Във всяка глава ще има задачи за самостоятелно решаване, на които можете да видите отговорите.

Концепцията за определен интеграл и формулата на Нютон-Лайбниц

определен интеграл от непрекъсната функция f(х) на крайния интервал [ а, b] (където ) е нарастването на някои от неговите антипроизводни в този сегмент. (Като цяло разбирането ще бъде значително по-лесно, ако повторите темата за неопределения интеграл) В този случай нотацията

Както може да се види на графиките по-долу (увеличаването на антипроизводната функция е обозначено с), Определеният интеграл може да бъде положителен или отрицателен.(Изчислява се като разликата между стойността на антипроизводното в горната граница и нейната стойност в долната граница, т.е. като Е(b) - Е(а)).

Числа аи bсе наричат ​​съответно долна и горна граница на интегриране, а интервалът [ а, b] е сегментът на интеграция.

По този начин, ако Е(х) е някаква противопроизводна функция за f(х), тогава според определението,

(38)

Равенството (38) се нарича Формула на Нютон-Лайбниц . Разлика Е(b) – Е(а) се записва накратко така:

Следователно формулата на Нютон-Лайбниц ще бъде написана, както следва:

(39)

Нека докажем, че определеният интеграл не зависи от това коя първоизводна на подинтегралната функция е взета при изчисляването му. Позволявам Е(х) и F( х) са произволни първоизводни на интегранта. Тъй като това са антипроизводни на една и съща функция, те се различават с постоянен член: Ф( х) = Е(х) + ° С. Ето защо

Така се установява, че на отсечката [ а, b] увеличения на всички първоизводни на функцията f(х) съвпада.

По този начин, за да се изчисли определеният интеграл, е необходимо да се намери всяка антипроизводна на интегранта, т.е. Първо трябва да намерите неопределения интеграл. Константа ОТ изключени от следващите изчисления. След това се прилага формулата на Нютон-Лайбниц: стойността на горната граница се замества в антипроизводната функция b , по-нататък - стойността на долната граница а и изчислете разликата F(b) - F(a) . Полученото число ще бъде определен интеграл..

При а = bприети по дефиниция

Пример 1

Решение. Нека първо намерим неопределения интеграл:

Прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц към първоизводната

(при ОТ= 0), получаваме

Въпреки това, когато изчислявате определен интеграл, е по-добре да не намирате първоизводната отделно, а веднага да запишете интеграла във формата (39).

Пример 2Изчислете определен интеграл

Решение. Използване на формулата

Намерете сами определения интеграл и след това вижте решението

Свойства на определения интеграл

Теорема 2.Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на интегриращата променлива, т.е.

(40)

Позволявам Е(х) е противопроизводно на f(х). За f(T) антипроизводното е същата функция Е(T), в които независимата променлива е обозначена по различен начин. Следователно,

Въз основа на формула (39) последното равенство означава равенство на интегралите

Теорема 3.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл, т.е.

(41)

Теорема 4.Определеният интеграл на алгебричната сума на краен брой функции е равен на алгебричната сума на определените интеграли на тези функции, т.е.

(42)

Теорема 5.Ако интеграционният сегмент е разделен на части, тогава определеният интеграл върху целия сегмент е равен на сумата от определените интеграли върху неговите части, т.е. ако

(43)

Теорема 6.При пренареждане на границите на интегриране абсолютната стойност на определения интеграл не се променя, а само знакът му, т.е.

(44)

Теорема 7(теорема за средната стойност). Определеният интеграл е равен на произведението от дължината на интегралния сегмент и стойността на интегралното изражение в дадена точка вътре в него, т.е.

(45)

Теорема 8.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и подинтегралната функция е неотрицателна (положителна), то определеният интеграл също е неотрицателен (положителен), т.е. ако

Теорема 9.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната граница и функциите и са непрекъснати, тогава неравенството

може да се интегрира термин по термин, т.е.

(46)

Свойствата на определения интеграл ни позволяват да опростим директното изчисляване на интегралите.

