Помислете за движението на тяло, хвърлено хоризонтално и движещо се само под действието на гравитацията (пренебрегвайки въздушното съпротивление). Например, представете си, че една топка, лежаща на масата, получава тласък и тя се търкулва към ръба на масата и започва да пада свободно, като първоначалната й скорост е насочена хоризонтално (фиг. 174).
Нека проектираме движението на топката по вертикалната ос и по хоризонталната ос. Движението на проекцията на топката върху оста е движение без ускорение със скорост ; движението на проекцията на топката върху оста е свободно падане с ускорение над началната скорост под действието на гравитацията. Познаваме законите и на двете движения. Компонентът на скоростта остава постоянен и равен на . Компонентът нараства пропорционално на времето: . Получената скорост се намира лесно с помощта на правилото на успоредника, както е показано на фиг. 175. Ще се наклони надолу и наклонът му ще се увеличи с времето.
Ориз. 174. Движение на топка, която се търкаля от масата
Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има скорост в момента
Намерете траекторията на тяло, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение
За да намерим уравнението на траекторията, ние изразяваме от (112.1) времето през и заместваме този израз в (112.2). В резултат на това получаваме
Графиката на тази функция е показана на фиг. 176. Ординатите на точките на траекторията се оказват пропорционални на квадратите на абсцисите. Знаем, че такива криви се наричат параболи. Парабола изобразява графика на пътя на равномерно ускорено движение (§ 22). Така свободно падащо тяло, чиято начална скорост е хоризонтална, се движи по парабола.
Изминатият път във вертикална посока не зависи от началната скорост. Но изминатият път в хоризонтална посока е пропорционален на началната скорост. Следователно при голяма хоризонтална начална скорост параболата, по която пада тялото, е по-издължена в хоризонтална посока. Ако струя вода се изстреля от хоризонтално разположена тръба (фиг. 177), тогава отделни частици вода ще се движат като топката по парабола. Колкото по-отворен е кранът, през който водата влиза в тръбата, толкова по-голяма е началната скорост на водата и толкова по-далече от крана струята стига до дъното на кюветата. Чрез поставяне на екран с предварително начертани параболи зад струята може да се провери дали водната струя наистина има формата на парабола.
3.2.1. Как да разберем правилно условията на проблема?
Скоростта на тялото се е увеличила нведнъж:
Скоростта е намаляла в нведнъж:
Скоростта се увеличава с 2 m/s:
С колко се увеличи скоростта?
С колко е намаляла скоростта?
Как се промени скоростта?
Колко се е увеличила скоростта?
Колко е намаляла скоростта?
Тялото е достигнало най-голямата си височина:
Тялото е изминало половината разстояние:
Тялото се хвърля от земята: (последното условие често се пренебрегва - ако скоростта на тялото е нула, например дръжката лежи на масата, може ли да излети нагоре сама?), Първоначалната скорост е насочена нагоре.
Тялото се хвърля надолу: началната скорост е насочена надолу.
Тялото се хвърля нагоре: началната скорост е насочена нагоре.
В момента на падане на земята:
Тялото пада от балона (балона): началната скорост е равна на скоростта на балона (балона) и е насочена в същата посока.
3.2.2. Как да определим ускорението от графиката на скоростта?
Законът за промяна на скоростта има формата:
Графиката на това уравнение е права линия. Тъй като - коефициент преди T, тогава е наклонът на правата линия.
За диаграма 1:
Фактът, че графика 1 се "издига" означава, че проекцията на ускорението е положителна, т.е. векторът е насочен в положителната посока на оста вол
За диаграма 2:
Фактът, че графика 2 „слиза надолу“ означава, че проекцията на ускорението е отрицателна, т.е. векторът е насочен в отрицателната посока на оста вол. Пресечната точка на графиката с оста - промяна в посоката на движение към противоположната.
За да определим и, ние избираме такива точки на графиката, при които е възможно да се определят точно стойностите, като правило това са точки, разположени на върховете на клетките.
3.2.3. Как да определим изминатото разстояние и денивелацията от графиката на скоростта?
