Sezioni: Matematica

Classe: 11

Lezione 1

Argomento: Grado 11 (preparazione all'esame)

Semplificazione delle espressioni trigonometriche.

Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. (2 ore)

Obiettivi:

• Sistematizzare, generalizzare, ampliare le conoscenze e le abilità degli studenti relative all'uso delle formule trigonometriche e alla soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche.

Attrezzatura per la lezione:

Struttura della lezione:

1. Orgmomento
2. Test su laptop. La discussione dei risultati.
3. Semplificazione delle espressioni trigonometriche
4. Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici
5. Lavoro indipendente.
6. Riassunto della lezione. Spiegazione dei compiti.

1. Momento organizzativo. (2 minuti.)

L'insegnante accoglie il pubblico, annuncia l'argomento della lezione, ricorda che in precedenza era stato assegnato il compito di ripetere le formule trigonometriche e prepara gli studenti per la prova.

2. Test. (15min + 3min di discussione)

L'obiettivo è testare la conoscenza delle formule trigonometriche e la capacità di applicarle. Ogni studente ha un laptop sulla sua scrivania in cui è presente un'opzione di test.

Ci può essere un numero qualsiasi di opzioni, ne fornirò un esempio:

io opzione.

Semplifica le espressioni:

a) identità trigonometriche di base

1. sin 2 3 anni + cos 2 3 anni + 1;

b) formule di addizione

3. sin5x - sin3x;

c) convertire un prodotto in una somma

6. 2sin8y cos3y;

d) formule del doppio angolo

7.2 sin5x cos5x;

e) formule del mezzo angolo

f) formule del triplo angolo

g) sostituzione universale

h) abbassamento del titolo

16. cos 2 (3x/7);

Gli studenti su un laptop davanti a ciascuna formula vedono le loro risposte.

Il lavoro viene immediatamente controllato dal computer. I risultati vengono visualizzati su un grande schermo affinché tutti possano vederli.

Inoltre, dopo la fine del lavoro, le risposte corrette vengono mostrate sui laptop degli studenti. Ogni studente vede dove è stato commesso l'errore e quali formule deve ripetere.

3. Semplificazione delle espressioni trigonometriche. (25 min.)

L'obiettivo è ripetere, elaborare e consolidare l'applicazione delle formule di base della trigonometria. Risoluzione dei problemi B7 dell'esame.

In questa fase è opportuno dividere la classe in gruppi di studenti forti (lavorano in autonomia con successiva verifica) e studenti deboli che lavorano con il docente.

Compito per studenti forti (preparato in anticipo su base cartacea). L'enfasi principale è sulle formule di riduzione e doppio angolo, secondo l'USE 2011.

Semplifica le espressioni (per studenti forti):

Parallelamente, l'insegnante lavora con studenti deboli, discutendo e risolvendo compiti sullo schermo sotto la dettatura degli studenti.

Calcolare:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Semplificare:

È stata la volta di discutere i risultati del lavoro del gruppo forte.

Le risposte appaiono sullo schermo e, con l'aiuto di una videocamera, viene visualizzato il lavoro di 5 diversi studenti (un compito per ciascuno).

Il gruppo debole vede la condizione e il metodo di soluzione. C'è discussione e analisi. Con l'uso di mezzi tecnici, questo accade rapidamente.

4. Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. (30 minuti.)

L'obiettivo è ripetere, sistematizzare e generalizzare la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche, registrandone le radici. Soluzione del problema B3.

Qualsiasi equazione trigonometrica, non importa come la risolviamo, porta alla più semplice.

Al termine del compito, gli studenti dovrebbero prestare attenzione alla scrittura delle radici delle equazioni di casi particolari e della forma generale e alla selezione delle radici nell'ultima equazione.

Risolvi equazioni:

Scrivi la più piccola radice positiva della risposta.

5. Lavoro autonomo (10 min.)

L'obiettivo è testare le competenze acquisite, identificare problemi, errori e modi per eliminarli.

Viene offerta una varietà di lavori a scelta dello studente.

Opzione per "3"

1) Trova il valore dell'espressione

2) Semplificare l'espressione 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Risolvi l'equazione

Opzione per "4"

1) Trova il valore dell'espressione

2) Risolvi l'equazione Scrivi la più piccola radice positiva della tua risposta.

Opzione per "5"

1) Trova tgα se

2) Trova la radice dell'equazione Scrivi la più piccola radice positiva della tua risposta.

6. Riepilogo della lezione (5 min.)

L'insegnante riassume il fatto che la lezione ha ripetuto e consolidato le formule trigonometriche, la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche.

I compiti vengono assegnati (preparati su base cartacea in anticipo) con un controllo a campione nella lezione successiva.

Risolvi equazioni:

9)

10) Dai la tua risposta come la più piccola radice positiva.

Lezione 2

Argomento: Grado 11 (preparazione all'esame)

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche. Selezione della radice. (2 ore)

Obiettivi:

• Generalizzare e sistematizzare le conoscenze sulla risoluzione di equazioni trigonometriche di vario tipo.
• Promuovere lo sviluppo del pensiero matematico degli studenti, la capacità di osservare, confrontare, generalizzare, classificare.
• Incoraggiare gli studenti a superare le difficoltà nel processo di attività mentale, all'autocontrollo, all'introspezione delle loro attività.

Attrezzatura per la lezione: KRMu, laptop per ogni studente.

Struttura della lezione:

1. Orgmomento
2. Discussione d / se samot. il lavoro dell'ultima lezione
3. Ripetizione di metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
4. Risoluzione di equazioni trigonometriche
5. Selezione delle radici nelle equazioni trigonometriche.
6. Lavoro indipendente.
7. Riassunto della lezione. Compiti a casa.

1. Momento organizzativo (2 min.)

L'insegnante saluta il pubblico, annuncia l'argomento della lezione e il piano di lavoro.

