Функционални нули
Нулата на функцията е стойността х, при което функцията става 0, тоест f(x)=0.

Нулите са точките на пресичане на графиката на функцията с оста о

Функционален паритет
Функция се извиква дори и за всяка хот областта на дефиницията, равенството f(-x) = f(x)

Четната функция е симетрична спрямо оста OU

Странна функция
Една функция се нарича нечетна, ако за всяка хот областта на дефиницията е изпълнено равенството f(-x) = -f(x).

Нечетната функция е симетрична по отношение на началото.
Функция, която не е нито четна, нито нечетна, се нарича обща функция.

Увеличение на функцията
Функцията f(x) се нарича нарастваща, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията, т.е. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Намаляваща функция
Функцията f(x) се нарича намаляваща, ако на по-голямата стойност на аргумента съответства по-малката стойност на функцията, т.е. x 2 >x 1 → f(x 2)
Извикват се интервалите, на които функцията или само намалява, или само нараства интервали на монотонност. Функцията f(x) има 3 интервала на монотонност:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; +∞)

Намерете интервали на монотонност, като използвате услугата Интервали на нарастващи и намаляващи функции

Местен максимум
Точка х 0се нарича локална максимална точка, ако има хот съседство на точка х 0важи следното неравенство: f(x 0) > f(x)

Местен минимум
Точка х 0се нарича локална минимална точка, ако има хот съседство на точка х 0важи следното неравенство: f(x 0)< f(x).

Локалните максимални точки и локалните минимални точки се наричат ​​локални екстремни точки.

x 1 , x 2 - локални точки на екстремум.

Функция Периодичност
Функцията f(x) се нарича периодична, с период T, ако има такива х f(x+T) = f(x) .

Интервали на постоянство
Интервалите, на които функцията е или само положителна, или само отрицателна, се наричат ​​интервали с постоянен знак.

f(x)>0 за x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Непрекъснатост на функцията
Функцията f(x) се нарича непрекъсната в точката x 0, ако границата на функцията при x → x 0 е равна на стойността на функцията в тази точка, т.е. .

точки на прекъсване
Точките, в които се нарушава условието за непрекъснатост, се наричат ​​точки на прекъсване на функцията.

x0- до точката на пречупване.

Обща схема за изобразяване на функции

1. Намерете домейна на функцията D(y).
2. Намерете пресечните точки на графиката на функциите с координатните оси.
3. Проучете функцията за четно или нечетно.
4. Изследвайте функцията за периодичност.
5. Намерете интервали на монотонност и точки на екстремум на функцията.
6. Намерете интервали на изпъкналост и точки на инфлексия на функцията.
7. Намерете асимптотите на функцията.
8. Въз основа на резултатите от изследването изградете графика.

Пример:Разгледайте функцията и изградете нейната графика: y = x 3 - 3x
8) Въз основа на резултатите от изследването ще изградим графика на функцията:

През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Космическият кораб ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани членове на експедицията.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете връзката към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете иили веднага след етикета . Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, тогава страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вграждате математически формули във вашите уеб страници.

Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Волфрам Алфа за тях. По този повод има интересна статия, в която има примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.

Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на правилна геометрична фигура (не фрактал), когато се увеличи, ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например, при достатъчно голямо увеличение, част от елипса изглежда като прав сегмент. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която с всяко увеличение ще се повтаря отново и отново.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, в своята статия „Фрактали и изкуство за наука“ пише: „Фракталите са геометрични форми, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще бъде увеличен до размера на цялото, ще изглежда като цялото, или точно, или може би с лека деформация.

- (Math.) Функцията y \u003d f (x) се извиква дори ако не се променя, когато независимата променлива променя само знака, т.е. ако f (x) \u003d f (x). Ако f (x) = f (x), тогава функцията f (x) се нарича нечетна. Например y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Функция, която удовлетворява равенството f (x) = f (x). Вижте функциите за четни и нечетни... Велика съветска енциклопедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Специални функции, въведени от френския математик Е. Матийо през 1868 г. при решаване на задачи за вибрациите на елипсовидна мембрана. М. ф. също се използват при изследване на разпространението на електромагнитни вълни в елиптичен цилиндър ... Велика съветска енциклопедия

Заявката "грех" се пренасочва тук; вижте и други значения. Заявката "sec" се пренасочва тук; вижте и други значения. „Sine“ пренасочва тук; вижте и други значения ... Wikipedia

Четността и нечетността на функцията са едно от основните й свойства, а четността заема впечатляваща част от училищния курс по математика. Той до голяма степен определя характера на поведението на функцията и значително улеснява изграждането на съответната графика.

Нека дефинираме паритета на функцията. Най-общо казано, изследваната функция се разглежда дори ако за противоположни стойности на независимата променлива (x), разположена в нейната област, съответните стойности на y (функция) са равни.

Нека дадем по-строга дефиниция. Помислете за някаква функция f (x), която е дефинирана в домейна D. Ще бъде дори, ако за всяка точка x, разположена в домейна на дефиниция:

• -x (противоположна точка) също се намира в дадения обхват,

• f(-x) = f(x).

