvarką:

1) Kadangi formulėje yra du kintamieji, iš viso bus 4 galimi nulių ir vienetų rinkiniai. Juos užrašome aukščiau nurodyta tvarka.

2) Potekstės yra „silpnesnės“ nei jungtukai, tačiau jos dedamos skliausteliuose. Užpildome stulpelį ir patogu naudoti šiuos taikomus samprotavimus: „Jei iš vieneto seka nulis, tada dedame nulį, visais kitais atvejais – vieną“. Tada užpildome stulpelį, kad būtų galima suprasti, ir tuo pačiu metu demesio!– stulpelius reikia analizuoti „iš dešinės į kairę“!

3) Ir paskutiniame etape užpildykite paskutinį stulpelį. O čia patogu galvoti taip: „jei stulpeliuose yra du vienetai, dedame vieną, visais kitais atvejais – nulį“.

Ir galiausiai patikriname tiesos lentelę lygiavertiškumas .

Pagrindiniai teiginių algebros atitikmenys

Mes ką tik susitikome su dviem iš jų, bet reikalas, žinoma, neapsiriboja jais. Tapatybių yra nemažai ir išvardysiu svarbiausius ir žinomiausius iš jų:

Konjunkcijos komutaciškumas ir disjunkcijos komutaciškumas

Komutatyvumas- tai yra pakeičiamumas:

Taisyklės, pažįstamos nuo 1 klasės: „Produktas (suma) nesikeičia pertvarkant veiksnius (prideda)“. Tačiau nepaisant akivaizdaus elementaraus šios savybės, ji ne visada teisinga; ypač ji yra nekeičiama matricos daugyba (paprastai jų negalima pertvarkyti), A vektorių sandauga– antikomutacinis (vektorių pertvarkymas reiškia ženklo pasikeitimą).

Ir, be to, čia vėl noriu pabrėžti matematinės logikos formalizmą. Taigi, pavyzdžiui, frazės „Studentas išlaikė egzaminą ir išgėrė“ Ir „Studentas išgėrė ir išlaikė egzaminą“ skiriasi turinio požiūriu, bet nesiskiria nuo formalios tiesos pozicijų. ...Kiekvienas žinome tokius studentus ir dėl etinių priežasčių konkrečių pavardžių nekalbėsime =)

Loginio daugybos ir sudėties asociatyvumas

Arba, jei „mokykliniu stiliumi“ – koordinuojanti savybė:

Paskirstymo savybės

Atkreipkite dėmesį, kad 2-uoju atveju bus neteisinga kalbėti apie „skliaustelių atidarymą“; tam tikra prasme tai yra „fikcija“ - juk juos galima visiškai pašalinti: , nes daugyba yra stipresnė operacija.

Ir vėl, šios iš pažiūros „banalios“ savybės išpildytos ne visose algebrinėse sistemose ir, be to, reikalauja įrodymų (apie kurią kalbėsime labai greitai). Beje, antrasis paskirstymo dėsnis negalioja net mūsų „įprastoje“ algebroje. Ir iš tikrųjų:

Idempotencijos dėsnis

Ką daryti, lotynų kalba...

Tik kažkoks sveikos psichikos principas: „aš ir aš esu aš“, „aš arba aš taip pat esu aš“ =)

Ir čia yra keletas panašių tapatybių:

...hmm, aš kažkaip įstrigo... taigi rytoj galiu pabusti su daktaro laipsniu =)

Dvigubo neigimo dėsnis

Na, čia rodomas pavyzdys su rusų kalba - visi puikiai žino, kad dvi dalelės „ne“ reiškia „taip“. Ir siekiant sustiprinti emocinę neigimo konotaciją, dažnai naudojami trys „ne“:
– net ir turint mažytį įrodymą, tai pavyko!

Sugerties dėsniai

- Ar ten buvo berniukas? =)

Tinkamoje tapatybėje skliaustus galima praleisti.

De Morgano dėsniai

Tarkime, kad griežtas mokytojas (kurio vardą irgi žinai :)) laiko egzaminą, jei - Mokinys atsakė į 1 klausimą Ir – Mokinys atsakė į 2 klausimą. Tada toks pareiškimas Studentas Ne išlaikė egzaminą, bus lygiavertis teiginiui – Studentas Ne atsakė į 1 klausimą arbaį 2 klausimą.