2. a) Analisi dei compiti (5 min.)

L'obiettivo è controllare le prestazioni. Sullo schermo viene visualizzato un lavoro con l'ausilio di una videocamera, il resto viene raccolto selettivamente per essere controllato dall'insegnante.

b) Analisi del lavoro indipendente (3 min.)

L'obiettivo è risolvere gli errori, indicare i modi per superarli.

Sullo schermo ci sono le risposte e le soluzioni, gli studenti hanno pre-pubblicato il loro lavoro. L'analisi va veloce.

3. Ripetizione di metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche (5 min.)

L'obiettivo è ricordare i metodi per risolvere le equazioni trigonometriche.

Chiedi agli studenti quali metodi conoscono per risolvere le equazioni trigonometriche. Sottolinea che esistono i cosiddetti metodi di base (usati frequentemente):

• sostituzione variabile,
• fattorizzazione,
• equazioni omogenee,

e ci sono metodi applicati:

• secondo le formule per convertire una somma in un prodotto e un prodotto in una somma,
• dalle formule di riduzione,
• sostituzione trigonometrica universale
• introduzione di un angolo ausiliario,
• moltiplicazione per qualche funzione trigonometrica.

Va anche ricordato che un'equazione può essere risolta in diversi modi.

4. Risoluzione di equazioni trigonometriche (30 min.)

L'obiettivo è generalizzare e consolidare conoscenze e abilità su questo argomento, per prepararsi alla risoluzione di C1 dall'USE.

Ritengo opportuno risolvere le equazioni per ogni metodo insieme agli studenti.

Lo studente detta la soluzione, l'insegnante scrive sul tablet, l'intero processo viene visualizzato sullo schermo. Ciò ti consentirà di ripristinare in modo rapido ed efficiente il materiale precedentemente coperto nella tua memoria.

Risolvi equazioni:

1) variazione variabile 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) fattorizzazione 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) equazioni omogenee sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertire la somma nel prodotto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertendo il prodotto nella somma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) abbassando il grado di sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) sostituzione trigonometrica universale sinx + 5cosx + 5 = 0.

Quando si risolve questa equazione, va notato che l'uso di questo metodo porta ad un restringimento del dominio di definizione, poiché seno e coseno sono sostituiti da tg(x/2). Pertanto, prima di scrivere la risposta, è necessario verificare se i numeri dell'insieme π + 2πn, n Z sono cavalli di questa equazione.

8) introduzione di un angolo ausiliario √3sinx + cosx - √2 = 0

9) moltiplicazione per qualche funzione trigonometrica cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selezione delle radici delle equazioni trigonometriche (20 min.)

Poiché nelle condizioni di forte concorrenza all'ingresso nelle università, la soluzione di una prima parte dell'esame non è sufficiente, la maggior parte degli studenti dovrebbe prestare attenzione ai compiti della seconda parte (C1, C2, C3).

Pertanto, lo scopo di questa fase della lezione è quello di richiamare il materiale studiato in precedenza, per prepararsi alla risoluzione del problema C1 dell'USE nel 2011.

Esistono equazioni trigonometriche in cui è necessario selezionare le radici quando si scrive la risposta. Ciò è dovuto ad alcune restrizioni, ad esempio: il denominatore di una frazione non è uguale a zero, l'espressione sotto la radice di un grado pari non è negativa, l'espressione sotto il segno del logaritmo è positiva, ecc.

Tali equazioni sono considerate equazioni di complessità aumentata e nella versione USE si trovano nella seconda parte, ovvero C1.

Risolvi l'equazione:

La frazione è zero se allora usando il cerchio unitario, selezioneremo le radici (vedi Figura 1)

Immagine 1.

otteniamo x = π + 2πn, n Z

Risposta: π + 2πn, n Z

Sullo schermo, la selezione delle radici viene mostrata su un cerchio in un'immagine a colori.

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero e l'arco, allo stesso tempo, non perde significato. Quindi

Usando il cerchio unitario, seleziona le radici (vedi Figura 2)

Figura 2.

5)

Andiamo al sistema:

Nella prima equazione del sistema, facciamo il log del cambiamento 2 (sinx) = y, otteniamo l'equazione quindi , torna al sistema

utilizzando il cerchio unitario, selezioniamo le radici (vedi Figura 5),

Figura 5

6. Lavoro autonomo (15 min.)

L'obiettivo è consolidare e verificare l'assimilazione del materiale, identificare gli errori e delineare le modalità per correggerli.

L'opera è proposta in tre versioni, preparate preventivamente su base cartacea, a scelta degli studenti.

Le equazioni possono essere risolte in qualsiasi modo.

Opzione per "3"

Risolvi equazioni:

1) 2peccato 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opzione per "4"

Risolvi equazioni:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opzione per "5"

Risolvi equazioni:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Riepilogo della lezione, compiti (5 min.)

L'insegnante riassume la lezione, richiamando ancora una volta l'attenzione sul fatto che l'equazione trigonometrica può essere risolta in diversi modi. Il modo migliore per ottenere un risultato rapido è quello che viene appreso meglio da un particolare studente.

Quando ti prepari per l'esame, devi ripetere sistematicamente le formule e i metodi per risolvere le equazioni.

I compiti a casa (preparati in anticipo su base cartacea) vengono distribuiti e vengono commentati i modi per risolvere alcune equazioni.

Risolvi equazioni:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5peccato(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4peccato 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

La lezione video "Semplificazione delle espressioni trigonometriche" è progettata per formare le abilità degli studenti nella risoluzione di problemi trigonometrici utilizzando identità trigonometriche di base. Durante la lezione video vengono presi in considerazione tipi di identità trigonometriche, esempi di risoluzione dei problemi utilizzandole. Utilizzando ausili visivi, è più facile per l'insegnante raggiungere gli obiettivi della lezione. Una presentazione vivida del materiale contribuisce alla memorizzazione di punti importanti. L'uso di effetti di animazione e recitazione vocale consente di sostituire completamente l'insegnante nella fase di spiegazione del materiale. Pertanto, utilizzando questo ausilio visivo nelle lezioni di matematica, l'insegnante può aumentare l'efficacia dell'insegnamento.

