- (Matematica.) Viene chiamata la funzione y \u003d f (x) anche se non cambia quando la variabile indipendente cambia solo segno, cioè se f (x) \u003d f (x). Se f (x) = f (x), allora la funzione f (x) è chiamata dispari. Ad esempio, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x è un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ... Wikipedia

Una funzione che soddisfa l'uguaglianza f (x) = f (x). Vedi Funzioni pari e dispari... Grande enciclopedia sovietica

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Funzioni speciali introdotte dal matematico francese E. Mathieu nel 1868 per risolvere problemi sulla vibrazione di una membrana ellittica. M.f. sono utilizzati anche nello studio della distribuzione onde elettromagnetiche in un cilindro ellittico... Grande enciclopedia sovietica

La richiesta "peccato" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. "Seno" reindirizza qui; vedi anche altri significati... Wikipedia

Una funzione è chiamata pari (dispari) se per qualsiasi e l'uguaglianza

.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse
.

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

Esempio 6.2. Esaminare le funzioni pari o dispari

1)
; 2)
; 3)
.

Soluzione.

1) La funzione è definita con
. Cerchiamo
.

Quelli.
. Significa, data funzioneè anche.

2) La funzione è definita per

Quelli.
. Pertanto, questa funzione è dispari.

3) la funzione è definita per , cioè per

,
. Pertanto, la funzione non è né pari né dispari. Chiamiamola funzione generale.

3. Studio di una funzione per la monotonia.

Funzione
è detto crescente (decrescente) su un certo intervallo se in questo intervallo ogni valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore (minore) della funzione.

Le funzioni in aumento (decrescente) su un certo intervallo sono chiamate monotoniche.

Se la funzione
differenziabile sull'intervallo
e ha una derivata positiva (negativa).
, quindi la funzione
aumenta (diminuisce) in questo intervallo.

Esempio 6.3. Trova gli intervalli di monotonia delle funzioni

1)
; 3)
.

Soluzione.

1) Questa funzione è definita sull'intero asse numerico. Troviamo la derivata.

La derivata è zero se
e
. Dominio di definizione - asse numerico, diviso per punti
,
per intervalli. Determiniamo il segno della derivata in ogni intervallo.

Nell'intervallo
la derivata è negativa, la funzione diminuisce su questo intervallo.

Nell'intervallo
la derivata è positiva, quindi la funzione è crescente su questo intervallo.

2) Questa funzione è definita se
o

.

Determiniamo il segno del trinomio quadrato in ogni intervallo.

Quindi, l'ambito della funzione

Troviamo la derivata
,
, Se
, cioè.
, ma
. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli
.

Nell'intervallo
la derivata è negativa, quindi la funzione diminuisce sull'intervallo
. Nell'intervallo
la derivata è positiva, la funzione aumenta sull'intervallo
.

4. Indagine di una funzione per un estremo.

Punto
è chiamato il punto massimo (minimo) della funzione
, se esiste un tale vicinato del punto quello per tutti
questo quartiere soddisfa la disuguaglianza

.

I punti massimo e minimo di una funzione sono detti punti estremi.

Se la funzione
al punto ha un estremo, allora la derivata della funzione a questo punto è uguale a zero o non esiste (condizione necessaria per l'esistenza di un estremo).

Si dicono critici i punti in cui la derivata è uguale a zero o non esiste.

5. Condizioni sufficienti per l'esistenza di un extremum.

Regola 1. Se durante il passaggio (da sinistra a destra) attraverso il punto critico derivato
cambia segno da "+" a "-", quindi al punto funzione
ha un massimo; se da "-" a "+", allora il minimo; Se
non cambia segno, quindi non c'è estremo.

Regola 2. Let al punto
derivata prima della funzione
zero
, e la derivata seconda esiste ed è diversa da zero. Se una
, poi è il punto massimo, se
, poi è il punto minimo della funzione.

Esempio 6.4 . Esplora le funzioni di massimo e minimo:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluzione.

1) La funzione è definita e continua sull'intervallo
.

Troviamo la derivata
e risolvi l'equazione
, cioè.
.da qui
sono punti critici.

Determiniamo il segno della derivata negli intervalli ,
.

Quando si passa per punti
e
la derivata cambia segno da “–” a “+”, quindi, secondo la regola 1
sono i punti minimi

Quando si passa per un punto
la derivata cambia segno da "+" a "-", quindi
è il punto massimo.

,
.

2) La funzione è definita e continua nell'intervallo
. Troviamo la derivata
.