Kaip minėta pirmiau, atitikmenys turi būti įrodinėjami, kurie paprastai atliekami naudojant tiesos lenteles. Tiesą sakant, mes jau įrodėme atitikmenis, išreiškiančius implikaciją ir lygiavertiškumą, ir dabar atėjo laikas konsoliduoti šios problemos sprendimo techniką.

Įrodykime tapatybę. Kadangi jame yra vienas teiginys, įvestyje yra tik dvi galimos parinktys: vienas arba nulis. Toliau priskiriame vieną stulpelį ir taikome juos taisyklė I:

Dėl to išvestis yra formulė, kurios tiesa sutampa su teiginio tiesa. Lygiavertiškumas įrodytas.

Taip, šis įrodymas yra primityvus (o kai kurie sakys „kvailas“), bet tipiškas matematikos mokytojas už jį supurtys sielą. Todėl net ir į tokius paprastus dalykus nederėtų žiūrėti niekinamai.

Dabar patikrinkime, pavyzdžiui, de Morgano dėsnio galiojimą.

Pirmiausia sukurkime tiesos lentelę kairiajai pusei. Kadangi disjunkcija yra skliausteliuose, pirmiausia ją atliekame, o po to stulpelį paneigiame:

Tada sukurkime tiesos lentelę dešinei pusei. Čia taip pat viskas skaidru - pirmiausia atliekame „stipresnius“ neigimus, tada taikome juos stulpeliams taisyklė I:

Rezultatai sutapo, todėl tapatybė buvo įrodyta.

Bet koks atitikmuo gali būti pavaizduotas formoje identiška tikrajai formulei. Tai reiškia kad VISIEMS pradiniam nulių ir vienetų rinkiniui„Išėjimas“ yra griežtai vienas. Ir tam yra labai paprastas paaiškinimas: kadangi tiesos lentelės sutampa, tai, žinoma, jos yra lygiavertės. Pavyzdžiui, sujungkime kairę ir dešinę ką tik įrodyto de Morgano tapatybės puses lygiavertiškumu:

Arba kompaktiškiau:

2 užduotis

Įrodykite šiuos atitikmenis:

Trumpas sprendimas pamokos pabaigoje. Nebūkime tinginiai! Stenkitės ne tik kurti tiesos lenteles, bet ir aiškiai formuluoti išvadas. Kaip neseniai pastebėjau, paprastų dalykų nepaisymas gali būti labai, labai brangus!

Mes ir toliau susipažįstame su logikos dėsniais!

Taip, tai visiškai teisinga – mes jau sunkiai su jais dirbame:

Tiesa adresu , paskambino identiška tikrajai formulei arba logikos dėsnis.

Dėl anksčiau pagrįsto perėjimo nuo lygiavertiškumo prie identiškos tikrosios formulės visos aukščiau išvardytos tapatybės atspindi logikos dėsnius.

Formulė, kuri įgauna vertę Melas adresu bet koks į jį įtrauktų kintamųjų verčių rinkinys, paskambino identiškai klaidinga formulė arba prieštaravimas.

Puikus senovės graikų prieštaravimo pavyzdys:
- joks teiginys negali būti teisingas ir klaidingas tuo pačiu metu.

Įrodymas yra trivialus:

„Išvestyje“ yra tik nuliai, todėl formulė tikrai yra tapatus netikras.

Tačiau bet koks prieštaravimas taip pat yra logikos dėsnis, ypač:

Neįmanoma aprėpti tokios plačios temos viename straipsnyje, todėl apsiribosiu dar keliais įstatymais:

Išskirtojo vidurio dėsnis

– Klasikinėje logikoje bet koks teiginys yra teisingas arba klaidingas ir nėra trečio varianto. „Būti ar nebūti“ – štai toks klausimas.

Padarykite tiesos ženklą patys ir įsitikinkite, kad taip yra identiškai tiesa formulę.

Priešpriešos dėsnis

Šis įstatymas buvo aktyviai diskutuojamas, kai diskutavome apie esmę būtina sąlyga, mes prisimenam: „Jei lyjant lauke drėgna, vadinasi, jei lauke sausa, tai tikrai nelijo..

Iš šio įstatymo taip pat išplaukia, kad jei teisinga yra tiesiai teorema, tada teiginys, kuris kartais vadinamas priešingas teorema.

