Pagrindinė savybė bet koks geometrinė figūra erdvėje yra jo tūris. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime, kas yra piramidė su trikampiu prie pagrindo, taip pat parodysime, kaip rasti tūrį trikampė piramidė- teisingas pilnas ir sutrumpintas.

Kas yra trikampė piramidė?

Visi yra girdėję apie senovės Egipto piramides, tačiau jos yra keturkampės taisyklingos, o ne trikampės. Paaiškinkime, kaip gauti trikampę piramidę.

Paimkime savavališką trikampį ir visas jo viršūnes sujungsime su vienu tašku, esančiu už šio trikampio plokštumos. išsilavinusi figūra bus vadinama trikampe piramide. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.

Kaip matote, nagrinėjamą figūrą sudaro keturi trikampiai, kurie paprastai skiriasi. Kiekvienas trikampis yra piramidės kraštinės arba jos veidas. Ši piramidė dažnai vadinama tetraedru, tai yra keturių pusių trimatė figūra.

Be šonų, piramidė dar turi briaunas (jų yra 6) ir viršūnes (jų yra 4).

su trikampiu pagrindu

Figūra, gauta naudojant savavališką trikampį ir erdvės tašką, bendruoju atveju bus netaisyklingos pasvirusios piramidė. Dabar įsivaizduokite, kad pradinis trikampis turi tas pačias kraštines, o erdvės taškas yra tiksliai virš jo geometrinio centro atstumu h nuo trikampio plokštumos. Piramidė, pastatyta naudojant šiuos pradinius duomenis, bus teisinga.

Akivaizdu, kad taisyklingos trikampės piramidės briaunų, kraštinių ir viršūnių skaičius bus toks pat kaip ir piramidės, pastatytos iš savavališko trikampio.

Tačiau teisingas skaičius turi keletą skiriamieji ženklai:

• jo aukštis, nubrėžtas iš viršaus, tiksliai susikirs su pagrindu geometriniame centre (medianų susikirtimo taške);
• tokios piramidės šoninį paviršių sudaro trys vienodi trikampiai, kurie yra lygiašoniai arba lygiakraščiai.

Taisyklinga trikampė piramidė yra ne tik grynai teorinis geometrinis objektas. Pavyzdžiui, kai kurios gamtos struktūros turi savo formą kristalinė ląstelė deimantas, kur anglies atomas yra prijungtas prie keturių tų pačių atomų kovalentiniai ryšiai, arba metano molekulė, kur piramidės viršūnes sudaro vandenilio atomai.

trikampė piramidė

Galite nustatyti absoliučiai bet kurios piramidės tūrį su savavališku n kampu prie pagrindo naudodami šią išraišką:

Čia simbolis S o žymi pagrindo plotą, h yra figūros, nubrėžtos iki pažymėto pagrindo, aukštis nuo piramidės viršaus.

Kadangi savavališko trikampio plotas yra lygus pusei jo kraštinės ilgio a ir apotemos h a, nuleistos į šią pusę, sandaugos, trikampės piramidės tūrio formulę galima parašyti taip:

V = 1/6 × a × h a × h

Dėl bendras tipas Nustatyti aukštį nėra lengva užduotis. Norėdami tai išspręsti, paprasčiausias būdas yra naudoti atstumo tarp taško (viršūnės) ir plokštumos (trikampio pagrindo) formulę, pavaizduotą lygtimi. bendras vaizdas.

Tinkamam, jis turi specifinę išvaizdą. Jo pagrindo (lygiakraščio trikampio) plotas yra lygus:

Pakeiskite jį bendra išraiška už V gauname:

V = √3/12 × a 2 × h

Ypatingas atvejis yra situacija, kai visos tetraedro kraštinės pasirodo identiškais lygiakraščiais trikampiais. Šiuo atveju jo tūrį galima nustatyti tik žinant jos briaunos parametrą a. Atitinkama išraiška atrodo taip:

Nupjauta piramidė

Jei viršutinė dalis, kurioje yra viršūnė, yra nupjauta nuo taisyklingos trikampės piramidės, tada bus gauta nupjauta figūra. Skirtingai nuo originalaus, jį sudarys dvi lygiakraštės trikampės bazės ir trys lygiašonės trapecijos.

Žemiau esančioje nuotraukoje parodyta, kaip atrodo įprasta nupjauta trikampė piramidė iš popieriaus.

