Skaičius– svarbi matematinė sąvoka, kuri keitėsi bėgant amžiams.

Pirmosios idėjos apie skaičių kilo skaičiuojant žmones, gyvūnus, vaisius, įvairius produktus ir kt. Rezultatas yra natūralieji skaičiai: 1, 2, 3, 4, ...

Istoriškai pirmasis skaičiaus sąvokos išplėtimas yra trupmeninių skaičių pridėjimas prie natūraliojo skaičiaus.

Frakcija vadinama vieneto dalis (akcija) arba kelios lygios dalys.

Paskyrė: , kur m, n- Sveiki skaičiai;

Trupmenos su vardikliu 10 n, Kur n- sveikasis skaičius, vadinamas dešimtainis: .

Tarp dešimtainių trupmenų ypatingą vietą užima periodinės trupmenos: - gryna periodinė trupmena, - mišri periodinė trupmena.

Tolimesnį skaičiaus sampratos išplėtimą lemia pačios matematikos (algebros) raida. Dekartas XVII a. pristato koncepciją neigiamas skaičius.

Skaičiai sveikieji (teigiami ir neigiami), trupmenos (teigiami ir neigiami) ir nuliai vadinami racionalūs numeriai. Bet kurį racionalųjį skaičių galima parašyti kaip baigtinę ir periodinę trupmeną.

Norint ištirti nuolat kintančius kintamuosius dydžius, paaiškėjo, kad būtinas naujas skaičiaus sampratos išplėtimas – realiųjų (realiųjų) skaičių įvedimas – prie racionaliųjų skaičių pridedant iracionaliuosius skaičius: neracionalūs skaičiai yra begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos.

Iracionalūs skaičiai atsirado matuojant nesulyginamus atkarpas (kvadrato kraštinę ir įstrižainę), algebroje - išskiriant šaknis, transcendentinio, neracionalaus skaičiaus pavyzdys yra π, e .

Skaičiai natūralus(1, 2, 3,...), visas(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionalus(atvaizduojama kaip trupmena) ir neracionalus(nepavaizduojama kaip trupmena ) suformuoti rinkinį tikras (tikras) numeriai.

Matematikoje atskirai išskiriami kompleksiniai skaičiai.

Sudėtingi skaičiai kyla dėl bylos kvadratų sprendimo problemos D< 0 (здесь D– kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio pritaikymo, todėl jie buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie itin plačiai naudojami įvairiose fizikos ir technologijų srityse: elektrotechnikoje, hidro- ir aerodinamikoje, tamprumo teorijoje ir kt.

Sudėtingi skaičiai rašomi tokia forma: z= a+ bi. Čia a Ir b – realūs skaičiai, A i – menamasis vienetas, t.y.e. i 2 = -1. Skaičius a paskambino abscisė,a b –ordinatės kompleksinis skaičius a+ bi. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi Ir a–bi yra vadinami konjugatas kompleksiniai skaičiai.

Savybės:

1. Tikrasis skaičius A Taip pat galima parašyti kompleksinių skaičių forma: a+ 0i arba a – 0i. Pavyzdžiui, 5 + 0 i ir 5-0 i reiškia tą patį skaičių 5.

2. Kompleksinis skaičius 0 + bi paskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašas bi reiškia tą patį kaip 0 + bi.

3. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi Ir c+ di laikomi lygiaverčiais, jei a= c Ir b= d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.

Veiksmai:

Papildymas. Kompleksinių skaičių suma a+ bi Ir c+ di vadinamas kompleksiniu skaičiumi ( a+ c) + (b+ d)i. Taigi, Sudedant kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės pridedamos atskirai.

Atimtis. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumas a+ bi(sumažėjęs) ir c+ di(subdėlis) vadinamas kompleksiniu skaičiumi ( a–c) + (b–d)i. Taigi, Atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.

Daugyba. Kompleksinių skaičių sandauga a+ bi Ir c+ di vadinamas kompleksiniu skaičiumi:

(ac-bd) + (Reklama+ pr. Kr)i. Šis apibrėžimas išplaukia iš dviejų reikalavimų:

1) skaičiai a+ bi Ir c+ di turi būti dauginami kaip algebriniai dvejetainiai,

2) skaičius i turi pagrindinę savybę: i 2 = –1.