Jei tiesa atvirkščiai teorema, tada pagal priešpriešos dėsnį galioja ir teorema, atvirkštinio priešingybė:

Ir vėl grįžkime prie mūsų prasmingų pavyzdžių: prie teiginių – skaičius dalijasi iš 4, – skaičius dalijasi iš 2šviesus tiesiai Ir priešingas teoremos, bet klaidingos atvirkščiai Ir atvirkštinio priešingybė teoremos. „Suaugusiųjų“ Pitagoro teoremos formuluotei visos 4 „kryptys“ yra teisingos.

Silogizmo dėsnis

Taip pat šio žanro klasika: "Visi ąžuolai yra medžiai, visi medžiai yra augalai, todėl visi ąžuolai yra augalai"..

Na, čia dar kartą norėčiau atkreipti dėmesį į matematinės logikos formalizmą: jei mūsų griežtas Mokytojas mano, kad tam tikras Mokinys yra ąžuolas, tai formaliai šis Mokinys tikrai yra augalas =) ... nors, jei tu pagalvok, tada gal ir neformaliu požiūriu =)

Sukurkime formulės tiesos lentelę. Atsižvelgdami į loginių operacijų prioritetą, laikomės šio algoritmo:

1) atliekame pasekmes ir . Paprastai tariant, galite iš karto atlikti 3-ią potekstę, bet tai yra patogiau (ir priimtina!) išsiaiškink šiek tiek vėliau;

2) taikyti stulpeliams taisyklė I;

3) dabar mes vykdome;

4) ir paskutiniame etape mes taikome implikaciją stulpeliams Ir .

Nedvejodami valdykite procesą rodomaisiais ir viduriniais pirštais :))

Iš paskutinio stulpelio, manau, viskas aišku be komentarų:
, ką ir reikėjo įrodyti.

3 užduotis

Sužinokite, ar ši formulė yra logikos dėsnis:

Trumpas sprendimas pamokos pabaigoje. O ir vos nepamirsau – susitarkim originalias nuliu ir vienetu aibes isvardinti lygiai tokia pat tvarka, kaip ir silogizmo dsnį įrodinėjant. Žinoma, linijas galima pertvarkyti, bet tai labai apsunkins palyginimą su mano sprendimu.

Loginių formulių konvertavimas

Be „loginės“ paskirties, ekvivalentai plačiai naudojami formulėms transformuoti ir supaprastinti. Grubiai tariant, vieną tapatybės dalį galima iškeisti į kitą. Taigi, pavyzdžiui, jei loginėje formulėje aptinkate fragmentą, tada pagal idempotencijos dėsnį vietoj jo galite (ir turėtumėte) parašyti tiesiog . Jei matote, pagal absorbcijos dėsnį supaprastinkite žymėjimą iki. Ir taip toliau.

Be to, yra dar vienas svarbus dalykas: tapatybės galioja ne tik elementariems teiginiams, bet ir savavališkoms formulėms. Pavyzdžiui:

, kur – bet kuris (kaip sudėtinga, kaip jums patinka) formules.

Paverskime, pavyzdžiui, sudėtingą implikaciją (1-oji tapatybė):

Toliau skliausteliui taikome „sudėtinį“ de Morgano dėsnį ir dėl operacijų prioriteto tai yra įstatymas, kuriame :

Skliaustus galima pašalinti, nes viduje yra „stipresnis“ jungtukas:

Na, o su komutatyvumu apskritai viskas paprasta - net nereikia nieko įvardinti... kažkas apie silogizmo dėsnį man įsmuko į sielą :))

Taigi įstatymą galima perrašyti į sudėtingesnę formą:

Garsiai ištarkite loginę grandinę „su ąžuolu, medžiu, augalu“, ir suprasite, kad esminė įstatymo prasmė nė kiek nepasikeitė pertvarkant implikacijas. Išskyrus tai, kad formuluotė tapo originalesnė.

Kaip treniruotę, supaprastinkime formulę.

Kur pradėti? Pirmiausia supraskite veiksmų tvarką: čia neigimas taikomas visam skliausteliui, kuris prie teiginio „pritvirtinamas“ „šiek tiek silpnesniu“ jungtuku. Iš esmės prieš mus yra dviejų veiksnių loginis produktas: . Iš dviejų likusių operacijų implikacija turi mažiausią prioritetą, todėl visa formulė turi tokią struktūrą: .

Paprastai pirmasis (-i) žingsnis (-iai) yra lygiavertiškumo ir implikacijos pašalinimas (jei jie yra) ir sumažinkite formulę iki trijų pagrindinių loginių operacijų. Ką aš galiu pasakyti... Logiška.