All'inizio della videolezione, viene annunciato il suo argomento. Quindi vengono richiamate le identità trigonometriche studiate in precedenza. Lo schermo mostra le uguaglianze sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, dove t≠π/2+πk per kϵZ, ctg t=cos t/sin t, vero per t≠πk, dove kϵZ, tan t · ctg t=1, a t≠πk/2, dove kϵZ, dette identità trigonometriche di base. Si noti che queste identità sono spesso utilizzate per risolvere problemi in cui è necessario dimostrare l'uguaglianza o semplificare l'espressione.

Inoltre, vengono presi in considerazione esempi dell'applicazione di queste identità nella risoluzione di problemi. In primo luogo, si propone di considerare la soluzione di problemi di semplificazione delle espressioni. Nell'esempio 1 è necessario semplificare l'espressione cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Per risolvere l'esempio, si mette prima tra parentesi il fattore comune cos 2 t. Come risultato di tale trasformazione tra parentesi, si ottiene l'espressione 1-cos 2 t, il cui valore dall'identità di base della trigonometria è uguale a sin 2 t. Dopo la trasformazione dell'espressione, è ovvio che un altro fattore comune sin 2 t può essere tolto da parentesi, dopodiché l'espressione assume la forma sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Dalla stessa identità di base deduciamo il valore dell'espressione tra parentesi pari a 1. Per semplificazione, otteniamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Nell'esempio 2, anche l'espressione cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) deve essere semplificata. Poiché l'espressione costo è nei numeratori di entrambe le frazioni, può essere tra parentesi come fattore comune. Quindi le frazioni tra parentesi si riducono a un denominatore comune moltiplicando (1- sint)(1+ sint). Dopo la riduzione di termini simili, 2 rimane al numeratore e 1 - sin 2 t al denominatore. Sul lato destro dello schermo viene richiamata l'identità trigonometrica di base sin 2 t+cos 2 t=1. Usandolo, troviamo il denominatore della frazione cos 2 t. Dopo aver ridotto la frazione, otteniamo una forma semplificata dell'espressione cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

Successivamente, consideriamo esempi di prove di identità in cui viene applicata la conoscenza acquisita sulle identità di base della trigonometria. Nell'Esempio 3 è necessario dimostrare l'identità (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Il lato destro dello schermo mostra tre identità che saranno necessarie per la dimostrazione: tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t e tg t=sin t/cost t con restrizioni. Per provare l'identità, si aprono prima le parentesi, dopodiché si forma un prodotto che riflette l'espressione dell'identità trigonometrica principale tg t·ctg t=1. Quindi, secondo l'identità dalla definizione di cotangente, si trasforma ctg 2 t. Come risultato delle trasformazioni si ottiene l'espressione 1-cos 2 t. Utilizzando l'identità di base, troviamo il valore dell'espressione. Si dimostra quindi che (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Nell'esempio 4, devi trovare il valore dell'espressione tg 2 t+ctg 2 t se tg t+ctg t=6. Per valutare l'espressione, i lati destro e sinistro dell'equazione (tg t+ctg t) 2 =6 2 vengono prima al quadrato. La formula di moltiplicazione abbreviata viene visualizzata sul lato destro dello schermo. Dopo aver aperto le parentesi sul lato sinistro dell'espressione, si forma la somma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, per la cui trasformazione può essere applicata una delle identità trigonometriche tg t ctg t=1, la cui forma è richiamata sul lato destro dello schermo. Dopo la trasformazione si ottiene l'uguaglianza tg 2 t+ctg 2 t=34. Il lato sinistro dell'uguaglianza coincide con la condizione del problema, quindi la risposta è 34. Il problema è risolto.

La videolezione "Semplificare le espressioni trigonometriche" è consigliata per l'uso in una lezione di matematica scolastica tradizionale. Inoltre, il materiale sarà utile a un insegnante che fornisce formazione a distanza. Per formare un'abilità nella risoluzione di problemi trigonometrici.

INTERPRETAZIONE DEL TESTO:

"Semplificazione delle espressioni trigonometriche".

Uguaglianza

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (seno al quadrato te più coseno al quadrato te è uguale a uno)

2) tgt =, a t ≠ + πk, kϵZ (la tangente di te è uguale al rapporto tra seno di te e coseno di te quando te non è uguale a pi per due più pi ka, ka appartiene a zet)

3) ctgt = , a t ≠ πk, kϵZ (la cotangente di te è uguale al rapporto tra coseno di te e seno di te quando te non è uguale al picco di ka, che appartiene a z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 per t ≠ , kϵZ

sono chiamate identità trigonometriche di base.

Spesso sono usati per semplificare e dimostrare espressioni trigonometriche.

Considera esempi di utilizzo di queste formule quando si semplificano le espressioni trigonometriche.

ESEMPIO 1. Semplificare l'espressione: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (espressione a coseno al quadrato te meno coseno del quarto grado di te più seno del quarto grado di te).

Soluzione. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = peccato 2 t 1= peccato 2 t

(tigliamo il fattore comune coseno quadrato te, tra parentesi otteniamo la differenza tra unità e il quadrato di coseno te, che è uguale al quadrato di seno te per la prima identità. Otteniamo la somma del seno della quarta grado te del prodotto coseno quadrato te e seno quadrato te. Il fattore comune seno quadrato te sarà tolto fuori dalle parentesi, tra parentesi otteniamo la somma dei quadrati del coseno e del seno, che secondo la trigonometria di base identità, è uguale a 1. Di conseguenza, otteniamo il quadrato del seno te).