От горната дефиниция следва условието, необходимо за областта на дефиниране на такава функция, а именно симетрия по отношение на точката O, която е началото на координатите, тъй като ако някаква точка b се съдържа в областта на дефиниция на четна функция, тогава съответната точка - b също лежи в тази област. Следователно от гореизложеното следва заключението: четна функция има форма, която е симетрична спрямо ординатната ос (Oy).

Как да определим паритета на функция на практика?

Нека е дадено чрез формулата h(x)=11^x+11^(-x). Следвайки алгоритъма, който следва директно от дефиницията, ние първо изучаваме нейната област на дефиниция. Очевидно е дефинирано за всички стойности на аргумента, т.е. първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замените аргумента (x) с противоположната му стойност (-x).
Получаваме:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Тъй като събирането удовлетворява комутативния (преместващ) закон, очевидно е, че h(-x) = h(x) и дадената функционална зависимост е четна.

Нека проверим четността на функцията h(x)=11^x-11^(-x). Следвайки същия алгоритъм, получаваме h(-x) = 11^(-x) -11^x. Като извадим минуса, в резултат имаме
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следователно h(x) е странно.

Между другото, трябва да припомним, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези критерии, те се наричат ​​нито четни, нито нечетни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

• в резултат на добавянето на подобни функции се получава равномерна;
• в резултат на изваждането на такива функции се получава четна;
• дори, също дори;
• в резултат на умножаването на две такива функции се получава четна;
• в резултат на умножение на нечетни и четни функции се получава нечетна;
• в резултат на разделянето на нечетните и четните функции се получава нечетна;
• производната на такава функция е странна;
• Ако повдигнем на квадрат нечетна функция, получаваме четна.

Четността на функция може да се използва при решаване на уравнения.

За да се реши уравнение като g(x) = 0, където лявата страна на уравнението е четна функция, ще бъде достатъчно да се намерят неговите решения за неотрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да се комбинират с противоположни числа. Един от тях подлежи на проверка.

Същият се използва успешно за решаване на нестандартни задачи с параметър.

Например, има ли някаква стойност за параметъра a, която би накарала уравнението 2x^6-x^4-ax^2=1 да има три корена?

Ако вземем предвид, че променливата влиза в уравнението с четни степени, тогава е ясно, че замяната на x с -x няма да промени даденото уравнение. От това следва, че ако дадено число е негов корен, то противоположното число е същото. Изводът е очевиден: корените на уравнението, различни от нула, са включени в множеството от неговите решения по „двойки“.

Ясно е, че самото число 0 не е, т.е. броят на корените на такова уравнение може да бъде само четен и, естествено, за всяка стойност на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може да бъде нечетен и за всяка стойност на параметъра. Наистина е лесно да се провери дали множеството от корени на дадено уравнение съдържа решения в "двойки". Нека проверим дали 0 е корен. Когато го заместим в уравнението, получаваме 2=2. Така освен "сдвоени" 0 е и корен, което доказва нечетното им число.

Които в една или друга степен са ви били познати. Там също беше отбелязано, че запасът от функционални свойства ще бъде постепенно попълван. В този раздел ще бъдат обсъдени две нови свойства.

Определение 1.

Функцията y \u003d f (x), x є X, се извиква дори ако за всяка стойност x от множеството X равенството f (-x) \u003d f (x) е вярно.

Определение 2.

Функцията y \u003d f (x), x є X, се нарича нечетна, ако за всяка стойност x от множеството X е вярно равенството f (-x) \u003d -f (x).

Докажете, че y = x 4 е четна функция.

Решение. Имаме: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4 . Следователно за всяко x равенството f (-x) = f (x), т.е. функцията е четна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 са четни.

Докажете, че y = x 3 е нечетна функция.

Решение. Имаме: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3 . Следователно, за всяко x, равенството f (-x) \u003d -f (x), т.е. функцията е странна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 са нечетни.

Ние с вас многократно сме се убеждавали, че новите термини в математиката най-често имат „земен” произход, т.е. те могат да бъдат обяснени по някакъв начин. Това важи както за четните, така и за нечетните функции. Вижте: y - x 3, y = x 5, y = x 7 са нечетни функции, докато y = x 2, y = x 4, y = x 6 са четни функции. И като цяло, за всяка функция от формата y \u003d x "(по-долу ще проучим специално тези функции), където n е естествено число, можем да заключим: ако n е нечетно число, тогава функцията y \u003d x " е странно; ако n е четно число, тогава функцията y = xn е четно.

Има и функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такава, например, е функцията y \u003d 2x + 3. Действително, f (1) \u003d 5 и f (-1) \u003d 1. Както можете да видите, тук Следователно нито идентичността f (-x ) \u003d f ( x), нито идентичността f(-x) = -f(x).

И така, една функция може да бъде четна, нечетна или нито една от двете.

Изследването на въпроса дали дадена функция е четна или нечетна обикновено се нарича изследване на функцията за паритет.

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията в точките x и -x. Това предполага, че функцията е дефинирана както в точката x, така и в точката -x. Това означава, че точката -x принадлежи към домейна на функцията едновременно с точката x. Ако числово множество X заедно с всеки от своите елементи x съдържа противоположния елемент -x, тогава X се нарича симетрично множество. Да кажем (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) са симетрични множества, докато )