, linea spezzata, ecc.:

Se guardi da vicino tutte queste figure, puoi selezionarne due, che sono formate da linee chiuse (un cerchio e un triangolo). Queste figure hanno una sorta di confine che separa ciò che è dentro da ciò che è fuori. Cioè, il confine divide il piano in due parti: interna e zona esterna per quanto riguarda la figura a cui si riferisce:

Perimetro

Il perimetro è il confine chiuso di un piano figura geometrica separando la sua regione interna da quella esterna.

Ogni figura geometrica chiusa ha un perimetro:

Nella figura i perimetri sono contrassegnati da una linea rossa. Si noti che la circonferenza di un cerchio viene spesso definita lunghezza.

Il perimetro è misurato in unità di lunghezza: mm, cm, dm, m, km.

Per tutti i poligoni, trovare il perimetro si riduce alla somma delle lunghezze di tutti i lati, cioè il perimetro del poligono è sempre è uguale alla somma la lunghezza dei suoi lati. Quando si calcola il perimetro, è spesso indicato da una lettera latina maiuscola P:

Piazza

L'area è la parte del piano occupata da una figura geometrica piatta chiusa.

Qualsiasi figura geometrica chiusa piatta ha una certa area. Nei disegni, l'area delle forme geometriche è la regione interna, cioè quella parte del piano che si trova all'interno del perimetro.

misurare l'area figure - significa trovare quante volte un'altra figura è inserita in una data figura, presa come unità di misura. Di solito, come unità di misura dell'area viene preso un quadrato, in cui il lato è uguale all'unità di misura della lunghezza: millimetro, centimetro, metro, ecc.

La figura mostra un centimetro quadrato. - un quadrato con ogni lato lungo 1 cm:

L'area è misurata in unità quadrate ah misurando la lunghezza. Le unità dell'area includono: mm 2, cm 2, m 2, km 2, ecc.

Tabella di conversione delle unità quadrate

	mm2	cm 2	dm 2	m2	ar (tessere)	ettaro (ha)	km 2
mm2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 DM 2	10 -6 m 2	10 -8 sec	10 -10 ettari	10 -12 km 2
cm 2	100 mm2	1 cm 2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10 -6 sono	10 -8 ettari	10 -10 km 2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm 2	1 millimetro 2	0,01 m2	10 -4 sec	10 -6 ettari	10 -8 km 2
m2	10 6 mm 2	10 4 cm 2	100 dm 2	1 m 2	0,01 sono	10 -4 ettari	10 -6 km 2
ar	10 8 mm 2	10 6 cm 2	10 4 DM 2	100 mq	1 sono	0,01 ha	10 -4 km 2
ah	10 10 mm 2	10 8 cm 2	10 6 DM 2	10 4 m 2	100 sono	1 ha	0,01 kmq
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 DM 2	10 6 m 2	10 4 ar	100 ettari	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Conoscenza di come trovare il perimetro, gli studenti ricevono in scuola elementare. Quindi queste informazioni vengono costantemente utilizzate durante il corso di matematica e geometria.

Teoria comune a tutte le figure

Le parti sono generalmente indicate in lettere latine. Inoltre, possono essere designati come segmenti. Quindi avrai bisogno di due lettere per lato e scritte a grandi lettere. Oppure inserisci la designazione con una lettera, che sarà necessariamente piccola.
Le lettere sono sempre scelte in ordine alfabetico. Per un triangolo, saranno i primi tre. L'esagono ne avrà 6 - da a a f. Questo è utile per inserire le formule.

Ora su come trovare il perimetro. È la somma delle lunghezze di tutti i lati della figura. Il numero di termini dipende dal tipo. Il perimetro è indicato dalla lettera latina P. Le unità di misura sono le stesse date per i lati.

Formule perimetrali per forme diverse

Per un triangolo: P \u003d a + b + c. Se è isoscele, la formula viene convertita: P \u003d 2a + c. Come trovare il perimetro di un triangolo se è equilatero? Questo aiuterà: P \u003d 3a.