PAVYZDYS ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbtidviejų konjuguotų kompleksinių skaičių yra lygus teigiamam realiajam skaičiui.

Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičių a+ bi(dalomas) iš kito c+ di (daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičių e+ f i(pokalbis), kurį padauginus iš daliklio c+ di, gaunamas dividendas a+ bi. Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.

PAVYZDYS Rasti (8+ i) : (2 – 3i) .

Sprendimas. Perrašykime šį santykį į trupmeną:

Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3 i ir atlikę visas transformacijas gauname:

1 užduotis: Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite z 1 ant z 2

Kvadratinės šaknies ištraukimas: Išspręskite lygtį x 2 = -a. Norėdami išspręsti šią lygtį esame priversti naudoti naujo tipo numerius - menami skaičiai . Taigi, įsivaizduojamas skambinama numeriu kurio antrasis laipsnis yra neigiamas skaičius. Pagal šį įsivaizduojamų skaičių apibrėžimą galime apibrėžti ir įsivaizduojamas vienetas:

Tada dėl lygties x 2 = – 25 gauname du įsivaizduojamasšaknis:

2 užduotis: Išspręskite lygtį:

1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:

Čia yra esmė A reiškia skaičių –3, tašką B– numeris 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam tikslui pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates, kurių abiejų ašių masteliai yra vienodi. Tada kompleksinis skaičius a+ bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmisA ir ordinateb. Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .

Modulis kompleksinis skaičius yra vektoriaus ilgis OP, reiškia kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulis a+ bižymimas | a+ bi| arba) laiškas r ir yra lygus:

Konjuguoti kompleksiniai skaičiai turi tą patį modulį.

Brėžinio sudarymo taisyklės yra beveik tokios pačios kaip ir brėžinio Dekarto koordinačių sistemoje. Išilgai ašių reikia nustatyti matmenis, atkreipkite dėmesį:

e
vienetas išilgai tikrosios ašies; Rez

įsivaizduojamas vienetas išilgai įsivaizduojamos ašies. aš z

3 užduotis. Kompleksinėje plokštumoje sukonstruokite šiuos kompleksinius skaičius: , , , , , , ,

1. Skaičiai yra tikslūs ir apytiksliai. Skaičiai, su kuriais susiduriame praktiškai, yra dviejų rūšių. Vieni pateikia tikrąją kiekio vertę, kiti tik apytikslę. Pirmieji vadinami tikslūs, antrieji - apytiksliai. Dažniausiai patogu naudoti apytikslį skaičių, o ne tikslų skaičių, juolab kad daugeliu atvejų tikslaus skaičiaus rasti iš viso neįmanoma.

Taigi, jei jie sako, kad klasėje yra 29 mokiniai, tada skaičius 29 yra tikslus. Jei sakoma, kad atstumas nuo Maskvos iki Kijevo yra 960 km, tai čia skaičius 960 yra apytikslis, nes, viena vertus, mūsų matavimo prietaisai nėra visiškai tikslūs, kita vertus, patys miestai turi tam tikrą ribą.

Veiksmų su apytiksliais skaičiais rezultatas taip pat yra apytikslis skaičius. Atlikdami kai kurias operacijas su tiksliais skaičiais (dalyba, šaknų ištraukimas), taip pat galite gauti apytikslius skaičius.

Apytikslių skaičiavimų teorija leidžia:

1) žinodamas duomenų tikslumo laipsnį, įvertinti rezultatų tikslumo laipsnį;

2) imti duomenis su atitinkamu tikslumo laipsniu, kurio pakanka, kad būtų užtikrintas reikiamas rezultato tikslumas;

3) racionalizuoti skaičiavimo procesą, išlaisvinant jį nuo tų skaičiavimų, kurie neturės įtakos rezultato tikslumui.

2. Apvalinimas. Vienas iš apytikslių skaičių gavimo šaltinių yra apvalinimas. Tiek apytiksliai, tiek tikslūs skaičiai yra suapvalinti.

