Mes pasirenkame stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje ir nubraižome argumento reikšmes ant abscisių ašies X, o y ašyje - funkcijos reikšmės y = f(x).

Funkcijų grafikas y = f(x) iškviečiama visų taškų aibė, kurios abscisės priklauso funkcijos sričiai, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms.

Kitaip tariant, funkcijos y \u003d f (x) grafikas yra visų plokštumos taškų, koordinačių, rinkinys X, adresu kurios tenkina santykį y = f(x).

Ant pav. 45 ir 46 yra funkcijų grafikai y = 2x + 1 Ir y \u003d x 2 - 2x.

Griežtai kalbant, reikėtų atskirti funkcijos grafiką (tikslus matematinis apibrėžimas buvo pateiktas aukščiau) ir nubrėžtą kreivę, kuri visada pateikia tik daugiau ar mažiau tikslų grafiko eskizą (ir net tada, kaip taisyklė, ne visas grafikas, o tik jo dalis, esanti paskutinėje plokštumos dalyje). Tačiau toliau mes paprastai vadinsime „diagramą“, o ne „diagramos eskizą“.

Naudodami grafiką galite rasti funkcijos reikšmę taške. Būtent, jei taškas x = a priklauso funkcijos sričiai y = f(x), tada norėdami rasti numerį f(a)(t. y. funkcijos reikšmės taške x = a) turėtų tai padaryti. Reikia per tašką su abscise x = a nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią y ašiai; ši linija kirs funkcijos grafiką y = f(x) vienu metu; šio taško ordinatė pagal grafiko apibrėžimą bus lygi f(a)(47 pav.).

Pavyzdžiui, dėl funkcijos f(x) = x 2 - 2x naudodamiesi grafiku (46 pav.) randame f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 ir t.t.

Funkcijos grafikas vizualiai iliustruoja funkcijos elgesį ir savybes. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į Fig. 46 akivaizdu, kad funkcija y \u003d x 2 - 2xįgauna teigiamas reikšmes, kai X< 0 ir pas x > 2, neigiamas – ties 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x priima val x = 1.

Norėdami nubrėžti funkciją f(x) reikia rasti visus plokštumos taškus, koordinates X,adresu kurios tenkina lygtį y = f(x). Daugeliu atvejų tai neįmanoma, nes tokių taškų yra be galo daug. Todėl funkcijos grafikas pavaizduotas apytiksliai – didesniu ar mažesniu tikslumu. Paprasčiausias yra kelių taškų braižymo metodas. Jis susideda iš to, kad argumentas X pateikite baigtinį skaičių reikšmių – tarkime, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k ir sudarykite lentelę, kurioje būtų pasirinktos funkcijos reikšmės.

Lentelė atrodo taip:

Sudarę tokią lentelę, funkcijos grafike galime nubrėžti keletą taškų y = f(x). Tada sujungus šiuos taškus lygia linija, gauname apytikslį funkcijos grafiko vaizdą y = f(x).

Tačiau reikia pažymėti, kad kelių taškų braižymo metodas yra labai nepatikimas. Tiesą sakant, grafiko elgsena tarp pažymėtų taškų ir jos elgsena už atkarpos tarp kraštutinių taškų lieka nežinoma.

1 pavyzdys. Norėdami nubrėžti funkciją y = f(x) kažkas sudarė argumentų ir funkcijų reikšmių lentelę:

Atitinkami penki taškai parodyti fig. 48.

Remdamasis šių taškų vieta, jis padarė išvadą, kad funkcijos grafikas yra tiesi linija (48 pav. parodyta punktyrine linija). Ar ši išvada gali būti laikoma patikima? Jei nėra papildomų priežasčių, pagrindžiančių šią išvadą, ji vargu ar gali būti laikoma patikima. patikimas.

Norėdami pagrįsti savo teiginį, apsvarstykite funkciją

.

Skaičiavimai rodo, kad šios funkcijos reikšmės taškuose -2, -1, 0, 1, 2 yra tiesiog aprašytos aukščiau pateiktoje lentelėje. Tačiau šios funkcijos grafikas visai nėra tiesi (ji pavaizduota 49 pav.). Kitas pavyzdys yra funkcija y = x + l + sinx; jo reikšmės taip pat aprašytos aukščiau esančioje lentelėje.