Пример 5Изчислете определен интеграл

Използвайки теореми 4 и 3 и при намиране на първоизводни - таблични интеграли (7) и (6), получаваме

Определен интеграл с променлива горна граница

Позволявам f(х) е непрекъснат на отсечката [ а, b] функция и Е(х) е негов прототип. Разгледайте определения интеграл

(47)

и чрез Tинтеграционната променлива е означена, за да не се бърка с горната граница. Когато се промени хопределеният интеграл (47) също се променя, т.е. това е функция на горната граница на интегриране х, което означаваме с Е(х), т.е.

(48)

Нека докажем, че функцията Е(х) е противопроизводно на f(х) = f(T). Наистина, диференциране Е(х), получаваме

защото Е(х) е противопроизводно на f(х), а Е(а) е постоянна стойност.

функция Е(х) е един от безкрайния набор от антипроизводни за f(х), а именно този, който х = аотива на нула. Това твърдение се получава, ако в равенството (48) поставим х = аи използвайте теорема 1 от предишния раздел.

Изчисляване на определени интеграли чрез метода на интегриране по части и метода на промяна на променлива

където по дефиниция Е(х) е противопроизводно на f(х). Ако в интегранта направим промяната на променливата

тогава, в съответствие с формула (16), можем да запишем

В този израз

антипроизводна функция за

Действително нейната производна, според правилото за диференциране на сложна функция, е равно на

Нека α и β са стойностите на променливата T, за които функцията

приема съответно стойностите аи b, т.е.

Но според формулата на Нютон-Лайбниц разликата Е(b) – Е(а) има

За какво са интегралите? Опитайте се сами да отговорите на този въпрос.

Обяснявайки темата за интегралите, учителите изброяват области на приложение, които са малко полезни за училищните умове. Между тях:

• изчисляване на площта на фигура.
• изчисляване на телесното тегло с неравномерна плътност.
• определяне на изминатото разстояние при движение с променлива скорост.
• и т.н.

Не винаги е възможно да се свържат всички тези процеси, така че много ученици се объркват, дори ако имат всички основни познания, за да разберат интеграла.

Основната причина за невежеството– неразбиране на практическото значение на интегралите.

Интеграл - какво е това?

Предпоставки. Необходимостта от интеграция възниква в древна Гърция. По това време Архимед започва да използва методи, подобни по същество на съвременното интегрално смятане, за да намери площта на кръг. Основният подход за определяне на площта на неравномерните фигури тогава беше "Методът на изчерпване", който е доста лесен за разбиране.

Същността на метода. В тази фигура се вписва монотонна последователност от други фигури и след това се изчислява границата на последователността на техните области. Тази граница беше взета като площ на дадената фигура.

В този метод лесно се проследява идеята за интегрално смятане, която е да се намери границата на безкрайна сума. По-късно тази идея е приложена от учените за решаване приложни задачиастронавтика, икономика, механика и др.

Модерен интеграл. Класическата теория на интеграцията е формулирана в общи линии от Нютон и Лайбниц. Той се основава на съществуващите тогава закони на диференциалното смятане. За да го разберете, трябва да имате някои основни познания, които ще ви помогнат да опишете визуални и интуитивни идеи за интегралите на математически език.

Обяснете понятието "интеграл"

Процесът на намиране на производната се нарича диференциацияи намиране на антипроизводното - интеграция.

Интеграл математически езике антипроизводната на функцията (това, което беше преди производната) + константата "C".

Интеграл с прости думие площта на извитата фигура. Неопределеният интеграл е цялата област. Определеният интеграл е площта в дадена област.

Интегралът се записва така:

Всеки интегранд се умножава по компонента "dx". Показва коя променлива се интегрира. "dx" е нарастването на аргумента. Вместо X може да има всеки друг аргумент, като t (време).

Неопределен интеграл

Неопределеният интеграл няма граници на интегриране.

За решаване на неопределени интеграли е достатъчно да се намери първоизводната на интегралната функция и да се добави "C" към нея.

Определен интеграл

В определен интеграл ограниченията "a" и "b" се записват върху знака за интегриране. Те са посочени на оста x на графиката по-долу.

