16. feladat:

Lehetséges 25 rubelt tíz 1, 3 és 5 rubel címletű bankjegyre váltani? Megoldás:

Válasz: Nem

17. feladat:

Petya vásárolt egy 96 lapos közös jegyzetfüzetet, és annak minden oldalát 1-től 192-ig sorszámozta. Ebből a füzetből Vasya kitépett 25 lapot, és összeadta a ráírt 50 számot. 1990-et csinálhatott? Megoldás:

Minden lapon az oldalszámok összege páratlan, a 25 páratlan szám összege pedig páratlan.

18. feladat:

22 egész szám szorzata egyenlő 1-gyel. Bizonyítsuk be, hogy összegük nem egyenlő nullával. Megoldás:

E számok között - páros szám"mínusz egységek", és ahhoz, hogy az összeg nullával egyenlő legyen, pontosan 11-nek kell lennie.

19. feladat:

Lehetséges varázsnégyzetet készíteni az első 36 prímszámból? Megoldás:

E számok közül egy (2) páros, a többi pedig páratlan. Ezért abban a sorban, ahol kettős van, a számok összege páratlan, a többiben pedig páros.

20. feladat:

Sorba írjuk a számokat 1-től 10-ig.. Lehet-e közéjük „+” és „-” jeleket tenni úgy, hogy a kapott kifejezés értéke nulla legyen?

Megjegyzés: Kérjük, vegye figyelembe negatív számok páratlanok és párosak is. Megoldás:

Valóban, a számok összege 1-től 10-ig 55, és a benne lévő jelek megváltoztatásával a teljes kifejezést páros számmá változtatjuk.

21. feladat:

A szöcske egyenes vonalban ugrik, és az első alkalommal 1 cm-t ugrott valamilyen irányba, a második alkalommal 2 cm-t, és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy 1985 ugrása után nem lehet ott, ahol elkezdte. Megoldás:

Megjegyzés: Az 1 + 2 + … + 1985 összege páratlan.

22. feladat:

A táblára felírva az 1, 2, 3, ..., 1984, 1985 számokat. Végül csak egy szám marad a táblán. Lehet nulla? Megoldás:

Ellenőrizze, hogy a jelzett műveletek nem változtatják-e meg a táblára írt összes szám összegének paritását.

23. feladat:

Lehetséges-e lefedni sakktábla dominó 1 × 2, hogy csak az a1 és a h8 cellák maradjanak szabadok? Megoldás:

Minden dominó egy fekete és egy fehér négyzetet takar, és ha az a1 és a h8 négyzeteket kidobjuk, 2-vel kevesebb fekete négyzet marad, mint a fehér.

24. feladat:

A 17 jegyű számhoz hozzáadták az azonos számjegyekkel, de fordított sorrendben írt számot. Bizonyítsuk be, hogy a kapott összeg legalább egy számjegye páros. Megoldás:

Elemezzünk két esetet: a szám első és utolsó számjegyének összege kisebb, mint 10, és a szám első és utolsó számjegyének összege nem kisebb, mint 10. Ha feltételezzük, hogy az összeg minden számjegye páratlan , akkor az első esetben a számjegyekben ne legyen egyetlen átvitel (ami nyilvánvalóan ellentmondáshoz vezet), a második esetben pedig a hordozó jelenléte jobbról balra vagy balról jobbra haladva váltakozik átvitel hiányával, és ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a kilencedik számjegyben lévő összeg számjegye szükségszerűen páros.

25. feladat:

A néposztagban 100 fő van, és minden este hárman szolgálatba állnak. Kiderülhet egy idő után, hogy mindenki pontosan egyszer volt szolgálatban mindenkivel? Megoldás:

Mivel minden szolgálatban, amelyben részt vesz ez a személy, két másikkal van szolgálatban, akkor az összes többi párokra osztható. A 99 azonban páratlan szám.

