Zero di funzione
Lo zero della funzione è il valore X, in cui la funzione diventa 0, cioè f(x)=0.

Gli zeri sono i punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oh.

Parità di funzioni
Viene chiamata una funzione anche se per qualsiasi X dal dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x) = f(x)

Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse UO

Funzione dispari
Una funzione è chiamata dispari se per qualsiasi X dal dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x) = -f(x) è soddisfatta.

Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine.
Una funzione che non è né pari né dispari è chiamata funzione generale.

Incremento di funzione
La funzione f(x) è chiamata crescente se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore della funzione, cioè x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funzione decrescente
La funzione f(x) si chiama decrescente se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore minore della funzione, cioè x 2 > x 1 → f(x 2)
Vengono chiamati gli intervalli in cui la funzione diminuisce o solo aumenta intervalli di monotonia. La funzione f(x) ha 3 intervalli di monotonia:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Trova gli intervalli di monotonia usando il servizio Intervalli di funzioni crescenti e decrescenti

Massimo locale
Punto x 0è chiamato punto di massimo locale, se presente X da un intorno di un punto x 0 vale la seguente disuguaglianza: f(x 0) > f(x)

Minimo locale
Punto x 0è chiamato punto di minimo locale se esiste X da un intorno di un punto x 0 vale la seguente disuguaglianza: f(x 0)< f(x).

I punti massimi locali e minimi locali sono detti punti estremi locali.

x 1 , x 2 - punti estremi locali.

Periodicità delle funzioni
La funzione f(x) è detta periodica, con periodo T, se per qualcuno X f(x+T) = f(x) .

Intervalli di costanza
Gli intervalli in cui la funzione è solo positiva o solo negativa sono detti intervalli di segno costante.

f(x)>0 per x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Continuità di funzione
La funzione f(x) si dice continua nel punto x 0 se il limite della funzione come x → x 0 è uguale al valore della funzione in questo punto, cioè .

punti di interruzione
I punti in cui viene violata la condizione di continuità sono detti punti di discontinuità della funzione.

x0- punto di rottura.

Schema generale per le funzioni di plottaggio

1. Trova il dominio della funzione D(y).
2. Trova i punti di intersezione del grafico delle funzioni con gli assi delle coordinate.
3. Esaminare la funzione per pari o dispari.
4. Esaminare la funzione per la periodicità.
5. Trova gli intervalli di monotonia e i punti estremi della funzione.
6. Trova gli intervalli di convessità e i punti di flesso della funzione.
7. Trova gli asintoti della funzione.
8. Sulla base dei risultati dello studio, costruire un grafico.

Esempio: Esplora la funzione e costruisci il suo grafico: y = x 3 - 3x
8) Sulla base dei risultati dello studio, costruiremo un grafico della funzione:

Nel luglio 2020, la NASA lancia una spedizione su Marte. Il veicolo spaziale consegnerà su Marte un vettore elettronico con i nomi di tutti i membri registrati della spedizione.

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Un altro capodanno... gelo e fiocchi di neve sui vetri della finestra... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo di... frattali, e di ciò che Wolfram Alpha ne sa. In questa occasione, c'è un articolo interessante in cui ci sono esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui considereremo esempi più complessi di frattali tridimensionali.

Un frattale può essere rappresentato visivamente (descritto) come una figura o un corpo geometrico (il che significa che entrambi sono un insieme, in questo caso, un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale stessa. Cioè, è una struttura auto-simile, considerando i dettagli di cui, quando ingranditi, vedremo la stessa forma senza ingrandimento. Mentre nel caso di una figura geometrica regolare (non un frattale), quando ingrandiamo, vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla figura originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte di un'ellisse appare come un segmento di linea retta. Questo non accade con i frattali: con ogni loro aumento, vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che ad ogni aumento verrà ripetuta ancora e ancora.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, nel suo articolo Fractals and Art for Science ha scritto: "I frattali sono forme geometriche tanto complesse nei dettagli quanto nella loro forma complessiva. Cioè, se parte del frattale lo farà essere ingrandito alla dimensione del tutto, sembrerà come il tutto, o esattamente, o forse con una leggera deformazione.

- (matematica.) Viene chiamata una funzione y \u003d f (x) anche se non cambia quando la variabile indipendente cambia solo segno, ovvero se f (x) \u003d f (x). Se f (x) = f (x), allora la funzione f (x) è chiamata dispari. Ad esempio, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x è un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ... Wikipedia

Una funzione che soddisfa l'uguaglianza f (x) = f (x). Vedi Funzioni pari e dispari... Grande enciclopedia sovietica

F(x) = x è un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ... Wikipedia

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Funzioni speciali introdotte dal matematico francese E. Mathieu nel 1868 per risolvere problemi sull'oscillazione di una membrana ellittica. M.f. trovano impiego anche nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche in un cilindro ellittico... Grande enciclopedia sovietica

La richiesta "peccato" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. "Seno" reindirizza qui; vedi anche altri significati... Wikipedia

Le funzioni pari e dispari sono una delle sue proprietà principali e la parità occupa una parte impressionante del corso scolastico di matematica. Determina in gran parte la natura del comportamento della funzione e facilita notevolmente la costruzione del grafico corrispondente.

Definiamo la parità della funzione. In linea di massima la funzione in esame viene considerata anche se per valori opposti della variabile indipendente (x) situata nel suo dominio, i corrispondenti valori di y (funzione) sono uguali.

Diamo una definizione più rigorosa. Si consideri una qualche funzione f(x), che è definita nel dominio D. Sarà anche se per ogni punto x situato nel dominio di definizione:

• -x (punto opposto) si trova anche nell'ambito dato,

• f(-x) = f(x).

