Immettere la funzione per la quale si desidera trovare l'integrale

Il calcolatore fornisce una soluzione DETTAGLIATA di integrali definiti.

Questa calcolatrice risolve l'integrale definito della funzione f(x) con i limiti superiore e inferiore dati.

Esempi

Con l'uso della laurea
(quadrato e cubo) e frazioni

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Radice quadrata

Sqrt(x)/(x + 1)

radice cubica

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Usando seno e coseno

2*peccato(x)*cos(x)

Arcseno

X*arcosin(x)

Arco coseno

x*arccos(x)

Applicazione del logaritmo

X*log(x, 10)

logaritmo naturale

Espositore

Tg(x)*peccato(x)

Cotangente

Ctg(x)*cos(x)

Frazioni irrazionali

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangente

X*arctg(x)

Arco tangente

X*arco(x)

Seno e coseno iperbolico

2*sh(x)*ch(x)

Tangente e cotangente iberbolica

ctgh(x)/tgh(x)

Arcoseno e arcoseno iperbolico

X^2*arcosinh(x)*arccosh(x)

Iberbolico arcotangente e arcotangente

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Regole per l'immissione di espressioni e funzioni

Le espressioni possono essere costituite da funzioni (le annotazioni sono fornite in ordine alfabetico): assoluto(x) Valore assoluto X
(modulo X o |x|) arccos(x) Funzione - arco coseno di X arcoscocca(x) Arcocoseno iperbolico da X arcoseno(x) Arcseno da X arcosinh(x) Arcseno iperbolico da X arctg(x) Funzione - arco tangente da X arctgh(x) L'arcotangente è iperbolico da X e e un numero che è approssimativamente uguale a 2,7 exp(x) Funzione - esponente da X(che è e^X) registro(x) o registro(x) Logaritmo naturale di X
(Ottenere log7(x), è necessario inserire log(x)/log(7) (o, ad esempio, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Il numero è "Pi", che è approssimativamente uguale a 3,14 peccato(x) Funzione - Seno di X cos(x) Funzione - Coseno di X peccato(x) Funzione - Seno iperbolico di X contanti(x) Funzione - Coseno iperbolico di X sqrt(x) La funzione è la radice quadrata di X sqr(x) o x^2 Funzione - Quadrato X tg(x) Funzione - Tangente da X tgh(x) Funzione - Tangente iperbolica di X cbrt(x) La funzione è la radice cubica di X

È possibile utilizzare le seguenti operazioni nelle espressioni: Numeri reali inserisci nel modulo 7.5 , non 7,5 2*x- moltiplicazione 3/x- divisione x^3- esponenziale x + 7- aggiunta x - 6- sottrazione
Altre caratteristiche: piano(x) Funzione - arrotondamento X giù (esempio piano(4.5)==4.0) soffitto(x) Funzione - arrotondamento X su (esempio massimale(4.5)==5.0) segno(x) Funzione - Segno X erf(x) Funzione di errore (o integrale di probabilità) laplace(x) Funzione Laplace

Calcola l'area di una figura delimitata da linee.

Soluzione.

Troviamo i punti di intersezione delle rette date. Per fare ciò, risolviamo il sistema di equazioni:

Per trovare le ascisse dei punti di intersezione delle rette date, risolviamo l'equazione:

Noi troviamo: X 1 = -2, X 2 = 4.

Quindi, queste rette, che sono una parabola e una retta, si intersecano in punti UN(-2; 0), B(4; 6).

Queste linee formano una figura chiusa, l'area di cui viene calcolata utilizzando la formula sopra:

Secondo la formula di Newton-Leibniz, troviamo:

Trova l'area di un'area delimitata da un'ellisse.

Soluzione.

Dall'equazione dell'ellisse per il quadrante I abbiamo . Da qui, secondo la formula, otteniamo

Applichiamo la sostituzione X = un peccato t, dx = un cos t dt. Nuovi limiti di integrazione t = α e t = β sono determinati dalle equazioni 0 = un peccato t, un = un peccato t. Può essere messo α = 0 e β = π /2.

Troviamo un quarto dell'area richiesta

Da qui S = pab.

Trova l'area di una figura delimitata da lineey = - X 2 + X + 4 ey = - X + 1.

Soluzione.

Trova i punti di intersezione delle linee y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, eguagliando le ordinate delle rette: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 o X 2 - 2X- 3 = 0. Trova le radici X 1 = -1, X 2 = 3 e le loro ordinate corrispondenti y 1 = 2, y 2 = -2.