За да изчислите определен интеграл, трябва да намерите антипроизводното, да замените стойностите на „a“ и „b“ в него и да намерите разликата. В математиката това се нарича Формула на Нютон-Лайбниц:

Таблица с интеграли за ученици (основни формули)

Изтеглете формулите на интегралите, пак ще са ви полезни

Как да изчислим правилно интеграла

Има няколко прости операции за трансформиране на интеграли. Ето основните от тях:

Премахване на константа от знака за интеграл

Разлагане на сборния интеграл в сбора на интегралите

Ако размените a и b, знакът ще се промени

Можете да разделите интеграла на интервали, както следва

Това са най-простите свойства, въз основа на които по-късно ще бъдат формулирани по-сложни теореми и методи на смятане.

Примери за изчисляване на интеграли

Решаване на неопределен интеграл

Решаване на определен интеграл

Основни понятия за разбиране на темата

За да разберете същността на интеграцията и да не затваряте страницата от неразбиране, ще ви обясним няколко основни понятия. Какво е функция, производна, граница и първоизводна.

функция- правило, според което всички елементи от едно множество са свързани с всички елементи от друго.

Производнае функция, която описва скоростта на промяна на друга функция във всяка конкретна точка. Строго казано, това е границата на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента. Изчислява се ръчно, но е по-лесно да се използва таблицата с производни, която съдържа повечето от стандартните функции.

Увеличаване- количествена промяна на функцията с известна промяна в аргумента.

Лимит- стойността, към която клони стойността на функцията, когато аргументът клони към определена стойност.

Пример за граница: да кажем, че за X равно на 1, Y ще бъде равно на 2. Но какво ще стане, ако X не е равно на 1, а клони към 1, тоест никога не го достига? В този случай y никога няма да достигне 2, а само ще клони към тази стойност. На математически език това се изписва по следния начин: limY (X), с X –> 1 = 2. Чете се: границата на функцията Y (X), с x клонящо към 1, е 2.

Както вече споменахме, производната е функция, която описва друга функция. Оригиналната функция може да бъде получена от друга функция. Тази друга функция се нарича примитивен.

Заключение

Не е трудно да се намерят интеграли. Ако не разбирате как да го направите,. От втория път става по-ясно. Помня!Решаването на интегралите се свежда до прости трансформации на интегралната функция и търсенето й в .

Ако текстовото обяснение не работи за вас, гледайте видеото за значението на интеграла и производната:

Интеграли - какво е това, как се решават, примери за решения и обяснение за манекениактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru

Определен интеграл. Примери за решения

Здравей отново. В този урок ще анализираме подробно такова прекрасно нещо като определен интеграл. Този път въведението ще бъде кратко. Всичко. Защото снежна буря зад прозореца.

За да научите как да решавате определени интеграли, трябва да:

1) да бъде в състояние намирамнеопределени интеграли.

2) да бъде в състояние изчислиопределен интеграл.

Както можете да видите, за да овладеете определения интеграл, трябва да сте доста добре запознати с "обикновените" неопределени интеграли. Ето защо, ако тепърва започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът изобщо не е заврял, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решения. Освен това има pdf курсове за ултрабързо обучение- ако имате буквално ден, остава половин ден.

Най-общо определеният интеграл се записва като:

Какво е добавено в сравнение с неопределения интеграл? добавен интеграционни граници.

Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.

Преди да преминем към практически примери, малък често задаван въпрос за определения интеграл.

Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.

Как да решим определен интеграл?С помощта на познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:

По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.

Стъпките за решаване на определен интеграл са следните:

1) Първо намираме функцията на първообразната производна (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл не е добавен. Обозначението е чисто техническо, а вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност е просто зачертано. Защо е необходим записът? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

2) Заместваме стойността на горната граница в антипроизводната функция: .

3) Заместваме стойността на долната граница в антипроизводната функция: .

4) Изчисляваме (без грешки!) разликата, тоест намираме числото.

Винаги ли съществува определен интеграл?Не винаги.