Norint nustatyti nupjautos trikampės piramidės tūrį, reikia žinoti tris jos linijines charakteristikas: kiekvieną iš pagrindų kraštų ir figūros aukštį, lygų atstumui tarp viršutinės ir apatinės pagrindo. Atitinkama tūrio formulė parašyta taip:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Čia h yra figūros aukštis, A ir a yra atitinkamai didžiojo (apatinio) ir mažojo (viršutinio) lygiakraščio trikampio kraštinių ilgiai.

Problemos sprendimas

Kad straipsnyje pateikta informacija skaitytojui būtų aiškesnė, pateikdami aiškų pavyzdį parodysime, kaip naudoti kai kurias rašytines formules.

Tegul trikampės piramidės tūris yra 15 cm 3. Yra žinoma, kad figūra yra teisinga. Turėtumėte rasti šoninės briaunos apotemą a b, jei žinoma, kad piramidės aukštis yra 4 cm.

Kadangi figūros tūris ir aukštis yra žinomi, galite naudoti atitinkamą formulę, kad apskaičiuotumėte jos pagrindo kraštinės ilgį. Mes turime:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm

Paaiškėjo, kad apskaičiuotas figūros apotemos ilgis yra didesnis už jo aukštį, o tai galioja bet kokio tipo piramidėms.

Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis. Visi veidai savo ruožtu sudaro trikampius, kurie susilieja vienoje viršūnėje. Piramidės yra trikampės, keturkampės ir pan. Norint nustatyti, kuri piramidė yra priešais jus, pakanka suskaičiuoti kampų skaičių jos pagrindu. „Piramidės aukščio“ apibrėžimas labai dažnai randamas geometrijos problemose mokyklos mokymo programa. Straipsnyje pabandysime apsvarstyti įvairius būdus, kaip jį rasti.

Piramidės dalys

Kiekviena piramidė susideda iš šių elementų:

• šoniniai paviršiai, turintys tris kampus ir susiliejantys viršuje;
• apothem reiškia aukštį, kuris nusileidžia nuo jo viršaus;
• piramidės viršus yra taškas, jungiantis šoninius kraštus, bet ne guli pagrindo plokštumoje;
• pagrindas yra daugiakampis, kuriame nėra viršūnės;
• piramidės aukštis yra atkarpa, kuri kerta piramidės viršūnę ir sudaro stačią kampą su jos pagrindu.

Kaip sužinoti piramidės aukštį, jei žinomas jos tūris

Pagal formulę V \u003d (S * h) / 3 (formulėje V yra tūris, S yra pagrindo plotas, h yra piramidės aukštis), nustatome, kad h \u003d (3 * V) / S . Norėdami konsoliduoti medžiagą, nedelsdami išspręskime problemą. Trikampio pagrindo plotas yra 50 cm 2 , o tūris - 125 cm 3 . Trikampės piramidės aukštis nežinomas, tai mums reikia rasti. Čia viskas paprasta: duomenis įterpiame į savo formulę. Gauname h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Kaip rasti piramidės aukštį, jei žinomas įstrižainės ir jos briaunos ilgis

Kaip prisimename, piramidės aukštis sudaro stačią kampą su jos pagrindu. Ir tai reiškia, kad aukštis, kraštas ir pusė įstrižainės kartu sudaro Daugelis, žinoma, prisimena Pitagoro teoremą. Žinant du matmenis, nebus sunku rasti trečiąją vertę. Prisiminkite gerai žinomą teoremą a² = b² + c², kur a yra hipotenuzė, o mūsų atveju - piramidės kraštas; b - piramidės pirmoji atkarpa arba pusė įstrižainės ir c - atitinkamai antroji kojelė arba piramidės aukštis. Pagal šią formulę c² = a² - b².

Dabar problema: įprastoje piramidėje įstrižainė yra 20 cm, o krašto ilgis - 30 cm. Reikia rasti aukštį. Mes išsprendžiame: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Vadinasi, c \u003d √ 500 \u003d apie 22,4.

Kaip rasti nupjautos piramidės aukštį

Tai daugiakampis, kurio atkarpa lygiagreti jo pagrindui. Nupjautos piramidės aukštis yra segmentas, jungiantis du jos pagrindus. Aukštį galima rasti prie taisyklingos piramidės, jei yra žinomi abiejų pagrindų įstrižainių ilgiai, taip pat piramidės briauna. Tegul didesnio pagrindo įstrižainė yra d1, o mažesnio pagrindo įstrižainė lygi d2, o briaunos ilgis l. Norėdami rasti aukštį, galite sumažinti aukščius nuo dviejų viršutinių priešingų diagramos taškų iki pagrindo. Matome, kad gavome du stačiakampius trikampius, belieka rasti jų kojų ilgius. Norėdami tai padaryti, atimkite mažesnę įstrižainę iš didesnės įstrižainės ir padalinkite iš 2. Taigi rasime vieną koją: a \u003d (d1-d2) / 2. Po to, pagal Pitagoro teoremą, belieka rasti antrąją koją, kuri yra piramidės aukštis.