Usando la formula dell'area delle figure, otteniamo

Trova l'area racchiusa dalla parabolay = X 2 + 1 e direttoX + y = 3.

Soluzione.

Risolvere il sistema di equazioni

trova le ascisse dei punti di intersezione X 1 = -2 e X 2 = 1.

Supponendo y 2 = 3 - X e y 1 = X 2 + 1, in base alla formula che otteniamo

Calcola l'area contenuta all'interno del lemniscato di Bernoullir 2 = un 2 cos 2 φ .

Soluzione.

Nel sistema di coordinate polari, l'area della figura delimitata dall'arco della curva r = f(φ ) e due raggi polari φ 1 = ʅ e φ 2 = ʆ , è espresso dall'integrale

A causa della simmetria della curva, determiniamo prima un quarto dell'area desiderata

Pertanto, l'area totale è S = un 2 .

Calcola la lunghezza dell'arco di un astroideX 2/3 + y 2/3 = un 2/3 .

Soluzione.

Scriviamo l'equazione dell'astroide nella forma

(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (un 1/3) 2 .

Mettiamo X 1/3 = un 1/3 cos t, y 1/3 = un 1/3 peccato t.

Da qui otteniamo le equazioni parametriche dell'astroide

X = un cos 3 t, y = un peccato 3 t, (*)

dove 0 ≤ t ≤ 2π .

Data la simmetria della curva (*), basta trovare un quarto della lunghezza dell'arco l corrispondente alla modifica del parametro t da 0 a π /2.

Noi abbiamo

dx = -3un cos 2 t peccato t dt, dio = 3un peccato 2 t cos t dt.

Da qui troviamo

Integrazione dell'espressione risultante nell'intervallo da 0 a π /2, otteniamo

Da qui l = 6un.

Trova l'area delimitata dalla spirale di Archimeder = aφ e due vettori raggio che corrispondono agli angoli polariφ 1 eφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Soluzione.

Area delimitata da una curva r = f(φ ) è calcolato con la formula , dove α e β - limiti di variazione dell'angolo polare.

Così, otteniamo

(*)

Da (*) segue che l'area delimitata dall'asse polare e il primo giro della spirale di Archimede ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Allo stesso modo troviamo l'area delimitata dall'asse polare e il secondo giro della spirale di Archimede ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

L'area richiesta è uguale alla differenza di queste aree

Calcola il volume di un corpo ottenuto dalla rotazione attorno ad un asseBue figura delimitata da paraboley = X 2 eX = y 2 .

Soluzione.

Risolviamo il sistema di equazioni

e prendi X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, da cui i punti di intersezione delle curve o(0; 0), B(undici). Come si vede in figura, il volume desiderato del corpo di rivoluzione è uguale alla differenza tra i due volumi formati dalla rotazione attorno all'asse Bue trapezi curvilinei OCBA e ODBA:

Calcola l'area delimitata dall'asseBue e sinusoidey = peccatoX sui segmenti: a); b) .

Soluzione.

a) Sul segmento, la funzione sin X conserva il segno, e quindi dalla formula , assumendo y= peccato X, noi troviamo

b) Sul segmento , funzione sin X cambia segno. Per la corretta soluzione del problema, è necessario dividere il segmento in due e [ π , 2π ], in ciascuno dei quali la funzione conserva il suo segno.

Secondo la regola dei segni, sul segmento [ π , 2π ] l'area è presa con un segno meno.

Di conseguenza, l'area desiderata è uguale a

Determinare il volume del corpo delimitato dalla superficie ottenuta dalla rotazione dell'ellisseattorno all'asse maggioreun .

Soluzione.

Dato che l'ellisse è simmetrica rispetto agli assi coordinati, basta trovare il volume formato dalla rotazione attorno all'asse Bue la zona OAB, pari a un quarto dell'area dell'ellisse, e raddoppiare il risultato.

Indichiamo il volume del corpo di rivoluzione attraverso V X; quindi, in base alla formula, abbiamo , dove 0 e un- ascisse di punti B e UN. Dall'equazione dell'ellisse troviamo . Da qui

Pertanto, il volume richiesto è pari a . (Quando l'ellisse ruota attorno all'asse minore b, il volume del corpo è )

Trova l'area delimitata dalle paraboley 2 = 2 px eX 2 = 2 pi .

Soluzione.