(1) Mes naudojame tapatybę . Ir mūsų atveju.

Paprastai po to seka „susipažinimai“ su skliaustais. Pirmiausia visas sprendimas, tada komentarai. Kad išvengčiau „sviesto ir sviesto“, naudosiu „įprastus“ lygybės simbolius:

(2) Mes taikome De Morgano dėsnį išoriniams skliausteliams, kur .

1.3.1. PAREIŠKIMAS
1.3.2. LOGINĖS OPERACIJOS
1.3.3. TIESOS LENTELIŲ LOGINIŲ IŠRAIŠŲ KONSTRUKCIJA
1.3.4. LOGINIŲ OPERACIJŲ SAVYBĖS
1.3.5. LOGINIŲ PROBLEMŲ SPRENDIMAS
1.3.6. LOGIKOS ELEMENTAI

1. Perskaitykite elektroniniame vadovėlio priede esančią pastraipos pristatymo medžiagą. Ar pristatymas papildo pastraipos tekste esančią informaciją?

2. Paaiškinkite, kodėl šie sakiniai nėra teiginiai.
1) Kokios spalvos šis namas?
2) Skaičius X neviršija vieneto.
3) 4X+3.
4) Pažiūrėk pro langą.
5) Gerkite pomidorų sultis!
6) Ši tema yra nuobodi.
7) Ricky Martin yra populiariausias dainininkas.
8) Ar buvai teatre?

3. Pateikite vieną teisingų ir klaidingų teiginių pavyzdį iš biologijos, geografijos, informatikos, istorijos, matematikos, literatūros.

4. Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus teiginius, kiekvieną iš jų pažymėdami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.
1) Skaičius 376 yra lyginis ir triženklis.
2) Žiemą vaikai važinėja ant ledo ar slidinėja.
3) Naujuosius metus švęsime vasarnamyje arba Raudonojoje aikštėje.
4) Netiesa, kad Saulė juda aplink Žemę.
5) Žemė yra rutulio formos, kuri iš kosmoso atrodo mėlyna.
6) Per matematikos pamoką gimnazistai atsakinėjo į mokytojo klausimus, taip pat rašė savarankiškus darbus.

5. Sukonstruokite šių teiginių neiginius.

6. Tegul A = „Anyai patinka matematikos pamokos“, o B = „Anyai patinka chemijos pamokos“. Įprastine kalba išreikškite šias formules:

7. Tam tikras interneto segmentas susideda iš 1000 svetainių. Paieškos serveris automatiškai sudarė šio segmento svetainių raktinių žodžių lentelę. Štai jo fragmentas:

920; 80.

8. Sukurkite tiesos lenteles šioms loginėms išraiškoms:

9. Pateikite pastraipoje aptartų loginių dėsnių įrodymą, naudodami tiesos lenteles.

10. Dešimtainėje skaičių sistemoje pateikiami trys skaičiai: A=23, B=19, C=26. Konvertuokite A, B ir C į dvejetainę skaičių sistemą ir atlikite bitines logines operacijas (A v B) ir C. Pateikite atsakymą dešimtaine skaičių sistema.

11. Raskite posakių reikšmes:

12. Raskite loginės išraiškos reikšmę (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Tegu A = "Pirmoji vardo raidė yra balsė", B = "Ketvirtoji vardo raidė yra priebalsis". Raskite loginės išraiškos A v B reikšmę šiems pavadinimams:
1) ELENA 2) VADIMAS 3) ANTONAS 4) FEDORAS
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. John, Brown ir Smith byla nagrinėjama. Yra žinoma, kad vienas iš jų lobį rado ir paslėpė. Tyrimo metu kiekvienas iš įtariamųjų pasakė du pareiškimus:
Smithas: „Aš to nepadariau. Brownas tai padarė“.
Johnas: Brownas nekalta. Smithas tai padarė“.
Brownas: „Aš to nepadariau. Jonas to nepadarė“.
Teismas nustatė, kad vienas iš jų melavo du kartus, kitas – du kartus, trečias – kartą melavo ir kartą pasakė tiesą. Kuris įtariamasis turėtų būti išteisintas?
Atsakymas: Smitas ir Džonas.