ESEMPIO 2. Semplificare l'espressione: + .

(l'espressione è la somma di due frazioni al numeratore del primo coseno te al denominatore uno meno seno te, al numeratore del secondo coseno te al denominatore del secondo più seno te).

(Prendiamo tra parentesi il fattore comune coseno te e tra parentesi lo portiamo a un denominatore comune, che è il prodotto di uno meno sine te per uno più sine te.

Al numeratore otteniamo: uno più sine te più uno meno sine te, diamo quelli simili, il numeratore è uguale a due dopo aver portato quelli simili.

Al denominatore si può applicare la formula abbreviata di moltiplicazione (differenza di quadrati) e ottenere la differenza tra l'unità e il quadrato del seno te, che secondo l'identità trigonometrica di base

è uguale al quadrato del coseno te. Dopo aver ridotto di coseno te, otteniamo la risposta finale: due diviso per coseno te).

Considera esempi dell'uso di queste formule nella dimostrazione di espressioni trigonometriche.

ESEMPIO 3. Dimostrare l'identità (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (il prodotto della differenza tra i quadrati della tangente di te e il seno di te e il quadrato della cotangente di te è uguale al quadrato del seno di te).

Prova.

Trasformiamo il lato sinistro dell'uguaglianza:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = peccato 2 t

(Apriamo le parentesi, dalla relazione precedentemente ottenuta è noto che il prodotto dei quadrati della tangente di te per la cotangente di te è uguale a uno. Ricordiamo che la cotangente di te è uguale al rapporto del coseno di te al seno di te, il che significa che il quadrato della cotangente è il rapporto tra il quadrato del coseno di te e il quadrato del seno di te.

Dopo la riduzione del seno quadrato di te, otteniamo la differenza tra l'unità e il coseno del quadrato di te, che è uguale al seno del quadrato di te). QED

ESEMPIO 4. Trova il valore dell'espressione tg 2 t + ctg 2 t se tgt + ctgt = 6.

(la somma dei quadrati della tangente di te e della cotangente di te, se la somma della tangente e della cotangente è sei).

Soluzione. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mettiamo al quadrato entrambe le parti dell'uguaglianza originale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (il quadrato della somma della tangente di te e della cotangente di te è sei al quadrato). Ricordiamo la formula abbreviata di moltiplicazione: Il quadrato della somma di due quantità è uguale al quadrato della prima più il doppio del prodotto della prima e della seconda più il quadrato della seconda. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Otteniamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Poiché il prodotto della tangente di te e della cotangente di te è uguale a uno, allora tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (la somma dei quadrati della tangente di te e della cotangente di te e due è trentasei),

Sezioni: Matematica

Classe: 11

Lezione 1

Argomento: Grado 11 (preparazione all'esame)

Semplificazione delle espressioni trigonometriche.

Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. (2 ore)

Obiettivi:

• Sistematizzare, generalizzare, ampliare le conoscenze e le abilità degli studenti relative all'uso delle formule trigonometriche e alla soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche.

Attrezzatura per la lezione:

Struttura della lezione:

1. Orgmomento
2. Test su laptop. La discussione dei risultati.
3. Semplificazione delle espressioni trigonometriche
4. Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici
5. Lavoro indipendente.
6. Riassunto della lezione. Spiegazione dei compiti.

1. Momento organizzativo. (2 minuti.)

L'insegnante accoglie il pubblico, annuncia l'argomento della lezione, ricorda che in precedenza era stato assegnato il compito di ripetere le formule trigonometriche e prepara gli studenti per la prova.

2. Test. (15min + 3min di discussione)

L'obiettivo è testare la conoscenza delle formule trigonometriche e la capacità di applicarle. Ogni studente ha un laptop sulla sua scrivania in cui è presente un'opzione di test.

Ci può essere un numero qualsiasi di opzioni, ne fornirò un esempio:

io opzione.

Semplifica le espressioni:

a) identità trigonometriche di base

1. sin 2 3 anni + cos 2 3 anni + 1;

b) formule di addizione

3. sin5x - sin3x;

c) convertire un prodotto in una somma

6. 2sin8y cos3y;

d) formule del doppio angolo

7.2 sin5x cos5x;

e) formule del mezzo angolo

f) formule del triplo angolo

g) sostituzione universale

h) abbassamento del titolo

16. cos 2 (3x/7);

Gli studenti su un laptop davanti a ciascuna formula vedono le loro risposte.

Il lavoro viene immediatamente controllato dal computer. I risultati vengono visualizzati su un grande schermo affinché tutti possano vederli.

Inoltre, dopo la fine del lavoro, le risposte corrette vengono mostrate sui laptop degli studenti. Ogni studente vede dove è stato commesso l'errore e quali formule deve ripetere.

3. Semplificazione delle espressioni trigonometriche. (25 min.)

L'obiettivo è ripetere, elaborare e consolidare l'applicazione delle formule di base della trigonometria. Risoluzione dei problemi B7 dell'esame.

In questa fase è opportuno dividere la classe in gruppi di studenti forti (lavorano in autonomia con successiva verifica) e studenti deboli che lavorano con il docente.

Compito per studenti forti (preparato in anticipo su base cartacea). L'enfasi principale è sulle formule di riduzione e doppio angolo, secondo l'USE 2011.

Semplifica le espressioni (per studenti forti):

Parallelamente, l'insegnante lavora con studenti deboli, discutendo e risolvendo compiti sullo schermo sotto la dettatura degli studenti.

Calcolare:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Semplificare:

È stata la volta di discutere i risultati del lavoro del gruppo forte.

Le risposte appaiono sullo schermo e, con l'aiuto di una videocamera, viene visualizzato il lavoro di 5 diversi studenti (un compito per ciascuno).

Il gruppo debole vede la condizione e il metodo di soluzione. C'è discussione e analisi. Con l'uso di mezzi tecnici, questo accade rapidamente.

4. Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. (30 minuti.)

L'obiettivo è ripetere, sistematizzare e generalizzare la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche, registrandone le radici. Soluzione del problema B3.

Qualsiasi equazione trigonometrica, non importa come la risolviamo, porta alla più semplice.

Al termine del compito, gli studenti dovrebbero prestare attenzione alla scrittura delle radici delle equazioni di casi particolari e della forma generale e alla selezione delle radici nell'ultima equazione.

Risolvi equazioni:

Scrivi la più piccola radice positiva della risposta.

5. Lavoro autonomo (10 min.)

L'obiettivo è testare le competenze acquisite, identificare problemi, errori e modi per eliminarli.

Viene offerta una varietà di lavori a scelta dello studente.

Opzione per "3"

1) Trova il valore dell'espressione

2) Semplificare l'espressione 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Risolvi l'equazione

Opzione per "4"

1) Trova il valore dell'espressione

2) Risolvi l'equazione Scrivi la più piccola radice positiva della tua risposta.

Opzione per "5"

1) Trova tgα se

2) Trova la radice dell'equazione Scrivi la più piccola radice positiva della tua risposta.

6. Riepilogo della lezione (5 min.)

L'insegnante riassume il fatto che la lezione ha ripetuto e consolidato le formule trigonometriche, la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche.

I compiti vengono assegnati (preparati su base cartacea in anticipo) con un controllo a campione nella lezione successiva.

Risolvi equazioni:

9)

10) Dai la tua risposta come la più piccola radice positiva.

Lezione 2

Argomento: Grado 11 (preparazione all'esame)

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche. Selezione della radice. (2 ore)

Obiettivi:

• Generalizzare e sistematizzare le conoscenze sulla risoluzione di equazioni trigonometriche di vario tipo.
• Promuovere lo sviluppo del pensiero matematico degli studenti, la capacità di osservare, confrontare, generalizzare, classificare.
• Incoraggiare gli studenti a superare le difficoltà nel processo di attività mentale, all'autocontrollo, all'introspezione delle loro attività.

Attrezzatura per la lezione: KRMu, laptop per ogni studente.

Struttura della lezione:

1. Orgmomento
2. Discussione d / se samot. il lavoro dell'ultima lezione
3. Ripetizione di metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
4. Risoluzione di equazioni trigonometriche
5. Selezione delle radici nelle equazioni trigonometriche.
6. Lavoro indipendente.
7. Riassunto della lezione. Compiti a casa.

1. Momento organizzativo (2 min.)

L'insegnante saluta il pubblico, annuncia l'argomento della lezione e il piano di lavoro.

2. a) Analisi dei compiti (5 min.)

L'obiettivo è controllare le prestazioni. Sullo schermo viene visualizzato un lavoro con l'ausilio di una videocamera, il resto viene raccolto selettivamente per essere controllato dall'insegnante.

b) Analisi del lavoro indipendente (3 min.)

L'obiettivo è risolvere gli errori, indicare i modi per superarli.

Sullo schermo ci sono le risposte e le soluzioni, gli studenti hanno pre-pubblicato il loro lavoro. L'analisi va veloce.

3. Ripetizione di metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche (5 min.)

L'obiettivo è ricordare i metodi per risolvere le equazioni trigonometriche.

Chiedi agli studenti quali metodi conoscono per risolvere le equazioni trigonometriche. Sottolinea che esistono i cosiddetti metodi di base (usati frequentemente):

• sostituzione variabile,
• fattorizzazione,
• equazioni omogenee,

e ci sono metodi applicati:

• secondo le formule per convertire una somma in un prodotto e un prodotto in una somma,
• dalle formule di riduzione,
• sostituzione trigonometrica universale
• introduzione di un angolo ausiliario,
• moltiplicazione per qualche funzione trigonometrica.

Va anche ricordato che un'equazione può essere risolta in diversi modi.

4. Risoluzione di equazioni trigonometriche (30 min.)

L'obiettivo è generalizzare e consolidare conoscenze e abilità su questo argomento, per prepararsi alla risoluzione di C1 dall'USE.

Ritengo opportuno risolvere le equazioni per ogni metodo insieme agli studenti.

Lo studente detta la soluzione, l'insegnante scrive sul tablet, l'intero processo viene visualizzato sullo schermo. Ciò ti consentirà di ripristinare in modo rapido ed efficiente il materiale precedentemente coperto nella tua memoria.

Risolvi equazioni:

1) variazione variabile 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) fattorizzazione 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) equazioni omogenee sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertire la somma nel prodotto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertendo il prodotto nella somma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) abbassando il grado di sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) sostituzione trigonometrica universale sinx + 5cosx + 5 = 0.

Quando si risolve questa equazione, va notato che l'uso di questo metodo porta ad un restringimento del dominio di definizione, poiché seno e coseno sono sostituiti da tg(x/2). Pertanto, prima di scrivere la risposta, è necessario verificare se i numeri dell'insieme π + 2πn, n Z sono cavalli di questa equazione.

8) introduzione di un angolo ausiliario √3sinx + cosx - √2 = 0

9) moltiplicazione per qualche funzione trigonometrica cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selezione delle radici delle equazioni trigonometriche (20 min.)

Poiché nelle condizioni di forte concorrenza all'ingresso nelle università, la soluzione di una prima parte dell'esame non è sufficiente, la maggior parte degli studenti dovrebbe prestare attenzione ai compiti della seconda parte (C1, C2, C3).

Pertanto, lo scopo di questa fase della lezione è quello di richiamare il materiale studiato in precedenza, per prepararsi alla risoluzione del problema C1 dell'USE nel 2011.

Esistono equazioni trigonometriche in cui è necessario selezionare le radici quando si scrive la risposta. Ciò è dovuto ad alcune restrizioni, ad esempio: il denominatore di una frazione non è uguale a zero, l'espressione sotto la radice di un grado pari non è negativa, l'espressione sotto il segno del logaritmo è positiva, ecc.