Например интегралът не съществува, тъй като интервалът на интегриране не е включен в домейна на интегранта (стойностите под квадратния корен не могат да бъдат отрицателни). Ето един по-малко очевиден пример: . Тук, на интеграционния интервал допирателнаиздържа безкрайни почивкив точките , , и следователно такъв определен интеграл също не съществува. Между другото, който все още не е прочел методическия материал Графики и основни свойства на елементарни функции- Сега е моментът да го направим. Ще бъде чудесно да помогнете в курса на висшата математика.

За за да съществува определен интеграл изобщо, е достатъчно интеграндът да бъде непрекъснат в интервала на интегриране.

От горното следва първата важна препоръка: преди да продължите с решаването на КОЙТО и да е определен интеграл, трябва да се уверите, че интеграндът непрекъснат на интервала на интегриране. Като студент многократно имах инцидент, когато дълго време страдах от намирането на труден примитивен елемент и когато най-накрая го намерих, се замислих над още един въпрос: „какви глупости се оказаха?“. В опростена версия ситуацията изглежда така:

???! Не можете да замествате отрицателни числа под корена! Какво по дяволите?! първоначална небрежност.

Ако за решение (в контролна, контролна, изпитна) ви бъде предложен интеграл като или , тогава трябва да дадете отговор, че този определен интеграл не съществува и обосновете защо.

! Забележка : в последния случай думата "определени" не може да бъде пропусната, т.к интегралът с точкови прекъсвания се разделя на няколко, в случая на 3 несобствени интеграла, и формулировката "този интеграл не съществува" става неправилна.

Може ли определеният интеграл да бъде равен на отрицателно число?Може би. И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, която се изнася в отделна лекция.

Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би такава ситуация наистина се среща на практика.

- интегралът се изчислява спокойно по формулата на Нютон-Лайбниц.

Без какво не минава висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Затова разглеждаме някои свойства на определен интеграл.

В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като същевременно промените знака:

Например, в определен интеграл преди интегриране, е препоръчително да промените границите на интегриране в "обичайния" ред:

- в тази форма интеграцията е много по-удобна.

- това важи не само за две, но и за произволен брой функции.

В определен интеграл може да се извърши промяна на интеграционната променлива, но в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.

За определен интеграл, формула за интегриране по части:

Пример 1

Решение:

(1) Изваждаме константата от интегралния знак.

(2) Интегрираме върху таблицата, използвайки най-популярната формула . Препоръчително е да отделите появилата се константа от и да я поставите извън скобата. Не е необходимо да правите това, но е желателно - защо допълнителни изчисления?

. Първо заместваме горната граница, след това долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.

Пример 2

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване, решение и отговор в края на урока.

Нека го направим малко по-трудно:

Пример 3

Изчислете определен интеграл

Решение:

(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.

(2) Интегрираме над таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.

(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:

СЛАБА ВРЪЗКА в определен интеграл са грешките в изчисленията и честото ОБЪРКВАНЕ НА ЗНАКИТЕ. Бъди внимателен! Съсредоточавам се върху третия термин: - първо място в хит парада на грешки поради невнимание, много често пишат автоматично (особено когато подмяната на горната и долната граница се извършва устно и не се подписва толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.

Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например аз самият решавах такива интеграли като този:

Тук вербално използвах правилата за линейност, устно интегрирани върху таблицата. В крайна сметка получих само една скоба с очертаните ограничения: (за разлика от трите скоби в първия метод). И в "цялата" противопроизводна функция, първо заместих първо 4, след това -2, отново извършвайки всички действия наум.

Какви са недостатъците на метода на краткото решение? Тук не всичко е много добро от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично на мен не ми пука - броим обикновени дроби на калкулатор.
Освен това съществува повишен риск от грешка в изчисленията, така че е по-добре за ученик-манекени да използват първия метод, с „моя“ метод на решение знакът определено ще се загуби някъде.

Въпреки това, безспорните предимства на втория метод са скоростта на решението, компактността на записа и фактът, че първоизводната е в една скоба.

Съвет: преди да използвате формулата на Нютон-Лайбниц, е полезно да проверите: правилно ли е намерена самата антипроизводна?