Risolvendo l'equazione
, trova
e
sono punti critici. Se il denominatore
, cioè.
, allora la derivata non esiste. Così,
è il terzo punto critico. Determiniamo il segno della derivata in intervalli.

Pertanto, la funzione ha un minimo nel punto
, massimo in punti
e
.

3) Una funzione è definita e continua se
, cioè. a
.

Troviamo la derivata

.

Troviamo i punti critici:

Quartieri di punti
non appartengono al dominio di definizione, quindi non sono extremum t. Quindi esploriamo i punti critici
e
.

4) La funzione è definita e continua sull'intervallo
. Usiamo la regola 2. Trova la derivata
.

Troviamo i punti critici:

Troviamo la derivata seconda
e determinarne il segno nei punti

A punti
la funzione ha un minimo.

A punti
la funzione ha un massimo.

La dipendenza della variabile y dalla variabile x, in cui ogni valore di x corrisponde a un singolo valore di y è chiamata funzione. La notazione è y=f(x). Ogni funzione ha una serie di proprietà di base, come monotonia, parità, periodicità e altre.

Considera la proprietà di parità in modo più dettagliato.

Viene chiamata una funzione y=f(x) anche se soddisfa le due condizioni seguenti:

2. Il valore della funzione nel punto x appartenente all'ambito della funzione deve essere uguale al valore della funzione nel punto -x. Cioè, per qualsiasi punto x, dal dominio della funzione, la seguente uguaglianza f (x) \u003d f (-x) deve essere vera.

Grafico di una funzione pari

Se costruisci un grafico di una funzione pari, sarà simmetrico rispetto all'asse y.

Ad esempio, la funzione y=x^2 è pari. Controlliamolo. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, il che significa che è simmetrico rispetto al punto O.

Prendi un arbitrario x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Pertanto, f(x) = f(-x). Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte per noi, il che significa che la funzione è pari. Di seguito è riportato un grafico della funzione y=x^2.

La figura mostra che il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Grafico di una funzione dispari

Una funzione y=f(x) si dice dispari se soddisfa le due condizioni seguenti:

1. Il dominio della funzione data deve essere simmetrico rispetto al punto O. Cioè, se un punto a appartiene al dominio della funzione, allora anche il punto -a corrispondente deve appartenere al dominio della funzione data.

2. Per ogni punto x, dal dominio della funzione, deve essere soddisfatta la seguente uguaglianza f (x) \u003d -f (x).

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto al punto O - l'origine. Ad esempio, la funzione y=x^3 è dispari. Controlliamolo. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, il che significa che è simmetrico rispetto al punto O.

Prendi un arbitrario x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Pertanto f(x) = -f(x). Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte per noi, il che significa che la funzione è dispari. Di seguito è riportato un grafico della funzione y=x^3.

La figura mostra chiaramente che la funzione dispari y=x^3 è simmetrica rispetto all'origine.

Definizione 1. La funzione viene chiamata anche (strano ) se insieme a ciascun valore della variabile
significato - X appartiene anche
e l'uguaglianza

Quindi una funzione può essere pari o dispari solo quando il suo dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine sulla retta reale (numeri X e - X appartengono contemporaneamente
). Ad esempio, la funzione
non è né pari né dispari, poiché il suo dominio di definizione
non simmetrico rispetto all'origine.

Funzione
anche, perché
simmetrico rispetto all'origine delle coordinate e.

Funzione
strano perché
e
.

Funzione
non è né pari né dispari, poiché benchè
ed è simmetrico rispetto all'origine, le uguaglianze (11.1) non sono soddisfatte. Per esempio,.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse UO, poiché se il punto

appartiene anche al grafico. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, perché se
appartiene al grafico, quindi il punto
appartiene anche al grafico.

Per dimostrare se una funzione è pari o dispari, sono utili le seguenti affermazioni.

Teorema 1. a) La somma di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari (dispari).

b) Il prodotto di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari.

c) Il prodotto di una funzione pari e dispari è una funzione dispari.

d) Se fè una funzione pari sul set X, e la funzione g definito sul set
, quindi la funzione
- anche.

e) Se fè una funzione dispari sul set X, e la funzione g definito sul set
e pari (dispari), quindi la funzione
- pari dispari).

Prova. Dimostriamo, ad esempio, b) e d).

b) Let
e
sono anche funzioni. Allora, quindi. Il caso delle funzioni dispari è considerato in modo simile
e
.

d) Let f è una funzione pari. Quindi.