Tali equazioni sono considerate equazioni di complessità aumentata e nella versione USE si trovano nella seconda parte, ovvero C1.

Risolvi l'equazione:

La frazione è zero se allora usando il cerchio unitario, selezioneremo le radici (vedi Figura 1)

Immagine 1.

otteniamo x = π + 2πn, n Z

Risposta: π + 2πn, n Z

Sullo schermo, la selezione delle radici viene mostrata su un cerchio in un'immagine a colori.

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero e l'arco, allo stesso tempo, non perde significato. Quindi

Usando il cerchio unitario, seleziona le radici (vedi Figura 2)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Scuola Secondaria

n. 18"

Engels, regione di Saratov.

Insegnante di matematica.

"Espressioni trigonometriche e loro trasformazioni"

Introduzione ………………………………………………………………………………....3

Capitolo 1 Classificazione dei compiti per l'uso di trasformazioni di espressioni trigonometriche …………………………….……………………...5

1.1. Compiti di calcolo valori delle espressioni trigonometriche……….5

1.2.Compiti per semplificare le espressioni trigonometriche .... 7

1.3. Compiti per la conversione di espressioni trigonometriche numeriche ... ..7

1.4 Compiti misti………………………………………………………….....9

capitolo 2

2.1 Ripetizione tematica nella classe 10…………………………………………...11

Prova 1…………………………………………………………………………………..12

Prova 2……………………………………………………………………………………..13

Prova 3……………………………………………………………………………………..14

2.2 Ripetizione finale nel grado 11…………………………………………………...15

Prova 1……………………………………………………………………………………..17

Prova 2……………………………………………………………………………………..17

Prova 3……………………………………………………………………………………..18

Conclusione.……………………………………………………………………………......19

Elenco della letteratura usata…………………………………………..…….20

Introduzione.

Nelle condizioni odierne, la domanda più importante è: "Come possiamo aiutare a eliminare alcune lacune nelle conoscenze degli studenti e metterli in guardia contro possibili errori nell'esame?" Per risolvere questo problema, è necessario ottenere dagli studenti non un'assimilazione formale del materiale del programma, ma la sua comprensione profonda e consapevole, lo sviluppo della velocità dei calcoli e delle trasformazioni orali, nonché lo sviluppo delle capacità per risolvere i più semplici problemi “nella mente”. È necessario convincere gli studenti che solo in presenza di una posizione attiva, nello studio della matematica, subordinatamente all'acquisizione di abilità pratiche, abilità e loro utilizzo, si può contare su un vero successo. È necessario sfruttare ogni opportunità per prepararsi all'esame, comprese le materie elettive nei gradi 10-11, per analizzare regolarmente compiti complessi con gli studenti, scegliendo il modo più razionale per risolverli in aula e classi extra.risultato positivo inl'area di risoluzione dei problemi tipici può essere raggiunta se gli insegnanti di matematica, creandobuona formazione di base degli studenti, per cercare nuovi modi per risolvere i problemi che si sono aperti davanti a noi, per sperimentare attivamente, per applicare moderne tecnologie pedagogiche, metodi, tecniche che creano condizioni favorevoli per un'efficace autorealizzazione e autodeterminazione degli studenti in nuove condizioni sociali.

La trigonometria è parte integrante del corso di matematica della scuola. Una buona conoscenza e una forte abilità in trigonometria sono la prova di un livello sufficiente di cultura matematica, condizione indispensabile per il successo dello studio della matematica, della fisica e di una serie di conoscenze tecniche discipline.

La rilevanza del lavoro. Una parte significativa dei laureati mostra di anno in anno una preparazione molto scarsa in questa importante sezione della matematica, come dimostrano i risultati degli anni passati (percentuale di completamento nel 2011-48,41%, 2012-51,05%), dall'analisi del superamento l'esame di stato unificato ha mostrato che gli studenti commettono molti errori quando completano i compiti di questa particolare sezione o non intraprendono affatto tali incarichi. In uno Le domande dell'esame di stato in trigonometria si trovano in quasi tre tipi di compiti. Questa è la soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici nell'attività B5 e lavora con le espressioni trigonometriche nell'attività B7 e lo studio delle funzioni trigonometriche nell'attività B14, nonché con le attività B12, in cui ci sono formule che descrivono fenomeni fisici e contengono funzioni trigonometriche . E questa è solo una parte dei compiti B! Ma ci sono anche equazioni trigonometriche preferite con la selezione delle radici C1 e compiti geometrici "non molto preferiti" C2 e C4.

Obbiettivo. Analizzare il materiale dei compiti USE B7, dedicati alla trasformazione delle espressioni trigonometriche e classificare i compiti secondo la forma della loro presentazione nei test.

Il lavoro si compone di due capitoli, introduzione e conclusione. L'introduzione sottolinea l'importanza del lavoro. Il primo capitolo fornisce una classificazione dei compiti per l'uso delle trasformazioni di espressioni trigonometriche nei compiti di prova dell'esame di stato unificato (2012).

Nel secondo capitolo viene considerata l'organizzazione della ripetizione dell'argomento "Trasformazione delle espressioni trigonometriche" nei gradi 10, 11 e vengono sviluppati test su questo argomento.

L'elenco dei riferimenti comprende 17 fonti.

Capitolo 1. Classificazione dei compiti per l'uso di trasformazioni di espressioni trigonometriche.

In conformità con lo standard dell'istruzione secondaria (completa) e i requisiti per il livello di formazione degli studenti, i compiti per la conoscenza delle basi della trigonometria sono inclusi nel codificatore dei requisiti.