Per un quadrilatero arbitrario: P=a+b+c+d. Il suo caso speciale è il quadrato, la formula del perimetro: P=4a. C'è anche un rettangolo, quindi è richiesta la seguente uguaglianza: P \u003d 2 (a + b).

Cosa succede se non si conosce la lunghezza di uno o più lati di un triangolo?

Usa il teorema del coseno se ci sono due lati tra i dati e l'angolo tra di loro, che è indicato dalla lettera A. Quindi, prima di trovare il perimetro, dovrai calcolare il terzo lato. Per questo, è utile la seguente formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Un caso speciale di questo teorema è quello formulato da Pitagora per un triangolo rettangolo. Contiene il valore del coseno angolo retto diventa zero, il che significa che l'ultimo termine semplicemente svanisce.

Ci sono situazioni in cui puoi scoprire come trovare il perimetro di un triangolo su un lato. Ma allo stesso tempo sono noti anche gli angoli della figura. Qui viene in soccorso il teorema del seno, quando i rapporti tra le lunghezze dei lati e i seni dei corrispondenti angoli opposti sono uguali.

In una situazione in cui il perimetro di una figura deve essere trovato per area, altre formule torneranno utili. Ad esempio, se è noto il raggio del cerchio inscritto, nella domanda su come trovare il perimetro di un triangolo, è utile la seguente formula: S \u003d p * r, qui p è il semiperimetro. Deve essere derivato da questa formula e moltiplicato per due.

Esempi di attività

Prima condizione. Trova il perimetro di un triangolo i cui lati sono 3, 4 e 5 cm.
Soluzione.È necessario utilizzare l'uguaglianza indicata sopra e semplicemente sostituirvi i dati nell'attività valore. I calcoli sono facili, portano al numero 12 cm.
Risposta. Il perimetro di un triangolo è di 12 cm.

Seconda condizione. Un lato del triangolo misura 10 cm, è noto che il secondo è 2 cm più grande del primo e il terzo è 1,5 volte più grande del primo. È necessario calcolarne il perimetro.
Soluzione. Per scoprirlo, devi contare due lati. Il secondo è definito come la somma di 10 e 2, il terzo è uguale al prodotto di 10 e 1,5. Quindi resta solo da contare la somma di tre valori: 10, 12 e 15. Il risultato sarà 37 cm.
Risposta. Il perimetro è di 37 cm.

Terza condizione. C'è un rettangolo e un quadrato. Un lato del rettangolo misura 4 cm e l'altro è più lungo di 3 cm. Occorre calcolare il valore del lato del quadrato se il suo perimetro è 6 cm inferiore a quello del rettangolo.
Soluzione. Il secondo lato del rettangolo è 7. Sapendo questo, è facile calcolarne il perimetro. Il calcolo dà 22 cm.
Per scoprire il lato del quadrato, devi prima sottrarre 6 dal perimetro del rettangolo, quindi dividere il numero risultante per 4. Di conseguenza, abbiamo il numero 4.
Risposta. Il lato del quadrato è di 4 cm.

Sicuramente ognuno di noi ha imparato a scuola una componente così importante della geometria come il perimetro. Trovare il perimetro è semplicemente necessario per risolvere molti problemi. Il nostro articolo ti dirà come trovare il perimetro.

Vale la pena ricordare che il perimetro di ogni figura è quasi sempre la somma dei suoi lati. Diamo un'occhiata ad alcune forme geometriche diverse.

1. Un rettangolo è un quadrilatero i cui lati paralleli sono uguali a coppie. Se un lato è X e l'altro è Y, otteniamo la seguente formula per trovare il perimetro di questa figura:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Un esempio di risoluzione del problema:

   Diciamo che lato X = 5 cm, lato Y = 10 cm Quindi, sostituendo questi valori nella nostra formula, otteniamo - P = 2*5 cm + 2* 10 cm = 30 cm.

2. Un trapezio è un quadrilatero i cui due lati opposti sono paralleli ma non uguali. Il perimetro di un trapezio è la somma di tutti e quattro i suoi lati:

   P = X+Y+Z+W, dove X, Y, Z, W sono i lati della figura.