Dabar pažvelkime į visa tai praktiškai. Mūsų laukia užduotis. Nupjautos piramidės apačioje yra kvadratas, didesnio pagrindo įstrižainės ilgis 10 cm, o mažesnės - 6 cm, kraštas - 4 cm, reikia rasti aukštį. Pirmiausia randame vieną koją: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Viena koja yra 2 cm, o hipotenuzė - 4 cm. Pasirodo, antroji koja arba aukštis bus 16- 4 \u003d 12, tai yra, h \u003d √12 = apie 3,5 cm.

Teorema. piramidės tūris yra lygus produktui jos pagrindo plotą trečdaliu jo aukščio.

Pirmiausia įrodome šią teoremą trikampei piramidei, o paskui daugiakampei.

1) Remiantis trikampe piramide SABC (102 pav.), statome prizmę SABCDE, kurios aukštis lygus piramidės aukščiui, o viena šoninė briauna sutampa su briauna SB. Įrodykime, kad piramidės tūris yra trečdalis šios prizmės tūrio. Atskirkite šią piramidę nuo prizmės. Tai palieka keturkampę piramidę SADEC (kuri aiškumo dėlei parodyta atskirai). Per viršūnę S ir pagrindo DC įstrižainę nubrėžkime jame pjovimo plokštumą. Gautos dvi trikampės piramidės turi bendrą viršūnę S ir lygias bazes DEC ir DAC, esančias toje pačioje plokštumoje; vadinasi, pagal aukščiau įrodytą lemą, šios piramidės yra lygios. Palyginkime vieną iš jų, būtent SDEC, su šia piramide. SDEC piramidės pagrindui galite paimti \(\Delta\)SDE; tada jo viršūnė bus taške C, o aukštis lygus šios piramidės aukščiui. Kadangi \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, tai pagal tą pačią lemą piramidės SDEC ir SABC yra lygios.

Prizmę ABCDES mes padaliname į tris vienodo dydžio piramides: SABC, SDEC ir SDAC. (Akivaizdu, kad bet kuri trikampė prizmė gali būti paveikta tokia pertvara. Tai yra viena iš svarbių trikampės prizmės savybių.) Taigi trijų piramidžių, kurių dydis yra lygus duotajai, tūrių suma yra prizmė; Vadinasi,

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

kur H yra piramidės aukštis.

2) Per kokią nors daugiakampės piramidės SABCDE pagrindo viršūnę E (103 pav.) brėžiame įstrižaines EB ir EC.

Tada per kraštą SE ir kiekvieną iš šių įstrižainių nubrėžiame pjovimo plokštumas. Tada daugiakampė piramidė bus padalinta į kelias trikampes, kurių aukštis yra bendras su duota piramide. Žymintys trikampių piramidžių pagrindų plotus per b 1 ,b 2 ,b 3 ir aukštis per H, turėsime:

tūris SABCDE = 1/3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =

= (ABCDE plotas) H / 3 .

Pasekmė. Jei V, B ir H reiškia skaičius, atitinkamais vienetais išreiškiančius bet kurios piramidės tūrį, pagrindo plotą ir aukštį, tada

Teorema. Apimtis nupjauta piramidė yra lygi sumai trijų piramidžių, kurių aukštis lygus nupjautinės piramidės aukščiui, tūriai ir pagrindai: vienas yra šios piramidės apatinis pagrindas, kitas yra viršutinis pagrindas ir trečios piramidės pagrindo plotas yra lygus viršutinio ir apatinio pagrindo plotų geometriniam vidurkiui.

Tegul nupjautinės piramidės (104 pav.) pagrindų plotai yra B ir b, aukštis H ir tūris V (nupjautinė piramidė gali būti trikampė arba daugiakampė – nesvarbu).

Tai būtina įrodyti

V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1/3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),

kur √B b yra geometrinis vidurkis tarp B ir b.

Norėdami įrodyti mažesnį pagrindą, pastatome nedidelę piramidę, kuri papildo šią nupjautą piramidę iki vientisos. Tada nupjautos piramidės V tūrį galime laikyti dviejų tūrių skirtumu - pilna piramidė ir viršuje papildomas.

Papildomos piramidės aukštį žymintys raide X, tai rasime

V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - b)X].

