maggiore divisore comune e il multiplo meno comune sono concetti aritmetici chiave che consentono di operare senza sforzo frazioni ordinarie. LCM e sono più spesso usati per trovare il denominatore comune di più frazioni.

Concetti basilari

Il divisore di un intero X è un altro intero Y per il quale X è divisibile senza resto. Ad esempio, il divisore di 4 è 2 e 36 è 4, 6, 9. Un multiplo dell'intero X è un numero Y divisibile per X senza resto. Ad esempio, 3 è un multiplo di 15 e 6 è un multiplo di 12.

Per ogni coppia di numeri, possiamo trovare i loro divisori e multipli comuni. Ad esempio, per 6 e 9, il multiplo comune è 18 e il divisore comune è 3. Ovviamente, le coppie possono avere più divisori e multipli, quindi nei calcoli vengono utilizzati il ​​divisore più grande del GCD e il multiplo più piccolo dell'LCM .

Il più piccolo divisore non ha senso, poiché per ogni numero è sempre uno. Anche il multiplo più grande è privo di significato, poiché la sequenza dei multipli tende all'infinito.

Trovare GCD

Esistono molti metodi per trovare il massimo comun divisore, i più famosi dei quali sono:

• enumerazione sequenziale dei divisori, selezione di quelli comuni per una coppia e ricerca del più grande di essi;
• scomposizione dei numeri in fattori indivisibili;
• l'algoritmo di Euclide;
• algoritmo binario.

Oggi alle istituzioni educative I metodi più popolari sono la scomposizione in fattori primari e l'algoritmo di Euclide. Quest'ultimo, a sua volta, viene utilizzato nella risoluzione delle equazioni diofantee: la ricerca di MCD è necessaria per verificare l'equazione per la possibilità di risolverla in numeri interi.

Trovare il C.N.O

Il minimo comune multiplo è anche determinato esattamente dall'enumerazione iterativa o dalla fattorizzazione in fattori indivisibili. Inoltre, è facile trovare l'LCM se è già stato determinato il massimo divisore. Per i numeri X e Y, LCM e GCD sono correlati dalla seguente relazione:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Ad esempio, se gcd(15,18) = 3, allora LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'uso più ovvio di LCM è trovare il denominatore comune, che è il minimo comune multiplo del date frazioni.

Numeri di coprimi

Se una coppia di numeri non ha divisori comuni, allora tale coppia è chiamata coprima. Il GCM per tali coppie è sempre uguale a uno, e in base alla connessione di divisori e multipli, il GCM per coprime è uguale al loro prodotto. Ad esempio, i numeri 25 e 28 sono coprimi, perché non hanno divisori comuni, e LCM(25, 28) = 700, che corrisponde al loro prodotto. Qualsiasi due numeri indivisibili saranno sempre coprimi.

Divisore comune e calcolatrice multipla

Con la nostra calcolatrice puoi calcolare GCD e LCM per qualsiasi numero di numeri tra cui scegliere. I compiti per il calcolo dei divisori comuni e dei multipli si trovano nell'aritmetica dei gradi 5 e 6, tuttavia, GCD e LCM sono i concetti chiave della matematica e sono usati nella teoria dei numeri, nella planimetria e nell'algebra comunicativa.

Esempi di vita reale

Denominatore comune delle frazioni

Il minimo comune multiplo viene utilizzato per trovare il denominatore comune di più frazioni. Supponiamo che in un problema aritmetico sia necessario sommare 5 frazioni:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Per sommare le frazioni, l'espressione deve essere ridotta a un denominatore comune, il che si riduce al problema di trovare l'LCM. Per fare ciò, seleziona 5 numeri nella calcolatrice e inserisci i valori del denominatore nelle celle appropriate. Il programma calcolerà LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ora è necessario calcolare fattori aggiuntivi per ciascuna frazione, che sono definiti come il rapporto tra LCM e denominatore. Quindi i moltiplicatori extra sarebbero:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Dopodiché, moltiplichiamo tutte le frazioni per il corrispondente fattore aggiuntivo e otteniamo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Possiamo facilmente aggiungere tali frazioni e ottenere il risultato sotto forma di 159/360. Riduciamo la frazione di 3 e vediamo la risposta finale: 53/120.