Šie pavyzdžiai rodo, kad „gryna“ forma kelių taškų braižymo metodas yra nepatikimas. Todėl, norėdami nubrėžti tam tikrą funkciją, paprastai elkitės taip. Pirmiausia išnagrinėjamos šios funkcijos savybės, kurių pagalba galima sukonstruoti grafiko eskizą. Tada, apskaičiuojant funkcijos reikšmes keliuose taškuose (kurių pasirinkimas priklauso nuo funkcijos nustatytų savybių), randami atitinkami grafiko taškai. Ir galiausiai, naudojant šios funkcijos savybes, per sukonstruotus taškus nubrėžiama kreivė.

Vėliau panagrinėsime kai kurias (paprasčiausias ir dažniausiai naudojamas) funkcijų, naudojamų grafiko eskizui rasti, savybes, o dabar panagrinėsime kai kuriuos dažniausiai naudojamus grafikų braižymo metodus.

Funkcijos y = |f(x)| grafikas.

Dažnai reikia nubrėžti funkciją y = |f(x)|, kur f(x) – suteikta funkcija. Prisiminkite, kaip tai daroma. Pagal skaičiaus absoliučiosios reikšmės apibrėžimą galima rašyti

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas y=|f(x)| galima gauti iš grafiko, funkcijų y = f(x) taip: visi funkcijos grafiko taškai y = f(x), kurio ordinatės neneigiamos, palikti nepakeistas; toliau, vietoj funkcijos grafiko taškų y = f(x), turint neigiamas koordinates, reikia sukonstruoti atitinkamus funkcijos grafiko taškus y = -f(x)(t. y. funkcijos grafiko dalis
y = f(x), kuris yra žemiau ašies X, turi atsispindėti simetriškai apie ašį X).

2 pavyzdys Nubraižykite funkciją y = |x|.

Imame funkcijos grafiką y = x(50 pav., a) ir šio grafiko dalis, kai X< 0 (guli po ašimi X) atsispindi simetriškai apie ašį X. Rezultate gauname funkcijos grafiką y = |x|(50 pav., b).

3 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |x 2 - 2x|.

Pirmiausia pavaizduojame funkciją y = x 2 - 2x.Šios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, parabolės viršūnė turi koordinates (1; -1), jos grafikas kerta abscisių ašį taškuose 0 ir 2. Intervale (0; 2) funkcija įgauna neigiamas reikšmes, todėl ši grafiko dalis simetriškai atsispindi ašies atžvilgiu.bscisa. 51 paveiksle parodytas funkcijos grafikas y \u003d |x 2 -2x |, remiantis funkcijos grafiku y = x 2 - 2x

Funkcijos y = f(x) + g(x) grafikas

Apsvarstykite funkcijos braižymo problemą y = f(x) + g(x). jei pateikti funkcijų grafikai y = f(x) Ir y = g(x).

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y sritis = |f(x) + g(x)| yra aibė visų tų x reikšmių, kurioms yra apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) ir y = g(x), t. y. ši apibrėžimo sritis yra apibrėžimo sričių, funkcijų f(x) ir g(x) sankirta.

Tegul taškai (x 0, y 1) Ir (x 0, y 2) atitinkamai priklauso funkcijų grafikams y = f(x) Ir y = g(x), t.y. y 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tada taškas (x0;. y1 + y2) priklauso funkcijos grafikui y = f(x) + g(x)(dėl f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. ir bet kuris funkcijos grafiko taškas y = f(x) + g(x) galima gauti tokiu būdu. Todėl funkcijos grafikas y = f(x) + g(x) galima gauti iš funkcijų grafikų y = f(x). Ir y = g(x) pakeičiant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcinė grafika y = f(x) taškas (x n, y 1 + y 2), Kur y 2 = g(x n), ty perkeliant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcijų grafikas y = f(x) išilgai ašies adresu pagal sumą y 1 \u003d g (x n). Šiuo atveju atsižvelgiama tik į tokius punktus. X n, kuriai apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) Ir y = g(x).