L'apprendimento delle basi della trigonometria sarà più efficace quando:

gli studenti saranno positivamente motivati ​​a ripetere il materiale precedentemente studiato;

un approccio centrato sullo studente sarà implementato nel processo educativo;

verrà applicato un sistema di compiti che contribuisca all'ampliamento, approfondimento, sistematizzazione delle conoscenze degli studenti;

verranno utilizzate tecnologie pedagogiche avanzate.

Dopo aver analizzato la letteratura e le risorse Internet per la preparazione all'esame, abbiamo proposto una delle possibili classificazioni dei compiti B7 (KIM USE 2012-trigonometria): compiti per il calcolovalori delle espressioni trigonometriche; incarichi perconversione di espressioni trigonometriche numeriche; compiti per la trasformazione di espressioni trigonometriche letterali; compiti misti.

1.1. Compiti di calcolo valori delle espressioni trigonometriche.

Uno dei tipi più comuni di semplici problemi di trigonometria è il calcolo dei valori delle funzioni trigonometriche in base al valore di una di esse:

a) Uso dell'identità trigonometrica di base e suoi corollari.

Esempio 1 . Trova se
e
.

Soluzione.
,
,

Perché , poi
.

Risposta.

Esempio 2 . Trova
, Se
e .

Soluzione.
,
,
.

Perché , poi
.

Risposta. .

b) Uso delle formule del doppio angolo.

Esempio 3 . Trova
, Se
.

Soluzione. , .

Risposta.
.

Esempio 4 . Trova il valore di un'espressione
.

Soluzione. .

Risposta.
.

1. Trova , Se
e
. Risposta. -0,2

2. Trova , Se
e
. Risposta. 0.4

3. Trova
, Se . Risposta. -12.884. Trova
, Se
. Risposta. -0,845. Trova il valore dell'espressione:
. Risposta. 66. Trova il valore di un'espressione
.Risposta. -19

1.2.Compiti per semplificare le espressioni trigonometriche. Le formule di riduzione dovrebbero essere ben padroneggiate dagli studenti, poiché verranno ulteriormente utilizzate nelle lezioni di geometria, fisica e altre discipline correlate.

Esempio 5 . Semplifica le espressioni
.

Soluzione. .

Risposta.
.

Compiti per una soluzione indipendente:

1. Semplifica l'espressione
. Risposta. 0.62. Trova
, Se
e. Risposta. 10.563. Trova il valore di un'espressione
, Se
. Risposta. 2

1.3. Compiti per la trasformazione di espressioni trigonometriche numeriche.

Quando si sviluppano le abilità e le capacità dei compiti per la conversione di espressioni trigonometriche numeriche, è necessario prestare attenzione alla conoscenza della tabella dei valori delle funzioni trigonometriche, delle proprietà di parità e periodicità delle funzioni trigonometriche.

a) Utilizzo di valori esatti di funzioni trigonometriche per alcuni angoli.

Esempio 6 . Calcolare
.

Soluzione.
.

Risposta.
.

b) Usare le proprietà di parità funzioni trigonometriche.

Esempio 7 . Calcolare
.

Soluzione. .

Risposta.

in) Utilizzo delle proprietà di periodicitàfunzioni trigonometriche.

Esempio 8 . Trova il valore di un'espressione
.

Soluzione. .

Risposta.
.

Compiti per una soluzione indipendente:

1. Trova il valore di un'espressione
. Risposta. -40.52. Trova il valore dell'espressione
. Risposta. 17

3. Trova il valore di un'espressione
. Risposta. 6

. Risposta. -24
Risposta. -64

1.4 Compiti misti.

Il modulo di prova della certificazione ha caratteristiche molto significative, quindi è importante prestare attenzione ai compiti associati all'uso di più formule trigonometriche contemporaneamente.

Esempio 9 Trova
, Se
.

Soluzione.
.

Risposta.
.

Esempio 10 . Trova
, Se
e
.

Soluzione. .

Perché , poi
.

Risposta.
.

Esempio 11. Trova
, Se .

Soluzione. , ,
,
,
,
,
.

Risposta.

Esempio 12. Calcolare
.

Soluzione. .

Risposta.
.

Esempio 13 Trova il valore di un'espressione
, Se
.

Soluzione. .

Risposta.
.

Compiti per una soluzione indipendente:

1. Trova
, Se
. Risposta. -1.75
2. Trova
, Se
. Risposta. 33. Trova
, Se .Risposta. 0,254. Trova il valore dell'espressione
, Se
. Risposta. 0.35. Trova il valore dell'espressione
, Se
. Risposta. 5

Capitolo 2. Aspetti metodologici organizzazione della ripetizione finale del tema "Trasformazione delle espressioni trigonometriche".

Una delle questioni più importanti che contribuiscono all'ulteriore miglioramento del rendimento scolastico, il raggiungimento di una conoscenza profonda e solida tra gli studenti è la questione della ripetizione del materiale precedentemente studiato. La pratica mostra che nella classe 10 è più opportuno organizzare una ripetizione tematica; in 11a elementare - la ripetizione finale.

2.1. Ripetizione tematica in 10a elementare.

Nel processo di lavoro su materiale matematico, la ripetizione di ogni argomento completato o di un'intera sezione del corso diventa particolarmente importante.

Con la ripetizione tematica, la conoscenza degli studenti sull'argomento viene sistematizzata nella fase finale del suo passaggio o dopo una pausa.

Per la ripetizione tematica vengono assegnate lezioni speciali, su cui si concentra e si generalizza il materiale di un particolare argomento.

La ripetizione nella lezione avviene attraverso una conversazione con l'ampio coinvolgimento degli studenti in questa conversazione. Successivamente, agli studenti viene assegnato il compito di ripetere un determinato argomento e vengono avvisati che ci sarà un lavoro di credito sui test.

Un test su un argomento dovrebbe includere tutte le sue domande principali. Al termine del lavoro, vengono analizzati gli errori caratteristici e viene organizzata una ripetizione per eliminarli.