Soluzione di equazioni diofantine lineari

Le equazioni diofantee lineari sono espressioni della forma ax + by = d. Se il rapporto d / gcd(a, b) è un intero, l'equazione è risolvibile in numeri interi. Controlliamo un paio di equazioni per la possibilità di una soluzione intera. Per prima cosa, controlla l'equazione 150x + 8y = 37. Usando una calcolatrice, troviamo gcd (150,8) = 2. Dividi 37/2 = 18,5. Il numero non è un numero intero, quindi l'equazione non ha radici intere.

Controlliamo l'equazione 1320x + 1760y = 10120. Usa una calcolatrice per trovare gcd(1320, 1760) = 440. Dividi 10120/440 = 23. Di conseguenza, otteniamo un numero intero, quindi l'equazione diofantea è risolvibile in coefficienti interi .

Conclusione

GCD e LCM svolgono un ruolo importante nella teoria dei numeri e i concetti stessi sono ampiamente utilizzati in varie aree della matematica. Usa la nostra calcolatrice per calcolare i massimi divisori e i minimi multipli di qualsiasi numero di numeri.

Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo sotto il titolo LCM - multiplo minimo comune, definizione, esempi, relazione tra LCM e GCD. Qui ne parleremo trovare il minimo comune multiplo (LCM) e prestare particolare attenzione alla risoluzione degli esempi. Mostriamo innanzitutto come viene calcolato l'LCM di due numeri in termini di MCD di questi numeri. Quindi, considera di trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca dell'LCM di tre o più numeri e presteremo anche attenzione al calcolo dell'LCM dei numeri negativi.

Navigazione della pagina.

Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite gcd

Un modo per trovare il multiplo meno comune si basa sulla relazione tra LCM e GCD. La relazione esistente tra LCM e GCD consente di calcolare il minimo comune multiplo di due interi positivi attraverso il massimo comune divisore noto. La formula corrispondente ha la forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Considera esempi per trovare l'LCM secondo la formula sopra.

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo dei due numeri 126 e 70 .

Soluzione.

In questo esempio a=126 , b=70 . Usiamo la relazione tra LCM e MCD espressa dalla formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comun divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il LCM di questi numeri secondo la formula scritta.

Trova gcd(126, 70) usando l'algoritmo di Euclide: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , quindi gcd(126, 70)=14 .

Ora troviamo il minimo comune multiplo richiesto: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Risposta:

LCM(126, 70)=630 .

Esempio.

Che cos'è LCM(68, 34)?

Soluzione.

Perché 68 è equamente divisibile per 34 , quindi gcd(68, 34)=34 . Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Risposta:

LCM(68, 34)=68 .

Si noti che l'esempio precedente soddisfa la seguente regola per trovare l'LCM per gli interi positivi aeb: se il numero a è divisibile per b, allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a.

Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo è basato sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Se facciamo un prodotto di tutti i fattori primi di questi numeri, dopo di che escludiamo da questo prodotto tutti i fattori primi comuni che sono presenti nelle espansioni di questi numeri, il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo di questi numeri.

La regola annunciata per trovare l'LCM deriva dall'uguaglianza LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Infatti, il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni dei numeri aeb. A sua volta, gcd(a, b) è uguale al prodotto tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti nelle espansioni dei numeri aeb (che è descritto nella sezione sulla ricerca di MCD usando la scomposizione dei numeri in fattori primi).

Facciamo un esempio. Facci sapere che 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componi il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2 3 3 5 5 5 7 . Ora escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (tali fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2 3 5 5 7 . Il valore di questo prodotto è uguale al minimo comune multiplo dei numeri 75 e 210, cioè LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Esempio.

Dopo aver scomposto i numeri 441 e 700 in fattori primi, trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Soluzione.

Scomponiamo i numeri 441 e 700 in fattori primi:

Otteniamo 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .

Ora facciamo un prodotto di tutti i fattori coinvolti nell'espansione di questi numeri: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono contemporaneamente presenti in entrambe le espansioni (c'è solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . In questo modo, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Risposta:

LCM(441, 700)= 44 100 .