Similmente si dimostrano le altre asserzioni del teorema. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2. Qualsiasi funzione
, definito sul set X, che è simmetrico rispetto all'origine, può essere rappresentato come la somma di una funzione pari e dispari.

Prova. Funzione
può essere scritto nel modulo

.

Funzione
è pari, poiché
, e la funzione
è strano perché. In questo modo,
, dove
- anche, e
è una funzione dispari. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Funzione
chiamato periodico se c'è un numero
, tale che per qualsiasi
numeri
e
appartengono anche al dominio di definizione
e le uguaglianze

Un tale numero T chiamato periodo funzioni
.

La definizione 1 implica che se T– periodo di funzione
, quindi il numero T anche è il periodo della funzione
(perché durante la sostituzione T sul - T l'uguaglianza è mantenuta). Usando il metodo dell'induzione matematica, si può dimostrare che se T– periodo di funzione f, poi e
, è anche un periodo. Ne consegue che se una funzione ha un periodo, allora ha infiniti periodi.

Definizione 3. Il più piccolo dei periodi positivi di una funzione è detto suo principale periodo.

Teorema 3. Se Tè il periodo principale della funzione f, allora i periodi rimanenti sono multipli di esso.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè che ci sia un punto funzioni f (>0), non multiplo T. Poi, dividendo sul T con il resto, otteniamo
, dove
. Ecco perchè

questo è – periodo di funzione f, e
, il che contraddice il fatto che Tè il periodo principale della funzione f. L'asserzione del teorema segue dalla contraddizione ottenuta. Il teorema è stato dimostrato.

È noto che le funzioni trigonometriche sono periodiche. Periodo principale
e
è uguale a
,
e
. Trova il periodo della funzione
. Permettere
è il periodo di questa funzione. Quindi

(perché
.

oror
.

Significato T, determinato dalla prima uguaglianza, non può essere un punto, poiché dipende da X, cioè. è una funzione di X, non un numero costante. Il periodo è determinato dalla seconda uguaglianza:
. Ci sono infiniti periodi
il periodo positivo minimo si ottiene quando
:
. Questo è il periodo principale della funzione
.

Un esempio di una funzione periodica più complessa è la funzione di Dirichlet

Nota che se Tè un numero razionale, quindi
e
sono numeri razionali sotto razionale X e irrazionale quando irrazionale X. Ecco perchè

per qualsiasi numero razionale T. Pertanto, qualsiasi numero razionale Tè il periodo della funzione di Dirichlet. È chiaro che questa funzione non ha periodo principale, poiché esistono numeri razionali positivi arbitrariamente prossimi allo zero (ad esempio, un numero razionale può essere ottenuto scegliendo n arbitrariamente vicino a zero).

Teorema 4. Se funzione f impostato sul set X e ha un periodo T, e la funzione g impostato sul set
, quindi la funzione complessa
ha anche un periodo T.

Prova. Abbiamo quindi

cioè si dimostra l'asserzione del teorema.

Ad esempio, poiché cos X ha un periodo
, quindi le funzioni
avere un periodo
.

Definizione 4. Vengono chiamate le funzioni non periodiche non periodico .

Nascondi spettacolo

Modi per impostare una funzione

Sia data la funzione dalla formula: y=2x^(2)-3 . Assegnando un qualsiasi valore alla variabile indipendente x, puoi utilizzare questa formula per calcolare i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Ad esempio, se x=-0.5 , quindi utilizzando la formula, otteniamo che il valore corrispondente di y è y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Dato qualsiasi valore preso dall'argomento x nella formula y=2x^(2)-3 , è possibile calcolare solo un valore di funzione che corrisponde ad esso. La funzione può essere rappresentata come una tabella:

X	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Usando questa tabella, puoi capire che per il valore dell'argomento -1, il valore della funzione -3 corrisponderà; e il valore x=2 corrisponderà a y=0, e così via. È anche importante sapere che ogni valore di argomento nella tabella corrisponde a un solo valore di funzione.

È possibile impostare più funzioni utilizzando i grafici. Con l'aiuto del grafico si stabilisce quale valore della funzione è correlato a un certo valore di x. Molto spesso, questo sarà un valore approssimativo della funzione.

Funzione pari e dispari

La funzione è funzione pari, quando f(-x)=f(x) per qualsiasi x dal dominio. Tale funzione sarà simmetrica rispetto all'asse Oy.

La funzione è funzione dispari quando f(-x)=-f(x) per qualsiasi x nel dominio. Tale funzione sarà simmetrica rispetto all'origine O (0;0) .

La funzione è nemmeno, né dispari e chiamato funzione vista generale quando non ha simmetria rispetto all'asse o all'origine.