Както е посочено в параграф 3.1.6, пътят може да бъде като площта под графиката на скорост спрямо ускорение. Един прост случай е показан в раздел 3.1.6. Нека разгледаме по-сложен вариант, когато графиката на скоростта пресича времевата ос.
Спомнете си, че пътят може само да се увеличава, така че пътят, който тялото е изминало в примера на Фигура 9 е:
където и са площите на фигурите, защриховани на фигурата.
За да се определи изместването, трябва да се отбележи, че в точките и тялото променя посоката на движение. При преминаване по пътя тялото се движи в положителната посока на оста вол, тъй като графиката лежи над времевата ос. Пътуване по начина, по който тялото се движи в обратната посока, в отрицателната посока на оста волтъй като графиката лежи под времевата ос. Преминавайки пътя, тялото се движи в положителната посока на оста вол, тъй като графиката лежи над времевата ос. Така че изместването е:
Нека отново да обърнем внимание:
1) пресичане с времевата ос означава завъртане в обратна посока;
2) площта на графиката, лежаща под времевата ос, е положителна и е включена със знака "+" в дефиницията на изминатото разстояние, но със знака "−" в дефиницията на изместването.
3.2.4. Как да определим зависимостта на скоростта от времето и координатите от времето от графиката на ускорението спрямо времето?
За да се определят необходимите зависимости, са необходими начални условия - стойностите на скоростта и координатите в момента на времето Без начални условия е невъзможно да се реши този проблем недвусмислено, следователно, като правило, те са дадени в състояние на проблема.
В този пример ще се опитаме да дадем всички разсъждения с букви, така че конкретен пример (при заместване на числа) да не загуби същността на действията.
Нека в момента скоростта на тялото е равна на нула и началната координата
Началните стойности на скоростта и координатите се определят от началните условия, а ускорението от графиката:
следователно движението е равномерно ускорено и законът за изменение на скоростта има формата:
До края на този интервал от време (), скоростта () и координатата () ще бъдат равни (вместо време във формулите и трябва да замените):
Началната стойност на скоростта на този интервал трябва да бъде равна на крайната стойност на предходния интервал, началната стойност на координатата е равна на крайната стойност на координатата на предишния интервал, а ускорението се определя от графиката:
следователно движението е равномерно ускорено и законът за изменение на скоростта има формата:
До края на този интервал от време (), скоростта () и координатата () ще бъдат равни (вместо време във формулите и трябва да замените):
За по-добро разбиране начертаваме получените резултати на графика (виж Фиг.)
На диаграмата на скоростта:
1) От 0 до права линия, „издигаща се нагоре“ (защото);
2) От към хоризонтална права линия (тъй като );
3) От до: права линия, "падаща" (защото).
Координати на графиката:
1) От 0 до : парабола, чиито клонове са насочени нагоре (защото );
2) От до: права линия, издигаща се нагоре (от);
3) От до: парабола, чиито клонове са насочени надолу (защото).
3.2.5. Как да запиша аналитичната формула на закона за движение от графиката на закона за движение?
Нека е дадена графиката на равномерното движение.
В тази формула има три неизвестни: и
За да определите, достатъчно е да погледнете стойността на функцията в. За да определим другите две неизвестни, избираме две точки на графиката, чиито стойности можем точно да определим - върховете на клетките. Получаваме системата:
Предполагаме, че вече знаем. Умножете първото уравнение на системата по и второто уравнение по:
Изваждаме второто уравнение от първото уравнение, след което получаваме:
Заместваме стойността, получена от този израз, в някое от уравненията на системата (3.67) и решаваме полученото уравнение по отношение на:
3.2.6. Как да определим закона за промяна на скоростта според известния закон за движение?
Законът за равномерното движение има формата:
Това е стандартният му външен вид за този тип движение и не може да изглежда по друг начин, така че си струва да го запомните.
В този закон коефициентът пред Tе стойността на началната скорост, коефициентът pre е ускорението, разделено наполовина.
Например, предвид закона:
А уравнението на скоростта е:
По този начин, за да се решат такива проблеми, е необходимо да се запомни точно формата на закона за равномерното движение и значението на коефициентите, включени в това уравнение.
