Daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis, o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne, vadinamas piramide.

Šie trikampiai, sudarantys piramidę, vadinami šoniniai veidai, o likęs daugiakampis yra pagrindu piramidės.

Piramidės apačioje guli geometrinė figūra– n-gon. Šiuo atveju piramidė taip pat vadinama n-anglys.

Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras.

Piramidės briaunos, nepriklausančios pagrindui, vadinamos šoninis, ir jų bendras taškas- tai yra viršūnė piramidės. Kiti piramidės kraštai paprastai vadinami fondų partijos.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo bazėje yra taisyklingas daugiakampis, o visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam.

Atstumas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos vadinamas aukščio piramidės. Galime sakyti, kad piramidės aukštis yra statmenas pagrindui atkarpa, kurios galai yra piramidės viršuje ir pagrindo plokštumoje.

Bet kuriai piramidei galioja šios formulės:

1) S pilna \u003d S pusė + S pagrindinė, kur

S pilnas - viso piramidės paviršiaus plotas;

S pusė – šoninio paviršiaus plotas, t.y. visų piramidės šoninių paviršių plotų suma;

S bazė - piramidės pagrindo plotas.

2) V = 1/3 S pagrindinis N, kur

V – piramidės tūris;

H yra piramidės aukštis.

Dėl teisinga piramidė atsiranda:

S pusė = 1/2 P pagrindinė h, kur

P main - piramidės pagrindo perimetras;

h yra apotemos ilgis, tai yra, šoninio paviršiaus, nuleisto nuo piramidės viršaus, aukščio ilgis.

Piramidės dalis, esanti tarp dviejų plokštumų – pagrindo plokštumos ir atsiskyrimo plokštumos, nubrėžta lygiagrečiai pagrindui, vadinama nupjauta piramidė.

Piramidės pagrindas ir piramidės pjūvis lygiagrečia plokštuma vadinamas pagrindu nupjauta piramidė. Likę veidai vadinami šoninis. Atstumas tarp pagrindų plokštumų vadinamas aukščio nupjauta piramidė. Vadinamos briaunos, kurios nepriklauso bazėms šoninis.

Be to, nupjautinės piramidės pagrindai panašūs n-gonai. Jei nupjautinės piramidės pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai, o visos šoninės briaunos yra lygios viena kitai, tai tokia nupjauta piramidė vadinama teisinga.

Dėl savavališka nupjauta piramidė galioja šios formulės:

1) S pilnas \u003d S pusė + S 1 + S 2, kur

S pilnas – bendras paviršiaus plotas;

S pusė – šoninio paviršiaus plotas, t.y. visų nupjautinės piramidės šoninių paviršių, kurie yra trapecijos, plotų suma;

S 1, S 2 - baziniai plotai;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) H, kur

V – nupjautinės piramidės tūris;

H – nupjautinės piramidės aukštis.

Dėl taisyklinga nupjauta piramidė mes taip pat turime:

P pusė \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, kur

P 1, P 2 - pagrindų perimetrai;

h - apotema (šoninio paviršiaus aukštis, kuris yra trapecijos formos).

Apsvarstykite keletą nupjautos piramidės problemų.

1 užduotis.

Trikampėje nupjautinėje piramidėje, kurios aukštis 10, vienos iš pagrindų kraštinės yra 27, 29 ir 52. Nustatykite nupjautinės piramidės tūrį, jei kito pagrindo perimetras yra 72.

Sprendimas.

Apsvarstykite nupjautą piramidę ABCA 1 B 1 C 1, parodytą paveikslėlyje Figūra 1.

1. Nupjautos piramidės tūrį galima rasti pagal formulę

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)), kur S 1 yra vienos iš bazių plotas, galima rasti naudojant Herono formulę

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

nes Uždaviniui pateikti trijų trikampio kraštinių ilgiai.

Turime: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. Piramidė yra nupjauta, o tai reiškia, kad panašūs daugiakampiai yra prie pagrindų. Mūsų atveju trikampis ABC panašus į trikampį A 1 B 1 C 1. Be to, panašumo koeficientą galima rasti kaip nagrinėjamų trikampių perimetrų santykį, o jų plotų santykis bus lygus panašumo koeficiento kvadratui. Taigi, mes turime:

S 1 / S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Taigi S 2 \u003d 4S 1/9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Taigi V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Atsakymas: 1900 m.

2 užduotis.

Trikampėje nupjautoje piramidėje per viršutinio pagrindo kraštą nubrėžta plokštuma, lygiagreti priešingam šoniniam kraštui. Kokiu santykiu dalijamas nupjautosios piramidės tūris, jei atitinkamos pagrindų kraštinės yra susijusios 1:2?

Sprendimas.

Apsvarstykite ABCA 1 B 1 C 1 - nupjautą piramidę, pavaizduotą ryžių. 2.

Kadangi prie pagrindų kraštinės yra susietos 1:2, tai pagrindų plotai yra susieti kaip 1:4 (trikampis ABC panašus į trikampį A 1 B 1 C 1).