15. Alioša, Borja ir Griša žemėje rado senovinį indą. Nagrinėdami nuostabų radinį, kiekvienas padarė dvi prielaidas:
1) Alioša: „Tai graikiškas laivas, pagamintas V amžiuje“.
2) Borya: „Tai finikiečių laivas, pagamintas III amžiuje.
3) Grisha: „Šis indas nėra graikiškas ir buvo pagamintas IV amžiuje“.
Istorijos mokytoja vaikams pasakė, kad kiekvienas iš jų buvo teisus tik vienoje iš dviejų prielaidų. Kur ir kokiame amžiuje buvo pagamintas indas?
Atsakymas: finikiečių indas, pagamintas V a.

16. Išsiaiškinkite, koks signalas turi būti elektroninės grandinės išėjime kiekvienam galimam signalų rinkiniui įėjimuose. Padarykite lentelę, kaip veikia grandinė. Kokia loginė išraiška apibūdina grandinę?

Informatikos pamoka skirta bendrojo lavinimo mokyklos 10 klasės mokiniams, kurios mokymo programoje yra skyrius „Logikos algebra“. Ši tema yra labai sunki mokiniams, todėl aš, kaip mokytojas, norėjau juos sudominti logikos dėsnių studijomis, loginių posakių supaprastinimu ir loginių problemų sprendimu. Įprasta forma vesti pamokas šia tema yra varginantis ir varginantis, o kai kurie apibrėžimai vaikams ne visada aiškūs. Dėl informacinės erdvės suteikimo turėjau galimybę savo pamokas paskelbti „mokymosi“ apvalkale. Mokiniai, užsiregistravę jame, gali laisvalaikiu lankyti šį kursą ir perskaityti tai, kas nebuvo aišku pamokoje. Kai kurie mokiniai, praleidę pamokas dėl ligos, kompensuoja praleistą temą namuose ar mokykloje ir visada pasiruošę kitai pamokai. Tokia mokymo forma daugeliui vaikų labai tiko, o tuos dėsnius, kurie jiems buvo nesuprantami, dabar kompiuterine forma išmokstama daug lengviau ir greičiau. Siūlau vieną iš šių informatikos pamokų, kurios vyksta integruotai su IKT.

Pamokos planas

Naujos medžiagos aiškinimas kompiuteriu – 25 min.
Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai, paskelbti „mokymasis“ - 10 minučių.
Medžiaga smalsuoliams – 5 min.
Namų darbai – 5 min.

1. Naujos medžiagos paaiškinimas

Formaliosios logikos dėsniai

Paprasčiausi ir būtiniausi tikrieji minčių ryšiai išreiškiami pagrindiniais formaliosios logikos dėsniais. Tai tapatumo, neprieštaravimo, pašalinto vidurio, pakankamo proto dėsniai.

Šie dėsniai yra esminiai, nes logikoje jie atlieka ypač svarbų vaidmenį ir yra bendriausi. Jie leidžia supaprastinti logines išraiškas ir daryti išvadas bei įrodymus. Pirmuosius tris iš minėtų dėsnių nustatė ir suformulavo Aristotelis, o pakankamo proto dėsnį – G. Leibnicas.

Tapatybės dėsnis: tam tikro samprotavimo procese kiekviena sąvoka ir sprendimas turi būti tapatūs sau.

Neprieštaravimo dėsnis: neįmanoma, kad viena ir ta pati akis tuo pačiu metu būtų ir nebūtų būdinga tam pačiam dalykui tuo pačiu atžvilgiu. Tai yra, neįmanoma kažką tvirtinti ir neigti vienu metu.

Išskirtinio vidurio dėsnis: iš dviejų prieštaraujančių teiginių vienas yra teisingas, kitas klaidingas, o trečias nepateiktas.

Pakankamo proto dėsnis: kiekviena tikra mintis turi būti pakankamai pagrįsta.

Paskutinis dėsnis sako, kad kažko įrodinėjimas suponuoja tiksliai ir tik tikrų minčių pagrindimą. Klaidingų minčių neįmanoma įrodyti. Yra gera lotyniška patarlė: „Klysti yra įprasta kiekvienam žmogui, bet primygtinai klysti – tik kvailiui“. Šio įstatymo formulės nėra, nes jis yra tik esminio pobūdžio. Tikri sprendimai, faktinė medžiaga, statistiniai duomenys, mokslo dėsniai, aksiomos, įrodytos teoremos gali būti naudojami kaip argumentai, patvirtinantys tikrą mintį.