Можете обаче да тръгнете по друг начин. Нека си припомним формулата:
В нашия пример:
3.2.7. Как да определим мястото и часа на срещата?
Нека са дадени законите за движение на две тела:
В момента на срещата телата са в една и съща координата, тоест е необходимо да се реши уравнението:
Нека го пренапишем във формата:
Това е квадратно уравнение, чието общо решение няма да бъде дадено поради неговата тромавост. Квадратното уравнение или няма решения, което означава, че телата не са се срещнали; или има едно решение - една единствена среща; или има две решения - две заседания на органи.
Получените решения трябва да бъдат проверени за физическа осъществимост. Най-важното условие: а това е, че времето на срещата трябва да е положително.
3.2.8. Как да определим пътя за -та секунда?
Нека тялото започне да се движи от състояние на покой и да измине пътя за -тата секунда.Трябва да се установи по кой път се движи тялото нта секунда.
За да се реши този проблем, е необходимо да се използва формула (3.25):
Обозначете Тогава
Разделяме уравнението на и получаваме:
3.2.9. Как се движи изхвърлено от високо тяло? ч?
Тялото се изхвърля от високо чсъс скорост
Координатно уравнение г
Времето за издигане до най-високата точка на полета се определя от условието:
знеобходимо е в необходимо е да се замени:
Скорост на падане:
3.2.10. Как се движи тяло, хвърлено от високо? ч?
Тялото се изхвърля от високо чсъс скорост
Координатно уравнение гв произволен момент от време:
Уравнението:
Времето на целия полет се определя от уравнението:
Това е квадратно уравнение, което има две решения, но в тази задача тялото може да се появи в координатата само веднъж. Следователно сред получените решения едно трябва да бъде „отстранено“. Основният критерий за отпадане е, че полетното време не може да бъде отрицателно:
Скорост на падане:
3.2.11. Как се движи тяло, изхвърлено от повърхността на земята?
Тяло се изхвърля нагоре от земната повърхност със скорост
Координатно уравнение гв произволен момент от време:
Уравнение за проекция на скоростта в произволен момент от време:
От условието се определя времето за издигане до най-високата точка на полета
За да намерите максималната височина знеобходимо е в (3.89) необходимо е да се замести
Времето на целия полет се определя от условието. Получаваме уравнението:
Скорост на падане:
Имайте предвид, че това означава, че времето за издигане е равно на времето за падане на същата височина.
Също така се получи: тоест - с каква скорост са хвърлили, със същата скорост тялото е паднало. Знакът "-" във формулата показва, че скоростта по време на падането е насочена надолу, т.е. срещу оста Ой.
3.2.12. Тялото е било на една и съща височина два пъти...
При хвърляне тялото може два пъти да бъде на една и съща височина - първият път при движение нагоре, вторият път - при падане.
1) Когато тялото е отгоре ч?
За тяло, изхвърлено от повърхността на земята, е валиден законът за движение:
Когато тялото е повдигнато чнеговата координата ще бъде равна на Получаваме уравнението:
чието решение изглежда така:
2) Времената са известни и когато тялото е било в най-добрия си вид ч. Кога тялото ще достигне максималната си височина?
Време на полет от височина чобратно към височината че равно на Както вече беше показано, времето на издигане е равно на времето на падане на същата височина, така че времето на полет от височина чдо максималната височина е равно на:
Тогава времето на полета от началото на движението до максималната надморска височина:
3) Времената са известни и когато тялото е било в най-добрия си вид ч. Какво е времето на полета на тялото?
Общото време на полета е:
4) Времената са известни и когато тялото е било в най-добрия си вид ч. Каква е максималната височина на повдигане?
3.2.13. Как се движи тяло, хвърлено хоризонтално от високо? ч?
Тялото е хвърлено хоризонтално от високо чсъс скорост
Прогнози за ускорение:
Проекции на скоростта в произволен момент от време T:
T:
T:
Времето на полета се определя от условието
За определяне на обхвата на полета е необходимо в уравнението за координатата хвместо Tзаместител
За да се определи скоростта на тялото в момента на падане, е необходимо да се постави в уравнението вместо Tзаместител
Ъгълът, под който тялото пада на земята:
3.2.14. Как се движи от височина тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта ч?
Тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта от високо чсъс скорост
Проекции на началната скорост по оста:
Прогнози за ускорение:
Проекции на скоростта в произволен момент от време T:
Модул на скоростта в произволен момент от време T:
Координати на тялото в произволен момент от време T:
Максимална височина з
Това е квадратно уравнение, което има две решения, но в тази задача тялото може да се появи в координатата само веднъж. Следователно сред получените решения едно трябва да бъде „отстранено“. Основният критерий за отпадане е, че полетното време не може да бъде отрицателно:
х Л:
Скорост по време на падане
Ъгъл на падане:
3.2.15. Как се движи тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо земния хоризонт?
Тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта от земната повърхност със скорост
Проекции на началната скорост по оста:
Прогнози за ускорение:
Проекции на скоростта в произволен момент от време T:
Модул на скоростта в произволен момент от време T:
Координати на тялото в произволен момент от време T:
Времето за полет до най-високата точка се определя от условието
Скорост в най-високата точка на полета
Максимална височина зсе определя чрез заместване в закона за промяна на координатата y на времето
Цялото време на полет се намира от условието, което получаваме уравнението:
Получаваме
Отново получихме това, тоест показахме още веднъж, че времето на нарастване е равно на времето на спад.
Ако заместим в закона за промяна на координатите хвреме да получим обхвата на полета Л:
Скорост по време на падане
Ъгълът, който векторът на скоростта образува с хоризонталата в произволен момент от време:
Ъгъл на падане:
3.2.16. Какво представляват плоските и монтираните траектории?
Нека решим следната задача: под какъв ъгъл трябва да се хвърли тяло от повърхността на земята, така че тялото да падне на разстояние Лот точката на пускане?
Обхватът на полета се определя по формулата:
От физически съображения е ясно, че ъгълът α не може да бъде по-голям от 90°, следователно са подходящи два корена от поредица от решения на уравнението:
Траектория на движение, за която се нарича плоска траектория. Траекторията на движение, за която се нарича шарнирна траектория.
3.2.17. Как да използваме триъгълника на скоростите?
Както беше казано в 3.6.1, триъгълникът на скоростта във всяка задача ще има своя собствена форма. Нека да разгледаме конкретен пример.
Тяло се хвърля от върха на кула с такава скорост, че обхватът на полета да е максимален. Докато се удари в земята, скоростта на тялото е Колко време продължи полетът?
Нека построим триъгълник на скоростите (виж фиг.). Начертаваме височина в него, която очевидно е равна на Тогава площта на триъгълника на скоростите е равна на:
Тук сме използвали формула (3.121).
Намерете площта на същия триъгълник, като използвате различна формула:
Тъй като това са площите на един и същ триъгълник, приравняваме формулите и:
Докъде ще стигнем
Както се вижда от формулите за крайната скорост, получени в предходните параграфи, крайната скорост не зависи от ъгъла, под който тялото е хвърлено, а само стойностите на началната скорост и началната височина зависят. Следователно далечината на полета по формулата зависи само от ъгъла между началната и крайната скорост β. След това обхватът на полета Лще бъде максимално, ако приеме максималната възможна стойност, т.е.
Така, ако обхватът на полета е максимален, тогава триъгълникът на скоростта ще бъде правоъгълен, следователно теоремата на Питагор е изпълнена:
Докъде ще стигнем
Свойството на триъгълника на скоростта, което току-що беше доказано, може да се използва при решаването на други проблеми: триъгълникът на скоростта е правоъгълен в проблема за максималния обхват.
3.2.18. Как да използваме триъгълника за изместване?
Както бе споменато в 3.6.2, триъгълникът на изместване във всяка задача ще има своя собствена форма. Нека да разгледаме конкретен пример.
Тяло е хвърлено под ъгъл β към повърхността на планина с ъгъл на наклон α. С каква скорост трябва да се хвърли тялото, за да падне точно на разстояние Лот точката на пускане?
Нека построим триъгълник на изместване - това е триъгълник ABC(вижте фиг. 19). Нека начертаем височина в него BD. Очевидно ъгълът DBCе равно на α.