La regola per trovare l'LCM usando la scomposizione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se aggiungiamo i fattori mancanti dall'espansione del numero b ai fattori dalla scomposizione del numero a, allora il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri a e b.

Ad esempio, prendiamo tutti gli stessi numeri 75 e 210, le loro espansioni in fattori primi sono le seguenti: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Ai fattori 3, 5 e 5 dalla scomposizione del numero 75, aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dalla scomposizione del numero 210, otteniamo il prodotto 2 3 5 5 7 , il cui valore è LCM(75 , 210) .

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo di 84 e 648.

Soluzione.

Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 dalla scomposizione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2 , 3 , 3 e 3 dalla scomposizione del numero 648 , otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 , che è pari a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato dei numeri 84 e 648 è 4.536.

Risposta:

LCM(84, 648)=4 536 .

Trovare l'LCM di tre o più numeri

Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando successivamente l'LCM di due numeri. Richiama il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare l'LCM di tre o più numeri.

Teorema.

Siano dati interi positivi a 1 , a 2 , …, a k, il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova nel calcolo sequenziale m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Si consideri l'applicazione di questo teorema sull'esempio di trovare il minimo comune multiplo di quattro numeri.

Esempio.

Trova l'LCM dei quattro numeri 140, 9, 54 e 250.

Soluzione.

In questo esempio a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Per prima cosa troviamo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Per fare ciò, usando l'algoritmo euclideo, determiniamo gcd(140, 9) , abbiamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , quindi gcd( 140, 9)=1 , donde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Cioè, m 2 =1 260 .

Ora troviamo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calcoliamolo tramite gcd(1 260, 54) , anch'esso determinato dall'algoritmo di Euclide: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Quindi gcd(1 260, 54)=18 , da cui LCM(1 260, 54)= 1 260 54:mag(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Cioè, m 3 \u003d 3 780.

Lasciato da trovare m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Per fare ciò, troviamo GCD(3 780, 250) usando l'algoritmo di Euclide: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Pertanto, gcd(3 780, 250)=10 , da cui gcd(3 780, 250)= 3 780 250:cd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Cioè, m 4 \u003d 94 500.

Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.

Risposta:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In molti casi, il minimo comune multiplo di tre o più numeri si trova convenientemente usando la fattorizzazione primi di numeri dati. In questo caso, dovrebbe essere seguita la seguente regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che è così composto: i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dall'espansione del primo numero, i fattori mancanti dall'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori ottenuti, e così via.

Considera un esempio per trovare il multiplo minimo comune usando la scomposizione dei numeri in fattori primi.

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.

Soluzione.

Innanzitutto, otteniamo le espansioni di questi numeri in fattori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 fattori primi) e 143=11 13 .

Per trovare il LCM di questi numeri, ai fattori del primo numero 84 (sono 2 , 2 , 3 e 7 ) è necessario sommare i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero 6 . L'espansione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia ​​2 che 3 sono già presenti nell'espansione del primo numero 84 . Oltre ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del terzo numero 48 , otteniamo un insieme di fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 . Non è necessario aggiungere fattori a questo insieme nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2, 2, 2, 2, 3 e 7 si aggiungono i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143. Otteniamo il prodotto 2 2 2 2 3 7 11 13 , che è pari a 48 048 .

Secondo numero: b=

Separatore di cifre Nessun separatore di spazio " ´

Risultato:

Massimo comun divisore gcd( un,b)=6

Minimo comune multiplo di LCM( un,b)=468

Più grande numero naturale, per cui i numeri aeb sono divisibili senza resto massimo comun divisore(gcd) di questi numeri. Denotato gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) o hcf(a,b).

Minimo comune multiplo(LCM) di due interi aeb è il più piccolo numero naturale divisibile per aeb senza resto. Denotato LCM(a,b) o lcm(a,b).

Vengono chiamati gli interi aeb coprimi se non hanno divisori comuni diversi da +1 e −1.

Massimo comun divisore

Si danno due numeri positivi un 1 e un 2 1). È necessario trovare un divisore comune di questi numeri, ad es. trova un tale numero λ , che divide i numeri un 1 e un 2 contemporaneamente. Descriviamo l'algoritmo.