Teiginių algebros dėsniai

Teiginių algebra (logikos algebra) yra matematinės logikos skyrius, tiriantis logines operacijas su teiginiais ir sudėtingų teiginių transformavimo taisykles.

Sprendžiant daugelį loginių uždavinių, dažnai tenka supaprastinti gautas formules įforminant jų sąlygas. Teiginių algebros formulių supaprastinimas atliekamas remiantis ekvivalentinėmis transformacijomis, pagrįstomis pagrindiniais loginiais dėsniais.

Teiginių algebros (logikos algebros) dėsniai yra tautologijos.

Kartais šie dėsniai vadinami teoremomis.

Teiginių algebroje loginiai dėsniai išreiškiami lygiaverčių formulių lygybės forma. Tarp įstatymų išsiskiria tie, kuriuose yra vienas kintamasis.

Pirmieji keturi dėsniai žemiau yra pagrindiniai teiginių algebros dėsniai.

Tapatybės įstatymas:

Kiekviena sąvoka ir sprendimas yra identiški sau.

Tapatybės dėsnis reiškia, kad samprotavimo procese negalima pakeisti vienos minties kita, vienos sąvokos kita. Jei šis įstatymas pažeidžiamas, galimos loginės klaidos.

Pavyzdžiui, samprotavimas Jie teisingai sako, kad liežuvis nuves tave į Kijevą, bet vakar nusipirkau rūkyto liežuvio, vadinasi, dabar galiu saugiai vykti į Kijevą yra neteisingas, nes pirmasis ir antrasis žodžiai „kalba“ reiškia skirtingas sąvokas.

Samprotavimuose: Judėjimas yra amžinas. Ėjimas į mokyklą yra judėjimas. Todėl ėjimas į mokyklą yra amžinasžodis „judėjimas“ vartojamas dviem skirtingomis prasmėmis (pirmoji – filosofine – kaip materijos atributas, antroji – kasdienine – kaip judėjimo erdvėje veiksmas), todėl daroma klaidinga išvada.

Neprieštaravimo dėsnis:

Teiginys ir jo neigimas negali būti teisingi vienu metu. Tai yra, jei pareiškimas A- tiesa, tada jos neigimas ne A turi būti klaidingas (ir atvirkščiai). Tada jų darbas visada bus melagingas.

Būtent ši lygybė dažnai naudojama supaprastinant sudėtingas logines išraiškas.

Kartais šis dėsnis formuluojamas taip: du vienas kitam prieštaraujantys teiginiai negali vienu metu būti teisingi. Neprieštaravimo įstatymo nesilaikymo pavyzdžiai:

1. Marse gyvybė yra, o Marse gyvybės nėra.

2. Olya baigė vidurinę mokyklą ir mokosi X klasėje.

Išskirtinio vidurio dėsnis:

Tuo pačiu metu teiginys gali būti teisingas arba klaidingas, nėra trečio varianto. Tiesa irgi A, arba ne A. Išskirtinio vidurio įstatymo įgyvendinimo pavyzdžiai:

1. Skaičius 12345 yra lyginis arba nelyginis, trečios galimybės nėra.

2. Įmonė dirba nuostolingai arba nuostolingai.

3. Šis skystis gali būti rūgštis arba ne.

Išskirtinio vidurio dėsnis nėra dėsnis, kurį visi logikai pripažįsta universaliu logikos dėsniu. Šis dėsnis taikomas tada, kai pažinimas sprendžia griežtą situaciją: „arba - arba“, „tiesa-klaidinga“. Ten, kur atsiranda neapibrėžtumas (pavyzdžiui, samprotaujant apie ateitį), neįtraukiamo vidurio dėsnis dažnai negali būti taikomas.

Apsvarstykite šį teiginį: Šis sakinys yra klaidingas. Tai negali būti tiesa, nes teigiama, kad tai klaidinga. Bet tai taip pat negali būti klaidinga, nes tada ji būtų tiesa. Šis teiginys nėra nei teisingas, nei klaidingas, todėl pažeidžia neįtraukiamo vidurio dėsnį.

Paradoksas(gr. paradoxos – netikėtas, keistas) šiame pavyzdyje kyla dėl to, kad sakinys nurodo į save patį. Kitas gerai žinomas paradoksas yra kirpėjo problema: Viename mieste kirpėjas kerpa plaukus visiems gyventojams, išskyrus tuos, kurie nusikerpa patys. Kas kerpa kirpėjo plaukus? Pagal logiką dėl savo formalumo neįmanoma gauti tokio į save nukreipiančio teiginio formos. Tai dar kartą patvirtina mintį, kad logikos algebros pagalba neįmanoma išreikšti visų įmanomų minčių ir argumentų. Parodykime, kaip, remiantis teiginio ekvivalentiškumo apibrėžimu, galima gauti likusius teiginio algebros dėsnius.