Šis funkcijos grafiko braižymo būdas y = f(x) + g(x) vadinamas funkcijų grafikų pridėjimu y = f(x) Ir y = g(x)

4 pavyzdys. Paveiksle grafų sudėjimo būdu sukonstruotas funkcijos grafikas
y = x + sinx.

Braižydami funkciją y = x + sinx mes tai manėme f(x) = x, A g(x) = sinx. Norėdami sudaryti funkcijų grafiką, pasirenkame taškus su abscisėmis -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Reikšmės f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx skaičiuosime pasirinktuose taškuose ir rezultatus patalpinsime į lentelę.

1. Tiesinė trupmeninė funkcija ir jos grafikas

Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.

Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Panašiai racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.

Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. peržiūros funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija pastovi). Tiesinės trupmeninės dalies funkcija apibrėžiama visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo grafiko, kurį žinote y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia verte mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisių ašies: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių artėja hiperbolės šakos, vadinamos jos asimptotų.

1 pavyzdys

y = (2x + 1) / (x - 3).

Sprendimas.

Pažymime sveikąją dalį: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempti išilgai Oy ašies 7 kartus ir 2 vienetų segmentais į viršų.

Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti taip pat, paryškinant „visą dalį“. Vadinasi, visų tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.

Norint nubraižyti kokios nors savavališkos tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks surasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės asimptotes x = -d/c ir y = a/c.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta, jei x = -1. Taigi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumentas x padidėja absoliučia verte.

Norėdami tai padaryti, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kaip x → ∞ trupmena linkusi į 3/2. Vadinasi, horizontalioji asimptotė yra tiesi linija y = 3/2.

3 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).

Sprendimas.

Mes pasirenkame „visą trupmenos dalį“:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus šias transformacijas: 1 vieneto poslinkis į kairę, simetriškas ekranas Ox atžvilgiu ir 2 vienetų intervalų poslinkis į viršų išilgai Oy ašies.

Apibrėžimo sritis D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.

Atsakymas: 1 pav.

2. Trupmeninė-racionali funkcija

Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.

Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) arba y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jei funkcija y = P(x) / Q(x) yra dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnio koeficientas, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti su visomis detalėmis. Tačiau dažnai pakanka taikyti metodus, panašius į tuos, su kuriais jau susipažinome aukščiau.

Tegul trupmena yra tinkama (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų braižymas

Apsvarstykite keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninę-racionaliąją funkciją.

4 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y = 1/x 2 .

Sprendimas.

Mes naudojame funkcijos y \u003d x 2 grafiką, kad nubraižytume grafiką y \u003d 1 / x 2 ir naudojame grafikų „padalijimo“ metodą.

Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).

Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.

Atsakymas: 2 pav.

5 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Sprendimas.

Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Čia mes panaudojome faktoringo, redukavimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos techniką.

Atsakymas: 3 pav.

6 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Sprendimas.

Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lygi, grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu. Prieš braižydami dar kartą transformuojame išraišką, paryškindami sveikąją dalį:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies pasirinkimas trupmeninės-racionalios funkcijos formulėje yra vienas pagrindinių braižant grafikus.

Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. linija y = 1 yra horizontali asimptotė.

Atsakymas: 4 pav.

7 pavyzdys

Apsvarstykite funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykite tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. aukščiausias taškas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių nepakanka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „užlipti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti lygtį x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Taigi mūsų prielaida yra klaidinga. Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę, turite išsiaiškinti, kurio didžiausio A lygtis A \u003d x / (x 2 + 1) turės sprendimą. Pakeiskime pradinę lygtį kvadratine: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 - 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A \u003d 1/2.

Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Galios funkcijos y = x p srityje galioja šios formulės:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Galios funkcijų savybės ir jų grafikai

Galios funkcija, kai rodiklis lygus nuliui, p = 0

Jei laipsnio funkcijos y = x p eksponentas yra lygus nuliui, p = 0 , tai laipsnio funkcija apibrėžiama visiems x ≠ 0 ir yra pastovi, lygi vienetui:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Galios funkcija su natūraliu nelyginiu rodikliu, p = n = 1, 3, 5, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis nelyginis rodiklis n = 1, 3, 5, ... . Tokį rodiklį galima užrašyti ir taip: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... yra neneigiamas sveikasis skaičius. Žemiau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Apribojimai:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
jei x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 1 , funkcija yra atvirkštinė pati sau: x = y
jei n ≠ 1, atvirkštinė funkcija yra n laipsnio šaknis:

Laipsnio funkcija su natūraliu lyginiu rodikliu, p = n = 2, 4, 6, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis lyginis rodiklis n = 2, 4, 6, ... . Tokį rodiklį galima parašyti ir taip: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius. Tokių funkcijų savybės ir grafikai pateikiami toliau.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
jei x ≤ 0 monotoniškai mažėja
jei x ≥ 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, x=0, y=0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Apribojimai:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
jei x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
n = 2, kvadratinė šaknis:
jei n ≠ 2, n laipsnio šaknis:

Galios funkcija su sveikuoju neigiamu rodikliu, p = n = -1, -2, -3, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios neigiamas sveikasis rodiklis n = -1, -2, -3, ... . Jei įdėsime n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius, tada jį galima pavaizduoti taip:

Laipsninės funkcijos y = x n grafikas su neigiamu sveikuoju rodikliu įvairioms eksponento n = -1, -2, -3, ... reikšmėms.

Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...

Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0 : išgaubta žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Apribojimai:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -1,
už n< -2 ,

Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...

Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0 : monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite: y > 0
Apribojimai:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -2,
už n< -2 ,

Galios funkcija su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu , kur n yra sveikas skaičius, m > 1 yra natūralusis skaičius. Be to, n, m neturi bendrų daliklių.

Trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis: m = 3, 5, 7, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p apibrėžiama ir teigiamoms, ir neigiamoms x reikšmėms. Apsvarstykite tokių galios funkcijų savybes, kai rodiklis p yra tam tikrose ribose.

p yra neigiamas, p< 0

Tegul racionalusis rodiklis (su nelyginiu vardikliu m = 3, 5, 7, ... ) yra mažesnis už nulį: .

Eksponentinių funkcijų grafikai su racionaliu neigiamu eksponentu įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... yra nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = -1, -3, -5, ...

Čia yra laipsnio funkcijos y = x p savybės su racionaliu neigiamu eksponentu , kur n = -1, -3, -5, ... yra nelyginis neigiamas sveikas skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0 : išgaubta žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Apribojimai:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = -2, -4, -6, ...

Laipsninės funkcijos y = x p su racionaliuoju neigiamu rodikliu savybės, kur n = -2, -4, -6, ... yra lyginis neigiamas sveikas skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0 : monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite: y > 0
Apribojimai:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

P reikšmė yra teigiama, mažesnė už vieną, 0< p < 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju eksponentu (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nelyginis skaitiklis, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < +∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вниз
jei x > 0 : išgaubta aukštyn
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Pasižymėkite:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Apribojimai:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = -1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 2, 4, 6, ...

Pateikiamos laipsnio funkcijos y = x p savybės su racionaliuoju rodikliu , esant 0 ribose.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< +∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно убывает
jei x > 0 : monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubta aukštyn, kai x ≠ 0
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Pasižymėkite: jei x ≠ 0, y > 0
Apribojimai:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = 1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Rodiklis p didesnis už vieną, p > 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju rodikliu (p > 1 ) įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... yra nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = 5, 7, 9, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 5, 7, 9, ... yra nelyginis natūralusis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Apribojimai:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = -1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 4, 6, 8, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 4, 6, 8, ... yra lyginis natūralusis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 монотонно убывает
jei x > 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Apribojimai:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = 1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Trupmeninio rodiklio vardiklis lyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra lyginis: m = 2, 4, 6, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p nėra apibrėžta neigiamoms argumento reikšmėms. Jo savybės sutampa su laipsnio funkcijos su neracionaliuoju rodikliu savybėmis (žr. kitą skyrių).