Duoto skaičiaus suapvalinimas iki tam tikro skaitmens vadinamas jo pakeitimu nauju skaičiumi, kuris gaunamas iš duoto, išmetant visus jo skaitmenis, įrašytus dešinėje šio skaitmens skaitmens, arba pakeičiant juos nuliais. Šie nuliai paprastai yra pabraukti arba rašomi mažesni. Norėdami užtikrinti, kad suapvalintas skaičius būtų kuo artimesnis apvalinamajam, turėtumėte vadovautis šiomis taisyklėmis: norėdami suapvalinti skaičių iki vieno iš tam tikro skaitmens, turite išmesti visus skaitmenis po šio skaitmens skaitmens ir pakeisti juos su nuliais visame skaičiuje. Atsižvelgiama į šiuos dalykus:

1) jei pirmasis (kairėje) iš išmestų skaitmenų yra mažesnis nei 5, tai paskutinis likęs skaitmuo nekeičiamas (apvalinamas žemyn);

2) jei pirmasis atmestinas skaitmuo yra didesnis nei 5 arba lygus 5, tai paskutinis likęs skaitmuo didinamas vienu (apvalinimas su pertekliumi).

Parodykime tai pavyzdžiais. Turas:

a) iki dešimtųjų 12.34;

b) iki šimtųjų dalių 3,2465; 1038.785;

c) iki tūkstantųjų dalių 3,4335.

d) iki tūkstančio 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absoliučios ir santykinės paklaidos. Skirtumas tarp tikslaus skaičiaus ir jo apytikslės reikšmės vadinamas absoliučia apytikslio skaičiaus paklaida. Pavyzdžiui, jei tikslus skaičius 1,214 suapvalinamas iki artimiausios dešimtosios, gauname apytikslį skaičių 1,2. Šiuo atveju apytikslio skaičiaus 1,2 absoliuti paklaida yra 1,214 - 1,2, t.y. 0,014.

Tačiau daugeliu atvejų tiksli nagrinėjamos vertės vertė nežinoma, o tik apytikslė. Tada absoliuti klaida nežinoma. Tokiais atvejais nurodykite ribą, kurios ji neviršija. Šis skaičius vadinamas ribine absoliučia paklaida. Jie sako, kad tiksli skaičiaus reikšmė yra lygi jo apytikslei vertei, o paklaida yra mažesnė už ribinę paklaidą. Pavyzdžiui, skaičius 23,71 yra apytikslė skaičiaus 23,7125 reikšmė, kurios tikslumas yra 0,01, nes absoliuti aproksimavimo paklaida yra 0,0025 ir mažesnė nei 0,01. Čia ribinė absoliuti paklaida yra 0,01 *.

Apytikslio skaičiaus ribinė absoliuti paklaida Ažymimas simboliu Δ a. Įrašas

x≈a(±Δ a)

turėtų būti suprantama taip: tiksli kiekio vertė x yra tarp skaičių A– Δ a Ir A+ Δ A, kurios atitinkamai vadinamos apatine ir viršutine ribomis X ir žymi NG x VG X.

Pavyzdžiui, jei x≈ 2,3 (±0,1), tada 2,2<x< 2,4.

Atvirkščiai, jei 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (± 0,05). Absoliuti ar ribinė absoliuti paklaida nebūdinga atlikto matavimo kokybei. Ta pati absoliuti paklaida gali būti laikoma reikšminga ir nereikšminga, atsižvelgiant į skaičių, kuriuo išreiškiama išmatuota vertė. Pavyzdžiui, jei atstumą tarp dviejų miestų matuojame vieno kilometro tikslumu, tai tokio tikslumo šiam pokyčiui visiškai pakanka, tačiau tuo pačiu matuojant atstumą tarp dviejų toje pačioje gatvėje esančių namų toks tikslumas bus nepriimtina. Vadinasi, apytikslės dydžio reikšmės tikslumas priklauso ne tik nuo absoliučios paklaidos dydžio, bet ir nuo išmatuoto dydžio vertės. Todėl santykinė paklaida yra tikslumo matas.