26. feladat:

Az egyenesen 45 pont van megjelölve, amely az AB szakaszon kívül esik. Bizonyítsuk be, hogy az ezektől a pontoktól az A pontig tartó távolságok összege nem egyenlő az ezektől a pontoktól a B pontig tartó távolságok összegével. Megoldás:

Bármely AB-n kívül eső X pontra AX - BX = ± AB. Ha feltételezzük, hogy a távolságok összege egyenlő, akkor azt kapjuk, hogy a ± AB ± AB ± … ± AB kifejezés, amelyben 45 tag vesz részt, egyenlő nullával. De ez lehetetlen.

27. feladat:

9 szám van körbe rendezve - 4 egyes és 5 nulla. Minden másodpercben a következő műveletet hajtjuk végre a számokon: nullát teszünk a szomszédos számok közé, ha azok különböznek, és egyet, ha egyenlők; ezt követően a régi számok törlődnek. Egy idő után minden szám azonos lesz? Megoldás:

Nyilvánvaló, hogy kilenc nulla előtt kilenc egyes kombinációja nem érhető el. Ha kilenc nulla volt, akkor az előző lépésnél nulláknak és egyeseknek váltakozniuk kellett volna, ami lehetetlen, hiszen csak páratlan sok van belőlük.

28. feladat:

25 fiú és 25 lány ül egy kerek asztalnál. Bizonyítsuk be, hogy az egyik asztalnál ülő embernek mindkét szomszédja van. Megoldás:

Végezzük el a bizonyítást ellentmondásokkal. Sorra számozzuk az asztalnál ülőket, valahonnan kiindulva. Ha bekapcsolva k-edik hely fiú ül, jól látszik, hogy a (k - 2)-edik és a (k + 2)-edik helyet lányok foglalják el. De mivel egyenlő számban vannak fiúk és lányok, így minden n-edik helyen ülő lány esetében igaz, hogy az (n - 2) és (n + 2) helyet fiúk foglalják el. Ha most csak azt a 25 embert vesszük figyelembe, akik „egyenletes” helyen ülnek, akkor azt kapjuk, hogy köztük fiúk és lányok váltják egymást, ha megkerülik az asztalt valamilyen irányba. De a 25 páratlan szám.

29. feladat:

A csiga állandó sebességgel kúszik végig a síkon, 15 percenként derékszögben megfordul. Bizonyítsuk be, hogy csak egész számú óra elteltével térhet vissza a kiindulópontra. Megoldás:

Nyilvánvaló, hogy azoknak a szakaszoknak a száma, amelyekben a csiga felfelé vagy lefelé kúszott, megegyezik azon szakaszok számával, amelyekben jobbra vagy balra kúszott. Csak azt kell megjegyezni, hogy a páros.

30. feladat:

Három szöcske ugróbékát játszik egy egyenes vonalon. Minden alkalommal, amikor egyikük átugrik a másikon (de nem egyszerre kettőn!). Az 1991-es ugrás után visszatérhetnek eredeti pozíciójukba? Megoldás:

Jelölje az A, B és C szöcskék elrendezését. Nevezzük helyesnek az ABC, BCA és CAB szöcskék elrendezését (balról jobbra), az ACB, BAC és CBA pedig helytelennek. Könnyen belátható, hogy minden ugrással megváltozik az elrendezés típusa.

31. feladat:

101 érme van, ebből 50 hamis, súlyuk 1 grammal különbözik a valódiaktól. Petya vett egy érmét, és egy, a poharak súlykülönbségét mutató nyíllal ellátott mérlegen mérlegelve meg akarja állapítani, hogy hamis-e. Meg tudja csinálni? Megoldás:

Ezt az érmét félre kell tenni, majd a fennmaradó 100 érmét két 50-es kupacra kell osztani, és összehasonlítani kell ezeknek a kupacoknak a súlyát. Ha páros számú grammban különböznek, akkor a minket érdeklő érme valódi. Ha a súlyok közötti különbség páratlan, akkor az érme hamis.

32. feladat:

Kiírható-e a számokat 1-től 9-ig egymás után úgy, hogy páratlan számú számjegy legyen egy és kettő, kettő és három, ..., nyolc és kilenc között? Megoldás:

Ellenkező esetben a sorban lévő összes szám azonos paritású helyen lenne.

Ezt a munkát Petya vásárolt egy 96 lapos közös jegyzetfüzetet, és minden oldalát 1-től 192-ig sorszámozta. szakembereket, és sikeresen megvédte. Munka – Petya vásárolt egy 96 lapos közös jegyzetfüzetet, és annak minden oldalát 1-től 192-ig sorszámozta. feltárásra kerül a vizsgált kérdés lényege, a főbb rendelkezések és a vezető gondolatok kiemelve ebben a témában.
Munka - Petya vásárolt egy 96 lapos közös jegyzetfüzetet, és minden oldalát 1-től 192-ig sorszámozta. Vasya kitépte, tartalmazza: táblázatok, rajzok, a legújabb irodalmi források, a benyújtás és a védés éve. a mű - 2017. A munkában Petya vásárolt egy 96 lapos közös jegyzetfüzetkötetet, és annak minden oldalát 1-től 192-ig sorszámozta. a probléma fejlettségi foka tükröződik, mélyreható értékelésen és elemzésen alapul a tudományos és módszeres irodalom, az AHD és a pénzügyi elemzés témájával foglalkozó munkában az elemzés tárgyát és kérdéseit átfogóan, elméleti és gyakorlati oldalról is átgondoljuk, megfogalmazódik a vizsgált téma célja és konkrét feladatai, van logika, az anyag bemutatása és sorrendje.

Szakaszok: Matematika

Kedves Olimpia Résztvevő!

Az iskolai matematikai olimpiát egy fordulóban tartják.
5 különböző nehézségi szintű feladat található.
Az alkotás tervezésével kapcsolatban nincsenek különleges követelmények. A problémák megoldásának bemutatási formája, valamint a megoldási módszerek bármilyenek lehetnek. Ha egyéni gondolatai vannak egy adott feladattal kapcsolatban, de nem tudja a végére vinni a megoldást, ne habozzon elmondani minden gondolatát. A részben megoldott feladatokat is a megfelelő számú ponttal értékeljük.
Kezdje el megoldani azokat a feladatokat, amelyek könnyebbnek tűnnek számodra, majd térj át a többire. Így időt takarít meg.

Sok sikert kívánunk!

iskolai szakasz Össz-oroszországi olimpia iskolások matematikából

5. évfolyam

1. Feladat. Az 1*2*3*4*5 kifejezésben cserélje ki a "*" jelet akciójelekre, és helyezze el a zárójeleket így. Olyan kifejezést kapni, amelynek értéke 100.

2. feladat. Meg kell fejteni az aritmetikai egyenlőség rekordját, amelyben a számokat betűk helyettesítik, és a különböző számokat különböző betűk helyettesítik, ugyanazok ugyanazok.

ÖT - HÁROM \u003d KETTŐ Ismeretes, hogy a levél helyett DE be kell írnia a 2-es számot.

3. feladat. Hogyan lehet 80 kg szöget két részre osztani - 15 kg-ra és 65 kg-ra súlyok nélküli serpenyőmérleggel?

4. feladat. Az ábrán látható ábrát vágd két egyenlő részre úgy, hogy mindegyik részen egy csillag legyen. Csak rácsvonalak mentén vághat.

5. feladat. Egy csésze és csészealj együtt 25 rubelbe kerül, míg 4 csésze és 3 csészealj 88 rubelbe kerül. Keresse meg a csésze és a csészealj árát.

6. osztály.

1. Feladat. Hasonlítsa össze a törteket anélkül, hogy közös nevezőre hozná őket.

2. feladat. Meg kell fejteni az aritmetikai egyenlőség rekordját, amelyben a számokat betűk helyettesítik, és a különböző számokat különböző betűk helyettesítik, ugyanazok ugyanazok. Feltételezzük, hogy az eredeti egyenlőség igaz, és a szokásos aritmetikai szabályok szerint írjuk le.

MUNKA
+ AKARAT
SZERENCSE

3. feladat. Három barát érkezett a nyári táborba pihenni: Misha, Volodya és Petya. Ismeretes, hogy mindegyiküknek a következő vezetéknevek egyike van: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Misha nem Gerasimov. Volodya apja mérnök. Volodya 6. osztályos. Gerasimov 5. osztályos. Ivanov apja tanár. Mi a vezetékneve mind a három barátnak?

4. feladat. Osszuk az ábrát a rácsvonalak mentén négy egyforma részre úgy, hogy mindegyik résznek egy pontja legyen.

5. feladat. Az ugráló szitakötő a vörös nyár minden napjának felét aludta, minden nap harmadát táncolt, és a hatodik részt énekelte. A hátralévő időt úgy döntött, hogy a téli felkészülésnek szenteli. Naponta hány órát készült a Szitakötő a télre?

7. osztály.

1. Feladat. Oldja meg a rebuszt, ha tudja, hogy az ERŐS szám legnagyobb számjegye 5:

DÖNTSD EL
HA
ERŐS

2. feladat. Oldja meg a │7 - x│ = 9,3 egyenletet

3. feladat. Hét mosás után a szappan hossza, szélessége és vastagsága felére csökkent. Ugyanabból a mosásból hányszor bírja ki a maradék szappant?

4. feladat . Oszd két egyenlő részre a 4 × 9-es cellákból álló téglalapot a cellák oldalai mentén, hogy aztán négyzetet formálhass belőlük.

5. feladat. Egy fakockát minden oldalról fehér festékkel lefestettek, majd 64 egyforma kockára fűrészelték. Hány kocka színezett három oldalán? Két oldalról?
Az egyik oldalon? Hány kocka nincs színezve?

8. évfolyam.

1. Feladat. Milyen két számjegy fejezi be a 13-as számot!

2. feladat. Csökkentse a törtet:

3. feladat. Az iskolai színjátszókör A.S. meserészletének elkészítésére készül. Puskin a Saltan cárról úgy döntött, hogy elosztja a szerepeket a résztvevők között.
- Csernomor leszek - mondta Yura.
- Nem, én leszek Csernomor - mondta Kolja.
- Jól van, - engedett neki Yura -, tudok Gvidont játszani.
- Nos, lehetek Saltan - mutatott engedelmességet Kolja is.
- Beleegyezem, hogy csak Guidon legyek! Misha mondta.
A fiúk kívánságai teljesültek. Hogyan oszlottak el a szerepek?

4. feladat. Az AD medián egy ABC egyenlő szárú háromszögben van megrajzolva, amelynek alapja AB = 8m. Az ACD háromszög kerülete 2 méterrel nagyobb, mint az ABD háromszög kerülete. Keresse meg az AS-t.

5. feladat. Nikolai vett egy közös 96 lapos füzetet, és 1-től 192-ig számozta az oldalakat. Unokaöccse, Arthur kitépett ebből a füzetből 35 lapot, és összeadta a ráírt 70 számot. Megkaphatja 2010-et.

9. évfolyam

1. Feladat. Keresse meg az 1989 1989 utolsó számjegyét.

2. feladat. Egyesek gyökereinek összege másodfokú egyenlet 1 és négyzeteinek összege 2. Mennyi a kockáik összege?

3. feladat. Három medián m a , m b és m c ∆ ABC segítségével határozza meg az AC = b oldal hosszát.

4. feladat. Csökkentse a frakciót .

5. feladat. Hányféleképpen választhat magánhangzót és mássalhangzót a „kamzol” szóban?

10. fokozat.

1. Feladat. Jelenleg 1, 2, 5, 10 rubeles érmék vannak. Adja meg az összes pénzösszeget, amelyet páros és páratlan számú érmével is ki lehet fizetni.

2. feladat. Bizonyítsuk be, hogy 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 osztható 6-tal.

3. feladat. Egy négyszögben ABCDátlói egy pontban metszik egymást M. Ismeretes, hogy AM = 1,
VM = 2, CM = 4. Milyen értékeken DM négyszög ABCD trapéz?

4. feladat. Egyenletrendszer megoldása

5. feladat. Harminc iskolás – tizedikes és tizenegyedikes – fogott kezet. Ugyanakkor az is kiderült, hogy minden tizedikes nyolc tizenegyedikessel, tizenegyedikes pedig hét tizedikessel fogott kezet. Hány tizedikes és hány tizenegyedikes?