Dalla definizione di cui sopra segue la condizione necessaria per il dominio di definizione di tale funzione, ovvero la simmetria rispetto al punto O, che è l'origine delle coordinate, poiché se un punto b è contenuto nel dominio di definizione di un funzione pari, allora il punto corrispondente - b si trova anche in questo dominio. Da quanto precede, quindi, segue la conclusione: una funzione pari ha una forma simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (Oy).

Come determinare in pratica la parità di una funzione?

Sia data usando la formula h(x)=11^x+11^(-x). Seguendo l'algoritmo che segue direttamente dalla definizione, studiamo prima di tutto il suo dominio di definizione. Ovviamente è definito per tutti i valori dell'argomento, cioè la prima condizione è soddisfatta.

Il passaggio successivo consiste nel sostituire l'argomento (x) con il suo valore opposto (-x).
Noi abbiamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Poiché l'addizione soddisfa la legge commutativa (spostamento), è ovvio che h(-x) = h(x) e la dipendenza funzionale data è pari.

Verifichiamo l'uniformità della funzione h(x)=11^x-11^(-x). Seguendo lo stesso algoritmo, otteniamo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Eliminando il meno, di conseguenza, abbiamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Quindi h(x) è dispari.

A proposito, va ricordato che ci sono funzioni che non possono essere classificate secondo questi criteri, non sono chiamate né pari né dispari.

Anche le funzioni hanno una serie di proprietà interessanti:

• per aggiunta di funzioni simili si ottiene una pari;
• per effetto della sottrazione di tali funzioni si ottiene una pari;
• pari, anche pari;
• moltiplicando due di tali funzioni si ottiene una pari;
• come risultato della moltiplicazione delle funzioni pari e dispari si ottiene una dispari;
• come risultato della divisione delle funzioni pari e dispari si ottiene una dispari;
• la derivata di tale funzione è dispari;
• Se eleviamo al quadrato una funzione dispari, otteniamo una pari.

La parità di una funzione può essere utilizzata per risolvere le equazioni.

Per risolvere un'equazione come g(x) = 0, dove il lato sinistro dell'equazione è una funzione pari, sarà sufficiente trovarne la soluzione per valori non negativi della variabile. Le radici ottenute dell'equazione devono essere combinate con numeri opposti. Uno di questi è soggetto a verifica.

Lo stesso viene utilizzato con successo per risolvere problemi non standard con un parametro.

Ad esempio, esiste un valore per il parametro a che renderebbe l'equazione 2x^6-x^4-ax^2=1 con tre radici?

Se prendiamo in considerazione che la variabile entra nell'equazione in potenze pari, allora è chiaro che la sostituzione di x con -x non cambierà l'equazione data. Ne consegue che se un certo numero è la sua radice, allora lo è anche il numero opposto. La conclusione è ovvia: le radici dell'equazione, diverse da zero, sono incluse nell'insieme delle sue soluzioni a “coppie”.

È chiaro che il numero 0 stesso non è, cioè il numero di radici di una tale equazione può essere solo pari e, naturalmente, per qualsiasi valore del parametro non può avere tre radici.

Ma il numero di radici dell'equazione 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 può essere dispari, e per qualsiasi valore del parametro. Infatti, è facile verificare che l'insieme delle radici di una data equazione contenga soluzioni a "coppie". Verifichiamo se 0 è una radice. Quando lo sostituiamo nell'equazione, otteniamo 2=2. Quindi, oltre a "accoppiato" 0 è anche una radice, che dimostra il loro numero dispari.

Che in un modo o nell'altro ti erano familiari. È stato anche notato che lo stock di proprietà delle funzioni verrà gradualmente reintegrato. In questa sezione verranno discusse due nuove proprietà.

Definizione 1.

La funzione y \u003d f (x), x є X, viene chiamata anche se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d f (x) è vera.

Definizione 2.

La funzione y \u003d f (x), x є X, è chiamata dispari se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x) è vera.

Dimostra che y = x 4 è una funzione pari.

Soluzione. Abbiamo: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ma (-x) 4 = x 4 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) = f (x), cioè la funzione è pari.

Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sono pari.

Dimostra che y = x 3 è una funzione dispari.

Soluzione. Abbiamo: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ma (-x) 3 = -x 3 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x), cioè la funzione è dispari.

Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono dispari.

Tu ed io ci siamo più volte convinti che i nuovi termini in matematica hanno molto spesso un'origine "terrena", ad es. possono essere spiegati in qualche modo. Questo vale sia per le funzioni pari che per quelle dispari. Vedi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono funzioni dispari, mentre y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sono funzioni pari. E in generale, per qualsiasi funzione della forma y \u003d x "(di seguito studieremo specificamente queste funzioni), dove n è un numero naturale, possiamo concludere: se n è un numero dispari, allora la funzione y \u003d x " è strano; se n è un numero pari, allora la funzione y = xn è pari.

Ci sono anche funzioni che non sono né pari né dispari. Tale, ad esempio, è la funzione y \u003d 2x + 3. In effetti, f (1) \u003d 5 e f (-1) \u003d 1. Come puoi vedere, qui Quindi, né l'identità f (-x ) \u003d f ( x), né l'identità f(-x) = -f(x).

Quindi, una funzione può essere pari, dispari o nessuno dei due.

Lo studio della questione se una data funzione sia pari o dispari è solitamente chiamato studio della funzione di parità.

Le definizioni 1 e 2 trattano i valori della funzione nei punti x e -x. Ciò presuppone che la funzione sia definita sia nel punto x che nel punto -x. Ciò significa che il punto -x appartiene al dominio della funzione contemporaneamente al punto x. Se un insieme numerico X insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto -x, allora X è chiamato insieme simmetrico. Diciamo che (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sono insiemi simmetrici, mentre )