   Un esempio di risoluzione del problema:

   Diciamo che lato X = 5 cm, lato Y = 10 cm, lato Z = 8 cm, lato W = 20 cm Quindi, sostituendo questi valori nella nostra formula, otteniamo - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Il perimetro di un cerchio (circonferenza) può essere calcolato utilizzando la formula:

   P = 2rπ = dπ, dove r è il raggio del cerchio, d è il diametro del cerchio.

   Un esempio di risoluzione del problema:

   Diciamo che il raggio r del nostro cerchio è 5 cm, quindi il diametro d sarà 2 * 5 cm = 10 cm È noto che π = 3,14. Quindi, sostituendo questi valori nella nostra formula, otteniamo - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Se devi trovare il perimetro di un triangolo, potresti incontrare una serie di problemi mentre lo fai, poiché i triangoli possono avere forme molto diverse. Ad esempio, ci sono triangoli acuti, ottusi, isoscele, retti o equilateri. Sebbene la formula per tutti i tipi di triangoli sia:

   P = X+Y+Z, dove X, Y, Z sono i lati della figura.

   Il problema è che quando si risolvono molti problemi di trovare il perimetro di questa figura, non sempre conoscerai le lunghezze di tutti i lati. Ad esempio, invece delle informazioni sulla lunghezza di uno dei lati, puoi avere il grado dell'angolo o la lunghezza dell'altezza di un particolare triangolo. Ciò complicherà notevolmente il compito, ma non renderà irrealistica la sua soluzione. Come trovare il perimetro di un triangolo, indipendentemente dalla forma, puoi leggere "".

5. Il perimetro di una figura come un rombo si trova allo stesso modo del perimetro di un quadrato, perché un rombo è un parallelogramma che ha lati uguali. Puoi scoprire come trovare il perimetro di un quadrato leggendo l'articolo sul nostro sito "".

   Ora sai come trovare il lato del perimetro della figura geometrica che ti serve!

Nel prossimo compiti di prova Trova il perimetro della figura mostrata in figura.

Ci sono molti modi per trovare il perimetro di una forma. È possibile trasformare la forma originale in modo tale da poter calcolare facilmente il perimetro della nuova forma (ad esempio, passare a un rettangolo).

Un'altra soluzione è cercare direttamente il perimetro della figura (come somma delle lunghezze di tutti i suoi lati). Ma in questo caso non si può fare affidamento solo sul disegno, ma trovare le lunghezze dei segmenti in base ai dati del problema.

Ci tengo a mettervi in ​​guardia: in uno dei compiti, tra le risposte proposte, non ho trovato quella che si è rivelata per me.

c) .

Spostiamo i lati dei piccoli rettangoli dall'area interna a quella esterna. Di conseguenza, il rettangolo grande viene chiuso. Formula per trovare il perimetro di un rettangolo

In questo caso, a=9a, b=3a+a=4a. Quindi P=2(9a+4a)=26a. Al perimetro del rettangolo grande aggiungiamo la somma delle lunghezze di quattro segmenti, ciascuno dei quali è uguale a 3a. Di conseguenza, P=26a+4∙3a= 38 bis .

c) .

Dopo aver trasferito i lati interni dei rettangoli piccoli nell'area esterna, otteniamo un rettangolo grande, il cui perimetro è P=2(10x+6x)=32x, e quattro segmenti, due di x lunghezza, due di 2x lunghezza.

Totale, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Spostiamo 6 "passi" orizzontali dall'interno verso l'esterno. Il perimetro del rettangolo grande risultante è P=2(6y+8y)=28y. Resta da trovare la somma delle lunghezze dei segmenti all'interno del rettangolo 4y+6∙y=10y. Pertanto, il perimetro della figura è P=28y+10y= 38 anni .

D) .

Spostiamo i segmenti verticali dall'area interna della figura a sinistra, verso l'area esterna. Per ottenere un rettangolo grande, sposta una delle lunghezze 4x nell'angolo in basso a sinistra.