И така, във връзка с разглеждания пример: преди да замените горната и долната граница във функцията на производната, препоръчително е да проверите на чернова дали неопределеният интеграл изобщо е намерен правилно? Разграничете:

Получен е оригиналният интеграл, което означава, че неопределеният интеграл е намерен правилно. Сега можете да приложите формулата на Нютон-Лайбниц.

Такава проверка няма да бъде излишна при изчисляване на всеки определен интеграл.

Пример 4

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване. Опитайте се да го решите кратко и подробно.

Промяна на променлива в определен интеграл

За определения интеграл са валидни всички видове замествания, както и за неопределения интеграл. Така че, ако не сте много добри в заместванията, трябва внимателно да прочетете урока. Метод на заместване в неопределен интеграл.

В този параграф няма нищо страшно и сложно. Новото се крие във въпроса как да промените границите на интеграция при подмяна.

В примерите ще се опитам да дам такива видове замени, които все още не са виждани никъде в сайта.

Пример 5

Изчислете определен интеграл

Основният въпрос тук изобщо не е в определен интеграл, а как правилно да се извърши замяната. Вглеждаме се интегрална масаи разберем как най-вече изглежда нашият интеграл? Очевидно, на дългия логаритъм: . Но има едно несъответствие, в табличния интеграл под корена, а в нашия - "х" на четвърта степен. Идеята за замяна също следва от разсъжденията - би било хубаво по някакъв начин да превърнем нашата четвърта степен в квадрат. Това е истинско.

Първо подготвяме нашия интеграл за подмяна:

От горните съображения замяната естествено се предполага:
Така всичко ще е наред в знаменателя: .
Откриваме в какво ще се превърне останалата част от интегранта, за това намираме диференциала:

В сравнение със замяната в неопределения интеграл, добавяме допълнителна стъпка.

Намиране на нови граници на интеграция.

Това е достатъчно просто. Разглеждаме нашата замяна и старите граници на интеграция, .

Първо, заместваме долната граница на интегриране, тоест нула, в заместващия израз:

След това заместваме горната граница на интегриране в заместващия израз, тоест корен от три:

Готов. И само нещо…

Да продължим с решението.

(1) Според замяната напишете нов интеграл с нови граници на интегриране.

(2) Това е най-простият табличен интеграл, който интегрираме върху таблицата. По-добре е да оставите константата извън скобите (не можете да направите това), така че да не се намесва в по-нататъшни изчисления. Вдясно начертаваме линия, показваща новите граници на интеграция - това е подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц .

Стремим се да напишем отговора в най-компактна форма, тук използвах свойствата на логаритмите.

Друга разлика от неопределения интеграл е, че след като сме направили заместването, не са необходими замени.

А сега няколко примера за самостоятелно решение. Какви замени да извършите - опитайте се да познаете сами.

Пример 6

Изчислете определен интеграл

Пример 7

Изчислете определен интеграл

Това са примери за самопомощ. Решения и отговори в края на урока.

И в края на параграфа няколко важни точки, чийто анализ се появи благодарение на посетителите на сайта. Първият се отнася легитимност на замяната. В някои случаи не може да се направи!Така че пример 6 изглежда разрешим с универсално тригонометрично заместване, но горната граница на интеграция ("пи")не са включени в домейнтази допирателна и следователно това заместване е незаконно! По този начин, функцията "замяна" трябва да бъде непрекъсната във всичкоточки от сегмента на интеграция.

В друг имейл беше получен следният въпрос: „Трябва ли да променим границите на интеграция, когато поставим функцията под диференциалния знак?“. Първоначално исках да „отхвърля глупостите“ и автоматично да отговоря „разбира се, че не“, но след това се замислих за причината за такъв въпрос и изведнъж открих, че информацията липсва. Но е, макар и очевидно, но много важно:

Ако поставим функцията под знака на диференциала, тогава няма нужда да променяме границите на интегриране! Защо? Защото в този случай няма действителен преход към нова променлива. Например:

И тук сумирането е много по-удобно от академичната подмяна с последващо „рисуване“ на нови граници на интеграция. По този начин, ако определеният интеграл не е много сложен, тогава винаги се опитвайте да поставите функцията под знака на диференциала! По-бързо е, по-компактно е и често срещано - както ще видите десетки пъти!