Pavyzdžiui, nustatykime, kas yra lygiavertė (atitinka) A(du kartus ne A, y. neigimo neigimas A). Norėdami tai padaryti, sukurkime tiesos lentelę:

Pagal lygiavertiškumo apibrėžimą turime rasti stulpelį, kurio reikšmės sutampa su stulpelio reikšmėmis A. Tai bus stulpelis A.

Taip galime suformuluoti dvigubo dėsnisneigiami dalykai:

Jei teiginį paneigiate du kartus, rezultatas bus pradinis teiginys. Pavyzdžiui, pareiškimas A= Matroskinas- katė yra lygiavertis teiginiui A = Netiesa, kad Matroskinas nėra katė.

Panašiu būdu galima išvesti ir patikrinti šiuos dėsnius:

Konstantų savybės:

Idempotencijos dėsniai:

Nesvarbu, kiek kartų kartosime: televizorius įjungtas arba televizorius įjungtas, arba televizorius įjungtas... teiginio prasmė nepasikeis. Panašus nuo pasikartojimo Lauke šilta, lauke šilta... Nebus vienu laipsniu šilčiau.

Komutatyvumo dėsniai:

A v B = B prieš A

A ir B = B ir A

Operandai A Ir IN Operacijose disjunkcija ir konjunkcija gali būti sukeisti.

Asociatyvumo dėsniai:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A ir (B ir C) = (A ir B) ir C.

Jei išraiškoje naudojama tik disjunkcijos operacija arba tik jungties operacija, galite nepaisyti skliaustų arba juos išdėstyti savavališkai.

Paskirstymo dėsniai:

A v (B ir C) = (A v B) & (A prieš C)

(disjunkcijos pasiskirstymas
santykyje su konjunkcija)

A & (B prieš C) = (A ir B) v (A ir C)

(jungtuko pasiskirstymas
dėl disjunkcijos)

Konjunkcijos paskirstymo dėsnis, susijęs su disjunkcija, yra panašus į paskirstymo dėsnį algebroje, tačiau konjunkcijos paskirstymo dėsnis konjunkcijos atžvilgiu neturi analogo, jis galioja tik logikoje. Todėl būtina tai įrodyti. Įrodymą patogiausia atlikti naudojant tiesos lentelę:

Absorbcijos dėsniai:

A v (A ir B) = A

A & (A v B) = A

Įrodykite absorbcijos dėsnius patys.

De Morgano dėsniai:

De Morgano dėsnių žodinės formuluotės:

Mnemoninė taisyklė: kairėje tapatybės pusėje neigimo operacija apima visą teiginį. Dešinėje pusėje jis tarsi nutrūksta ir neigimas stoja virš kiekvieno paprasto teiginio, tačiau tuo pačiu keičiasi operacija: disjunkcija į konjunkciją ir atvirkščiai.

De Morgano dėsnio įgyvendinimo pavyzdžiai:

1) pareiškimas Netiesa, kad moku arabų ar kinų kalbas identiškas pareiškimui Aš nemoku arabų ir nemoku kinų kalbos.

2) pareiškimas Netiesa, kad išmokau pamoką ir gavau D. identiškas pareiškimui Arba aš neišmokau pamokos, arba negavau D.

Implikacijos ir ekvivalentiškumo operacijų pakeitimas

Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijos kartais nėra tarp loginių konkretaus kompiuterio ar vertėjo iš programavimo kalbos operacijų. Tačiau norint išspręsti daugelį problemų, šios operacijos yra būtinos. Yra taisyklės, kaip šias operacijas pakeisti neigimo, disjunkcijos ir konjunkcijos operacijų sekomis.

Taigi, pakeiskite operaciją pasekmės galima pagal šią taisyklę:

Norėdami pakeisti operaciją lygiavertiškumas yra dvi taisyklės:

Šių formulių pagrįstumą lengva patikrinti sudarant tiesos lenteles abiejų tapatybių dešinėje ir kairėje pusėje.

Implikacijos ir ekvivalentiškumo operacijų pakeitimo taisyklių žinojimas padeda, pavyzdžiui, teisingai sukonstruoti implikacijos neigimą.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.