1) In questo articolo, la parola numero indicherà un numero intero.

Permettere un 1 ≥ un 2 e lascia

dove m 1 , un 3 sono alcuni numeri interi, un 3 <un 2 (resto della divisione un 1 su un 2 dovrebbe essere inferiore un 2).

Facciamo finta che λ divide un 1 e un 2, quindi λ divide m 1 un 2 e λ divide un 1 −m 1 un 2 =un 3 (Affermazione 2 dell'articolo "Divisibilità dei numeri. Segno di divisibilità"). Ne consegue che ogni comune divisore un 1 e un 2 è un divisore comune un 2 e un 3. Vale anche il contrario se λ divisore comune un 2 e un 3, quindi m 1 un 2 e un 1 =m 1 un 2 +un 3 sono anche divisi in λ . Da qui il divisore comune un 2 e un 3 è anche un divisore comune un 1 e un 2. Perché un 3 <un 2 ≤un 1 , allora possiamo dire che la soluzione al problema di trovare un divisore comune dei numeri un 1 e un 2 ridotto a un problema più semplice di trovare un divisore comune dei numeri un 2 e un 3 .

Se una un 3 ≠0, allora possiamo dividere un 2 su un 3. Quindi

,

dove m 1 e un 4 sono alcuni numeri interi, ( un 4 resto della divisione un 2 su un 3 (un 4 <un 3)). Con un ragionamento simile, arriviamo alla conclusione che i comuni divisori dei numeri un 3 e un 4 è lo stesso dei divisori comuni dei numeri un 2 e un 3, e anche con divisori comuni un 1 e un 2. Perché un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , ... numeri che sono in costante diminuzione e poiché c'è un numero finito di interi tra un 2 e 0, poi ad un certo punto n, resto della divisione un n su un n+1 sarà uguale a zero ( un n+2=0).

.

Ogni comune divisore λ numeri un 1 e un 2 è anche un divisore di numeri un 2 e un 3 , un 3 e un 4 , .... un n e un n+1. È anche vero il contrario, divisori comuni dei numeri un n e un n+1 sono anche divisori di numeri un n−1 e un n , .... , un 2 e un 3 , un 1 e un 2. Ma il comune divisore un n e un n+1 è un numero un n+1 , perché un n e un n+1 sono divisibili per un n+1 (ricordalo un n+2=0). Di conseguenza un n+1 è anche un divisore di numeri un 1 e un 2 .

Si noti che il numero un n+1 è il massimo divisore numerico un n e un n+1 , dal massimo divisore un n+1 è se stesso un n+1. Se una un n + 1 può essere rappresentato come un prodotto di interi, quindi questi numeri sono anche divisori comuni di numeri un 1 e un 2. Numero un vengono chiamati n+1 massimo comun divisore numeri un 1 e un 2 .

Numeri un 1 e un 2 possono essere sia numeri positivi che negativi. Se uno dei numeri è uguale a zero, il massimo comune divisore di questi numeri sarà uguale al valore assoluto dell'altro numero. Il massimo comun divisore di zero numeri non è definito.

Viene chiamato l'algoritmo di cui sopra L'algoritmo di Euclide trovare il massimo comun divisore di due numeri interi.

Un esempio di come trovare il massimo comun divisore di due numeri

Trova il massimo comun divisore di due numeri 630 e 434.

• Passaggio 1. Dividi il numero 630 per 434. Il resto è 196.
• Passaggio 2. Dividi il numero 434 per 196. Il resto è 42.
• Passaggio 3. Dividi il numero 196 per 42. Il resto è 28.
• Passaggio 4. Dividi il numero 42 per 28. Il resto è 14.
• Passaggio 5. Dividi il numero 28 per 14. Il resto è 0.

Al passaggio 5, il resto della divisione è 0. Pertanto, il massimo comune divisore dei numeri 630 e 434 è 14. Notare che i numeri 2 e 7 sono anche divisori dei numeri 630 e 434.

Numeri di coprimi

Definizione 1. Sia il massimo comun divisore dei numeri un 1 e un 2 è uguale a uno. Quindi questi numeri vengono chiamati numeri coprimi che non hanno un divisore comune.