Нека изразим страната BDот триъгълник BCD:
Нека изразим страната BDот триъгълник ABD:
Приравнете и :
Къде намираме времето на полета:
Експрес ADот триъгълник ABD:
Нека изразим страната DCот триъгълник BCD:
Но ние получаваме
Заместете в това уравнение получения израз за времето на полет:
Накрая получаваме
3.2.19. Как да решаваме проблеми, използвайки закона за движение? (хоризонтално)
По правило в училище при решаване на задачи за равномерно променливо движение се използват формули
Този подход към решението обаче е трудно приложим за решаване на много проблеми. Нека разгледаме конкретен пример.
Закъснелият пътник се приближи до последния вагон на влака в момента, в който влакът потегли, започвайки да се движи с постоянно ускорение Единствената отворена врата в един от вагоните се оказа на разстояние от пътника Каква е най-малката постоянна скорост той трябва да се развива, за да има време да се качи на влака?
Нека представим оста вол, насочени по протежение на движението на човек и влак. За нулева позиция вземаме първоначалната позиция на лицето ("2"). След това началната координата на отворената врата ("1") Л:
Вратата ("1"), както и целият влак, има начална скорост равна на нула. Човекът ("2") започва да се движи със скорост
Вратата (“1”), както и целият влак, се движи с ускорение a. Човекът ("2") се движи с постоянна скорост:
Законът за движение както на вратата, така и на човека има формата:
Заместваме условията и в уравнението за всяко от движещите се тела:
Съставихме уравнение на движението за всяко от телата. Сега нека използваме вече известния алгоритъм, за да намерим мястото и времето на срещата на две тела - трябва да приравним и :
Откъде да вземем квадратното уравнение за определяне на времето за среща:
Това е квадратно уравнение. И двете му решения имат физически смисъл - най-малкият корен, това е първата среща на човек и врата (човек може да избяга бързо от място, но влакът няма веднага да набере висока скорост, така че човек може да изпревари вратата), вторият корен е втората среща (когато влакът вече е ускорил и е настигнал човека). Но наличието и на двата корена означава, че човек може да тича по-бавно. Скоростта ще бъде минимална, когато уравнението има един корен, т.е
Къде намираме минималната скорост:
При такива задачи е важно да се анализират условията на проблема: какви са началната координата, началната скорост и ускорението. След това съставяме уравнението на движението и мислим как да решим проблема по-нататък.
3.2.20. Как да решаваме проблеми, използвайки закона за движение? (вертикално)
Помислете за пример.
Свободно падащо тяло е изминало последните 10 m за 0,5 s. Намерете времето на падане и височината, от която е паднало тялото. Игнорирайте въздушното съпротивление.
За свободното падане на тялото е валиден законът за движение:
В нашия случай:
начална координата:
начална скорост:
Заменете условията в закона за движение:
Замествайки необходимите стойности на времето в уравнението на движението, ще получим координатите на тялото в тези моменти.
В момента на падането координатата на тялото
От преди момента на падането, тоест по координатата на тялото
Уравнения и представляват система от уравнения, в която неизвестните зи Решавайки тази система, получаваме:
И така, знаейки формата на закона за движение (3.30) и използвайки условията на проблема, за да намерим и получим закона за движение за този конкретен проблем. След това, замествайки необходимите времеви стойности, получаваме съответните координатни стойности. И решаваме проблема!
Равноускореното движение е движение, при което векторът на ускорението не се променя по големина и посока. Примери за такова движение: велосипед, който се търкаля по хълм; камък, хвърлен под ъгъл спрямо хоризонта. Равномерното движение е частен случай на равномерно ускорено движение с ускорение равно на нула.
Нека разгледаме по-подробно случая на свободно падане (тялото е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта). Такова движение може да бъде представено като сума от движенията около вертикалната и хоризонталната ос.
Във всяка точка от траекторията върху тялото действа ускорението на свободното падане g →, което не се променя по големина и винаги е насочено в една посока.
По оста X движението е равномерно и праволинейно, а по оста Y е равномерно ускорено и праволинейно. Ще разгледаме проекциите на векторите на скоростта и ускорението върху оста.