Galios funkcija su neracionaliu rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su neracionaliuoju rodikliu p. Tokių funkcijų savybės skiriasi nuo tų, kurios buvo aptartos aukščiau, nes jos nėra apibrėžtos neigiamoms x argumento reikšmėms. Teigiamoms argumento reikšmėms savybės priklauso tik nuo eksponento p reikšmės ir nepriklauso nuo to, ar p yra sveikasis skaičius, racionalus ar neracionalus.

y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Galios funkcija su neigiamu p< 0

Domenas: x > 0
Kelios reikšmės: y > 0
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Apribojimai: ;
privati ​​vertė: Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Galios funkcija su teigiamu rodikliu p > 0

Rodiklis yra mažesnis nei vienas 0< p < 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas aukštyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Apribojimai:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Rodiklis yra didesnis nei vienas p > 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Apribojimai:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

Taip pat žiūrėkite:

Atkarpos ilgis koordinačių ašyje randamas pagal formulę:

Atkarpos ilgis koordinačių plokštumoje ieškomas pagal formulę:

Norint rasti atkarpos ilgį trimatėje koordinačių sistemoje, naudojama ši formulė:

Atkarpos vidurio koordinatės (koordinačių ašiai naudojama tik pirmoji formulė, koordinačių plokštumai - pirmosios dvi formulės, trimatei koordinačių sistemai - visos trys formulės) apskaičiuojamos pagal formules:

Funkcija yra formos atitikimas y= f(x) tarp kintamųjų, dėl kurių kiekviena svarstoma kurio nors kintamojo reikšmė x(argumentas arba nepriklausomas kintamasis) atitinka tam tikrą kito kintamojo reikšmę, y(priklausomas kintamasis, kartais ši reikšmė tiesiog vadinama funkcijos reikšme). Atminkite, kad funkcija daro prielaidą, kad viena argumento reikšmė X priklausomo kintamojo gali būti tik viena reikšmė adresu. Tačiau ta pati vertė adresu galima gauti su įvairiais X.

Funkcijos apimtis yra visos nepriklausomo kintamojo reikšmės (paprastai funkcijos argumentas X), kuriai apibrėžta funkcija, t.y. jos prasmė egzistuoja. Nurodyta apibrėžimo sritis D(y). Apskritai, jūs jau esate susipažinę su šia sąvoka. Funkcijos apimtis kitaip vadinama galiojančių reikšmių domenu arba ODZ, kurią jau seniai pavyko rasti.

Funkcijų diapazonas yra visos galimos šios funkcijos priklausomo kintamojo reikšmės. Žymima E(adresu).

Funkcija pakyla intervale, kuriame didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Funkcija mažėja intervale, kuriame didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Funkcijų intervalai yra nepriklausomo kintamojo intervalai, kuriais priklausomas kintamasis išlaiko teigiamą arba neigiamą ženklą.

Funkcijos nuliai yra tos argumento reikšmės, kurių funkcijos reikšmė lygi nuliui. Šiuose taškuose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (OX ašį). Labai dažnai poreikis rasti funkcijos nulius reiškia tiesiog išspręsti lygtį. Taip pat dažnai poreikis rasti pastovaus ženklo intervalus reiškia poreikį tiesiog išspręsti nelygybę.

Funkcija y = f(x) yra vadinami net X

Tai reiškia, kad bet kokioms priešingoms argumento reikšmėms lyginės funkcijos reikšmės yra lygios. Lyginės funkcijos grafikas visada yra simetriškas operatyvinio stiprintuvo y ašiai.

Funkcija y = f(x) yra vadinami nelyginis, jei ji apibrėžta simetrinėje aibėje ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė įvykdoma:

Tai reiškia, kad bet kokioms priešingoms argumento reikšmėms nelyginės funkcijos reikšmės taip pat yra priešingos. Nelyginės funkcijos grafikas visada yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Lyginių ir nelyginių funkcijų (abscisių ašies OX susikirtimo taškų) suma visada lygi nuliui, nes už kiekvieną teigiamą šaknį X turi neigiamą šaknį X.

Svarbu pažymėti, kad kai kurios funkcijos nebūtinai turi būti lyginės ar nelyginės. Yra daug funkcijų, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės. Tokios funkcijos vadinamos bendrosios funkcijos, ir nė viena iš aukščiau nurodytų lygybių ar savybių jiems negalioja.