Santykinė paklaida – tai absoliučios paklaidos ir apytikslio skaičiaus reikšmės santykis. Ribinės absoliučios paklaidos ir apytikslio skaičiaus santykis vadinamas ribine santykine paklaida; jie jį žymi taip: . Santykinės ir ribinės santykinės paklaidos paprastai išreiškiamos procentais. Pavyzdžiui, jei matavimai parodė, kad atstumas X tarp dviejų taškų yra didesnis nei 12,3 km, bet mažesnis nei 12,7 km, tuomet apytikslė reikšme imamas šių dviejų skaičių aritmetinis vidurkis, t.y. jų pusinės sumos, tada ribinė absoliuti paklaida yra lygi šių skaičių pusės skirtumui. Tokiu atveju X≈ 12,5 (± 0,2). Čia ribinė absoliuti paklaida yra 0,2 km, o ribinė santykinė

Yra daugybė skaičių tipų, vienas iš jų yra sveikieji skaičiai. Sveikieji skaičiai atsirado siekiant palengvinti skaičiavimą ne tik teigiama, bet ir neigiama kryptimi.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Dieną lauke buvo 3 laipsniai šilumos. Iki vakaro temperatūra nukrito 3 laipsniais.
3-3=0
Lauke tapo 0 laipsnių. O naktį temperatūra nukrito 4 laipsniais ir termometras pradėjo rodyti -4 laipsnius.
0-4=-4

Sveikųjų skaičių serija.

Negalime aprašyti tokios problemos naudojant natūraliuosius skaičius, mes nagrinėsime šią problemą koordinačių tiesėje.

Gavome skaičių seriją:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ši skaičių serija vadinama sveikųjų skaičių serija.

Teigiami sveikieji skaičiai. Neigiami sveikieji skaičiai.

Sveikųjų skaičių serija susideda iš teigiamų ir neigiamų skaičių. Dešinėje nuo nulio yra natūralieji skaičiai arba jie taip pat vadinami teigiami sveikieji skaičiai. Ir į kairę nuo nulio jie eina neigiami sveikieji skaičiai.

Nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius. Tai riba tarp teigiamų ir neigiamų skaičių.

yra skaičių rinkinys, susidedantis iš natūraliųjų skaičių, neigiamų sveikųjų skaičių ir nulio.

Sveikųjų skaičių serija teigiama ir neigiama kryptimi yra begalinis skaičius.

Jei imsime bet kokius du sveikuosius skaičius, tada bus vadinami skaičiai tarp šių sveikųjų skaičių baigtinis rinkinys.

Pavyzdžiui:
Paimkime sveikuosius skaičius nuo -2 iki 4. Visi skaičiai tarp šių skaičių įeina į baigtinę aibę. Mūsų galutinis skaičių rinkinys atrodo taip:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Natūralūs skaičiai žymimi lotyniška raide N.
Sveikieji skaičiai žymimi lotyniška raide Z. Visa natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibė gali būti pavaizduota paveikslėlyje.


Neteigiami sveikieji skaičiai kitaip tariant, jie yra neigiami sveikieji skaičiai.
Neneigiami sveikieji skaičiai yra teigiami sveikieji skaičiai.

Šiame straipsnyje apibrėžsime sveikųjų skaičių aibę, apsvarstysime, kurie sveikieji skaičiai vadinami teigiamais, o kurie neigiamais. Taip pat parodysime, kaip sveikieji skaičiai naudojami tam tikrų dydžių pokyčiams apibūdinti. Pradėkime nuo sveikųjų skaičių apibrėžimo ir pavyzdžių.

Sveiki skaičiai. Apibrėžimas, pavyzdžiai

Pirma, prisiminkime apie natūraliuosius skaičius ℕ. Pats pavadinimas rodo, kad tai skaičiai, kurie natūraliai buvo naudojami skaičiuojant nuo neatmenamų laikų. Kad apimtume sveikųjų skaičių sąvoką, turime išplėsti natūraliųjų skaičių apibrėžimą.