Per le lezioni di ripetizione tematica, offriamo sviluppato fogli di prova sul tema "Conversione di espressioni trigonometriche".

Prova n. 1

Prova n. 2

Prova n. 3

Tabella delle risposte

Test

2.2. Ripetizione finale in 11a elementare.

La ripetizione finale viene eseguita nella fase finale dello studio delle principali questioni del corso di matematica e viene svolta in connessione logica con lo studio del materiale didattico per questa sezione o per il corso nel suo insieme.

La ripetizione finale del materiale didattico ha i seguenti obiettivi:

1. Attivazione del materiale dell'intero percorso formativo per chiarirne la struttura logica e costruire un sistema all'interno delle relazioni disciplinari e interdisciplinari.

2. Approfondire e, se possibile, ampliare la conoscenza degli studenti sui principali temi del corso in processo di ripetizione.

Nell'ambito dell'esame obbligatorio di matematica per tutti i laureati, l'introduzione graduale dell'USE fa sì che gli insegnanti adottino un nuovo approccio alla preparazione e allo svolgimento delle lezioni, tenendo conto della necessità di garantire che tutti gli studenti padroneggino il materiale didattico a livello di base, così come l'opportunità per studenti motivati ​​interessati ad ottenere punteggi alti per l'ammissione a un'università, avanzamento dinamico nella padronanza del materiale a un livello elevato e alto.

Nelle lezioni della ripetizione finale, puoi considerare i seguenti compiti:

Esempio 1 . Calcola il valore dell'espressione.Soluzione. =
= =
=
=
=
=0,5. Risposta. 0,5. Esempio 2 Specificare il valore intero più grande che può assumere l'espressione
.

Soluzione. Perché
può assumere qualsiasi valore appartenente al segmento [–1; 1], quindi
prende qualsiasi valore del segmento [–0,4; 0.4], quindi . Il valore intero dell'espressione è uno: il numero 4.

Risposta: 4 Esempio 3 . Semplifica l'espressione
.

Soluzione: Usiamo la formula per fattorizzare la somma dei cubi: . abbiamo

Abbiamo:
.

Risposta 1

Esempio 4 Calcolare
.

Soluzione. .

Risposta: 0,28

Per le lezioni della ripetizione finale, proponiamo delle prove sviluppate sul tema "Conversione di espressioni trigonometriche".

Specificare il numero intero più grande non superiore a 1

Conclusione.

Dopo aver elaborato la letteratura metodologica pertinente su questo argomento, possiamo concludere che la capacità e le abilità per risolvere compiti relativi alle trasformazioni trigonometriche nel corso di matematica della scuola sono molto importanti.

Nel corso del lavoro svolto è stata effettuata la classificazione dei compiti B7. Vengono considerate le formule trigonometriche più utilizzate nelle CMM del 2012. Vengono forniti esempi di attività con soluzioni. Sono state sviluppate prove differenziabili per organizzare la ripetizione e la sistematizzazione delle conoscenze in preparazione all'esame.

Si consiglia di continuare il lavoro iniziato, considerando soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici nel compito B5, lo studio delle funzioni trigonometriche nel compito B14, compito B12, in cui sono presenti formule che descrivono fenomeni fisici e contengono funzioni trigonometriche.

In conclusione, vorrei sottolineare che l'efficacia del superamento dell'esame è in gran parte determinata dall'efficacia dell'organizzazione del processo di preparazione a tutti i livelli di istruzione, con tutte le categorie di studenti. E se riusciamo a formare l'indipendenza, la responsabilità e la disponibilità degli studenti a continuare ad apprendere per tutta la vita successiva, non solo soddisferemo l'ordine dello stato e della società, ma aumenteremo anche la nostra autostima.

La ripetizione del materiale educativo richiede un lavoro creativo da parte dell'insegnante. Deve fornire una chiara connessione tra i tipi di ripetizione, implementare un sistema di ripetizione profondamente ponderato. Padroneggiare l'arte di organizzare la ripetizione è compito dell'insegnante. La forza della conoscenza degli studenti dipende in gran parte dalla sua soluzione.

Letteratura.

Vygodsky Ya.Ya., Manuale di matematica elementare. -M.: Nauka, 1970.

Compiti di maggiore difficoltà in algebra e inizi di analisi: Libro di testo per 10-11 classi di scuola secondaria / B.M. Ivlev, AM Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, SI Schwarzburd. – M.: Illuminismo, 1990.

Applicazione delle formule trigonometriche di base alla trasformazione delle espressioni (voto 10) // Festival delle idee pedagogiche. 2012-2013.

Koryanov AG , Prokofiev A.A. Prepariamo buoni studenti e studenti eccellenti per l'esame. - M.: Università Pedagogica "Primo Settembre", 2012.- 103 p.

Kuznetsova E.N. Semplificazione delle espressioni trigonometriche. Risoluzione di equazioni trigonometriche con vari metodi (preparazione all'esame). 11° grado. 2012-2013.

Kulanin ED 3000 problemi competitivi in ​​matematica. 4° ID., corretto. e aggiuntivo – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich AG Problemi metodologici dello studio della trigonometria in una scuola di istruzione generale // Matematica a scuola. 2002. N. 6.

Pichurin L.F. Sulla trigonometria e non solo: -M. Illuminismo, 1985

Reshetnikov NN Trigonometria a scuola: -M. : Università Pedagogica "Primo settembre", 2006, lk 1.

Shabunin MI, Prokofiev AA Matematica. Algebra. Inizi dell'analisi matematica Livello del profilo: libro di testo per il grado 10 - M .: BINOM. Laboratorio della conoscenza, 2007.

Portale didattico per la preparazione all'esame.

Preparazione per l'esame di matematica "Oh, questa trigonometria! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Progetto "Matematica? Facile!!!" http://www.resolventa.ru/