Благодаря ви много за вашите писма!

Метод на интегриране по части в определен интеграл

Тук има още по-малко новости. Всички публикации на статията Интегриране по части в неопределен интегралса напълно валидни и за определен интеграл.
Освен това има само една подробност, във формулата за интегриране по части се добавят границите на интегриране:

Формулата на Нютон-Лайбниц трябва да се приложи два пъти тук: за произведението и след като вземем интеграла.

Например, аз отново избрах типа интеграл, който не съм виждал никъде другаде в сайта. Примерът не е най-лесният, но много, много информативен.

Пример 8

Изчислете определен интеграл

Ние решаваме.

Интегриране по части:

Който се затрудни с интеграла, да погледне урока Интеграли на тригонометрични функции, където е разгледано подробно.

(1) Записваме решението в съответствие с формулата за интегриране по части.

(2) За продукта използваме формулата на Нютон-Лайбниц. За останалия интеграл използваме свойствата на линейността, като го разделяме на два интеграла. Не се обърквайте от знаци!

(4) Прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц за двете открити първоизводни.

Честно казано, формулата не ми харесва и, ако е възможно, ... изобщо без него! Помислете за втория начин за решаване, от моя гледна точка той е по-рационален.

Изчислете определен интеграл

В първата стъпка намирам неопределения интеграл:

Интегриране по части:

Открита е противопроизводна функция. В този случай няма смисъл да добавяте константа.

Какво е предимството на такова пътуване? Няма нужда да „влачите“ границите на интеграцията, наистина можете да се измъчвате дузина пъти, като пишете малки икони на границите на интеграция

Във втората стъпка проверявам(обикновено на чернова).

Освен това е логично. Ако намерих неправилно функцията за производна, тогава ще реша неправилно и определения интеграл. По-добре е да разберете веднага, нека разграничим отговора:

Оригиналният интегранд е получен, което означава, че функцията на първообразната е намерена правилно.

Третият етап е прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц:

И тук има значителна полза! При „моя“ начин на решаване има много по-малък риск да се объркате при замествания и изчисления - формулата на Нютон-Лайбниц се прилага само веднъж. Ако чайникът реши подобен интеграл с помощта на формулата (първият начин), тогава stopudovo ще направи грешка някъде.

Разгледаният алгоритъм за решение може да се приложи към всеки определен интеграл.

Скъпи ученико, отпечатай и запиши:

Какво да направите, ако е даден определен интеграл, който изглежда сложен или не е ясно веднага как да бъде решен?

1) Първо намираме неопределения интеграл (антипроизводна функция). Ако на първия етап имаше неприятности, безсмислено е да разклащаме лодката с Нютон и Лайбниц. Има само един начин - да повишите нивото на вашите знания и умения за решаване неопределени интеграли.

2) Проверяваме намерената първообразна функция чрез диференциране. Ако се намери неправилно, третата стъпка ще бъде загуба на време.

3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц. Всички изчисления извършваме ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНО - тук е най-слабото звено в задачата.

И, за лека закуска, интегрална за самостоятелно решение.

Пример 9

Изчислете определен интеграл

Решението и отговорът са някъде наблизо.

Следният препоръчителен урок по темата е − Как да изчислим площта на фигура с помощта на определен интеграл?
Интегриране по части:

Определено ли ги решихте и получихте ли такива отговори? ;-) И на старицата има порно.

Процесът на решаване на интеграли в науката, наречен "математика", се нарича интегриране. С помощта на интеграцията можете да намерите някои физически величини: площ, обем, маса на телата и много други.

Интегралите са неопределени и определени. Разгледайте формата на определен интеграл и се опитайте да разберете неговото физическо значение. Изглежда по следния начин: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличителна черта на записването на определен интеграл от неопределен е, че има граници на интегриране a и b. Сега ще разберем за какво служат и какво означава определен интеграл. В геометричен смисъл такъв интеграл е равен на площта на фигурата, ограничена от кривата f(x), линии a и b и оста Ox.

Може да се види от фиг. 1, че определеният интеграл е същата област, която е оцветена в сиво. Нека го проверим с прост пример. Нека намерим площта на фигурата в изображението по-долу с помощта на интегриране и след това я изчислим по обичайния начин на умножаване на дължината по ширината.

Фигура 2 показва, че $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заместваме в дефиницията на интеграла, получаваме, че $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Нека проверим по обичайния начин. В нашия случай дължина = 3, ширина на формата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Както можете да видите, всичко съвпадаше перфектно.

Възниква въпросът: как се решават неопределени интеграли и какъв е смисълът им? Решението на такива интеграли е намирането на първообразни функции. Този процес е обратен на намирането на производната. За да намерите първоизводната, можете да използвате нашата помощ при решаване на задачи по математика или трябва самостоятелно да запомните свойствата на интегралите и таблицата за интегриране на най-простите елементарни функции. Намирането изглежда така $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(където) F(x) $ е първоизводната на $ f(x), C = const $.

За да решите интеграла, трябва да интегрирате функцията $ f(x) $ по отношение на променливата. Ако функцията е таблична, тогава отговорът се записва в подходящата форма. Ако не, тогава процесът се свежда до получаване на таблична функция от функцията $ f(x) $ чрез трудни математически трансформации. Има различни методи и свойства за това, които ще разгледаме по-долу.

И така, нека сега направим алгоритъм за решаване на интеграли за манекени?

Алгоритъм за изчисляване на интеграли

1. Намерете определения интеграл или не.
2. Ако е недефинирано, тогава трябва да намерите функцията за производна $ F(x) $ на интегранта $ f(x) $ с помощта на математически трансформации, които привеждат функцията $ f(x) $ в таблична форма.
3. Ако е дефинирана, тогава трябва да се изпълни стъпка 2 и след това да се заменят границите на $a$ и $b$ в антипроизводната функция $F(x)$. По каква формула да направите това, ще научите в статията "Формулата на Нютон Лайбниц".

Примери за решения

И така, научихте как да решавате интеграли за манекени, примерите за решаване на интеграли са подредени по рафтовете. Научиха тяхното физическо и геометрично значение. Методите за решение ще бъдат обсъдени в други статии.

Онлайн услугата е включена уебсайтви позволява да намерите решаване на определен интеграл онлайн. Решението се извършва автоматично на сървъра и в рамките на няколко секунди на потребителя се дава резултатът. Всички онлайн услуги на сайта са абсолютно безплатни, а решението се издава в удобна и разбираема форма. Също така, нашето предимство е, че предоставяме на потребителя възможност да въведе границите на интеграция, включително границите на интеграция: минус и плюс безкрайност. Така решаването на определен интеграл става лесно, бързо и качествено. Важно е сървърът да позволява изчисляване на определени интеграли онлайнсложни функции, чието решаване на други онлайн услуги често е невъзможно поради несъвършенството на техните системи. Предоставяме много прост и интуитивен механизъм за въвеждане на функции и възможност за избор на интеграционна променлива, за която не е необходимо да превеждате дадена функция в една променлива в друга, елиминирайки грешките и правописните грешки, свързани с това. Страницата също така съдържа връзки към теоретични статии и таблици за решаването на определени интеграли. Всичко заедно ще ви позволи да изчислите определен интеграл онлайн много бързо и, ако желаете, да намерите и разберете теорията за решаване на определени интеграли. На сайта http: // можете също да отидете на други услуги: онлайн решение за граници, производни, суми от серии. Отиването до раздела за решаване на неопределени интеграли онлайн е съвсем просто - връзката е в ред сред полезни връзки. Освен това услугата непрекъснато се подобрява и развива и всеки ден има все повече и повече нови функции и подобрения. Решаване на определени интегрализаедно с нас! Всички онлайн услуги са достъпни дори за нерегистрирани потребители и са абсолютно безплатни.

Решавайки определен интеграл с нас, вие можете да проверите собственото си решение или да се освободите от ненужните времеемки изчисления и да се доверите на високотехнологична автоматизирана машина. Точността, изчислена в услугата, ще задоволи почти всички инженерни стандарти. Често за много таблични определени интеграли резултатът се дава в точни термини (като се използват добре известни константи и неелементарни функции).