Apibrėžimas 1. Sveikieji skaičiai

Sveikieji skaičiai yra natūralieji skaičiai, jų priešingybės ir skaičius nulis.

Sveikųjų skaičių aibė žymima raide ℤ.

Natūraliųjų skaičių aibė ℕ yra sveikųjų skaičių ℤ poaibis. Kiekvienas natūralusis skaičius yra sveikasis skaičius, bet ne kiekvienas sveikas skaičius yra natūralusis skaičius.

Iš apibrėžimo matyti, kad bet kuris iš skaičių 1, 2, 3 yra sveikasis skaičius. . , skaičius 0, taip pat skaičiai - 1, - 2, - 3, . .

Atsižvelgdami į tai, pateiksime pavyzdžių. Skaičiai 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 yra sveikieji skaičiai.

Tegul koordinačių linija nubrėžta horizontaliai ir nukreipta į dešinę. Pažvelkime į jį, kad įsivaizduotume sveikųjų skaičių vietą eilutėje.

Koordinačių linijos pradžia atitinka skaičių 0, o taškai, esantys abiejose nulio pusėse, atitinka teigiamus ir neigiamus sveikuosius skaičius. Kiekvienas taškas atitinka vieną sveikąjį skaičių.

Galite patekti į bet kurį linijos tašką, kurio koordinatė yra sveikasis skaičius, atidėję tam tikrą skaičių vienetų atkarpų nuo pradžios.

Teigiami ir neigiami sveikieji skaičiai

Iš visų sveikųjų skaičių logiška atskirti teigiamus ir neigiamus sveikuosius skaičius. Pateiksime jų apibrėžimus.

2 apibrėžimas: teigiami sveikieji skaičiai

Teigiami sveikieji skaičiai yra sveikieji skaičiai su pliuso ženklu.

Pavyzdžiui, skaičius 7 yra sveikasis skaičius su pliuso ženklu, ty teigiamas sveikasis skaičius. Koordinačių tiesėje šis skaičius yra atskaitos taško, kuris laikomas skaičiumi 0, dešinėje. Kiti teigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžiai: 12, 502, 42, 33, 100500.

3 apibrėžimas: neigiami sveikieji skaičiai

Neigiami sveikieji skaičiai yra sveikieji skaičiai su minuso ženklu.

Neigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžiai: - 528, - 2568, - 1.

Skaičius 0 atskiria teigiamus ir neigiamus sveikuosius skaičius ir pats savaime nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Bet koks skaičius, kuris yra priešingas teigiamam sveikajam skaičiui, pagal apibrėžimą yra neigiamas sveikasis skaičius. Taip pat yra priešingai. Bet kurio neigiamo sveikojo skaičiaus atvirkštinis skaičius yra teigiamas sveikasis skaičius.

Galima pateikti kitas neigiamų ir teigiamų sveikųjų skaičių apibrėžimų formuluotes, naudojant jų palyginimą su nuliu.

4 apibrėžimas: teigiami sveikieji skaičiai

Teigiami sveikieji skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už nulį.

5 apibrėžimas: neigiami sveikieji skaičiai

Neigiami sveikieji skaičiai yra sveikieji skaičiai, mažesni už nulį.

Atitinkamai, teigiami skaičiai yra į dešinę nuo koordinačių linijos pradžios, o neigiami sveikieji skaičiai yra į kairę nuo nulio.

Anksčiau sakėme, kad natūralūs skaičiai yra sveikųjų skaičių poaibis. Paaiškinkime šį dalyką. Natūraliųjų skaičių aibė susideda iš teigiamų sveikųjų skaičių. Savo ruožtu neigiamų sveikųjų skaičių aibė yra skaičių, priešingų natūraliems.

Svarbu!

Bet koks natūralusis skaičius gali būti vadinamas sveikuoju skaičiumi, bet bet koks sveikasis skaičius negali būti vadinamas natūraliuoju skaičiumi. Atsakydami į klausimą, ar neigiami skaičiai yra natūralieji skaičiai, turime drąsiai pasakyti – ne, jie nėra.

Neteigiami ir neneigiami sveikieji skaičiai

Pateikime keletą apibrėžimų.