Linijinė funkcija vadinama funkcija, kurią galima pateikti pagal formulę:

Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija ir bendruoju atveju atrodo taip (pavyzdys pateikiamas atvejui, kai k> 0, šiuo atveju funkcija didėja; bylai k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Kvadratinės funkcijos grafikas (parabolė)

Parabolės grafikas pateikiamas kvadratine funkcija:

Kvadratinė funkcija, kaip ir bet kuri kita funkcija, kerta OX ašį taškuose, kurie yra jos šaknys: ( x 1 ; 0) ir ( x 2; 0). Jei šaknų nėra, tai kvadratinė funkcija nekerta OX ašies, jei yra viena šaknis, tai šiame taške ( x 0; 0) kvadratinė funkcija tik paliečia OX ašį, bet jos nekerta. Kvadratinė funkcija visada kerta OY ašį taške, kurio koordinatės: (0; c). Kvadratinės funkcijos (parabolės) grafikas gali atrodyti taip (paveiksle pateikti pavyzdžiai, kurie toli gražu neišnaudoja visų galimų parabolių tipų):

Kur:

• jei koeficientas a> 0, funkcijoje y = kirvis 2 + bx + c, tada parabolės šakos nukreiptos į viršų;
• jeigu a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Parabolės viršūnių koordinates galima apskaičiuoti naudojant šias formules. X viršūnės (p- aukščiau pateiktuose paveiksluose) parabolė (arba taškas, kuriame kvadratinis trinaris pasiekia didžiausią arba mažiausią vertę):

Y viršūnės (q- aukščiau pateiktuose paveiksluose) parabolės arba maksimumo, jei parabolės šakos nukreiptos žemyn ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), kvadratinio trinalio vertė:

Kitų funkcijų grafikai

galios funkcija

Štai keletas galios funkcijų grafikų pavyzdžių:

Atvirkščiai proporcinga priklausomybė iškvieskite funkciją, pateiktą pagal formulę:

Priklausomai nuo skaičiaus ženklo k Atvirkščiai proporcingas grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis:

Asimptotė yra tiesė, prie kurios funkcijos grafiko linija priartėja be galo, bet nesikerta. Aukščiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotų atvirkštinio proporcingumo grafikų asimptotės yra koordinačių ašys, prie kurių funkcijos grafikas priartėja be galo, bet jų nekerta.

eksponentinė funkcija su baze A iškvieskite funkciją, pateiktą pagal formulę:

a eksponentinės funkcijos grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis (taip pat pateiksime pavyzdžių, žr. toliau):

logaritminė funkcija iškvieskite funkciją, pateiktą pagal formulę:

Priklausomai nuo to, ar skaičius didesnis ar mažesnis už vieną a Logaritminės funkcijos grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis:

Funkcijų grafikas y = |x| taip:

Periodinių (trigonometrinių) funkcijų grafikai

Funkcija adresu = f(x) vadinamas periodinis leidinys, jei yra toks ne nulis skaičius T, Ką f(x + T) = f(x), bet kam X už funkcijos ribų f(x). Jei funkcija f(x) yra periodinis su tašku T, tada funkcija:

Kur: A, k, b yra pastovūs skaičiai ir k nelygu nuliui, taip pat periodiškai su tašku T 1 , kuris nustatomas pagal formulę:

Dauguma periodinių funkcijų pavyzdžių yra trigonometrinės funkcijos. Čia pateikiami pagrindinių trigonometrinių funkcijų grafikai. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta funkcijos grafiko dalis y= nuodėmė x(visas grafikas tęsiasi neribotai į kairę ir į dešinę), funkcijos grafikas y= nuodėmė x paskambino sinusoidinė:

Funkcijų grafikas y= cos x paskambino kosinuso banga. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Nuo sinuso grafiko jis tęsiasi neribotą laiką išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę:

Funkcijų grafikas y=tg x paskambino tangentoidinis. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kaip ir kitų periodinių funkcijų grafikai, šis grafikas neribotą laiką kartojasi išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę.

Ir galiausiai funkcijos grafikas y=ctg x paskambino kotangentoidinis. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kaip ir kitų periodinių ir trigonometrinių funkcijų grafikai, šis grafikas neribotą laiką kartojasi išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę.