Teorema 1. Se una un 1 e un 2 numeri relativamente primi, e λ un numero, quindi qualsiasi divisore comune di numeri λa 1 e un 2 è anche un divisore comune dei numeri λ e un 2 .

Prova. Considera l'algoritmo di Euclide per trovare il massimo comun divisore dei numeri un 1 e un 2 (vedi sopra).

.

Dalle condizioni del teorema deriva che il massimo comun divisore dei numeri un 1 e un 2 , e quindi un n e un n+1 è 1. Cioè un n+1=1.

Moltiplichiamo tutte queste uguaglianze per λ , poi

.

Passiamo al divisore comune un 1 λ e un 2 è δ . Quindi δ entra come fattore un 1 λ , m 1 un 2 λ e dentro un 1 λ -m 1 un 2 λ =un 3 λ (Vedi "Divisibilità dei numeri", Proposizione 2). Ulteriore δ entra come fattore un 2 λ e m 2 un 3 λ , e quindi entra come fattore in un 2 λ -m 2 un 3 λ =un 4 λ .

Ragionando in questo modo, ne siamo convinti δ entra come fattore un n-1 λ e m n-1 un n λ , e quindi in un n-1 λ −m n-1 un n λ =un n+1 λ . Perché un n+1 =1, quindi δ entra come fattore λ . Da qui il numero δ è un divisore comune dei numeri λ e un 2 .

Considera casi speciali del Teorema 1.

Conseguenza 1. Permettere un e c i numeri primi sono relativamente b. Poi il loro prodotto corrente alternataè un numero primo rispetto a b.

Veramente. Dal teorema 1 corrente alternata e b hanno gli stessi comun divisori di c e b. Ma i numeri c e b coprimi, cioè avere un unico comune divisore 1. Allora corrente alternata e b hanno anche un unico comune divisore 1. Quindi corrente alternata e b reciprocamente semplice.

Conseguenza 2. Permettere un e b coprimi i numeri e lascia b divide ak. Quindi b divide e K.

Veramente. Dalla condizione di affermazione ak e b avere un divisore comune b. In virtù del Teorema 1, b deve essere un divisore comune b e K. Di conseguenza b divide K.

Il corollario 1 può essere generalizzato.

Conseguenza 3. 1. Lascia che i numeri un 1 , un 2 , un 3 , ..., un m sono primi rispetto al numero b. Quindi un 1 un 2 , un 1 un 2 · un 3 , ..., un 1 un 2 un 3 ··· un m , il prodotto di questi numeri è primo rispetto al numero b.

2. Abbiamo due righe di numeri

in modo tale che ogni numero nella prima riga sia primo rispetto a ogni numero nella seconda riga. Poi il prodotto

È necessario trovare tali numeri che siano divisibili per ciascuno di questi numeri.

Se il numero è divisibile per un 1, allora sembra sa 1, dove S un certo numero. Se una qè il massimo comun divisore dei numeri un 1 e un 2, quindi

dove S 1 è un numero intero. Quindi

è minimo comune multiplo di numeri un 1 e un 2 .

un 1 e un 2 coprimi, quindi il minimo comune multiplo dei numeri un 1 e un 2:

Trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Ne consegue da quanto sopra che qualsiasi multiplo dei numeri un 1 , un 2 , un 3 deve essere un multiplo di numeri ε e un 3 e viceversa. Sia il minimo comune multiplo dei numeri ε e un 3 è ε uno . Inoltre, un multiplo di numeri un 1 , un 2 , un 3 , un 4 deve essere un multiplo di numeri ε 1 e un quattro . Sia il minimo comune multiplo dei numeri ε 1 e un 4 è ε 2. Quindi, abbiamo scoperto che tutti i multipli di numeri un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m coincidono con multipli di un numero specifico ε n , che è chiamato il minimo comune multiplo dei numeri dati.

Nel caso particolare quando i numeri un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m coprime, quindi il minimo comune multiplo dei numeri un 1 , un 2 come mostrato sopra ha la forma (3). Inoltre, poiché un 3 primi rispetto ai numeri un 1 , un 2, quindi un 3 è un numero relativo primo un uno · un 2 (Corollario 1). Quindi il minimo comune multiplo dei numeri un 1 ,un 2 ,un 3 è un numero un uno · un 2 · un 3. Argomentando in modo simile, si arriva alle seguenti asserzioni.