Apibrėžimas 6. Neneigiami sveikieji skaičiai

Neneigiami sveikieji skaičiai yra teigiami sveikieji skaičiai ir skaičius nulis.

Apibrėžimas 7. Neteigiami sveikieji skaičiai

Neteigiami sveikieji skaičiai yra neigiami sveikieji skaičiai ir skaičius nulis.

Kaip matote, skaičius nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Neneigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžiai: 52, 128, 0.

Neteigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžiai: - 52, - 128, 0.

Neneigiamas skaičius yra skaičius, didesnis arba lygus nuliui. Atitinkamai, neteigiamas sveikasis skaičius yra skaičius, mažesnis arba lygus nuliui.

Sąvokos „neteigiamas skaičius“ ir „neneigiamas skaičius“ vartojamos trumpumui. Pavyzdžiui, užuot sakę, kad skaičius a yra sveikasis skaičius, didesnis arba lygus nuliui, galite pasakyti: a yra neneigiamas sveikasis skaičius.

Sveikųjų skaičių naudojimas kiekių pokyčiams apibūdinti

Kam naudojami sveikieji skaičiai? Visų pirma, jų pagalba patogu aprašyti ir nustatyti bet kokių objektų kiekio pokyčius. Pateikime pavyzdį.

Leiskite tam tikrą skaičių alkūninių velenų laikyti sandėlyje. Jei į sandėlį bus atvežta dar 500 alkūninių velenų, jų skaičius padidės. Skaičius 500 tiksliai išreiškia dalių skaičiaus pasikeitimą (padidėjimą). Jei po to iš sandėlio paimama 200 dalių, tai šis skaičius taip pat apibūdins alkūninių velenų skaičiaus pokytį. Šį kartą žemyn.

Jeigu iš sandėlio nieko nepaimama ir nepristato, tai skaičius 0 rodys, kad dalių skaičius nesikeičia.

Akivaizdus sveikųjų skaičių naudojimo patogumas, priešingai nei natūralieji skaičiai, yra tas, kad jų ženklas aiškiai nurodo vertės kitimo kryptį (padidėjimą ar mažėjimą).

Temperatūros sumažėjimą 30 laipsnių galima apibūdinti neigiamu sveikuoju skaičiumi - 30, o padidėjimą 2 laipsniais - teigiamu sveikuoju skaičiumi 2.

Pateiksime kitą pavyzdį naudojant sveikuosius skaičius. Šį kartą įsivaizduokime, kad turime kam nors padovanoti 5 monetas. Tada galime sakyti, kad turime – 5 monetas. Skaičius 5 nusako skolos dydį, o minuso ženklas rodo, kad turime atiduoti monetas.

Jei vienam asmeniui esame skolingi 2 monetas, o kitam – 3, tada bendrą skolą (5 monetas) galima apskaičiuoti taikant neigiamų skaičių pridėjimo taisyklę:

2 + (- 3) = - 5

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

KAM sveikieji skaičiai apima natūraliuosius skaičius, nulį ir natūraliems skaičiams priešingus skaičius.

Sveikieji skaičiai yra teigiami sveikieji skaičiai.

Pavyzdžiui: 1, 3, 7, 19, 23 ir kt. Tokius skaičius naudojame skaičiuodami (ant stalo yra 5 obuoliai, automobilis turi 4 ratus ir pan.)

Lotyniška raidė \mathbb(N) – žymima natūraliųjų skaičių aibė.

Natūralūs skaičiai negali apimti neigiamų skaičių (kėdė negali turėti neigiamo kojų skaičiaus) ir trupmeninių skaičių (Ivanas negalėjo parduoti 3,5 dviračio).

Natūraliųjų skaičių priešingybė yra neigiami sveikieji skaičiai: −8, −148, −981, ….

Aritmetiniai veiksmai su sveikaisiais skaičiais

Ką galite padaryti su sveikaisiais skaičiais? Juos galima padauginti, sudėti ir atimti vienas iš kito. Pažvelkime į kiekvieną operaciją naudodami konkretų pavyzdį.