Esaminiamo la seguente funzione di parità:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) con un dominio di definizione simmetrico sull'origine. f(-x)= 3 \cpunto (-x)^(3)-7 \cpunto (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Quindi, la funzione f(x)=3x^(3)-7x^(7) è dispari.

Funzione periodica

La funzione y=f(x) , nel dominio di cui f(x+T)=f(x-T)=f(x) è vera per ogni x, viene chiamata funzione periodica con periodo T \neq 0 .

Ripetizione del grafico della funzione su un qualsiasi segmento dell'asse delle ascisse, che abbia lunghezza T .

Intervalli in cui la funzione è positiva, cioè f (x) > 0 - segmenti dell'asse delle ascisse, che corrispondono ai punti del grafico della funzione che si trovano sopra l'asse delle ascisse.

f(x) > 0 acceso (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Lacune in cui la funzione è negativa, cioè f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Limitazione delle funzioni

delimitata dal bassoè consuetudine chiamare una funzione y=f(x), x \in X quando esiste un numero A per il quale vale la disuguaglianza f(x) \geq A per ogni x \in X .

Un esempio di una funzione delimitata di seguito: y=\sqrt(1+x^(2)) poiché y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 for any x .

delimitata dall'alto viene chiamata una funzione y=f(x), x \in X se esiste un numero B per il quale vale la disuguaglianza f(x) \neq B per ogni x \in X .

Un esempio di una funzione delimitata di seguito: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] poiché y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 per ogni x \in [-1;1] .

Limitatoè consuetudine chiamare una funzione y=f(x), x \in X quando esiste un numero K > 0 per il quale la disuguaglianza \left | f(x) \right | \neq K per ogni x \in X .

Esempio funzione limitata: y=\sin x è limitato sull'intera riga dei numeri, perché \sinistra | \peccato x \destra | \neq 1.

Funzione crescente e decrescente

È consuetudine parlare di una funzione che cresce sull'intervallo considerato come funzione crescente quando un valore maggiore di x corrisponderà a un valore maggiore della funzione y=f(x) . Da qui risulta che prendendo dall'intervallo considerato due valori arbitrari dell'argomento x_(1) e x_(2) , e x_(1) > x_(2) , sarà y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Viene chiamata una funzione che decresce sull'intervallo considerato funzione decrescente quando un valore maggiore di x corrisponderà a un valore minore della funzione y(x) . Da qui risulta che prendendo dall'intervallo considerato due valori arbitrari dell'argomento x_(1) e x_(2) , e x_(1) > x_(2) , sarà y(x_(1))< y(x_{2}) .

Radici di funzioneè consuetudine nominare i punti in cui la funzione F=y(x) interseca l'asse delle ascisse (si ottengono risolvendo l'equazione y(x)=0 ).

a) Se una funzione pari aumenta per x > 0, allora diminuisce per x< 0

b) Quando una funzione pari diminuisce per x > 0, aumenta per x< 0

c) Quando una funzione dispari aumenta per x > 0, aumenta anche per x< 0

d) Quando una funzione dispari diminuisce per x > 0, diminuisce anche per x< 0

Estremi di funzione

Punto minimo di funzione y=f(x) è consuetudine chiamare tale punto x=x_(0) , in cui il suo intorno avrà altri punti (tranne il punto x=x_(0) ), e quindi la disuguaglianza f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - designazione della funzione nel punto min.

Punto massimo della funzione y=f(x) è consuetudine chiamare tale punto x=x_(0) , in cui il suo intorno avrà altri punti (tranne il punto x=x_(0) ), e quindi la disuguaglianza f(x) sarà soddisfatto per loro< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condizione necessaria

Secondo il teorema di Fermat: f"(x)=0, allora quando la funzione f(x) , che è derivabile nel punto x_(0) , apparirà a questo punto un estremo.

Condizione sufficiente

1. Quando il segno della derivata cambia da più a meno, allora x_(0) sarà il punto minimo;
2. x_(0) - sarà un punto massimo solo quando la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto stazionario x_(0) .

Il valore più grande e più piccolo della funzione sull'intervallo

Passi di calcolo:

1. Alla ricerca della derivata f"(x) ;
2. Si trovano i punti stazionari e critici della funzione e si scelgono quelli appartenenti all'intervallo;
3. I valori della funzione f(x) si trovano ai punti e alle estremità stazionari e critici del segmento. Il più piccolo dei risultati sarà il valore più piccolo della funzione e altro ancora - più grande.