Norėdami rasti aukštį X naudojame teoremą iš , pagal kurią galime parašyti lygtį:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

Norėdami supaprastinti šią lygtį, ištraukiame iš abiejų jos aritmetikos dalių Kvadratinė šaknis:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

Iš šios lygties (kurią galima įsivaizduoti kaip proporciją) gauname:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

taigi

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

Pakeitę šią išraišką į formulę, kurią išvedėme tūriui V, randame:

$$ V = \frac(1)(3)\left $$

Nuo V- b= (√B + √ b) (√B – √ b), tada trupmeną sumažinant skirtumu √B - √ b mes gauname:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

y., gauname formulę, kurią reikėjo įrodyti.

Kitos medžiagos

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra savavališkas daugiakampis, o visi paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne, kuri yra piramidės viršūnė.

Piramidė yra trimatė figūra. Štai kodėl gana dažnai reikia rasti ne tik jo plotą, bet ir tūrį. Piramidės tūrio formulė yra labai paprasta:

kur S yra pagrindo plotas, o h yra piramidės aukštis.

Aukštis piramidė vadinama tiesia linija, nuleista nuo jos viršaus iki pagrindo stačiu kampu. Atitinkamai, norint rasti piramidės tūrį, reikia nustatyti, kuris daugiakampis yra prie pagrindo, apskaičiuoti jo plotą, sužinoti piramidės aukštį ir rasti jos tūrį. Apsvarstykite piramidės tūrio apskaičiavimo pavyzdį.

Užduotis: duota taisyklinga keturkampė piramidė.

Pagrindo kraštinės a = 3 cm, visos kraštinės b = 4 cm Raskite piramidės tūrį.
Pirmiausia atminkite, kad norint apskaičiuoti tūrį, reikia piramidės aukščio. Jį galime rasti naudodami Pitagoro teoremą. Norėdami tai padaryti, mums reikia įstrižainės ilgio, tiksliau, pusės jo. Tada žinant dvi puses taisyklingas trikampis, galime rasti aukštį. Pirmiausia suraskite įstrižainę:

Pakeiskite reikšmes formulėje:


Aukštį h randame naudodami d ir kraštą b:


Dabar suraskime

Teorema.

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukščio sandaugos..

Įrodymas:

Pirmiausia įrodome teoremą trikampei piramidei, tada savavališkai.

1. Apsvarstykite trikampę piramidęOABCkurio tūris V, bazinis plotasS ir aukštis h. Nubrėžkite ašį oi (OM2- aukštis), apsvarstykite sekcijąA1 B1 C1piramidės, kurių ašiai statmena plokštumaOiir todėl lygiagrečiai pagrindo plokštumai. PažymėtiX abscisės taškas M1 šios plokštumos susikirtimo su x ašimi, ir perS(x)- skerspjūvio plotas. Express S(x) per S, h ir X. Atkreipkite dėmesį, kad trikampiai A1 AT1 NUO1 ir ABC yra panašūs. Tikrai A1 AT1 II AB, taigi trikampis OA 1 AT 1 panašus į trikampį OAB. NUO dėl to BET1 AT1 : BETB= OA 1: OA .

stačiųjų trikampių OA 1 AT 1 ir OAB taip pat yra panašūs (jie turi bendrą aštrus kampas viršuje O). Todėl OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Šiuo būdu BET 1 AT 1 : A B = x: h.Panašiai įrodyta, kadB1 C1:Saulė = X: h ir A1 C1:AC = X: h.Taigi trikampisA1 B1 C1 ir ABCpanašus su panašumo koeficientu X: h.Todėl S(x): S = (x: h)² arba S(x) = S x²/ h².

Dabar pritaikykime pagrindinę kūnų tūrių apskaičiavimo formulęa= 0, b=h mes gauname

2. Dabar įrodykime savavališkos piramidės su aukščiu teoremą h ir bazinis plotas S. Tokią piramidę galima suskirstyti į trikampes piramides, kurių bendras aukštis h. Kiekvienos trikampės piramidės tūrį išreiškiame pagal mūsų įrodytą formulę ir pridedame šiuos tūrius. Iš skliaustų išėmę bendrą koeficientą 1/3h, skliausteliuose gauname trikampių piramidžių pagrindų sumą, t.y. pradinės piramidės pagrindų plotas S.

Taigi pradinės piramidės tūris yra 1/3 Sh. Teorema įrodyta.

Pasekmė:

Nupjautinės piramidės su aukščiu h ir pagrindo plotais S ir S tūris V1 , apskaičiuojami pagal formulę

h – piramidės aukštis

Sustabdyti - viršutinio pagrindo plotas

S žemesnė - apatinio pagrindo plotas