Dichiarazione 1. Minimo comune multiplo di numeri coprimi un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m è uguale al loro prodotto un uno · un 2 · un 3 ··· un m .

Dichiarazione 2. Qualsiasi numero divisibile per ciascuno dei numeri coprimi un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m è anche divisibile per il loro prodotto un uno · un 2 · un 3 ··· un m .

Il calcolatore online ti consente di trovare rapidamente il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di due o qualsiasi altro numero di numeri.

Calcolatrice per trovare GCD e NOC

Trova GCD e NOC

GCD e NOC trovati: 5806

Come usare la calcolatrice

• Immettere i numeri nel campo di immissione
• In caso di immissione di caratteri errati, il campo di immissione verrà evidenziato in rosso
• premere il pulsante "Trova GCD e NOC"

Come inserire i numeri

• I numeri vengono inseriti separati da spazi, punti o virgole
• La lunghezza dei numeri inseriti non è limitata, quindi trovare gcd e lcm di numeri lunghi non sarà difficile

Cosa sono NOD e NOK?

Massimo comun divisore di più numeri è il più grande intero naturale per il quale tutti i numeri originali sono divisibili senza resto. Il massimo comun divisore è abbreviato come GCD.
Minimo comune multiplo diversi numeri è il numero più piccolo che è divisibile per ciascuno dei numeri originali senza resto. Il minimo comune multiplo è abbreviato come NOC.

Come verificare se un numero è divisibile per un altro numero senza resto?

Per scoprire se un numero è divisibile per un altro senza resto, puoi usare alcune proprietà di divisibilità dei numeri. Quindi, combinandoli, si può verificare la divisibilità per alcuni di essi e le loro combinazioni.

Alcuni segni di divisibilità dei numeri

1. Segno di divisibilità di un numero per 2
Per determinare se un numero è divisibile per due (se è pari), basta guardare l'ultima cifra di questo numero: se è uguale a 0, 2, 4, 6 o 8, allora il numero è pari, il che significa che è divisibile per 2.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 2.
Soluzione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero è divisibile per due.

2. Segno di divisibilità di un numero per 3
Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Quindi, per determinare se un numero è divisibile per 3, devi calcolare la somma delle cifre e controllare se è divisibile per 3. Anche se la somma delle cifre è molto grande, puoi ripetere lo stesso processo ancora.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 3.
Soluzione: contiamo la somma delle cifre: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 3, il che significa che il numero è divisibile per tre.

3. Segno di divisibilità di un numero per 5
Un numero è divisibile per 5 quando la sua ultima cifra è zero o cinque.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 5.
Soluzione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero NON è divisibile per cinque.

4. Segno di divisibilità di un numero per 9
Questo segno è molto simile al segno di divisibilità per tre: un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 9.
Soluzione: calcoliamo la somma delle cifre: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 9, il che significa che il numero è divisibile per nove.

Come trovare GCD e LCM di due numeri

Come trovare il GCD di due numeri

Il modo più semplice per calcolare il massimo comun divisore di due numeri è trovare tutti i possibili divisori di questi numeri e scegliere il più grande di essi.

Considera questo metodo usando l'esempio di trovare GCD(28, 36) :

1. Fattorizziamo entrambi i numeri: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Troviamo fattori comuni, cioè quelli che hanno entrambi i numeri: 1, 2 e 2.
3. Calcoliamo il prodotto di questi fattori: 1 2 2 \u003d 4 - questo è il massimo comune divisore dei numeri 28 e 36.

Come trovare l'LCM di due numeri

Esistono due modi più comuni per trovare il multiplo più piccolo di due numeri. Il primo modo è che puoi scrivere i primi multipli di due numeri, e quindi scegliere tra loro un numero tale che sarà comune a entrambi i numeri e allo stesso tempo il più piccolo. E il secondo è trovare il GCD di questi numeri. Consideriamolo.