Per prima cosa troviamo le coordinate dei punti di intersezione delle parabole per determinare l'intervallo di integrazione. Trasformando le equazioni originali, otteniamo e . Uguagliando questi valori, otteniamo o X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Troviamo le radici delle equazioni:

Considerando il fatto che il punto UN l'intersezione delle parabole è nel primo quarto, quindi i limiti di integrazione X= 0 e X = 2p.

L'area desiderata è trovata dalla formula

Esempio 1 . Calcola l'area della figura delimitata da linee: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 e x = 2

Costruiamo una figura (vedi Fig.) Costruiamo una linea retta x + 2y - 4 \u003d 0 lungo due punti A (4; 0) e B (0; 2). Esprimendo y in termini di x, otteniamo y \u003d -0,5x + 2. Secondo la formula (1), dove f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, noi trova

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mq. unità

Esempio 2 Calcola l'area della figura delimitata da linee: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 e y \u003d 0.

Soluzione. Costruiamo una figura.

Costruiamo una retta x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Costruiamo una retta x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Trova il punto di intersezione delle rette risolvendo il sistema di equazioni:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Per calcolare l'area richiesta, dividiamo il triangolo AMC in due triangoli AMN e NMC, poiché quando x cambia da A a N, l'area è limitata da una retta e quando x cambia da N a C, è una retta

Per il triangolo AMN abbiamo: ; y \u003d 0,5x + 2, ovvero f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Per il triangolo NMC abbiamo: y = - x + 5, cioè f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calcolando l'area di ciascuno dei triangoli e sommando i risultati, troviamo:

mq unità

mq unità

9 + 4, 5 = 13,5 mq. unità Verifica: = 0,5 AC = 0,5 mq. unità

Esempio 3 Calcola l'area di una figura delimitata da linee: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

In questo caso occorre calcolare l'area di un trapezio curvilineo delimitato da una parabola y = x 2 , rette x \u003d 2 e x \u003d 3 e l'asse Ox (vedi Fig.) Secondo la formula (1), troviamo l'area di un trapezio curvilineo

= = 6kv. unità

Esempio 4 Calcola l'area di una figura delimitata da linee: y \u003d - x 2 + 4 e y = 0

Costruiamo una figura. L'area desiderata è racchiusa tra la parabola y \u003d - x 2 + 4 e asse Oh.

Trova i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Supponendo y \u003d 0, troviamo x \u003d Poiché questa cifra è simmetrica rispetto all'asse Oy, calcoliamo l'area della figura situata a destra dell'asse Oy e raddoppiamo il risultato: \u003d + 4x] quadrato. unità 2 = 2 mq. unità

Esempio 5 Calcola l'area di una figura delimitata da linee: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Qui è necessario calcolare l'area del trapezio curvilineo delimitata dal ramo superiore della parabola y 2 \u003d x, l'asse Ox e le linee rette x \u003d 1x \u003d 4 (vedi Fig.)

Secondo la formula (1), dove f(x) = a = 1 e b = 4, abbiamo = (= unità quadrate

Esempio 6 . Calcola l'area della figura delimitata da linee: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

L'area desiderata è limitata da una sinusoide a semionda e dall'asse Ox (vedi Fig.).

Abbiamo - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri quadrati. unità

Esempio 7 Calcola l'area della figura delimitata da linee: y \u003d - 6x, y \u003d 0 e x \u003d 4.

La figura si trova sotto l'asse Ox (vedi Fig.).

Pertanto, la sua area è trovata dalla formula (3)

= =

Esempio 8 Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y \u003d e x \u003d 2. Costruiremo la curva y \u003d per punti (vedi Fig.). Pertanto, l'area della figura è trovata dalla formula (4)

Esempio 9 .

X 2 + y 2 = R 2 .

Qui devi calcolare l'area delimitata dal cerchio x 2 + y 2 = R 2 , cioè l'area di una circonferenza di raggio r centrata nell'origine. Troviamo la quarta parte di quest'area, prendendo i limiti di integrazione da 0

dor; noi abbiamo: 1 = = [

Di conseguenza, 1 =

Esempio 10 Calcola l'area della figura delimitata da linee: y \u003d x 2 e y = 2x

Questa cifra è limitata dalla parabola y \u003d x 2 e retta y \u003d 2x (vedi Fig.) Per determinare i punti di intersezione delle linee date, risolviamo il sistema di equazioni: x 2 – 2x = 0x = 0 ex = 2

Usando la formula (5) per trovare l'area, otteniamo

= }