Sveikųjų skaičių pridėjimas

Du sveikieji skaičiai su tais pačiais ženklais pridedami taip: sudedami šių skaičių moduliai ir prieš gautą sumą įrašomas galutinis ženklas:

(+11) + (+9) = +20

Sveikųjų skaičių atėmimas

Du sveikieji skaičiai su skirtingais ženklais pridedami taip: iš didesnio skaičiaus modulio atimamas mažesnio modulis ir prieš gautą atsakymą dedamas didesnio modulio skaičiaus ženklas:

(-7) + (+8) = +1

Sveikųjų skaičių dauginimas

Norėdami padauginti vieną sveikąjį skaičių iš kito, turite padauginti šių skaičių modulius ir prieš gautą atsakymą įdėti ženklą „+“, jei pirminiai skaičiai turėjo tuos pačius ženklus, ir „−“ ženklą, jei pradiniai skaičiai skiriasi. ženklai:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Reikėtų prisiminti šiuos dalykus sveikųjų skaičių dauginimo taisyklė:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Yra kelių sveikųjų skaičių dauginimo taisyklė. Prisiminkime tai:

Produkto ženklas bus „+“, jei veiksnių, turinčių neigiamą ženklą, skaičius yra lyginis, ir „–“, jei veiksnių, turinčių neigiamą ženklą, skaičius yra nelyginis.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Sveikųjų skaičių padalijimas

Dviejų sveikųjų skaičių padalijimas atliekamas taip: vieno skaičiaus modulis dalijamas iš kito modulio, o jei skaičių ženklai yra vienodi, tada prieš gautą koeficientą dedamas ženklas „+“ , o jei pirminių skaičių ženklai skiriasi, tada dedamas ženklas „−“.

(-25) : (+5) = -5

Sveikųjų skaičių sudėties ir daugybos savybės

Pažvelkime į pagrindines bet kokių sveikųjų skaičių a, b ir c sudėties ir daugybos savybes:

1. a + b = b + a - komutacinė sudėties savybė;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - kombinacinė sudėjimo savybė;
3. a \cdot b = b \cdot a – daugybos komutacinė savybė;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- daugybos asociatyvinės savybės;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- daugybos skirstomoji savybė.

Tai yra skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant: 1, 2, 3... ir tt.

Nulis nėra natūralus.

Natūralūs skaičiai dažniausiai žymimi simboliu N.

Sveiki skaičiai. Teigiami ir neigiami skaičiai

Vadinami du skaičiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik ženklu priešingas, pavyzdžiui, +1 ir -1, +5 ir -5. „+“ ženklas paprastai nerašomas, tačiau daroma prielaida, kad prieš skaičių yra „+“. Tokie skaičiai vadinami teigiamas. Skaičiai, prieš kuriuos yra „-“ ženklas, yra vadinami neigiamas.

Natūralūs skaičiai, jų priešingybės ir nulis vadinami sveikaisiais skaičiais. Sveikųjų skaičių aibė žymima simboliu Z.

Racionalūs numeriai

Tai yra baigtinės trupmenos ir begalinės periodinės trupmenos. Pavyzdžiui,

Žymima racionaliųjų skaičių aibė K. Visi sveikieji skaičiai yra racionalūs.

Neracionalūs skaičiai

Begalinė neperiodinė trupmena vadinama neracionaliuoju skaičiumi. Pavyzdžiui:

Pažymima iracionaliųjų skaičių aibė J.

Realūs skaičiai

Vadinama visų racionaliųjų ir visų iracionaliųjų skaičių aibė rinkinys tikras (tikras) numeriai.

Tikrieji skaičiai žymimi simboliu R.

Skaičių apvalinimas

Apsvarstykite skaičių 8,759123... . Suapvalinti iki artimiausio sveikojo skaičiaus reiškia užrašyti tik tą skaičiaus dalį, kuri yra prieš kablelį. Suapvalinimas iki dešimtųjų reiškia visos dalies ir vieno skaitmens po kablelio užrašymą; suapvalinti iki artimiausios šimtosios dalies – du skaitmenys po kablelio; iki tūkstantųjų dalių – trijų skaitmenų ir kt.