Per calcolare l'LCM, è necessario calcolare il prodotto dei numeri originali e quindi dividerlo per il MCD precedentemente trovato. Troviamo l'LCM per gli stessi numeri 28 e 36:

1. Trova il prodotto dei numeri 28 e 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) è già noto per essere 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Trovare GCD e LCM per più numeri

Il massimo comun divisore può essere trovato per più numeri e non solo per due. Per questo, i numeri da cercare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi, quindi si trova il prodotto dei fattori primi comuni di questi numeri. Inoltre, per trovare il GCD di più numeri, puoi usare la seguente relazione: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Una relazione simile vale anche per il minimo comune multiplo di numeri: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Esempio: trova GCD e LCM per i numeri 12, 32 e 36.

1. Per prima cosa, fattorizziamo i numeri: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Troviamo i fattori comuni: 1, 2 e 2 .
3. Il loro prodotto darà gcd: 1 2 2 = 4
4. Ora troviamo il LCM: per questo troviamo prima il LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Per trovare l'LCM di tutti e tre i numeri, devi trovare il GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Agli studenti vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono compiti con la seguente formulazione: ci sono due valori. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con frazioni con denominatori diversi. Nell'articolo analizzeremo come trovare l'LCM e i concetti di base.

Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare l'LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto è la seguente: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto, quindi, per 4, 8, 12, 16, 20 e così via, fino a il limite necessario.

In questo caso, il numero di divisori per un valore particolare può essere limitato e ci sono infiniti multipli. C'è anche lo stesso valore per i valori naturali. Questo è un indicatore diviso per loro senza resto. Dopo aver affrontato il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.

Trovare il C.N.O

Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale interamente divisibile per tutti i numeri dati.

Ci sono diversi modi per trovare un tale valore. Consideriamo i seguenti metodi:

1. Se i numeri sono piccoli, scrivi nella riga tutti divisibili per esso. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Nel record, sono indicati dalla lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
2. Se questi sono grandi o devi trovare un multiplo per 3 o più valori, allora dovresti usare una tecnica diversa qui, che comporta la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi il più grande degli indicati, quindi tutto il resto. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per i più piccoli, sottolinea i fattori e aggiungi i più grandi. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
3. Trovando 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dall'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nella scomposizione del maggiore, li aggiungiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.

Ora sappiamo qual è la tecnica generale per trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Tuttavia, ci sono anche metodi privati, aiutando a cercare i NOC, se i precedenti non aiutano.

Come trovare GCD e NOC.

Modi privati ​​di trovare

Come con qualsiasi sezione matematica, ci sono casi speciali di ricerca di LCM che aiutano in situazioni specifiche:

• se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (NOC 60 e 15 è uguale a 15);
• I numeri di coprime non hanno divisori primi comuni. Il loro valore minimo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi, per i numeri 7 e 8, questo sarà 56;
• la stessa regola vale per altri casi, anche speciali, che si possono leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche casi di scomposizione di numeri compositi, che sono oggetto di articoli separati e persino tesi di dottorato.

I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro, puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni., dove ci sono diversi denominatori.

Qualche esempio

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi, grazie ai quali puoi comprendere il principio di trovare il multiplo più piccolo:

1. Troviamo LCM (35; 40). Disponiamo prima 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungiamo 8 al numero più piccolo e otteniamo NOC 280.
2. CNO (45; 54). Disponiamo ciascuno di essi: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Aggiungiamo il numero 6 a 45. Otteniamo il NOC pari a 270.
3. Bene, l'ultimo esempio. Ci sono 5 e 4. Non ci sono multipli semplici per loro, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, pari a 20.

Grazie agli esempi, puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.

Trovare il NOC è molto più facile di quanto potrebbe sembrare a prima vista. Per questo, vengono utilizzate sia una semplice scomposizione che la moltiplicazione di valori semplici tra loro.. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio di argomenti matematici, in particolare frazioni di vari gradi di complessità.

Non dimenticare di risolvere periodicamente esempi con metodi diversi, questo sviluppa l'apparato logico e ti consente di ricordare numerosi termini. Impara i metodi per trovare un tale indicatore e sarai in grado di lavorare bene con il resto delle sezioni matematiche. Buon apprendimento della matematica!

video

Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come trovare il multiplo meno comune.