Tada nupjautos piramidės tūris yra:

V = 1/3 h (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3 h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, kur S 2 yra ​viršutinis pagrindas, h yra aukštis.

Tačiau ADEA 1 B 1 C 1 prizmės tūris yra V 1 = S 2 h, todėl

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 h S 2 - h S 2 \u003d 4/3 h S 2.

Taigi, V 2: V 1 \u003d 3: 4.

Atsakymas: 3:4.

3 užduotis.

Taisyklingos keturkampės nupjautinės piramidės pagrindų kraštinės yra 2 ir 1, o aukštis 3. Per piramidės įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagrečią piramidės pagrindams, brėžiama plokštuma, dalijanti piramidę į dvi dalis. dalys. Raskite kiekvieno iš jų tūrį.

Sprendimas.

Apsvarstykite nupjautą piramidę ABCD 1 B 1 C 1 D 1, parodytą paveikslėlyje ryžių. 3.

Pažymime O 1 O 2 \u003d x, tada OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Apsvarstykite trikampį B 1 O 2 D 1 ir trikampį BO 2 D:

kampas B 1 O 2 D 1 lygus kampui BO 2 D kaip vertikalus;

kampas ВDO 2 yra lygus kampui D 1 B 1 O 2, o kampas O 2 ВD yra lygus kampui B 1 D 1 O 2, esantis skersai ties B 1 D 1 || BD ir sekantai B₁D ir BD₁ atitinkamai.

Todėl trikampis B 1 O 2 D 1 yra panašus į trikampį BO 2 D ir kraštinių santykis yra:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 arba 1/2 \u003d x / (x - 3), iš kur x \u003d 1.

Apsvarstykite trikampį В 1 D 1 В ir trikampį LO 2 B: kampas В yra bendras, taip pat yra pora vienpusių kampų ties B 1 D 1 || LM, tada trikampis B 1 D 1 B yra panašus į trikampį LO 2 B, iš kurio B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, t.y.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Tada S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Taigi, V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Atsakymas: 152/27; 37/27.

tinklaraštis.svetainė, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

- Tai daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši figūra turi daug unikalių savybių:

• Piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos;
• Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai šonkauliai yra vienodo ilgio ir pasvirę į pagrindą tokiu pat kampu;
• Pagrindai yra panašūs daugiakampiai;
• Taisyklingoje nupjautoje piramidėje veidai yra identiškos lygiašonės trapecijos, kurių plotas yra lygus. Jie taip pat yra pasvirę į pagrindą vienu kampu.

Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma:

Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos, parametrams apskaičiuoti turėsite naudoti formulę trapecijos plotas. Įprastai nupjautai piramidei galima taikyti kitą ploto skaičiavimo formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galima taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išvesti plotą per kampą prie pagrindo.

Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautinėje piramidėje pateikiamas apotemas (kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotas gali būti apskaičiuojamas per perimetrų sumos pusgaminį. bazės ir apotemas:

Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Duota taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l\u003d 5 cm, veido ilgis dideliame pagrinde yra a\u003d 6 cm, o veidas yra mažesniame pagrinde b\u003d 4 cm. Apskaičiuokite nupjautinės piramidės plotą.

Pirma, suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad pagrindai yra figūra su penkiomis identiškomis kraštinėmis. Raskite didesnio pagrindo perimetrą:

Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti taisyklingos nupjautos piramidės plotą. Duomenis pakeičiame formulėje:

Taigi, mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.

Kitas būdas apskaičiuoti taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą yra formulė per kampus prie pagrindo ir šių pačių pagrindų plotą.

Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Atminkite, kad ši formulė taikoma tik taisyklingai nupjautai piramidei.

Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Apatinio pagrindo paviršius a = 6 cm, o viršutinio b = 4 cm. Dvikampis kampas prie pagrindo yra β = 60°. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, visi pagrindų paviršiai yra lygūs vienas kitam. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindas yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti kvadratinis plotas. Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau kvadratu šios reikšmės yra vienodos. Raskite didesnio pagrindo plotą:


Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti.

Žinodami keletą paprastų formulių, mes lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą pagal įvairias reikšmes.

• 29.05.2016

  Virpesių grandinė yra elektros grandinė, kurioje yra induktorius, kondensatorius ir elektros energijos šaltinis. Sujungus grandinės elementus nuosekliai, virpesių grandinė vadinama nuoseklia, lygiagrečia - lygiagrečia. Virpesių grandinė yra paprasčiausia sistema, kurioje laisva elektromagnetiniai virpesiai. Grandinės rezonansinis dažnis nustatomas pagal vadinamąją Tomsono formulę: ƒ = 1/(2π√(LC)) ...

• 20.09.2014

  Imtuvas skirtas priimti LW diapazono (150 kHz ... 300 kHz) signalus. Pagrindinis bruožas imtuvas antenoje, kurios induktyvumas yra didesnis nei įprastinė magnetinė antena. Tai leidžia naudoti derinimo kondensatoriaus talpą 4 ... 20pF diapazone, taip pat toks imtuvas turi priimtiną jautrumą ir nedidelį RF kelio padidėjimą. Ausinių (ausinių) imtuvas veikia, jį maitina ...