Troviamo il perimetro della figura originale come somma del perimetro di questo grande rettangolo e delle lunghezze dei restanti tre segmenti P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Spostando i lati interni dei piccoli rettangoli nell'area esterna, otteniamo un grande quadrato. Il suo perimetro è P=4∙10x=40x. Per ottenere il perimetro della figura originale, devi sommare la somma delle lunghezze di otto segmenti, ciascuno 3x lungo, al perimetro del quadrato. Totale, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Spostiamo tutti i "passi" orizzontali e i segmenti superiori verticali nell'area esterna. Il perimetro del rettangolo risultante è P=2(7y+4y)=22y. Per trovare il perimetro della figura originale, devi sommare al perimetro del rettangolo la somma delle lunghezze di quattro segmenti, ciascuno di lunghezza y: P=22y+4∙y= 26 anni .

D) .

Sposta tutte le linee orizzontali dall'area interna all'area esterna e sposta le due linee esterne verticali negli angoli sinistro e destro, rispettivamente, z a sinistra ea destra. Di conseguenza, otteniamo un grande rettangolo, il cui perimetro è P=2(11z+3z)=28z.

Il perimetro della figura originale è uguale alla somma del perimetro del rettangolo grande e delle lunghezze di sei segmenti in z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

La soluzione è del tutto simile alla soluzione dell'esempio precedente. Dopo aver trasformato la figura, troviamo il perimetro del rettangolo grande:

P=2(5z+3z)=16z. Al perimetro del rettangolo aggiungiamo la somma delle lunghezze dei restanti sei segmenti, ciascuno dei quali è uguale a z: P=16z+6∙z= 22z .

La geometria, se non sbaglio, ai miei tempi si studiava dalla quinta elementare e il perimetro era ed è uno dei concetti chiave. Così, il perimetro è la somma delle lunghezze di tutti i lati (indicato dalla lettera latina P). In generale, questo termine è interpretato in modi diversi, ad esempio,

• la lunghezza totale del bordo della figura,
• la lunghezza di tutti i suoi lati,
• la somma delle lunghezze delle sue facce,
• la lunghezza della linea di delimitazione,
• la somma di tutte le lunghezze dei lati di un poligono

Forme diverse hanno le proprie formule per determinare il perimetro. Per comprendere il significato stesso, propongo di dedurre autonomamente alcune semplici formule:

1. per un quadrato
2. per un rettangolo
3. per un parallelogramma
4. per cubo
5. per una scatola

Perimetro di un quadrato

Ad esempio, prendiamo il più semplice: il perimetro di un quadrato.

Tutti i lati di un quadrato sono uguali. Che un lato sia chiamato "a" (così come gli altri tre), quindi

P = un + un + un + un

o notazione più compatta

Perimetro di un rettangolo

Complichiamo il compito e prendiamo un rettangolo. In questo caso non è più possibile dire che tutti i lati sono uguali, quindi le lunghezze dei lati del rettangolo siano uguali ad aeb.

Quindi la formula sarà simile a questa:

P = un + b + un + b

Perimetro del parallelogramma

Una situazione simile sarà con un parallelogramma (vedi il perimetro del rettangolo)

perimetro del cubo

Cosa fare se abbiamo a che fare con una figura tridimensionale? Ad esempio, prendi un cubo. Un cubo ha 12 lati e sono tutti uguali. Di conseguenza, il perimetro di un cubo può essere calcolato come segue:

Perimetro della scatola

Bene, per fissare il materiale, calcoliamo il perimetro del parallelepipedo. Qui è necessario pensare un po'. Facciamolo assieme. Come sappiamo, un cuboide è una figura i cui lati sono rettangoli. Ogni parallelepipedo ha due basi. Prendiamo una delle basi e guardiamo i suoi lati: hanno lunghezze aeb. Di conseguenza, il perimetro della base è P = 2a + 2b. Allora il perimetro delle due basi è

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Ma abbiamo anche un lato "c". Quindi la formula per calcolare il perimetro di un parallelepipedo sarà simile a questa:

P = 4a + 4b + 4c

Come puoi vedere dagli esempi sopra, tutto ciò che è necessario fare per determinare il perimetro di una forma è trovare la lunghezza di ciascuno dei lati e quindi sommarli.

In conclusione, vorrei sottolineare che non tutte le figure hanno un perimetro. Per esempio, Una sfera non ha perimetro.