• Atgal
• Persiųsti

Kaip sėkmingai pasiruošti fizikos ir matematikos KT?

Norint sėkmingai pasirengti fizikos ir matematikos KT, be kita ko, turi būti įvykdytos trys kritinės sąlygos:

1. Išstudijuokite visas temas ir atlikite visus šios svetainės mokymo medžiagoje pateiktus testus ir užduotis. Norėdami tai padaryti, jums nereikia nieko, o būtent: kiekvieną dieną tris ar keturias valandas skirti pasiruošimui fizikos ir matematikos KT, teorijos studijoms ir uždavinių sprendimui. Faktas yra tas, kad KT yra egzaminas, kuriame neužtenka tik fizikos ar matematikos išmanymo, reikia sugebėti greitai ir be nesėkmių išspręsti daugybę užduočių įvairiomis temomis ir įvairaus sudėtingumo. Pastarųjų galima išmokti tik išsprendus tūkstančius problemų.
2. Išmokite visas fizikos formules ir dėsnius, o matematikoje – formules ir metodus. Tiesą sakant, tai padaryti taip pat labai paprasta, fizikoje yra tik apie 200 reikalingų formulių, o matematikoje dar šiek tiek mažiau. Kiekviename iš šių dalykų yra apie keliolika standartinių metodų, kaip išspręsti pagrindinio sudėtingumo problemas, kurių taip pat galima išmokti, taigi, visiškai automatiškai ir be vargo, reikiamu metu išspręsti didžiąją dalį skaitmeninės transformacijos. Po to teks galvoti tik apie sunkiausias užduotis.
3. Dalyvaukite visuose trijuose fizikos ir matematikos pratybų etapuose. Kiekviename RT galima apsilankyti du kartus, kad būtų išspręstos abi galimybės. Vėlgi, KT, be gebėjimo greitai ir efektyviai spręsti problemas, formulių ir metodų išmanymo, taip pat būtina mokėti tinkamai planuoti laiką, paskirstyti jėgas, o svarbiausia teisingai užpildyti atsakymo formą, nepainiojant nei atsakymų ir užduočių skaičių, nei savo vardo. Taip pat RT metu svarbu priprasti prie užduočių klausimų pateikimo stiliaus, kuris nepasiruošusiam žmogui DT gali pasirodyti labai neįprastas.

Sėkmingas, kruopštus ir atsakingas šių trijų punktų įvykdymas, taip pat atsakingas baigiamųjų treniruočių testų išnagrinėjimas leis jums parodyti puikų KT rezultatą, maksimalų, ką sugebate.

Radote klaidą?

Jei, kaip jums atrodo, mokymo medžiagoje radote klaidą, parašykite apie tai el. paštu (). Laiške nurodykite dalyką (fizika ar matematika), temos ar testo pavadinimą arba numerį, užduoties numerį arba vietą tekste (puslapyje), kur, jūsų nuomone, yra klaida. Taip pat aprašykite, kokia yra tariama klaida. Jūsų laiškas neliks nepastebėtas, klaida bus arba ištaisyta, arba paaiškinama, kodėl tai ne klaida.

Sukurkite funkciją

Atkreipiame jūsų dėmesį į funkcijų grafikų braižymo internete paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos. Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti diagramos langą, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.

Internetinio diagramų sudarymo pranašumai

• Vizualus pristatytų funkcijų rodymas
• Labai sudėtingų grafikų kūrimas
• Netiesiogiai apibrėžtų grafikų braižymas (pvz., elipsė x^2/9+y^2/16=1)
• Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
• Mastelio valdymas, linijos spalva
• Gebėjimas braižyti grafikus taškais, konstantų naudojimas
• Kelių funkcijų grafikų konstravimas vienu metu
• Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ(\theta))

Su mumis paprasta kurti įvairaus sudėtingumo grafikus internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus jų tolesniam perkėlimui į Word dokumentą kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuojant funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Geriausia naršyklė darbui su diagramomis šiame svetainės puslapyje yra „Google Chrome“. Naudojant kitas naršykles teisingas veikimas negarantuojamas.