• 24.09.2014

  Šis prietaisas skirtas kontroliuoti skysčio lygį talpyklose, kai tik skystis pakils iki nustatyto lygio, prietaisas pradės duoti nuolatinį garso signalą, skysčio lygiui pasiekus kritinį lygį, prietaisas pradės duoti pertraukiamas signalas. Indikatorius susideda iš 2 generatorių, juos valdo jutiklio elementas E. Jis dedamas į baką lygiu iki ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 yra skaitmeninis kelių programų laikmatis, sukurtas dirbti su ILTs3-5\7 indikatoriumi. Jis suteikia galimybę skaičiuoti ir rodyti esamą laiką valandomis ir minutėmis, savaitės dieną ir valdymo kanalo numerį (9 žadintuvai). Žadintuvo schema parodyta paveikslėlyje. Mikroschema yra su laikrodžiu. rezonatorius Q1 esant 32768 Hz. galia yra neigiama, bendras pliusas tenka ...

Gebėjimas apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant daugybę praktinių geometrijos uždavinių. Viena iš labiausiai paplitusių formų yra piramidė. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime piramides, tiek pilnas, tiek sutrumpintas.

Piramidė kaip trimatė figūra

Visi žino apie Egipto piramides, todėl puikiai supranta, kokia figūra bus aptariama. Nepaisant to, Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.

Bendruoju atveju nagrinėjamas geometrinis objektas yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su kokiu nors pagrindinei plokštumai nepriklausančiu erdvės tašku. Šis apibrėžimas veda į figūrą, susidedančią iš vieno n kampo ir n trikampių.

Bet kuri piramidė susideda iš n+1 paviršių, 2*n briaunų ir n+1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygčiai:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Daugiakampis, esantis prie pagrindo, suteikia piramidės pavadinimą, pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių rinkinys su skirtingais pagrindais parodytas žemiau esančioje nuotraukoje.

Taškas, kuriame sujungti n figūros trikampiai, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuleistas nuo jo iki pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdyta, yra pasvirusi piramidė.

Tiesi figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (lygiakampis) n-kampis, vadinama taisyklingu.

Piramidės tūrio formulė

Piramidės tūriui apskaičiuoti naudojame integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, sulaužome figūrą lygiagrečiai pagrindui plokštumų pjaustymas į begalinį plonų sluoksnių skaičių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė piramidė, kurios aukštis h ir kraštinės ilgis L, kurioje plonas pjūvio sluoksnis pažymėtas keturkampiu.

Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Čia A 0 yra pagrindo plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z = 0, tai formulė suteikia reikšmę A 0 .

Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti integralą per visą figūros aukštį, tai yra:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Pakeitę priklausomybę A(z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Gavome piramidės tūrio formulę. Norėdami rasti V reikšmę, pakanka padauginti figūros aukštį iš pagrindo ploto, o tada padalyti rezultatą iš trijų.

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant savavališko tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.

ir jo apimtis

Gauta aukščiau esančioje pastraipoje bendroji formulė tūriui galima patikslinti piramidės su įprastu pagrindu atveju. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Simbolis pi yra skaičius pi.

Pakeitę A 0 išraišką į bendrą formulę, gauname taisyklingos piramidės tūrį:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė lemia tokią išraišką:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √ 3 / 12 * L 2 * h.

Įprastos keturkampės piramidės tūrio formulė yra tokia:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Tūrių apibrėžimas taisyklingos piramidės reikia žinoti jų pagrindo šoną ir figūros aukštį.

Piramidė sutrumpinta

Tarkime, kad paėmėme savavališką piramidę ir nupjovėme jos šoninio paviršiaus dalį, kurioje yra viršūnė. Likusi figūra vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada formuojama nupjauta piramidė su lygiagrečiomis panašiomis bazėmis. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kito ilgius iš kokio nors koeficiento k.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjautas taisyklingas.Matyti, kad jo viršutinį pagrindą, kaip ir apatinį, sudaro taisyklingas šešiakampis.

Formulė, kurią galima gauti naudojant integralinį skaičiavimą, panašų į aukščiau pateiktą, yra:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kur A 0 ir A 1 yra atitinkamai apatinių (didelių) ir viršutinių (mažų) bazių plotai. Kintamasis h reiškia nupjautinės piramidės aukštį.

Cheopso piramidės tūris

Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės tūrio nustatymo problemą.

1984 metais britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas nustatė tikslius Cheopso piramidės matmenis. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis kiekvienos iš keturių konstrukcijos pusių ilgis buvo 230 363 metro. Piramidės pagrindas yra kvadratinis su dideliu tikslumu.

Naudokime pateiktus skaičius šio akmens milžino tūriui nustatyti. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:

Sujungę skaičius, gauname:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopso piramidės tūris yra beveik 2,6 milijono m 3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. Tai yra, norint užpildyti visą Cheopso piramidę, prireiks daugiau nei 1000 tokių baseinų!