Формула за скорост при равномерно ускорено движение:
Тук v 0 е началната скорост на тялото, a = c o n s t е ускорението.
Нека покажем на графиката, че при равномерно ускорено движение зависимостта v (t) има формата на права линия.
Ускорението може да се определи от наклона на графиката на скоростта. На фигурата по-горе модулът на ускорението е равен на отношението на страните на триъгълника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Колкото по-голям е ъгълът β, толкова по-голям е наклонът (стръмността) на графиката по отношение на времевата ос. Съответно, толкова по-голямо е ускорението на тялото.
За първата графика: v 0 = - 2 m s; a \u003d 0, 5 m s 2.
За втората графика: v 0 = 3 m s; a = - 1 3 m s 2 .
От тази графика можете също да изчислите движението на тялото за време t. Как да го направя?
Нека отделим малък интервал от време ∆ t на графиката. Ще приемем, че тя е толкова малка, че движението за времето ∆ t може да се счита за равномерно движение със скорост, равна на скоростта на тялото в средата на интервала ∆ t . Тогава преместването ∆ s за времето ∆ t ще бъде равно на ∆ s = v ∆ t .
Нека разделим цялото време t на безкрайно малки интервали ∆ t . Преместването s във времето t е равно на площта на трапеца O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t .
Знаем, че v - v 0 = a t, така че крайната формула за движение на тялото ще бъде:
s = v 0 t + a t 2 2
За да намерите координатата на тялото в даден момент, трябва да добавите изместване към първоначалната координата на тялото. Промяната на координатите в зависимост от времето изразява закона за равномерно ускорено движение.
Закон за равномерно ускорено движение
Закон за равномерно ускорено движениеy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Друга често срещана задача на кинематиката, която възниква при анализа на равномерно ускорено движение, е намирането на координата за дадени стойности на началната и крайната скорост и ускорение.
Елиминирайки t от горните уравнения и решавайки ги, получаваме:
s \u003d v 2 - v 0 2 2 a.
От известната начална скорост, ускорение и изместване можете да намерите крайната скорост на тялото:
v = v 0 2 + 2 a s .
За v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s
важно!
Стойностите v , v 0 , a , y 0 , s включени в изразите са алгебрични величини. В зависимост от характера на движението и посоката на координатните оси в конкретна задача те могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В този урок ще разгледаме важна характеристика на неравномерното движение - ускорението. Освен това ще разгледаме неравномерното движение с постоянно ускорение. Това движение се нарича още равномерно ускорено или равномерно забавено. Накрая ще говорим за това как да изобразим графично скоростта на тялото като функция на времето при равномерно ускорено движение.
Домашна работа
Решавайки задачите за този урок, ще можете да се подготвите за въпроси 1 от GIA и въпроси A1, A2 от Единния държавен изпит.
1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задачи на А.П. Римкевич, изд. десет.
2. Запишете зависимостите на скоростта от времето и начертайте графики на зависимостта на скоростта на тялото от времето за случаите, показани на фиг. 1, случаи б) и г). Маркирайте повратните точки на графиките, ако има такива.
3. Разгледайте следните въпроси и техните отговори:
Въпрос.Гравитационното ускорение ускорение ли е, както е дефинирано по-горе?
Отговор.Разбира се, че е. Ускорението на свободното падане е ускорението на тяло, което пада свободно от определена височина (съпротивлението на въздуха трябва да се пренебрегне).
Въпрос.Какво се случва, ако ускорението на тялото е насочено перпендикулярно на скоростта на тялото?
Отговор.Тялото ще се движи равномерно в кръг.
Въпрос.Възможно ли е да се изчисли тангенса на ъгъла на наклон с помощта на транспортир и калкулатор?
Отговор.Не! Тъй като полученото по този начин ускорение ще бъде безразмерно, а размерността на ускорението, както показахме по-рано, трябва да има размерността на m/s 2 .
Въпрос.Какво може да се каже за движението, ако графиката на скоростта спрямо времето не е права линия?
Отговор.Можем да кажем, че ускорението на това тяло се променя с времето. Такова движение няма да бъде равномерно ускорено.