Tegu teiginys:

E = Netiesa, kad jei laimėsiu konkursą, gausiu prizą.

Leisti A= Aš laimėsiu konkursą

B = Aš gausiu prizą.

Vadinasi, E = konkursą laimėsiu, bet prizo negausiu.

Taip pat domina šios taisyklės:

Jų pagrįstumą taip pat galima įrodyti naudojant tiesos lenteles.

Įdomi jų raiška natūralia kalba.

Pavyzdžiui, frazė

Jei Mikė Pūkuotukas valgė medų, vadinasi, jis sotus

identiškas frazei

Jei Mikė Pūkuotukas nėra sotus, vadinasi, jis nevalgė medaus.

Pratimas: Pagal šias taisykles sugalvokite pavyzdinių frazių.

2. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai 1 priede

3. Medžiaga smalsiems 2 priede

4. Namų darbai

1) Išmokite logikos dėsnius per kursą „Logikos algebra“, esantį informacinėje erdvėje (www.learning.9151394.ru).

2) Patikrinkite De Morgano dėsnių įrodymą kompiuteryje, sudarydami tiesos lentelę.

Programos

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai (1 priedas).
Medžiaga smalsiems (2 priedas).

§ 1.3. Algebros logikos elementai

Logikos algebros elementai. Klausimai ir užduotys

1. Perskaitykite elektroniniame vadovėlio priede esančią pastraipos pristatymo medžiagą. Ar pristatymas papildo pastraipos tekste esančią informaciją?

2. Paaiškinkite, kodėl šie sakiniai nėra teiginiai.

1) Kokios spalvos šis namas?
2) Skaičius X neviršija vieneto.
3) 4X + 3.
4) Pažiūrėk pro langą.
5) Gerkite pomidorų sultis!
6) Ši tema yra nuobodi.
7) Ricky Martin yra populiariausias dainininkas.
8) Ar buvai teatre?

3. Pateikite vieną teisingų ir klaidingų teiginių pavyzdį iš biologijos, geografijos, informatikos, istorijos, matematikos, literatūros.

4. Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus teiginius, kiekvieną iš jų pažymėdami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.

1) Skaičius 376 yra lyginis ir triženklis.
2) Žiemą vaikai važinėja ant ledo ar slidinėja.
3) Naujuosius metus švęsime vasarnamyje arba Raudonojoje aikštėje.
4) Netiesa, kad Saulė juda aplink Žemę.
5) Žemė yra rutulio formos, kuri iš kosmoso atrodo mėlyna.
6) Per matematikos pamoką gimnazistai atsakinėjo į mokytojo klausimus, taip pat rašė savarankiškus darbus.

5. Sukonstruokite šių teiginių neiginius.

1) Šiandien teatre rodoma opera „Eugenijus Oneginas“.
2) Kiekvienas medžiotojas nori žinoti, kur sėdi fazanas.
3) Skaičius 1 yra pirminis skaičius.
4) Natūralūs skaičiai, kurie baigiasi 0, nėra pirminiai skaičiai.
5) Netiesa, kad skaičius 3 nėra skaičiaus 198 daliklis.
6) Kolya išsprendė visas testo užduotis.
7) Kiekvienoje mokykloje kai kurie mokiniai domisi sportu.
8) Kai kurie žinduoliai negyvena sausumoje.

6. Tegu A = „Anyai patinka matematikos pamokos“ ir B = „Anya mėgsta chemijos pamokas“. Įprastine kalba išreikškite šias formules:

7. Tam tikras interneto segmentas susideda iš 1000 svetainių. Paieškos serveris automatiškai sudarė šio segmento svetainių raktinių žodžių lentelę. Štai jo fragmentas:

Pageidaujant šamai ir gupijos Pagal jūsų užklausą rasta 0 svetainių šamas ir kardų uodegos- 20 aikštelių ir pagal pageidavimą kardo uodegos ir gupijos- 10 svetainių.

Kiek svetainių bus rasta pagal užklausą? šamas | kardų uodegos | guppy?

Kiek svetainių nagrinėjamame segmente teiginys yra klaidingas? „Šamas yra svetainės raktinis žodis AR Swordtails yra svetainės raktinis žodis AR yra gupijos yra svetainės raktinis žodis“?

8. Sukurkite tiesos lenteles šioms loginėms išraiškoms: