2.2.4। घर्षण बल

घर्षण का बल न केवल गतिमान पिंड पर, बल्कि आराम करने वाले पिंड पर भी कार्य करता है, यदि ऐसे बल हैं जो इस विश्राम को तोड़ने की प्रवृत्ति रखते हैं। किसी सहारे पर लुढ़कने वाला पिंड भी घर्षण बल के अधीन होता है।

स्थैतिक घर्षण बलसंख्यात्मक रूप से उस सतह के साथ निर्देशित बल के घटक के बराबर, जिस पर दिया गया शरीर स्थित है, और इसे अपने स्थान से स्थानांतरित करने की प्रवृत्ति है (चित्र। 2.7):

एफ ट्र.पोक \u003d एफ एक्स।

चावल। 2.7

जब निर्दिष्ट घटक एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य (F x = F crit) तक पहुँच जाता है, तो शरीर हिलना शुरू कर देता है। बल का महत्वपूर्ण मूल्य, जो आंदोलन की शुरुआत से मेल खाता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

एफ एक्स \u003d एफ क्रिट \u003d μ एन तक,

जहां तो - स्थैतिक घर्षण का गुणांक; एन समर्थन की सामान्य प्रतिक्रिया के बल का मापांक है (यह बल संख्यात्मक रूप से शरीर के वजन के बराबर है)।

गति की शुरुआत के समय, स्थैतिक घर्षण बल अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है:

एफ टीआर। अधिकतम = μ तक एन तक।

फिसलने वाला घर्षण बलस्थिर है और उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एफ ट्र.स्क = μ एसके एन ,

जहाँ µ sk - फिसलने वाले घर्षण का गुणांक; एन समर्थन की सामान्य प्रतिक्रिया के बल का मापांक है।

समस्याओं को हल करते समय, यह माना जाता है कि स्थैतिक घर्षण के गुणांक और स्लाइडिंग sk एक दूसरे के बराबर हैं:

µ तक = µ sk = µ.

अंजीर पर। 2.8 बल F x के प्रक्षेपण पर घर्षण बल F tr के परिमाण की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है जो शरीर को इच्छित गति की सतह के साथ निर्देशित अक्ष पर ले जाने के लिए प्रवृत्त होता है।

चावल। 2.8

निर्धारित करने के लिए क्या यह शरीर में होगा आराम करने या चलने परएक निश्चित परिमाण और दिशा के लागू बल की कार्रवाई के तहत, यह आवश्यक है:

एफ क्रिट = μN,

जहां μ घर्षण का गुणांक है; एन समर्थन की सामान्य प्रतिक्रिया के बल का मापांक है;

3) एफ क्रिट और एफ एक्स के मूल्यों की तुलना करें:

• अगर एफ एक्स> एफ क्रिट, तो शरीर लागू बल की क्रिया के तहत चलता है; इस मामले में, फिसलने वाले घर्षण बल की गणना इस प्रकार की जाती है

एफ ट्र.स्क = μN;

• अगर एफएक्स< F крит, то тело покоится под действием приложенной силы; в этом случае сила трения покоя рассчитывается как

एफ ट्र.पोक \u003d एफ एक्स।

मापांक रोलिंग घर्षण बल F रोल रोलिंग घर्षण µ रोल के गुणांक के समानुपाती होता है, समर्थन N की सामान्य प्रतिक्रिया के बल का मापांक और रोलिंग बॉडी के त्रिज्या R के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

एफ टीआर। योग्यता = μ योग्यता एन आर।

उदाहरण 13. एक क्षैतिज सतह पर 6.0 किग्रा द्रव्यमान वाले पिंड पर 25 N का बल लगाया जाता है। घर्षण बल ज्ञात कीजिए यदि घर्षण का गुणांक 0.5 है।

समाधान। आइए हम सूत्र के अनुसार शरीर की गति उत्पन्न करने में सक्षम बल के परिमाण का अनुमान लगाएं

एफ करोड़ = μN,

जहां μ घर्षण का गुणांक है; एन समर्थन के सामान्य प्रतिक्रिया बल का मापांक है, संख्यात्मक रूप से शरीर के वजन (पी = मिलीग्राम) के बराबर है।

पिंड की गति शुरू करने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण बल का परिमाण है

एफ सीआर \u003d μ एम जी \u003d 0.5 ⋅ 6.0 10 \u003d 30 एन।

प्रस्तावित आंदोलन की धुरी पर क्षैतिज दिशा में शरीर पर लागू बल का प्रक्षेपण ऑक्स (आंकड़ा देखें) के बराबर है

एफ एक्स \u003d एफ \u003d 25 एन।

एफएक्स< F кр,

वे। शरीर पर लगाए गए बल का परिमाण उस बल के परिमाण से कम होता है जो इसकी गति करने में सक्षम होता है। इसलिए, शरीर आराम पर है।

वांछित घर्षण बल - शेष घर्षण बल - इस शांति को तोड़ने के लिए प्रवृत्त बाहरी क्षैतिज बल के बराबर है:

एफ tr.pok \u003d एफ एक्स \u003d 25 एन।

उदाहरण 14. पिंड 30° के आधार पर एक कोण के साथ एक झुके हुए तल पर है। घर्षण बल की गणना करें यदि घर्षण का गुणांक 0.5 3 है। शरीर का वजन 3.0 किलो है।

समाधान। चित्र में तीर अपेक्षित गति की दिशा को दर्शाता है।

आइए जानें कि क्या शरीर आराम पर रहेगा या चलना शुरू कर देगा। ऐसा करने के लिए, हम उस महत्वपूर्ण बल के मूल्य की गणना करते हैं जो गति का कारण बन सकता है, अर्थात।

एफ करोड़ = μN,

जहां μ घर्षण का गुणांक है; एन = मिलीग्राम  cos α झुकाव वाले विमान के सामान्य प्रतिक्रिया बल का परिमाण है।

गणना संकेतित बल का मान देती है:

एफ सीआर \u003d μ एम जी कॉस 30 डिग्री \u003d 0.5 3 ⋅ 3.0 ⋅ 10 ⋅ 3 2 \u003d 22.5 एन।

आराम की स्थिति से, शरीर गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण को अक्ष ऑक्स पर लाने का प्रयास करता है, जिसका मूल्य है

एफ एक्स = मिलीग्राम sin 30° = 15 एन।

इस प्रकार, एक असमानता है

एफएक्स< F кр,

वे। पिंड को गतिमान करने की कोशिश करने वाले बल का प्रक्षेपण ऐसा करने में सक्षम बल के परिमाण से कम है। इसलिए, शरीर आराम की स्थिति में रहता है।

वांछित बल - स्थैतिक घर्षण बल - के बराबर है

एफ टीआर \u003d एफ एक्स \u003d 15 एन।

उदाहरण 15. पक नीचे के बिंदु से 10 सेमी की ऊंचाई पर गोलार्ध की आंतरिक सतह पर स्थित है। अर्धगोले की त्रिज्या 50 सेमी है। वॉशर और गोले के बीच घर्षण के गुणांक की गणना करें यदि संकेतित ऊंचाई को अधिकतम संभव माना जाता है।

समाधान। आइए हम एक आकृति के साथ समस्या की स्थिति का वर्णन करें।

वॉशर, समस्या की स्थिति के अनुसार, अधिकतम संभव ऊंचाई पर है। नतीजतन, वॉशर पर अभिनय करने वाले स्थैतिक घर्षण बल का अधिकतम मूल्य होता है जो अक्ष पर गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है:

एफ टीआर। अधिकतम = एफ एक्स तक,

जहाँ F x = mg  cos α, ऑक्स पर गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण का मापांक है; मी वॉशर का द्रव्यमान है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; α चित्र में दिखाया गया कोण है।

स्थैतिक घर्षण का अधिकतम बल फिसलने वाले घर्षण बल के साथ मेल खाता है:

एफ टीआर। अधिकतम = एफ ट्र तक। सीके,

जहाँ F tr.sk \u003d µN - फिसलने वाले घर्षण बल का मापांक; N = mg sin α गोलार्द्ध की सतह की सामान्य प्रतिक्रिया के बल का परिमाण है; μ घर्षण का गुणांक है।

हम संकेतित समानता को स्पष्ट रूप में लिखकर घर्षण गुणांक निर्धारित करते हैं:

मिलीग्राम cos α = माइक्रोग्राम sin α।

यह इस प्रकार है कि वांछित घर्षण गुणांक कोण α के स्पर्शरेखा द्वारा निर्धारित किया जाता है:

संकेतित कोण अतिरिक्त निर्माण से निर्धारित होता है:

टीजी α = आर - एच 2 एच आर - एच 2 ,

जहाँ h वह अधिकतम ऊँचाई है जिस पर पक सकती है; R अर्धगोले की त्रिज्या है।

गणना स्पर्शरेखा का मान देती है:

तन α = 0.5 - 0.1 2 ⋅ 0.1 ⋅ 0.5 - (0.1) 2 = 4 3

और आपको घर्षण के वांछित गुणांक की गणना करने की अनुमति देता है।

अध्याय 15

15.3. एक गतिज बिंदु की ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय और ठोस शरीरआगे के आंदोलन के दौरान।

15.3.1. एक भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बलों द्वारा क्या कार्य किया जाता है यदि इसकी गतिज ऊर्जा 50 से घटकर 25 J हो जाती है? (उत्तर -25)

15.3.2. निर्बाध गिरावट सामग्री बिंदुमास एम आराम से शुरू होता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, उस समय बिंदु द्वारा तय किया गया पथ निर्धारित करें जब इसकी गति 3 m/s हो। (उत्तर 0.459)

15.3.3. द्रव्यमान का एक भौतिक बिंदु m=0.5kg प्रारंभिक वेग के साथ पृथ्वी की सतह से फेंका जाता है वी o \u003d 20 m / s और स्थिति में M की गति है वी= 12 मी/से. किसी बिंदु को स्थिति M o से स्थिति M की ओर ले जाने पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य निर्धारित करें (उत्तर -64)

15.3.4. द्रव्यमान m का एक भौतिक बिंदु पृथ्वी की सतह से कोण पर फेंका जाता है α = 60° प्रारंभिक गति के साथ क्षितिज तक वी 0 = 30 मी/से. बिंदु की अधिकतम ऊँचाई h ज्ञात कीजिए। (उत्तर 34.4)

15.3.5. द्रव्यमान का एक पिंड m = 2 किग्रा एक धक्का से प्रारंभिक गति के साथ एक झुकाव वाले विमान के साथ उगता है वीओ = 2 एम/एस। शरीर द्वारा एक पड़ाव तक जाने वाले पथ पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य का निर्धारण करें। (उत्तर - 4)

15.3.6. द्रव्यमान m का एक भौतिक बिंदु M, लंबाई OM = 0.4 m के एक निश्चित बिंदु O के धागे पर लटका हुआ है, एक कोण पर वापस ले लिया जाता है α = 90° संतुलन की स्थिति से और प्रारंभिक वेग के बिना जारी किया गया। संतुलन स्थिति से गुजरने के दौरान इस बिंदु की गति निर्धारित करें। (उत्तर 2.80)

15.3.7. स्विंग केबिन लंबाई के साथ दो छड़ों पर निलंबित है मैं= 0.5 मीटर। केबिन की गति निर्धारित करें जब यह निचली स्थिति से गुजरती है, यदि प्रारंभिक क्षण में छड़ें एक कोण से विक्षेपित होती हैं φ = 60° और बिना प्रारंभिक वेग के छोड़ा गया। (उत्तर 2.21)

15.3.8. द्रव्यमान m वाला एक भौतिक बिंदु M त्रिज्या r = 0.2 m के अर्ध-सिलेंडर की आंतरिक सतह के साथ गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत चलता है। सतह पर बिंदु B पर सामग्री बिंदु की गति निर्धारित करें यदि बिंदु A पर इसकी गति शून्य है . (उत्तर 1.98)

15.3.9. तार ABC पर, एक ऊर्ध्वाधर तल में स्थित है और त्रिज्या r 1, = 1 m, r 2 = 2 m के वृत्तों के चाप के रूप में मुड़ा हुआ है, m द्रव्यमान का एक वलय D बिना घर्षण के स्लाइड कर सकता है। बिंदु C पर रिंग की गति निर्धारित करें यदि बिंदु A पर इसकी गति शून्य है। (उत्तर 9.90)

15.3.10. द्रव्यमान m = 2 kg का एक पिंड एक क्षैतिज तल के अनुदिश गति करता है, जिसके लिए प्रारंभिक गति दी गई थी वी 0 = 4 मी/से. रुकने से पहले, शरीर ने 16 मीटर के बराबर दूरी तय की। शरीर और विमान के बीच फिसलने वाले घर्षण बल का मापांक निर्धारित करें। (उत्तर 1)

15.3.11. द्रव्यमान का एक पिंड m = 100 किग्रा एक स्थिर बल F की क्रिया के तहत एक क्षैतिज खुरदरे तल पर आराम से चलना शुरू करता है। 5 मीटर की दूरी तय करने के बाद, शरीर की गति 5 मीटर / सेकंड के बराबर हो जाती है। बल F का मापांक निर्धारित करें यदि फिसलने वाला घर्षण बल F tr \u003d 20 N. (उत्तर 270)

15.3.12. एक हॉकी खिलाड़ी, लक्ष्य से 10 मीटर की दूरी पर, एक छड़ी के साथ, बर्फ पर पड़े पक को सूचित करता है, गति 8 मीटर/सेकेंड है। बर्फ की सतह पर फिसलने वाला पक 7.7 मीटर/सेकेंड की गति से गेट में उड़ता है। पक और बर्फ की सतह के बीच फिसलने वाले घर्षण का गुणांक निर्धारित करें।
(उत्तर 2.40 10 -2)

15.3.13. द्रव्यमान का एक पिंड m = 1kg प्रारंभिक वेग के बिना एक झुके हुए विमान से नीचे उतरता है। शरीर की गतिज ऊर्जा का निर्धारण उस समय करें जब उसने 3 मीटर की दूरी तय की हो, यदि शरीर और झुकाव वाले विमान के बीच फिसलने वाले घर्षण का गुणांक हो एफ= 0.2. (उत्तर 9.62)

15.3.14. द्रव्यमान का एक भार प्रारंभिक वेग के बिना एक झुकाव वाले विमान से नीचे उतरता है। गति की शुरुआत से 4 मीटर की दूरी तय करने के बाद लोड की गति क्या होगी यदि लोड और इच्छुक विमान के बीच फिसलने वाले घर्षण का गुणांक 0.15 है? (उत्तर 5.39)

15.3.15. एक स्प्रिंग 2 स्लाइडर 1 से द्रव्यमान m = 1 किग्रा के साथ जुड़ा हुआ है। वसंत को एक मुक्त अवस्था से 0.1 मीटर तक संकुचित किया जाता है, जिसके बाद भार को प्रारंभिक गति के बिना छोड़ा जाता है। वसंत की कठोरता का निर्धारण करें यदि भार, 0.1 मीटर की दूरी तय करके, 1 मीटर / सेकंड की गति प्राप्त कर लेता है।
(उत्तर 100)

घर्षण बल () पिंडों की सापेक्ष गति से उत्पन्न होने वाला बल है। यह अनुभवजन्य रूप से स्थापित किया गया है कि फिसलने वाले घर्षण का बल निकायों के पारस्परिक दबाव (समर्थन की प्रतिक्रिया) (एन), रगड़ निकायों की सतहों की सामग्री और सापेक्ष गति की गति पर निर्भर करता है।

परिभाषा

भौतिक मात्रा, जो रगड़ने वाली सतहों की विशेषता है, कहलाती है घर्षण का गुणन. सबसे अधिक बार, घर्षण के गुणांक को k या अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।

सामान्य स्थिति में, घर्षण का गुणांक एक दूसरे के सापेक्ष पिंडों की गति पर निर्भर करता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि निर्भरता को आमतौर पर ध्यान में नहीं रखा जाता है और फिसलने वाले घर्षण के गुणांक को स्थिर माना जाता है। ज्यादातर मामलों में, घर्षण बल

फिसलने वाले घर्षण का गुणांक एक आयामहीन मात्रा है। घर्षण का गुणांक इस पर निर्भर करता है: सतह के उपचार की गुणवत्ता, पिंडों को रगड़ना, उन पर गंदगी की उपस्थिति, एक दूसरे के सापेक्ष पिंडों की गति की गति आदि। घर्षण का गुणांक आनुभविक रूप से (प्रयोगात्मक रूप से) निर्धारित किया जाता है।

घर्षण का गुणांक, जो स्थैतिक घर्षण के अधिकतम बल से मेल खाता है, ज्यादातर मामलों में फिसलने वाले घर्षण के गुणांक से अधिक होता है।

के लिये अधिकसामग्री के जोड़े, घर्षण गुणांक का मूल्य एकता से अधिक नहीं है और भीतर निहित है

निकायों के किसी भी जोड़े के घर्षण के गुणांक का मूल्य, जिसके बीच घर्षण बल माना जाता है, दबाव, संदूषण की डिग्री, निकायों के सतह क्षेत्र और अन्य चीजों से प्रभावित होता है जिन्हें आमतौर पर ध्यान में नहीं रखा जाता है। इसलिए, घर्षण बलों के गुणांक के वे मूल्य, जो संदर्भ तालिकाओं में इंगित किए गए हैं, वास्तविकता के साथ पूरी तरह से केवल उन परिस्थितियों में मेल खाते हैं जिनमें वे प्राप्त किए गए थे। नतीजतन, घर्षण बलों के गुणांक के मूल्यों को समान डी जोड़ी रगड़ने वाले निकायों के लिए अपरिवर्तित नहीं माना जा सकता है। तो, स्नेहन के साथ सूखी सतहों और सतहों के लिए कांटों के गुणांक हैं। उदाहरण के लिए, कांस्य से बने शरीर और कच्चे लोहे से बने शरीर के लिए फिसलने वाले घर्षण का गुणांक, यदि सामग्री की सतह सूखी है, तो सामग्री की एक ही जोड़ी के लिए स्नेहक की उपस्थिति में फिसलने का घर्षण गुणांक है

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम	एक पतली धातु की श्रृंखला एक क्षैतिज मेज पर स्थित है (चित्र 1)। इसकी लंबाई है, द्रव्यमान। श्रृंखला का अंत मेज के किनारे पर लटका हुआ है। यदि श्रृंखला के लटकते भाग की लंबाई पूरी श्रृंखला की लंबाई का एक अंश है, तो यह तालिका से नीचे की ओर खिसकने लगती है। यदि श्रृंखला को लंबाई में एक समान माना जाता है, तो मेज पर श्रृंखला का घर्षण गुणांक क्या है?
समाधान	श्रृंखला गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलती है। मान लीजिए श्रृंखला की एक इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है। इस मामले में, फिसलने की शुरुआत के समय, गुरुत्वाकर्षण का बल, जो कि ओवरहैंगिंग भाग पर कार्य करता है, होगा: फिसलने से पहले, यह बल घर्षण बल द्वारा संतुलित होता है जो मेज पर स्थित श्रृंखला के भाग पर कार्य करता है: चूँकि बल संतुलित हैं, हम लिख सकते हैं ():
उत्तर

उदाहरण 2

व्यायाम	एक झुकाव वाले विमान पर शरीर के घर्षण का गुणांक क्या है, यदि विमान के झुकाव का कोण बराबर है और इसकी लंबाई बराबर है। पिंड समय t के दौरान निरंतर त्वरण के साथ समतल के अनुदिश गति करता है।
समाधान	न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, त्वरण के साथ गतिमान पिंड पर लागू बलों का परिणाम है: समीकरण (2.1) के एक्स और वाई अक्षों पर अनुमानों में, हम प्राप्त करते हैं:

यदि बार को डायनेमोमीटर के साथ स्थिर गति से खींचा जाता है, तो डायनेमोमीटर फिसलने वाले घर्षण बल (F tr) का मापांक दिखाता है। यहाँ, डायनेमोमीटर स्प्रिंग का लोचदार बल फिसलने वाले घर्षण के बल को संतुलित करता है।

दूसरी ओर, फिसलने वाले घर्षण का बल समर्थन (N) की सामान्य प्रतिक्रिया के बल पर निर्भर करता है, जो शरीर के वजन की क्रिया के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है। वजन जितना अधिक होगा, सामान्य प्रतिक्रिया का बल उतना ही अधिक होगा। और सामान्य प्रतिक्रिया बल जितना अधिक होगा, घर्षण बल उतना ही अधिक होगा. इन बलों के बीच एक सीधा आनुपातिक संबंध है, जिसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

यहाँ μ is घर्षण का गुणन. यह दिखाता है कि कैसे फिसलने वाले घर्षण का बल सामान्य प्रतिक्रिया के बल पर निर्भर करता है (या, कोई कह सकता है, शरीर के वजन पर), इसका कितना अनुपात है। घर्षण का गुणांक एक आयामहीन मात्रा है। सतहों के विभिन्न जोड़े के लिए, μ का एक अलग मान होता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, लकड़ी की वस्तुएं 0.2 से 0.5 (लकड़ी की सतहों के प्रकार के आधार पर) के गुणांक के साथ एक दूसरे के खिलाफ रगड़ती हैं। इसका मतलब यह है कि यदि समर्थन की सामान्य प्रतिक्रिया का बल 1 N है, तो गति के दौरान फिसलने वाला घर्षण बल 0.2 N से 0.5 N तक हो सकता है।

सूत्र F tr \u003d μN से, यह निम्नानुसार है कि घर्षण और सामान्य प्रतिक्रिया की ताकतों को जानने के बाद, किसी भी सतह के लिए घर्षण के गुणांक को निर्धारित करना संभव है:

सामान्य समर्थन प्रतिक्रिया की ताकत शरीर के वजन पर निर्भर करती है। यह मापांक में इसके बराबर है, लेकिन दिशा में विपरीत है। शरीर के द्रव्यमान को जानकर शरीर के वजन (पी) की गणना की जा सकती है। इस प्रकार, यदि हम मात्राओं की सदिश प्रकृति को ध्यान में नहीं रखते हैं, तो हम लिख सकते हैं कि N = P = mg। तब घर्षण का गुणांक सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

μ = एफ टीआर / (मिलीग्राम)

उदाहरण के लिए, यदि यह ज्ञात है कि सतह के साथ चलने वाले 5 किलो द्रव्यमान वाले शरीर का घर्षण बल 12 एन है, तो आप घर्षण का गुणांक पा सकते हैं: μ = 12 एन / (5 किलो 9.8 एन/किग्रा ) = 12 एन / 49 एन ≈ 0.245।